福建省泉州七中、南安一中2025-2026学年高三12月联考数学试题

2025~2026学年度上学期高三年月考二 数学科试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.命题Va>1,函数f(x)=x在a,+m)上单调递增的否定为( A.a>1,函数f(x)=x在[a,+o)上单调递减 B.a>1,函数f(x)=x°在[a,+n)上不单调递增 C.彐a≤1，函数f(x)=x在[a,+o)上单调递减 D.彐a≤1，函数f(x)=x在[a+m)上不单调递增 2.已知平面向量a,b满足|a=2,b=4,且(a-2b)1a,则a-b=( A.32 B.16 C.8 D.4 3.一艘渔船在海上由南向北航行（航线视为一条直线），当船航行到点A时，测得远处一座灯塔T 在其北偏东45°的方向上.渔船继续向北航行10k到达点B,此时测得灯塔T在其北偏东75°的方 向上，则此时渔船与灯塔T的距离为( ) A.102km B.10v3km C.52km D.5√3km 4.已知抛物线C:y2=2匹(p>0)的顶点为O,经过点A(x,2),且F为抛物线C的焦点，若 AF=3OF,则p=( ) B.1 c.√2 D.2 5.己知圆锥的体积为24π，其母线与底面所成的角是60°，则该圆锥的侧面积为( A.12π B.16元 C.24元 D.28π 6.设f(x)=2nx-1,若f(a=f(b),则4.8的最小值为( A.26e B.46 C.26@ D.26c 试卷第1页，共4页 7.已知定义在R上的函数f(x)满足2f(x+y)f(x-y)=f(x)+∫(y),且f(1)≠0，则() A.f(0)=0 B.y=f(x)为奇函数 C.y=f(x)有零点 D.f(2x)=f(x) 8.已知△ABC中，内角4，B,C满足C+s4>T+coB,则( Ac< B. SinA sinB 22 cosB C.b>ccosA D.sinA+sin'B<sin'C cos4 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9.若复数2=1+31,1为虚数单位，则下列说法正确的是（ -1+i A.二在复平面内对应的点位于第四象限 B.=2=5-4i C.《)=55(三是z的共轭复数) D.若3-=1，则的最小值为√5-1 10.已知{a}是等比数列，Sn是其前n项和，满足4=24+a2,则下列说法中正确的有( A.若{a}是正项数列，则{a}是单调递增数列 B.Sn,S2n-Sn,Sn-S2m一定是等比数列 C.若存在M>0,使a≤M对neNr都成立，则a}是等差数列 D.若存在M>0,使a≤M对neN都成立，则{Sn}是等差数列 11.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，M,N分别为棱AD,DD的中点，则 以下四个结论正确的是() M B A.B,C∥平面MNC D B.点A到平面CW的距离为1 B C.过MN作与该正方体所有棱都相切的球的截面，所得截面的面积的最小值为π 8 D.若P为直线NC上的动点，则BP.AD为定值 试卷第2页，共4页 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡的相应位置. 12.过点(2√5，√)且渐近线与双曲线C:y-Y=1的渐近线相同的双曲线方程为 2 13.函数y=f()的图象与y= 的图象关于直线y=x对称，则函数y=f(sinx)的递增区间 是 14.给定集合A={a,a2,4,an}(n∈N,n≥22)，定义B={a+ba,b∈A,a≠b},B中元素的个数 用L(A)表示. ①若A=0,1,2,3},则L(A)= ②定义函数f(x)=x[x]其中[x]表示不超过x的最大整数，如1.5]=1，【-1.3]=-2，当 x∈[n,n+](neN)时，函数f(x)的值域为A,若L(A)=2025,则n= 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 15.(1B分)已知函数)=smx+}@>0)在0]上单调选增，在（子上单调通减，设 2兀 (x,0)为曲线y=f(x)的对称中心. (1)求x。: (2)己知锐角△ABC中，CoSA=C0sx。,求cosB+coSC的取值范围. 16.(15分)已知正项数列{a,}的前项和为S.,且满足a=1,S=a9出. 2 (1)求数列{an}的通项公式： (2)若c.(4a,-刂小=1，数列{c,}的前n项和为，当7>1012 时，求满足条件的最小整数n. 2025 试卷第3页，共4页 17.(15分)己知圆B:(x+1)+y2=1,圆C:(x-1)+y2=9,动圆P与圆B外切，且与圆C内切， 记动圆圆心P的轨迹为E,P,O,M,N是轨迹E上的四个动点，O为坐标原点. (1)求轨迹E的方程； (2)若/OM,O0/0,Oc=OM+1-2)ON,且四边形POMN的面积为24N5,求直线 7 MN的斜率. 