3.2 代数式的值（知识解读）-2026-2027学年人教版七年级数学上册《知识解读·题型专练》

3.2 代数式的值（知识解读） 【人教版2024】 题型归纳 【题型·1·已知字母的值·，求代数式的值】 1 【题型·2·己知式子的值，求代数式的值】 3 【题型·3·程序流程图与代数式求值】 4 【题型·4·数字类规律探索】 8 【题型·5·图形类规律探索】 10 【随堂检测】 13 知识点1 已知字母的值，求代数式的值 1.定义:用指定数值替换代数式中的字母，按运算顺序算出结果，就是代数式求值。 2.解题步骤:代入→计算。 3.注意要点:负数、分数代入乘方时，必须添加括号;严格遵循有理数运算顺序:先乘方再乘除，最后加减，有括号先算括号内。 【题型·1·已知字母的值·，求代数式的值】 【例1】当时，代数式的值等于（     ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】观察到时，代入计算更简便． 【详解】解：当时，． 【变式1-1】当时，代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把字母的值代入代数式进行计算即可． 【详解】解：当时， ． 【变式1-2】若，，，则的值是(    ) A． B． C．2或12 D．或12 【答案】C 【详解】解：， 或，或 ①当时，，得，故 此时 ②当时，，得，故 此时 【变式1-3】历史上，数学家欧拉最先把关于的多项式用记号的形式来表示，把等于某数时的多项式的值用来表示，例如时，多项式的值记为，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式求值，理解题中的新定义是解决问题的关键． 由题中描述，就是多项式中时的代数式的值，将代入多项式计算即可得到答案． 【详解】解： 时，多项式的值记为， ， 故选：A． 知识点2 已知式子的值，求代数式的值 1.核心方法:整体代入思想，不单独求解字母，将已知整式当作整体。 2.两类形式 直接代入:所求式子含有和已知完全相同的整体，直接替换求值。. 变形代入:对所求代数式提取公因式、拆项，凑出和已知条件相同的整体，再代入计算。 【题型·2·己知式子的值，求代数式的值】 【例2】若，则的值为（     ） A． B． C．6 D．2 【答案】B 【分析】先根据已知等式得到的值，再将所求代数式变形后代入计算即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 【变式2-1】已知，则代数式的值是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【变式2-2】已知，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知等式整理出的值，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：， 则， 故． 【变式2-3】已知，那么代数式的值是（　　） A．1 B．5 C．8 D．9 【答案】B 【分析】先将所求代数式变形为含已知式子的形式，再代入计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴， 把代入上式， 原式 ． 知识点3程序流程图与代数式求值 1.读懂流程图，依据框图内的运算，列出对应的代数式, 2.单次运算:输入数值，代入代数式直接计算输出。 3.循环运算:带有判断条件，结果不满足条件时，把当前结果作为新输入值，重复运算，直到满足条件再输出。 【题型·3·程序流程图与代数式求值】 【例3】如图是一个运算程序示意图，若第一次输入的值为，则第2026次输出的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过前几次的计算结果发现输出的数值呈现的规律，进而利用规律确定第2026次输出的结果． 【详解】解：第一次输入，则输出 第二次输入，则输出， 第三次输入，则输出， 第四次输入，则输出， 第五次输入，则输出， 第六次输入，则输出， 在接下来的输入中，奇数次输出的结果为，偶数次的输出结果为， 为偶数， 输出的结果为． 【变式3-1】我校计算机社团的同学用编程软件编写出了如下运算程序，如果开始输入的x值为，我们发现第1次输出的结果为，第2次输出的结果为，……，第次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意找到输出规律，即可求出答案． 【详解】解：开始输入的x值为， 第1次输出的结果为， 第2次输出的结果为， 第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为， ……， 综上可知，从第2次输出开始重复为，， ∵……1， ∴第次输出的结果为． 