18.(17分)如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD, CD=2AB=2EF=4,H为F在直线AE上的投影. (1)证明：四边形ABFE为平行四边形： (2)已知DE=√5，CF=V13. (i)求cos∠EFC; (i)若AD=DE,AF=2√2，求二面角C-BF-H的余弦值. 19.(17分)已知函数f(x)=x+bx2+x-b2有两个极值点x,x2,记A(3,f(),B(x2,f(x2). (1)若A1,-8),求a的值； (2)设b=3,求曲线y=f(x)的对称中心； (3)设b=0,若函数8()=e“的图象上存在点P,使得PA=PB,求a的取值范围. 试卷第4页，共4页 2025~2026学年度上学期高三年月考二数学科试卷 参考答案 题号 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 答案 B D A C C B D D ACD AC ABD 12.￥-=1 13 2+2hm,π+2m(keZ) 14.5 676 63 1.B【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以命题Va>1,函数f(x)=x在[a,+o)上单调递增的否定为“a>1,函数f(x)=x“在[a,+o)上 不单调递增”.故选：B. 2.D【详解】(a-2b)1a;则(a-2b)a=a-2a.b=0.a=2,b=4;故4-2a.b=0;.:ab=2. “a-=V2-2a.b+b2=V4-2x2+16=4,故选：D. 3.A【详解】由题意可得示意图，则∠BAT=45°，∠ABT=105°，所以∠ATB=30° 由正弦定理可得B= BT S030=m45故T=46.sin45=102(km).故选：A sin30° 4.C【详解】依题意，焦点F《?0,由4=30，根据抛物线的定义，得5+号- 22 所以x,=p,则A(p,2),代入y2=2匹，得4=2p2,又p>0,解得p=√2.故选：C 5.C【详解】设圆锥的底面半径为r,母线长为l,高为h,由母线与底面所成角是60°知1=2r, h=V5,所以体积V_h=24怀，故V50=24,化简可得，r=24N5, 3 3 所以x=2√5，h=6,1=4W3,所以圆锥的侧面积为l=24π.故选：C. 6.B【详解】由f(x)=2nx-1,且f(a)=fb),得2na-1=-(2nb-1),即lna+nb=1, 得a>0,b>0且ab=e,所以48=22.2动=22血0≥22药=22=226=46， 当且仅当2a=3动，即a=,b=6时等号成立.所以4g的最小值为4c,故选：B 2 3 7.D【详解】对于A,因为2f(x+y)f(x-y)=f(x)+f(y),令x=y=0,可得2f2(0)=2f(0), 所以f(0)=0或f(0)=1.若f(0)-0,则有2f(x+x)f(x-x)=f(x)+f(x),即f(x)=0, 与f(1)≠0矛盾，所以A不正确；对于B,由函数f(x)的定义域为R,且f(0)=1≠0，故函数 y=∫(x)不是奇函数，B不正确：对于C,令y=0,得2f(x)=f(x)+f(0),即2(x)-f(x)-1=0, 月考二参考答案第1页，共8页 解得fy=1或f()=-?,显然函数y=f)没有零点，所以C不正确：对于D,令少=x,可得 2f(2x)f(0)=∫(x)+f(x),即2f(2x)=2f(x),所以f(2x)=f(x),所以D正确.故选：D. &D【详解】不筋取4=8=名C=否Cm4头子B=于5 32’2 22 满足C+sA>+cosB,此时C=2T,即选项A错误；由C+si4> 5+C0sB,知 2 3 π-A-B+sim4>+sim匹 f(x)=sinx-x,x∈(0，兀)，则f'(x)=cosx-1<0，,即f(x)在(0，)上单调递减， 因为4>所以A8，所以C=4-B>元（B 因为y=simv在0 上单调递增，y=cosx在0， 上单调递减， ,cos4>cos -B, 即siA<cosB,cosM>sinB,所以sinA+ SinB <1+1=2, 2 cosB cos4 即选项B错误；由上述分析知C∈ 2π， 所以由余弦定理知，c0C=+b-c<0, 2ab b2+c2-a2b2+a2-c2 所以a2+b2<c2,由余弦定理，所以b-cc0s4=b-c <0, 2bc 2b 所以b<ccos4,即选项C错误：因为a2+b2<c2,且a<c,b<c,所以d+b3<a2c+b2c<c3, 由正弦定理知， sind=sinB=sinc,所以sin'A+sinB<simC,即选项D正确.故选：D 9.ACD 1+3i_1+31)0-1-1--1-i-31-31-24i=1-2i, 【详解】因为2=1+i1+(1-i) 2 2 对于A,z在复平面内对应的点为(1，-2)，位于第四象限，故A正确： 对于B,z2=(1-2i)=1+4i2-4i=-3-4i,故B不正确； 对于C,z=1+2i,==5=55,故C正确： 对于D,5-=1,则点表示以(1，-2)为圆心，1为半径的圆， 表示点名到原点的距离，所以的最小值为V1+(-2)-1=V5-1,故D正确.故选：ACD. 10.AC【详解】A选项，设公比为9，故q=q+2,解得9=-1或q=2, 若{a}是正项数列，则a>0,q>0,故q=2>1,故{an}是单调递增数列，A正确： 月考二参考答案第2页，共8页 B选项，当g=-1且n为偶数时，Sn,S2m-Sn,Sm-S2n均为0，不合要求，B错误： C选项，若q=2,则{a}单调递增，此时不存在M>0,使a≤M对neN都成立， 若q=-1,此时la=la,故存在M=a,使得a≤M对neN都成立， 此时1a,}为常数列，为公差为0的等差数列，C正确： D选项，由C选项可知，q=-1,故当为偶数时，S,=0, 当n为奇数时，S,=a≠0，显然{Sn}不是等差数列，D错误.故选：AC. 11.ABD【详解】对于A:连结BC,AD,正方体中，AD∥BC,而M,N分别为棱AD,DD 的中点，则MN∥AD∥B,C,所以B,C∥平面MNC,故A正确： D B 对于B:连接AM,AN,AC,设点A到平面CN的距离为d, 由VA-MG='-M4得SwG·d=Sa·CD,又△NC,≡aA, 则S,owG=Saa,所以d=C,D,=1,故B正确： M 对于C:连接AD交N于点F,则F是MN的中点. B 正方体的楼切球的球心是正方体对角线BD的中点0，半径R= 2 D 由对称性知过N作该正方体外接球的截面，所得截面的面积最小的圆是 以N所在的弦为直径的截面圆，即截面圆圆心为F 易得OM=OW=N=5.OF=VOM-MF= D M 故截面圆半径r=√R2-OF2 此时截面圆面积为S=和2=。π，故C错误。 对于D:易得BC1CP,所以BPAD=(BC+CP)BC=BC=1,故D正确：故选：ABD. 12.=】【详解】根据题意，双曲线C:y=1浙近线方程为y=±x,所以要求的双 63 2 月考二参考答案第3页，共8页 曲线方程为y-=(2≠0，又过点(25，V5),代入方程可得入=-3，因此双曲线方程为 父”-1.故答案为上1. 63 63 13 （+2a+2mkez 【详解】因为函数y=f()的图象与y= 的图象关于直线y=x对称， 所以f(y)=log1x,所以y=f(sinx)=log,sinx,因为y=log!t为减函数， 2 所以y=f(sinx)的递增区间为y=sinx(y>O)的递减区间，所以x∈ 2axne2. 所以西数y=八sm)的递增区间是〔行+2点π+2mkeZ).放答案为：（行+2ax+2keZ). 14. 5676 第一空2分，第二空3分， 【详解】①因为A={0,1,2,3},任取两个不同的元素相加，则B={1,2,3,4,5},故L(A)=5, ②当n≤x<n+1,[x]=n,则n≤x[x]<n2+n,当x=n+1,[=l,则fx]2+2t1,则f(x) 的值域为A={n,n2+1,n2+2,,n2+n-1,n2+2+1},任取两个不同的元素相加，则 B={2n2+1,2n2+2,2m2+3,,2n2+2n-3,2n2+2t1,2n2+2+2,,2n2+3m, 不同的结果有(2-3)+n=3n-3(个)，则3n-3=2025,解得n=676.故答案为：5；676. 15【详】1因为6)mm日4Q上学调造州，在[任叫1单祺晚减 =2c+k∈Z,可知@=3k+}keZ,2分 ·0+ 6 2 同3，可知0<m 2,…4分 3 放)= 所以=， x+ 65分 宁-看版m=z,可得=2m管即飞=2 6 3m∈Z.…6分 2》由①可知cs1=o-号4e(0》所以4于7分 1 则cosB+cosC=cosB-cos (o8+m8=+，0分 月考二参考答案第4页，共8页 0B号 又由△ABC为锐角三角形有 0<C= m即a2&号酚 6 2'3 3 2 则smB+)月 21 故cosB+cosC的取值范围为 3 …13分 16.【详解】(1)因为S,=88,当n=1时，S=2→a,=2,…1分 2 2 当m22时，=二2，因为品=受，两式相减得，4=2a-0小…3分 因为an>0,所以2=a1-a1,所以{am-1},{凸n}均是以2为公差的等差数列，…4分 a=1,am-1=1+2(n-1)=2n-1,a2n=2+2(n-1)=2n.…6分 所以a,=n,n∈N;…8分 ac女-18a0乱 11(1-1 …11分 …12分 因为T> 1012 1012 解得n>1012.…14分 2025 所以满足条件的最小整数n为1013.…15分 17.