【变式3-2】按如图所示的程序运算，若输入的值是12，第1次输出的结果是7，第2次输出的结果为10，则第2026次输出的结果是（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算，数字类规律探究．关键是按照流程图列出算式进行计算；计算出前几次的输出结果，概括出数字规律，作答即可． 【详解】解：输入的值是，第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； …… 由此可见，从第次起，分别为：，……，三个一循环， ∵， ∴余数为， ∴第次输出的结果和循环中的第二个数相同为：． 故选：B． 【变式3-3】有一个数值转换器，原理如下图所示，若开始输入x的值是5，可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4，依次继续下去，第2026次输出的结果是（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】先根据数值转换器的规则依次计算输出结果，再观察结果找到循环周期，最后根据周期计算第2026次的输出结果． 【详解】解：根据数值转换器规则，依次计算输出结果： 第1次：输入（奇数），输出； 第2次：输入（偶数），输出； 第3次：输入（偶数），输出； 第4次：输入（偶数），输出； 第5次：输入（偶数），输出； 第6次：输入（奇数），输出； 第7次：输入（偶数），输出2； 第8次：输入（偶数），输出1； …… 观察可知，从第3次开始，输出结果以“”为一个循环周期， 先减去前2次，， 再计算余2， 即循环了674个周期后，第2个位置的数，循环周期“”中第2个位置的数是2， 即第2026次输出的结果是2． 知识点4数字类规律探索 寻找第n项的通用代数式。1.思路:把数列的项和序号n对应， 2.常见规律类型 等差规律:相邻两数差值不变， 等比规律:相邻两数比值不变 符号交替规律:正负交替用(-1)”或(-1)”+1控制符号, 3. 验证:写出猜想的式子后，代入前几项检验是否成立。 【题型·4·数字类规律探索】 【例4】观察下列算式：，，，，，，根据规律，的末位数字是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算可知这一列数的个位数字是、、、循环出现的，再根据规律找到的末位数字． 【详解】解：的末位数字是， 的末位数字是， 的末位数字是， 的末位数字是， 的末位数字是， 的末位数字是， 的末位数字是， 的末位数字是， 这一列数字的末位数字是、、、循环出现的， ， 的末位数字是． 【变式4-1】天干地支纪年法是中国传统纪年方式，天干有10个，地支有12个，依次相配（甲子、乙丑、丙寅…），六十年为一循环，这就是俗称的“干支表”． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 已知1949年为己丑年，依据上述规律推断，2026年应为（     ） A．癸亥年 B．丙午年 C．癸酉年 D．甲子年 【答案】B 【分析】由表格可得，天干共有10个，每10年循环一次，地支共有12个，每12年循环一次，由此规律计算即可得出结果． 【详解】解：由表格可得，天干共有10个，每10年循环一次，地支共有12个，每12年循环一次， ∵，，1949年为己丑年， ∴天干为己往后数第个，为丙，地支为丑往后数第个，为午， ∴2026年应为丙午年． 【变式4-2】观察下列各式： ①； ②； ③； ④； 根据规律，下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从已知等式归纳首项与末项、平方底数的数量关系，代入首项进行计算，即可求解． 【详解】解：根据①； ②； ③； ④； 可得出，； 即首项为的连续整数相加，若末项为，则和为． 故首项时，若末项为，则和为， 即，只有C选项运算正确． 【变式4-3】符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，… （2），… 利用以上规律计算结果是（     ） A． B．0 C．1 D．不能确定 【答案】A 【分析】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．由（1）得到，由（2）得到，可得，再进一步计算即可． 【详解】解：∵，，，，…； ，，，，… ∴，， ∴， ∴ 知识点5图形类规律探索 1.方法:数出前几个图形对应的数量，转化成数字序列，再寻找序号n与数量的关系式2.常见类型:等差递增、平方型、分段累加型。 3.检验:用得到的代数式验证下一个图形数量，确认规律正确。 【题型·5·图形类规律探索】 【例5】如图，将第1个图中的正方形剪开得到第2个图，第2个图中共有4个正方形；将第2个图中一个正方形剪开得到第3个图，第3个图中共有7个正方形；将第3个图中一个正方形剪开得到第4个图，第4个图中共有10个正方形……如此下去，则第2024个图中共有正方形的个数为（     ） A．