【详解】(1)解：设动圆P半径为r,由动圆P与圆B:(x+1)+y2=1外切，则PB=r+1, 又动圆P与圆C:(x-1)+y2=9内切，有PC=3-,…2分 则PB+PC=4>BC=2=|CA+AB=4>2=BC,…4分 所以点P在以B,C为焦点的椭圆上，且a=2,C=1,故椭圆方程为+-1，…6分 43 又圆分与圆C内切于4(-20，放与4不蛋合，数机迹E的方程为等+号-K-2列：…7分 一+ (2)解：由OC=OM+(1-2)ON知直线MN过点C,易知MN斜率不为0， 设直线MN:x=y+1，且M(x,y),N(x2,y2),…8分 月考二参考答案第5页，共8页 x2y2 =1 联立方程组43=1，可得(3m2+4)y2+6w-9=0,…9分 x=y+1 6nL 9 则%+y=3n+4以=3n+4…10分 由OP1/OM,OO/QN,即O,P,M共线，O,Q,N共线，根据对称性知四边形PQN为平行四边 1 ,…11分 7 故a1ocy-以=21vG+n-423n+4 -6m -9 -4 6m+1_65,…14分 3m2+43m2+47 解得m=士l,故k=1=1,所以直线N的斜率为±1.…15分 18.【详解】(1)证明：因为AB∥CD,AB丈平面CDEF,CDC平面CDEF,故AB/∥平面CDEF, ABC平面ABEF,平面ABEF平面CDEF=EF,则AB∥EF,3分 又AB=EF，所以四边形ABFE为平行四边形；…4分 (2)(i)如图，在四边形CDEF中，连接EC, 由(1)知CD//AB//EF,故∠FEC=∠DCE,…5分 由余张定理，有cos∠aC-B BC-C-cn∠DCB-Dc+BCD8 2.EF.EC 2.DC.EC 故2+2C-1_4+BC-5,解得BC-V29,7分 2.2.EC 2.4.EC 故cos∠EFC= EF2+FC2-EC22+V132-√2933 ，…9分 2.EF.FC 2.2√13 13 (i)如图，在梯形CD8F中，作PM1CD于M,由cos∠DCr-cos∠BRC=3i3 13 故CM=CF∠DCn=V5.35=3,则FM=√rc-MC=V13-9=2, 13 又等腰梯形ABCD,CD=2AB=4,DM=1,故AM⊥CD,AD=DE=√5，则 AM=VAD2-DMP=2,又AF=22,有AF2=AM+FM,即AM L FM,…11分 故MF,MC,MA两两互相垂直，以M为原点，MF,MC,MA分别为x,y,2建立空间直角坐标系， 如图：则A(0,0,2),F(2,0,0),C(0,3,0),B(0,2,2), 月考二参考答案第6页，共8页报告查询：登录zhixue.con或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 2025~2026学年度上学期高三年月考二 数学科答题卡 考场/座位号： 姓名： 准考证号 班级： [o] [0] [o] [o] [0] [o] [o] [o] C1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [] ▣▣ [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] 剂 回型 [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [ [4] [4] [4] 4] [4] [4] [4] 41 [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [6] [6] [6] [6] [6] [e] [6] [6] 正确填涂■ 缺考标记☐ [7J [7] [7] [7] [z] [7] [7] [7] [8] [8] [8] [8] [8] [8J [8] [8l [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 客观题(18为单选题911为多选题) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 11[A][B][c][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 填空题 12 13. 14. 解答题 15. ■ 囚▣■ ■囚囚 9I ■ ■ ■ 18. A B I H I I 1 I ■ 囚■囚 19 囚■囚 ■ 口 ■ 2025 ~ 2026学年度上学期高三年月考二 数学科试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“，函数在上单调递增”的否定为（     ） A．，函数在上单调递减 B．，函数在上不单调递增 C．，函数在上单调递减 D．，函数在上不单调递增 2．已知平面向量满足，且，则（    ） A．32 B．16 C．8 D．4 3．一艘渔船在海上由南向北航行（航线视为一条直线），当船航行到点A时，测得远处一座灯塔T在其北偏东45°的方向上．渔船继续向北航行10km到达点B，此时测得灯塔T在其北偏东75°的方向上，则此时渔船与灯塔T的距离为（     ） A．km B．km C．km D．km 4．已知抛物线的顶点为，经过点，且为抛物线的焦点，若，则（     ） A． B．1 C． D．2 5．已知圆锥的体积为，其母线与底面所成的角是，则该圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 6．设，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A． B．为奇函数 C．有零点 D． 8．已知中，内角满足，则（     ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9．若复数，为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．在复平面内对应的点位于第四象限 B． C．（是z的共轭复数） D．若，则的最小值为 10．已知是等比数列，是其前n项和，满足，则下列说法中正确的有（     ） A．若是正项数列，则是单调递增数列 B．，，一定是等比数列 C．若存在，使对都成立，则是等差数列 D．若存在，使对都成立，则是等差数列 11．如图所示，在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是（     ）    A． B．点到平面的距离为1 C．过作与该正方体所有棱都相切的球的截面，所得截面的面积的最小值为 D．若为直线上的动点，则为定值 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡的相应位置． 12．过点且渐近线与双曲线的渐近线相同的双曲线方程为 ． 13．函数的图象与的图象关于直线对称，则函数的递增区间是 ． 14．给定集合，定义，中元素的个数用表示． ① 若，则 ； ② 定义函数其中表示不超过的最大整数，如，，当时，函数的值域为，若，则 ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数在上单调递增，在上单调递减，设为曲线的对称中心． （1）求； （2）已知锐角中，，求的取值范围． 16．（15分）已知正项数列的前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，当时，求满足条件的最小整数． 17．（15分）已知圆，圆，动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为，是轨迹上的四个动点，为坐标原点． （1）求轨迹的方程； （2）若，，，且四边形的面积为，求直线的斜率． 18．（17分）如图，在以为顶点的五面体中，四边形为等腰梯形，，，为在直线上的投影． （1）证明：四边形为平行四边形； （2）已知． （i）求； （ii）若，求二面角的余弦值． 19．（17分）已知函数有两个极值点，记，． （1）若，求的值； （2）设，求曲线的对称中心； （3）设，若函数的图象上存在点，使得，求的取值范围． 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 2025 ~ 2026学年度上学期高三年月考二数学科试卷 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D A C C B D D ACD AC ABD 12． 13． 14． 1．B 【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以命题“，函数在上单调递增”的否定为“，函数在上不单调递增”．故选：B． 2．D 【详解】；则．；故；． ，故选：D． 3．A 【详解】由题意可得示意图，则所以 由正弦定理可得，故（）．故选：A 4． C 【详解】依题意，焦点，由，根据抛物线的定义，得， 所以，则，代入，得，又，解得．故选：C 5．C 【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，由母线与底面所成角是知，，所以体积，故，化简可得， 所以，，，所以圆锥的侧面积为．故选：C． 6．B 【详解】由，且，得，即，得且，所以， 当且仅当，即时等号成立．所以的最小值为．故选：B 7．D 【详解】对于A，因为，令，可得， 所以或．若，则有，即，与矛盾，所以A不正确；对于B，由函数的定义域为，且，故函数不是奇函数，B不正确；对于C，令，得，即， 解得或，显然函数没有零点，所以C不正确；对于D，令，可得，即，所以，所以D正确．故选：D． 8．D 【详解】不妨取，， 满足，此时，即选项A错误；由，知，整理得，，设，则，即在上单调递减， 因为，所以，所以， 所以，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，所以，即选项B错误；由上述分析知，所以由余弦定理知，， 所以，由余弦定理，所以， 所以，即选项C错误；因为，且，所以， 由正弦定理知，，所以，即选项D正确．故选：D 9．