6070 B．6072 C．6069 D．6068 【答案】A 【分析】根据图形的变化，后一个图形的正方形的个数都比前一个图形的正方形的个数多3个，第n个图形的正方形的个数为即可求解． 【详解】解：观察图形可知：第1个图中有1个正方形，即； 第2个图中有4个正方形，即； 第3个图中有7个正方形，即； 第4个图中有10个正方形，即； …… ∴第n个图中正方形的个数为； 当时， ， ∴第2024个图中共有正方形的个数为6070． 【变式5-1】如图，先作一个黑色正三角形，挖去1个“中心三角形”（即以黑色正三角形各边中点为顶点的三角形），再在剩下的每个小黑色正三角形中又挖去1个“中心三角形”，以此类推．第①个图中有1个黑色正三角形；第②个图中有3个黑色正三角形；第③个图中有9个黑色正三角形．以此规律，第⑥个图中黑色正三角形的个数有（     ） A．81 B．243 C．351 D．702 【答案】B 【分析】根据给出的图形，推出规律进行求解即可. 【详解】解：第①个图中有个黑色正三角形； 第②个图中有个黑色正三角形； 第③个图中有个黑色正三角形， ， 故第个图中有个黑色正三角形， ∴第⑥个图中黑色正三角形的个数有个． 【变式5-2】按如图所示的规律拼接餐桌和椅子（每个小半圆代表把椅子），张餐桌配把椅子，张餐桌配把椅子，张餐桌配把椅子，…，若将张餐桌按上述方式拼接摆放，一共需配（     ）把椅子 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形变化，得出张餐桌时，椅子数为把（为正整数），代入即可得出结论． 【详解】解：观察图形，发现每多添一张餐桌多2把椅子， 故张餐桌时，椅子数为（把）（为正整数）． 令，可得（把）． 【变式5-3】观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第个图案中的“”的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从所给的图形中总结出存在的规律，得出第个图案中六边形个数，即可求解． 【详解】解：∵第个图案中六边形的个数为， 第个图案中六边形的个数为， 第个图案中六边形的个数为， ……， ∴第个图案中六边形的个数为； 当时，六边形的个数为． 随堂检测 【随堂检测】 1．当时，代数式的值为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当时，． 2．若则的值为（     ） A．3 B．9 C．8 D． 【答案】D 【分析】先根据绝对值和平方式的非负性求得a、b，再代入所求式子中求解即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴． 3.按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】所有代数式都含字母，找出系数的变化规律，即可推出第个代数式． 【详解】解：∵第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， ……， ∴以此类推，第个代数式的系数为，即第个代数式是． 4．探索规律：观察下面的算式，第99个算式的结果是（     ） ① ② ③ ④ A．9998 B．9999 C．10000 D．10001 【答案】C 【分析】先观察已知算式，归纳出第个算式的结果规律为，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：观察给出的算式可得： ∵ 第1个算式的结果为， 第2个算式的结果为， 第3个算式的结果为， ... ∴ 归纳规律：第个算式的结果为. 当时，， 因此第99个算式的结果是10000． 5．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有个圆点，第②个图中有个圆点，第③个图中有个圆点，第④个图中有个圆点，…，按照这一规律，则第⑧个图中圆点的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给图形，依次求出图形中圆点的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第①个图形中圆点的个数为：， 第②个图形中圆点的个数为：， 第③个图形中圆点的个数为：， …， 所以第n个图形中圆点的个数为． 当时， 第⑧个图形中圆点的个数为． 6．已知，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题采用整体代入法计算代数式的值，先根据已知等式得到的值，再整体代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 将代入得． 7．一根1米长的绳子第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，剪第六次后，剩下的绳子的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：第一次后剩下的绳子的长度为， 第二次后剩下的绳子的长度为米； 第三次后剩下的绳子的长度为米； ； ∴第六次后剩下的绳子的长度为米． 8．一种新运算“”，规定如下：对于任意有理数，，满足．则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵， ∴． 9．若，则我们把称为的“卢卡斯数”，例如4的“卢卡斯数”是，的“卢卡斯数”是．已知，是的“卢卡斯数”，是的“卢卡斯数”，是的“卢卡斯数”，……，依此类推，则的值为（） A．－1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，依次求出，，，…，发现规律即可解决问题． 【详解】解： ，是的“卢卡斯数”， ， 是的“卢卡斯数”， ， 是的“卢卡斯数”， ， 同理可得： ， ， ， …， 由此可见，这列数从开始按循环出现， ， ． 10．若互为倒数，互为相反数，则______． 【答案】 【分析】根据互为倒数和互为相反数的定义，得到，，代入算式即可得到答案． 【详解】解：∵互为倒数，互为相反数， ∴，， ∴． 11．对于任意有理数，，定义新运算：，则__________． 【答案】 【分析】根据新运算的定义，代入对应数值，先计算绝对值，再按有理数运算法则计算结果． 【详解】解：根据定义， 将，代入式子，得： ． 12．工地上有水泥，如果每天用，用了天，还剩______t水泥，已知，，还剩______t水泥． 【答案】 65 【分析】根据题意列出代数式，代入求值即可． 【详解】解：根据题意可知还剩水泥， 当，时，原式． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 代数式的值（知识解读） 【人教版2024】 题型归纳 【题型·1·已知字母的值·，求代数式的值】 1 【题型·2·己知式子的值，求代数式的值】 2 【题型·3·程序流程图与代数式求值】 2 【题型·4·数字类规律探索】 4 【题型·5·图形类规律探索】 5 【随堂检测】 6 知识点1 已知字母的值，求代数式的值 1.定义:用指定数值替换代数式中的字母，按运算顺序算出结果，就是代数式求值。 2.解题步骤:代入→计算。 3.注意要点:负数、分数代入乘方时，必须添加括号;严格遵循有理数运算顺序:先乘方再乘除，最后加减，有括号先算括号内。 【题型·1·已知字母的值·，求代数式的值】 【例1】当时，代数式的值等于（     ） A． B．4 C． D．2 【变式1-1】当时，代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】若，，，则的值是(    ) A． B． C．2或12 D．或12 【变式1-3】历史上，数学家欧拉最先把关于的多项式用记号的形式来表示，把等于某数时的多项式的值用来表示，例如时，多项式的值记为，那么等于（   ） A． B． C． D． 知识点2 已知式子的值，求代数式的值 1.核心方法:整体代入思想，不单独求解字母，将已知整式当作整体。 2.两类形式 直接代入:所求式子含有和已知完全相同的整体，直接替换求值。. 变形代入:对所求代数式提取公因式、拆项，凑出和已知条件相同的整体，再代入计算。 【题型·2·己知式子的值，求代数式的值】 【例2】若，则的值为（     ） A． B． C．6 D．2 【变式2-1】已知，则代数式的值是（    ） A． B． C．2 D．3 【变式2-2】已知，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知，那么代数式的值是（　　） A．1 B．5 C．8 D．9 知识点3程序流程图与代数式求值 1.读懂流程图，依据框图内的运算，列出对应的代数式, 2.单次运算:输入数值，代入代数式直接计算输出。 3.循环运算:带有判断条件，结果不满足条件时，把当前结果作为新输入值，重复运算，直到满足条件再输出。 【题型·3·程序流程图与代数式求值】 【例3】如图是一个运算程序示意图，若第一次输入的值为，则第2026次输出的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】我校计算机社团的同学用编程软件编写出了如下运算程序，如果开始输入的x值为，我们发现第1次输出的结果为，第2次输出的结果为，……，第次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】按如图所示的程序运算，若输入的值是12，第1次输出的结果是7，第2次输出的结果为10，则第2026次输出的结果是（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式3-3】有一个数值转换器，原理如下图所示，若开始输入x的值是5，可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4，依次继续下去，第2026次输出的结果是（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 知识点4数字类规律探索 寻找第n项的通用代数式。1.思路:把数列的项和序号n对应， 2.常见规律类型 等差规律:相邻两数差值不变， 等比规律:相邻两数比值不变 符号交替规律:正负交替用(-1)”或(-1)”+1控制符号, 3. 验证:写出猜想的式子后，代入前几项检验是否成立。 【题型·4·数字类规律探索】 【例4】观察下列算式：，，，，，，根据规律，的末位数字是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】天干地支纪年法是中国传统纪年方式，天干有10个，地支有12个，依次相配（甲子、乙丑、丙寅…），六十年为一循环，这就是俗称的“干支表”． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 已知1949年为己丑年，依据上述规律推断，2026年应为（     ） A．癸亥年 B．丙午年 C．癸酉年 D．甲子年 【变式4-2】观察下列各式： ①； ②； ③； ④； 根据规律，下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，… （2），… 利用以上规律计算结果是（     ） A． B．0 C．1 D．不能确定 知识点5图形类规律探索 1.方法:数出前几个图形对应的数量，转化成数字序列，再寻找序号n与数量的关系式2.常见类型:等差递增、平方型、分段累加型。 3.检验:用得到的代数式验证下一个图形数量，确认规律正确。 【题型·5·图形类规律探索】 【例5】如图，将第1个图中的正方形剪开得到第2个图，第2个图中共有4个正方形；将第2个图中一个正方形剪开得到第3个图，第3个图中共有7个正方形；将第3个图中一个正方形剪开得到第4个图，第4个图中共有10个正方形……如此下去，则第2024个图中共有正方形的个数为（     ） A．6070 B．6072 C．6069 D．6068 【变式5-1】如图，先作一个黑色正三角形，挖去1个“中心三角形”（即以黑色正三角形各边中点为顶点的三角形），再在剩下的每个小黑色正三角形中又挖去1个“中心三角形”，以此类推．第①个图中有1个黑色正三角形；第②个图中有3个黑色正三角形；第③个图中有9个黑色正三角形．以此规律，第⑥个图中黑色正三角形的个数有（     ） A．81 B．243 C．351 D．702 【变式5-2】按如图所示的规律拼接餐桌和椅子（每个小半圆代表把椅子），张餐桌配把椅子，张餐桌配把椅子，张餐桌配把椅子，…，若将张餐桌按上述方式拼接摆放，一共需配（     ）把椅子 A． B． C． D． 【变式5-3】观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第个图案中的“”的个数是（     ） A． B． C． D． 随堂检测 【随堂检测】 1．当时，代数式的值为（     ） A．1 B． C． D． 2．若则的值为（     ） A．3 B．9 C．8 D． 3.按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 4．探索规律：观察下面的算式，第99个算式的结果是（     ） ① ② ③ ④ A．9998 B．9999 C．10000 D．10001 5．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有个圆点，第②个图中有个圆点，第③个图中有个圆点，第④个图中有个圆点，…，按照这一规律，则第⑧个图中圆点的个数是（     ） A． B． C． D． 6．已知，那么的值为（     ） A． B． C． D． 7．一根1米长的绳子第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，剪第六次后，剩下的绳子的长度为（   ） A． B． C． D． 8．一种新运算“”，规定如下：对于任意有理数，，满足．则的值为（    ）． A． B． C． D． 9．若，则我们把称为的“卢卡斯数”，例如4的“卢卡斯数”是，的“卢卡斯数”是．已知，是的“卢卡斯数”，是的“卢卡斯数”，是的“卢卡斯数”，……，依此类推，则的值为（） A．－1 B． C． D． 10．若互为倒数，互为相反数，则______． 11．对于任意有理数，，定义新运算：，则__________． 12．工地上有水泥，如果每天用，用了天，还剩______t水泥，已知，，还剩______t水泥． 2 / 30 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