ACD 【详解】因为， 对于A，z在复平面内对应的点为，位于第四象限，故A正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，，，故C正确； 对于D，，则点表示以为圆心，为半径的圆， 表示点到原点的距离，所以的最小值为，故D正确．故选：ACD． 10．AC 【详解】A选项，设公比为，故，解得或， 若是正项数列，则，，故，故是单调递增数列，A正确； B选项，当且为偶数时，，，均为0，不合要求，B错误： C选项，若，则单调递增，此时不存在，使对都成立， 若，此时，故存在，使得对都成立， 此时为常数列，为公差为0的等差数列，C正确； D选项，由C选项可知，，故当为偶数时，， 当为奇数时，，显然不是等差数列，D错误．故选：AC． 11． ABD 【详解】对于A：连结，，正方体中，，而M，N分别为棱，的中点，则，所以，故A正确；   对于B：连接，设点到平面的距离为， 由得，又， 则，所以，故B正确；   对于C：连接交于点，则是的中点． 正方体的棱切球的球心是正方体对角线的中点，半径． 由对称性知过MN作该正方体外接球的截面，所得截面的面积最小的圆是以所在的弦为直径的截面圆，即截面圆圆心为． 易得．∴． 故截面圆半径． 此时截面圆面积为，故C错误．   对于D：易得 ，所以，故D正确；故选：ABD． 12． 【详解】根据题意，双曲线渐近线方程为，所以要求的双曲线方程为，又过点，代入方程可得，因此双曲线方程为．故答案为:． 13． 【详解】因为函数的图象与的图象关于直线对称， 所以，所以，因为为减函数， 所以的递增区间为的递减区间，所以， 所以函数的递增区间是．故答案为：． 14． 第一空2分，第二空3分． 【详解】① 因为，任取两个不同的元素相加，则，故， ② 当，，则，当， ，则，则的值域为，任取两个不同的元素相加，则， 不同的结果有（个），则，解得．故答案为：；． 15．【详解】（1）因为在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，可知，……2分 又在单调，故，即，可知，……4分 所以，故，……5分 由，可得，即．……6分 （2）由（1）可知，，所以，……7分 则， ……9分 又由为锐角三角形有，即：……11分 则，故的取值范围为．……13分  16．【详解】（1）因为，当时，，……1分 当时，，因为，两式相减得，，……3分 因为，所以，所以，均是以2为公差的等差数列，……4分 ，，．……6分 所以；……8分 （2）由得，，……11分 所以，……12分 因为，所以，解得．……14分 所以满足条件的最小整数为1013．……15分 17． 【详解】（1）解：设动圆半径为，由动圆与圆外切，则，又动圆与圆内切，有，……2分 则，……4分 所以点在以为焦点的椭圆上，且，，故椭圆方程为，……6分 又圆与圆内切于，故与不重合，故轨迹的方程为；……7分 （2）解：由知直线过点，易知斜率不为0， 设直线，且，，……8分 联立方程组，可得，……9分 则，，……10分 由，，即共线，共线，根据对称性知四边形为平行四边形，故，……11分 故，……14分 解得，故，所以直线的斜率为．……15分 18．【详解】（1）证明：因为，平面，平面，故平面，平面，平面平面，则，……3分 又，所以四边形为平行四边形；……4分 （2）（i）如图，在四边形中，连接， 由（1）知，故，……5分 由余弦定理，有， 故，解得，……7分 故，……9分 （ii）如图，在梯形中，作于，由， 故，则， 又等腰梯形，，，故，，则，又，有，即，……11分 故两两互相垂直，以为原点，分别为建立空间直角坐标系，如图：则， ，……12分 点在上，故平面即平面，设平面的一个法向量为， 则，即，取，则，……14分 设平面的一个法向量为， 则，即，取，则，…15分 所以，……16分 又二面角为钝角，故二面角的余弦值为．……17分 19．【详解】（1）由题设，由，即在处取得极值， 则，且，……1分 所以代入，得，解得或，……2分 当，则，有恒成立，单调，无极值点，舍去；…3分 当，则，有， 所以或时，时，则是一个极值点，符合； 综上，．……4分 （2），则 即为奇函数，……6分 又的图象可由的图象向左平移1单位，向下平移单位，……7分 故的对称中心为；……8分 或可证明，……7分 故的对称中心为；……8分 （3），则，得， ∵函数有两个极值点，故方程有两个不等的实根，则，……9分 令，即，不妨设． 则，， 所以，，……10分 设，因为，则， 化简得：．问题转化为：当时，有实数解，求的范围．…12分 令，，令，所以，其中， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，……14分 因此，当时，有极大值，也是最大值， 且， 当时，，，，， 当时，，，，，……15分 要使有实数解，则，……16分 因为，所以，解得． 因此，的取值范围是．……17分 月考二参考答案 第10页，共15页 月考二参考答案 第11页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $