专题02 代数式的值 重难点题型专训 2026--2027学年人教版七年级数学上册

专题02 代数式的值重难点题型专训（1个知识点+5大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、已知字母的值 ，求代数式的值 1 题型二、已知式子的值，求代数式的值 2 题型三、程序流程图与代数式求值 3 题型四、数字类规律探索 4 题型五、图形类规律探索 5 第二部分·练提高题型 题型一、图形类规律与数字类规律解答题汇总 1 题型二、复杂情境列代数式与代数式的值 2 题型三、程序框图中代数式求值压轴题型 3 第三部分・自我检测 知识点01 代数式的值 定义： 用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做这个代数式的值。 求代数式值的步骤： 写： 写出代数式。 代： 用具体的数值代替代数式里的字母。 注意： 如果字母取值是负数或分数，代入时必须加上括号。 如果字母取值是多个数，要一一对应代入。 算： 按照代数式指明的运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内），计算出结果。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）已知，，则代数式的值为（   ） A．10 B．9 C． D． 2．（25-26七年级下·河南安阳·阶段练习）若，则的值为 _______ ． 【基础题型一 已知字母的值 ，求代数式的值】 【例1】（25-26七年级上·山东德州·阶段检测）当时，代数式的值等于（     ） A． B．4 C． D．2 【例2】（26-27七年级上·全国·单元复习）已知，则代数式的值为________． 1．（26-27七年级上·全国·期中）如图，当，时，此图形的周长为（     ） A．12 B．24 C．36 D．48 2．（25-26七年级下·湖南张家界·期末）如图，用大小相同的小正方形拼图形，第1个图形是一个小正方形；第2个图形由9个小正方形拼成；第3个图形由25个小正方形拼成，依此规律，第8个图形由_______________个小正方形拼成． 3．（2026七年级上·全国·专题练习）求下列代数式的值： (1)若，，则代数式________； (2)当时，求代数式的值． 【基础题型二 已知式子的值，求代数式的值】 【例1】 （25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）若，互为相反数，，互为倒数，则 的值为（     ） A． B． C． D． 【例2】（26-27七年级上·湖北·期中）若，则代数式的值是________． 1．（2026七年级上·安徽芜湖·模拟预测）已知，则的结果是（ 　   ） A． B． C． D．0 2．（25-26七年级下·广东河源·期中）如图所示，两个正方形的泳池，面积分别是和，两个泳池的面积之和，点B是线段上一点，设，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为______． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）当时，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【基础题型三 程序流程图与代数式求值】 【例1】（25-26七年级上·山东菏泽·阶段练习）观察如图所示的程序，若输入x为2，则输出的结果为（     ） A．0 B．3 C．4 D．5 【例2】（2026·四川成都·三模）任意给一个非零数x，若输入x的值为5，则输出的结果为_________ ． 1．（26-27七年级·全国·暑假作业）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5……这样下去，第2026次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图是一个“数值转换机”的示意图，当输入时，输出的结果是_______． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）有一数值转换器，原理如下图所示： (1)如果开始输入的值是1，可发现第一次输出的是4，第二次输出的是 ，第三次输出的是 ，第四次输出的是 ，…； (2)如果开始输入的数是11，可发现第一次输出的是14，第二次输出的是7，…，请你探索：第2017次输出的结果是 和2018次输出的结果是 ． 【基础题型四 数字类规律探索】 【例1】（26-27七年级上·福建厦门·阶段检测）如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把1到6这6个数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是（     ） A．10 B．12 C．13 D．14 【例2】（26-27七年级上·全国·课后作业）观察下列一组数：，，，，…，按此规律，第个数是________．（用含的代数式表示） 1．（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）探索规律：根据图中箭头指向的规律，从到再到，箭头的方向是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，填在各正方形中的四个数中间都有相同的规律，根据这种规律，m的值是________． 3．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）按要求完成下列各题： (1)观察下列等式：；；…得出规律：______； (2)观察下列等式：，，，计算：，请按照上述方法计算：； (3)计算：． 【基础题型五 图形类规律探索】 【例1】（26-27七年级上·云南·期中）如图，已知等边三角形的边长为，按图中所示的规律摆放，用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长是（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026·河南信阳·三模）下图所示图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中图①中有5颗棋子，图②中有8颗棋子，图③中有13颗棋子，图④中有20颗棋子……按照此规律排列下去，则图⑩中的棋子颗数为_____． 1．（2026·重庆·三模）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图有个圆点，第②个图有个圆点，第③个图有个圆点…按照这一规律，则第⑥个图中的圆点个数是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山西太原·二模）在中国的古代建筑中，山西应县木塔以其独特的结构和悠久的历史而闻名于世．榫卯是中国传统木艺的精神内核，被称为“巧夺天工”的中国古典智慧，如图结构为固定榫槽连接结构，彼此按照同样的拼接方式紧密相连，当榫槽结构数分别为和时，长度分别为和，则当有个榫槽结构时，拼接成的木条总长为________． 3．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段练习）探索与思考． (1)你将要探索的是多边形内角和与多边形边数的关系．你可以利用三角形内角和为，在多边形内添一些辅助线，把多边形划分成多个三角形来计算．如图，分别算出几个多边形的内角和，从中找出规律． 你发现的多边形内角和与边数n的关系是：（     ）． (2)根据以上规律，可以算出五十边形的内角和是（     ）． 【提高题型一 图形类规律与数字类规律解答题汇总】 【例1】（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知为实数，规定运算：，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（     ） A． B． C． D． 【例2】（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第17个图案中的“”的个数是______个． 1．（2026·重庆·三模）如图，下列图形由同样的棋子按一定规律组成，图1有1颗棋子，图2有3颗棋子，图3有7颗棋子，图4有13颗棋子，…，则图8的棋子颗数为（     ） A．43 B．57 C．64 D．73 2．（2026·宁夏吴忠·模拟预测）如图是某种分子的结构模型图．它由空心小球和实心小球按如图所示的方式排列．第1个图形共有4个小球，第2个图形共有6个小球，第3个图形共有8个小球．．．，按照这一规律，第10个图形中小球的个数是_______． 3．（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）观察如图图形和对应表达式． (1)请在图中的框中画出第5个图形，并写出它对应的表达式； (2)请直接写出第n个图形对应的表达式：________； (3)请用上面的规律计算：． 【提高题型二 复杂情境列代数式与代数式的值】 【例1】（25-26七年级上·福建漳州·期中）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法（如图1）进行速算．图2表示的“竖式”，则的值为（   ） A．25 B．21 C．22 D．26 【例2】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）已知，且，，的最大的值为，最小的值为，则________． 1．（25-26七年级下·江苏镇江·期末）如图，小刚在下面的个格子里填数，他想让个格子的总和是．已知左边三个格子的和是，右边三个格子的和是．则与的和是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点，，，对应的数分别是整数，，，，若，则的值是________． 3．（25-26六年级下·山东泰安·期末）如图，边长为的正方形和边长为（）的正方形按如图所示摆放在一起，，，三点在同一直线上，设图①中阴影部分的面积为，设图②中阴影部分的面积为． (1)如图①，判断的值与的大小有关吗？说明理由； (2)如图②，若，，求的值． 【提高题型三 程序框图中代数式求值压轴题型】 【例1】（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）按如图所示的程序计算，当输入有理数时，的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026七年级上·全国·专题练习）（中考新趋势·一题多问）如图所示的运算程序中，若开始输入的x的值为，我们发现第1次输出的结果为，第2次输出的结果为，…，第2024次输入的x值为______，输出的结果为______． 1．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）数学活动课上，小奕利用电脑的技术设计了如图的程序． (1)按照上面的程序计算，请你写出最终输出的结果；（结果需要化简） (2)若输入的数值为，则输出的结果是多少？ 2．（25-26七年级上·福建厦门·期中）在学习《整式》这一章时，我们见识了程序框图：用“”表示数据输入、输出框；用“”表示数据处理和运算框；用“”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）． 图1               图2                    图3                  图4 (1)①如图1，当输入数时，输出数________； ②如图2，第一个带？号的运算框内，应填________；第二个带？号运算框内，应填________； (2)①如图3，当输入数时，输出数________； ②如图4，当输出的值，则输入的值________； (3)为鼓励节约用水，决定对用水实行“阶梯价”：当每月用水量不超过15吨时（含15吨），以2元/吨的价格收费；当每月用水量超过15吨时，超过部分以3元/吨的价格收费.请设计出一个“程序框图”，使得输入数为用水量，输出数为水费． 3．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）密码是数学施展的“魔法”．它应用精妙的数学变换，将空中传输的通信内容转化为唯有掌握特定“密钥”才能解读的密文，从而保护信息的安全．一般来说，一个密码系统由明文、加密规则和密文三个基本要素构成，如图①所示． 小明将明文藏在图③中． 他以密文的形式发给妈妈．设定加密规则：信息的每一行从左向右数，取第行的第个字，用表示所取汉字的密文．例如，密文表示“妈”． (1)小明想将明文“想，您”加密，则密文是____________________． (2)小明将原密文用图②所示的加密规则转换成了新密文． ①请将“努，力”转换成新密文； ②若妈妈收到新密文“，，”，请帮她翻译． 【规则评价】 (3)图④是小明设计的另一种对加密的规则．请判断该加密规则是否合理，并说明理由． 1．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）多项式是关于，的四次三项式，是最高次项的系数，则的值是（   ） A．1 B． C．3 D． 2．（25-26七年级上·浙江金华·期中）现有一列数其中，，，并且满足任意相邻三个数的和为同一个常数，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）按如图所示的运算程序，当输入的时，输出的值是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·四川绵阳·期中）如图，将全体正偶数排成一个三角数阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个数为2，第二行有2个数为4，6，…第n行有n个数……．探究其中规律，偶数2026应该排在从上向下数的第m行，是该行中的从左向右数的第n个数，那么的值是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·四川乐山·一模）观察下列图形变化的规律，我们发现每一个图形都分为上、下两层，下层都是由黑色正方形构成，其数量与编号相同；上层都是由黑色正方形或白色正方形构成（第个图形除外），则下列说法中正确的个数有（    ） ①第个图形中，白色正方形共有个 ②第个图形中，黑色正方形共有个 ③第个图形中，一共有个正方形 ④第个图形中，黑色正方形的个数比白色正方形的个数多个 A．1个 B．个 C．3个 D．个 6．（25-26六年级上·山东淄博·期末）若，，且，则的值为______． 7．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）当时，代数式的值为2024，则当时，代数式的值是 ____________ ． 8．（24-25七年级上·广东东莞·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为5，第1次输出的结果为16，第2次输出的结果为8，则第2025次输出的结果为___________． 9．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）我国古代数学家很早就对整数乘积最值问题进行了深入研究，《九章算术》中便蕴含着丰富的整数运算与优化思想，彰显了古人对数字规律的智慧探索．请你探究： （1）用数字1，2，3，4组成两个没有重复数字的两位数，使其乘积最大，这两个数是________； （2）用5个数字a，b，c，d，e（，）组成一个没有重复数字的两位数和一个没有重复数字的三位数，使其乘积最大，这两个数是________． 10．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）观察如图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则_________． 11．（24-25六年级上·北京·期中）已知，求代数式的值： (1)； (2)． 12．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的m值为5，第1次输出的结果为16．第2次输出的结果为8，则：      （1）第6次输出的结果为________； （2）第2023次输出的结果为________． 13．（25-26七年级上·江苏扬州·周测）观察下列等式： ①；②；③；⋯⋯ 根据你发现的规律解答下列问题： (1)请直接写出第九个等式 ； (2)计算 的值； (3)计算的值． 14．（25-26七年级上·河南许昌·期中）理解与思考：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例如：如果，求代数式的值．我们可以将作为一个整体代入：．请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： 【简单应用】 （1）已知，求代数式的值； 【拓展提高】 （2）已知，求代数式的值； 15．（25-26七年级上·辽宁鞍山·期末）我们知道，自然界中一切物质都是由微观粒子构成．下图是一系列物质的结构图，我们称中间的球形为碳原子，用C表示；外围较小的球形为氢原子，用H表示，则第1个图形中有1个碳原子，4个氢原子，该物质可表示为，第2个图形中有2个碳原子，6个氢原子，该物质可表示为，…… (1)请分别写出第3个，第4个图形中物质的表示方法： (2)若1个碳原子量为12，1个氢原子量为1，则第1个图形中物质的分子量计算方法是：，同理，第二个图形中物质的分子量为：；请计算第3个，第4个图形中物质的分子量，并计算第n个图形的物质分子量． 学科网（北京）股份有限公司 专题02 代数式的值重难点题型专训（1个知识点+5大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、已知字母的值 ，求代数式的值 1 题型二、已知式子的值，求代数式的值 2 题型三、程序流程图与代数式求值 3 题型四、数字类规律探索 4 题型五、图形类规律探索 5 第二部分·练提高题型 题型一、图形类规律与数字类规律解答题汇总 1 题型二、复杂情境列代数式与代数式的值 2 题型三、程序框图中代数式求值压轴题型 3 第三部分・自我检测 知识点01 代数式的值 定义： 用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做这个代数式的值。 求代数式值的步骤： 写： 写出代数式。 代： 用具体的数值代替代数式里的字母。 注意： 如果字母取值是负数或分数，代入时必须加上括号。 如果字母取值是多个数，要一一对应代入。 算： 按照代数式指明的运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内），计算出结果。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）已知，，则代数式的值为（   ） A．10 B．9 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值． 将，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：A． 2．（25-26七年级下·河南安阳·阶段练习）若，则的值为 _______ ． 【答案】 【分析】根据非负数的性质，几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，据此求出m、n的值，再代入代数式计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴ 【基础题型一 已知字母的值 ，求代数式的值】 【例1】（25-26七年级上·山东德州·阶段检测）当时，代数式的值等于（     ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】观察到时，代入计算更简便． 【详解】解：当时，． 【例2】（26-27七年级上·全国·单元复习）已知，则代数式的值为________． 【答案】4 【分析】将已知代入待求代数式，计算即可得到结果． 【详解】解： ， ∴． 1．（26-27七年级上·全国·期中）如图，当，时，此图形的周长为（     ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】利用平移法将不规则图形的周长转化为规则图形（长方形）的周长加上多余线段的长度，并代入数值进行计算． 【详解】解：周长为：， 当，时，代入得． 2．（25-26七年级下·湖南张家界·期末）如图，用大小相同的小正方形拼图形，第1个图形是一个小正方形；第2个图形由9个小正方形拼成；第3个图形由25个小正方形拼成，依此规律，第8个图形由_______________个小正方形拼成． 【答案】225 【分析】观察图形变化，发现小正方形的个数为连续奇数的平方，再利用此规律求解即可． 【详解】解：∵第1个图形中小正方形的个数为：1， 第2个图形中小正方形的个数为：， 第3个图形中小正方形的个数为：， ……， ∴第n个图形中小正方形的个数为：， 当时，，即第8个图形由225个小正方形拼成． 3．（2026七年级上·全国·专题练习）求下列代数式的值： (1)若，，则代数式________； (2)当时，求代数式的值． 【答案】(1)24 (2)28 【分析】（1）将，代入所求式子计算即可得出结果； （2）整体代入的值，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将，代入得； （2）解：当时，． 【基础题型二 已知式子的值，求代数式的值】 【例1】 （25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）若，互为相反数，，互为倒数，则 的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相反数的定义和倒数的定义可知、，整体代入求值即可． 【详解】解：，互为相反数， ， ，互为倒数， ， 将，代入则， 可得： ． 【例2】（26-27七年级上·湖北·期中）若，则代数式的值是________． 【答案】 【分析】运用整体思想是解答本题的关键．代数式中是的倍，故用整体代入法即可解决． 【详解】解：． 1．（2026七年级上·安徽芜湖·模拟预测）已知，则的结果是（ 　   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】利用已知得出，，，进而代入求出答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴ ． 2．（25-26七年级下·广东河源·期中）如图所示，两个正方形的泳池，面积分别是和，两个泳池的面积之和，点B是线段上一点，设，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为______． 【答案】 【分析】设两个正方形边长分别为a、b，则，，进而根据割补法计算即可. 【详解】解：如图： 设两个正方形边长分别为a、b，则， ∵， ∴， 阴影面积． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）当时，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将已知 整体代入代数式，直接计算即可得到结果； （2）将已知 整体代入代数式，直接计算即可得到结果． 【详解】（1）解：已知， 将代入 ， 得：原式； （2）解：将代入， 得：原式． 【基础题型三 程序流程图与代数式求值】 【例1】（25-26七年级上·山东菏泽·阶段练习）观察如图所示的程序，若输入x为2，则输出的结果为（     ） A．0 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】按照程序图代入左边代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 【例2】（2026·四川成都·三模）任意给一个非零数x，若输入x的值为5，则输出的结果为_________ ． 【答案】 【分析】根据流程图可知，运算顺序为：输入后先减去，再将结果平方，最后乘以． 【详解】解：根据流程图，输出结果的代数式为 当时， 原式 ． 1．（26-27七年级·全国·暑假作业）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5……这样下去，第2026次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意知，第1次输出的结果为10， 第2次输出的结果为， 第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为， 第6次输出的结果为， 第7次输出的结果为 第8次输出的结果为， 第9次输出的结果为， …… 这列数除前2个数外，每4个数为一个周期， ， ∴第2026次计算输出的结果是. 2．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图是一个“数值转换机”的示意图，当输入时，输出的结果是_______． 【答案】8 【分析】本题考查代数式求值及有理数的运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．根据题意列式为，然后把代入进行计算即可． 【详解】根据题意列式为， 又， 所以． 故答案为：8． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）有一数值转换器，原理如下图所示： (1)如果开始输入的值是1，可发现第一次输出的是4，第二次输出的是 ，第三次输出的是 ，第四次输出的是 ，…； (2)如果开始输入的数是11，可发现第一次输出的是14，第二次输出的是7，…，请你探索：第2017次输出的结果是 和2018次输出的结果是 ． 【答案】(1)2，1，4 (2)2，1 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给数值转换器，通过计算发现输出结果的变化规律是解题的关键． （1）根据所给数值转换器，进行计算即可； （2）根据输入的数是11，依次求出输出的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知，当输入x的值是1时， 第一次输出的数是：； 第二次输出的数是：； 第三次输出的数是：； 第四次输出的数是：； 故答案为：2，1，4； （2）解：由题知，当输入x的值是11时， 第一次输出的结果是：； 第二次输出的结果是：； 第三次输出的结果是：； 第四次输出的结果是：； 第五次输出的结果是：； 第六次输出的结果是：； 第七次输出的结果是：； 第八次输出的结果是：； 第九次输出的结果是：； …， 由此可见，从第六次输出的结果开始按4，2，1循环， 因为余2， 所以第2017次输出的结果为2； 第2018次输出的结果为1． 故答案为：2，1． 【基础题型四 数字类规律探索】 【例1】（26-27七年级上·福建厦门·阶段检测）如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把1到6这6个数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是（     ） A．10 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】首先计算出1到6这六个数的总和；然后分析三条边的和与总和的关系，理解三角形三个顶点的数在计算三条边的和时都被计算了两次；确定S的最大值，当三个顶点上的数字之和最大时，S取得最大值；最后进行验证即可． 【详解】解：这六个数字的总和为：． 三角形有3条边，每条边上有3个圆圈，当我们把三条边上的数字之和相加时，三个顶点  （角）上的数字都被计算了两次（因为每个顶点同时属于两条边），而中间的数字只被计算了一次．因此，三条边的数字总和=1到6这六个数的总和+三个顶点上的数字之和． 设每条边上的三个数的和为S，则三条边的总和为． 根据上述分析可得等量关系：三个顶点上的数字之和． 要使S最大，那么“三个顶点上的数字之和”必须尽可能大，在1到6这六个数字中，最大的三个数字是4、5、6． 假设三个顶点上的数字分别是4、5、6，那么三个顶点的数字之和为：，此时，三条边的总和为：，因为三条边的和相等，所以每条边的和S为：． 验证当时，是否真的能填出符合条件的数字： 顶点填4、5、6， 第一条边（连接4和5）：中间数，则中间数为； 第二条边（连接5和6）：中间数，则中间数为； 第三条边（连接4和6）：中间数，则中间数为． 填入的数字为1、2、3、4、5、6，且没有重复，符合题意． 所以，S的最大值是12． 【例2】（26-27七年级上·全国·课后作业）观察下列一组数：，，，，…，按此规律，第个数是________．（用含的代数式表示） 【答案】/ 【分析】分别归纳分子和分母的变化规律，整合得到第个数的表达式． 【详解】解：分子规律：第个数的分子为，第个数的分子为，第个数的分子为，第个数的分子为，因此第个数的分子为；分母规律：第个数的分母为，第个数的分母为，第个数的分母为，第个数的分母为，因此第个数的分母为；所有数均为正数，因此第个数为． 1．（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）探索规律：根据图中箭头指向的规律，从到再到，箭头的方向是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意找到方向的变化规律，根据变化规律进行解答即可． 【详解】解：由图形可知：0、4、8、12、…，每个点到对应的下一个点的方向相同； 1、5、9、13、…，每个点到对应的下一个点的方向相同； 2、6、10、14、…，每个点到对应的下一个点的方向相同； 3、7、11、15、…每个点到对应的下一个点的方向相同． ，到的方向与1到2的方向相同，到的方向与2到3的方向相同．由图形可知1到2的方向向右，2到3的方向向下，则到的方向向右，到的方向向下． 2．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，填在各正方形中的四个数中间都有相同的规律，根据这种规律，m的值是________． 【答案】2 【分析】由前三个正方形可看出规律为，从左上到左下再到左上为三个连续奇数，且右上角的数乘以左下角的数减去左上角的数等于右下角的数． 【详解】解：由规律补齐空缺为， 即左下为，右上为， ． 3．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）按要求完成下列各题： (1)观察下列等式：；；…得出规律：______； (2)观察下列等式：，，，计算：，请按照上述方法计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可； （2）根据所给的等式的形式进行变形可得，即可求解； （3）根据（1）中的规律原式变形为，再结合（2）中的规律可得，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解： ； （3）解： 【基础题型五 图形类规律探索】 【例1】（26-27七年级上·云南·期中）如图，已知等边三角形的边长为，按图中所示的规律摆放，用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过观察所给图形，找出用不同数量等边三角形拼接而成的四边形周长规律，进而根据规律求解． 【详解】解：根据题图可知， 用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长为：， 用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长为：， 用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长为：， 则用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长为， 当时，， 用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长为． 【例2】（2026·河南信阳·三模）下图所示图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中图①中有5颗棋子，图②中有8颗棋子，图③中有13颗棋子，图④中有20颗棋子……按照此规律排列下去，则图⑩中的棋子颗数为_____． 【答案】 104 【分析】观察图形中棋子数量的变化，将每个图形的棋子数表示为序号的平方与常数4的和，归纳出第个图形的通项公式，代入进行计算即可． 【详解】解：图①中棋子数量为， 图②中棋子数量为， 图③中棋子数量为， 图④中棋子数量为， ， 由此规律可知，第个图形中棋子的数量为， 当时，棋子数量为． 1．（2026·重庆·三模）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图有个圆点，第②个图有个圆点，第③个图有个圆点…按照这一规律，则第⑥个图中的圆点个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察前三个图形中圆点的个数，发现后一个图形比前一个图形多个圆点，归纳出第个图形圆点个数的通项公式，代入求解即可． 【详解】解：∵第①个图有个圆点， 第②个图有个圆点，， 第③个图有个圆点，， 每增加一个图形，圆点个数增加个． ∴第个图中圆点的个数为． 当时，圆点个数为． 2．（2026·山西太原·二模）在中国的古代建筑中，山西应县木塔以其独特的结构和悠久的历史而闻名于世．榫卯是中国传统木艺的精神内核，被称为“巧夺天工”的中国古典智慧，如图结构为固定榫槽连接结构，彼此按照同样的拼接方式紧密相连，当榫槽结构数分别为和时，长度分别为和，则当有个榫槽结构时，拼接成的木条总长为________． 【答案】38 【分析】先通过分析榫槽结构数为1和2时的长度，找出榫槽结构数与总长度之间的规律，再根据规律计算12个榫槽结构时的总长度． 【详解】解：由题意得：当榫槽结构数为1时，长度为；当榫槽结构数为2时长度为， 所以，从1个榫槽结构增加到2个榫槽结构，增加的长度为， 由此可推测，每增加1个榫槽结构，总长度就增加， 设榫槽结构数为n，总长度为L，则总长度L与榫槽结构数n的关系为． 当时，将其代入可得：． 3．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段练习）探索与思考． (1)你将要探索的是多边形内角和与多边形边数的关系．你可以利用三角形内角和为，在多边形内添一些辅助线，把多边形划分成多个三角形来计算．如图，分别算出几个多边形的内角和，从中找出规律． 你发现的多边形内角和与边数n的关系是：（     ）． (2)根据以上规律，可以算出五十边形的内角和是（     ）． 【答案】(1)边形内角和 (2) 【分析】（1）分别把四边形、五边形、六边形分割为三角形，即可发现它们的内角和等于三角形个数乘以，计算后可发现规律多边形内角和与边数n的关系是：n边形内角和为． （2）根据（1）的规律，把代入即可得五十边形的内角和． 【详解】（1）解：如图， ∵三角形内角和为， ∴四边形的内角和为：，其中， 五边形的内角和为：，其中， 六边形的内角和为：，其中， …… 观察发现，n边形内角和， ∴多边形内角和与边数n的关系是：n边形内角和． （2）解：由（1）得：多边形内角和与边数n的关系是：n边形内角和， ∴五十边形的内角和为：， ∴五十边形的内角和是． 【提高题型一 图形类规律与数字类规律解答题汇总】 【例1】（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知为实数，规定运算：，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将，代入进行计算，可知数列3个为一次循环，按此规律即可进行求解． 【详解】解：由题意可知，时，，，，，…， 其规律是3个为一次循环， ∵， ∴． 【例2】（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第17个图案中的“”的个数是______个． 【答案】 【分析】通过观察前4个图案中六边形的个数，发现后一个图案比前一个图案多3个六边形，从而归纳出第个图案中六边形个数的通项公式，代入求解即可． 【详解】解：观察图形可知：第1个图案中六边形的个数为； 第2个图案中六边形的个数为； 第3个图案中六边形的个数为； 第4个图案中六边形的个数为； …… ∴第个图案中六边形的个数为； 当时，六边形的个数为． 1．（2026·重庆·三模）如图，下列图形由同样的棋子按一定规律组成，图1有1颗棋子，图2有3颗棋子，图3有7颗棋子，图4有13颗棋子，…，则图8的棋子颗数为（     ） A．43 B．57 C．64 D．73 【答案】B 【分析】根据题意得出规律图的棋子颗数为，由此计算即可得出结果． 【详解】解：由图形可得： 图1有颗棋子， 图2有颗棋子， 图3有颗棋子， 图4有颗棋子， …， ∴图的棋子颗数为， ∴图8的棋子颗数为． 2．（2026·宁夏吴忠·模拟预测）如图是某种分子的结构模型图．它由空心小球和实心小球按如图所示的方式排列．第1个图形共有4个小球，第2个图形共有6个小球，第3个图形共有8个小球．．．，按照这一规律，第10个图形中小球的个数是_______． 【答案】 22 【分析】本题考查图形与数字变化规律题，通过观察发现该分子结构可以看作是由4个小球的基本结构串联起来的，分析归纳规律即可得出答案． 【详解】解：图（1），小球数量是：，中间有一个2； 图（2），小球数量是：，中间有两个2； 图（3），小球数量是：，中间有三个2； 图（4），小球数量是：，中间有四个2； 以此类推第十个图，小球数量是：． 3．（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）观察如图图形和对应表达式． (1)请在图中的框中画出第5个图形，并写出它对应的表达式； (2)请直接写出第n个图形对应的表达式：________； (3)请用上面的规律计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题干中的规律写出第5个图形对应的表达式即可； （2）总结题干中的规律写出第n个图形对应的表达式即可； （3）结合题意将变形为，再结合题干所总结的规律求解，即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：因为第1个图形对应的表达式为：， 第2个图形对应的表达式为：， 第3个图形对应的表达式为：， …… 所以第n个图形对应的表达式为； （3）解：∵，， ∴原式 ． 【提高题型二 复杂情境列代数式与代数式的值】 【例1】（25-26七年级上·福建漳州·期中）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法（如图1）进行速算．图2表示的“竖式”，则的值为（   ） A．25 B．21 C．22 D．26 【答案】B 【分析】根据前面的规律，求解即可； 【详解】解：最上层的四个数字自左到右依次十位数字平方得到的两位数，个位数字平方得到的两位数，平方不是两位数时，十位数字用0补齐位； 中间行的数字是最右边一个空出来，计算十位数字与个位数字积的2倍，把结果的个位数字写在空格后的最右边空里，依次向左写， 故 故． 【例2】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）已知，且，，的最大的值为，最小的值为，则________． 【答案】2 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算、代数式求值、绝对值的性质，熟练掌握运算法则是解题关键．先得出中有一个负数，两个正数，再分三种情况：①，②，③，分别求值的值，则可得的值，代入计算即可得． 【详解】解：∵，， ∴中有一个负数，两个正数． ①当时， 则； ②当时， 则； ③当时， 则； ∴的值为0或4或， ∵的最大的值为，最小的值为， ∴， ∴． 故答案为：2． 1．（25-26七年级下·江苏镇江·期末）如图，小刚在下面的个格子里填数，他想让个格子的总和是．已知左边三个格子的和是，右边三个格子的和是．则与的和是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式，根据已知条件求出中间数，再根据个格子的总和是，即可求解． 【详解】解：设中间数为， 根据题意可得，，， ，， ， 故选：D． 2．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点，，，对应的数分别是整数，，，，若，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，关键是根据数轴上点的间隔确定的值，结合已知等式求出的值，进而确定各点对应的数，最后求和． 【详解】解：根据题意，由数轴上每相邻两点相距1个单位，观察数轴可得，而， 所以， 所以， 所以，，， 所以． 故答案为：． 3．（25-26六年级下·山东泰安·期末）如图，边长为的正方形和边长为（）的正方形按如图所示摆放在一起，，，三点在同一直线上，设图①中阴影部分的面积为，设图②中阴影部分的面积为． (1)如图①，判断的值与的大小有关吗？说明理由； (2)如图②，若，，求的值． 【答案】(1)的值与的大小无关， 理由：由题意知，， 的值与的大小无关； (2) 【分析】（1）阴影部分面积等于两个正方形的面积和减去空白部分三个三角形的面积，据此列式整理，即可得出结论； （2）根据图形列式得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2），，， ， ． 【提高题型三 程序框图中代数式求值压轴题型】 【例1】（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）按如图所示的程序计算，当输入有理数时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算，代数式求值，根据，的值，列算式并计算即可．理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 【例2】（2026七年级上·全国·专题练习）（中考新趋势·一题多问）如图所示的运算程序中，若开始输入的x的值为，我们发现第1次输出的结果为，第2次输出的结果为，…，第2024次输入的x值为______，输出的结果为______． 【答案】 【分析】本题考查运算程序及数字类变化规律，涉及代数式求值，读懂运算程序，按步骤代值求解是正确解决本题的关键． 根据运算程序，按步骤代值计算即可发现规律，再运算规律即可得出正确答案． 【详解】解：根据题意可得： 第1次输入，当时，为偶数，； 第2次输入，当时，为偶数，； 第3次输入，当时，为偶数，； 第4次输入，当时，为偶数，； 第5次输入，当时，为奇数，； 第6次输入，当时，为偶数，； …… 后续，输入的值是循环出现，则输出结果也都是循环出现，输入次数为偶数时，输入，输出结果是；输入次数为奇数时，输入，输出结果为； 第2024次输入，输出的结果为， 故答案为：． 1．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）数学活动课上，小奕利用电脑的技术设计了如图的程序． (1)按照上面的程序计算，请你写出最终输出的结果；（结果需要化简） (2)若输入的数值为，则输出的结果是多少？ 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了整式的运算以及代数式求值，熟练掌握整式的运算法则如完全平方公式、乘法分配律等和代入求值的方法是解题的关键． （1）首先根据程序图的顺序，对输入的按照“加、平方、减、乘”的步骤列出代数式，然后对其进行化简； （2）把代入（1）中化简后的代数式，通过计算得出结果． 【详解】（1）解：根据题意得： ； （2）解：当时， 原式 ． 2．（25-26七年级上·福建厦门·期中）在学习《整式》这一章时，我们见识了程序框图：用“”表示数据输入、输出框；用“”表示数据处理和运算框；用“”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）． 图1               图2                    图3                  图4 (1)①如图1，当输入数时，输出数________； ②如图2，第一个带？号的运算框内，应填________；第二个带？号运算框内，应填________； (2)①如图3，当输入数时，输出数________； ②如图4，当输出的值，则输入的值________； (3)为鼓励节约用水，决定对用水实行“阶梯价”：当每月用水量不超过15吨时（含15吨），以2元/吨的价格收费；当每月用水量超过15吨时，超过部分以3元/吨的价格收费.请设计出一个“程序框图”，使得输入数为用水量，输出数为水费． 【答案】(1)①；②， (2)①；②6或0 (3) 设计如框图如图． ． 【分析】本题考查了求代数式的值的应用． （1）①根据图形列出算式，即可求出答案； ②根据图形列出算式，即可求出答案； （2）①根据图形列出算式，即可求出答案； ②根据图形列出算式，即可求出答案； （3）根据图4画出即可． 【详解】（1）解：①当时，， 故答案为：； ②第一个运算框内填：；第二个运算框内填：， 故答案为：，； （2）解：①当时，，，， 故答案为：； ②分为两种情况：当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 故答案为：6或0； （3）解：因为当每月用水量不超过15吨时（含15吨），以2元/吨的价格收费； 当每月用水量超过15吨时，超过部分以3元/吨的价格收费， 所以水费收缴分两种情况，和， 分别计算，所以可以设计如框图如图． 3．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）密码是数学施展的“魔法”．它应用精妙的数学变换，将空中传输的通信内容转化为唯有掌握特定“密钥”才能解读的密文，从而保护信息的安全．一般来说，一个密码系统由明文、加密规则和密文三个基本要素构成，如图①所示． 小明将明文藏在图③中． 他以密文的形式发给妈妈．设定加密规则：信息的每一行从左向右数，取第行的第个字，用表示所取汉字的密文．例如，密文表示“妈”． (1)小明想将明文“想，您”加密，则密文是____________________． (2)小明将原密文用图②所示的加密规则转换成了新密文． ①请将“努，力”转换成新密文； ②若妈妈收到新密文“，，”，请帮她翻译． 【规则评价】 (3)图④是小明设计的另一种对加密的规则．请判断该加密规则是否合理，并说明理由． 【答案】(1)， (2)①，；②“我，能，学”． (3) 不合理．理由见解析 【分析】（1）定位文字图中“想”“您”所在行与列，写出对应密文坐标； （2）①先写出原文字对应密文，代入加密公式计算新密文；②把新密文代入反解，得到原密文后定位汉字翻译； （3）分奇偶讨论与的奇偶性，判断解密时是否唯一，说明规则合理性． 【详解】（1）解：根据密文定义（第行第个字表示为）： “想”在第2行第3个字，密文为； “您”在第2行第4个字，密文为． （2）解：①“努”的密文是，转换成新密文为，即； “力”的密文是，转换成新密文为，即． 故“努，力”的新密文为， ②由可得，解得， ∴原密文为， ∴第4行的第1个字为“我”； 由可得，解得， ∴原密文为， ∴第6行的第2个字为“能”； 由可得，解得， ∴原密文为， ∴第5行的第6个字为“学”． 综上所述，妈妈收到的新密文“，，”翻译为“我，能，学”． （3）解：不合理．理由如下：若为奇数，是偶数；若为偶数，则还是偶数． 故在进行新密文解密时，对应的值可能不唯一． 例如，为6时，可以是4也可以是3， ∴意思不具有唯一性，可以将修改为． 1．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）多项式是关于，的四次三项式，是最高次项的系数，则的值是（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式，根据多项式的次数及项数得出，，，求出m和n的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵是关于，的四次三项式，是最高次项的系数， ∴，，， 解得：，， ∴， 故选：A． 2．（25-26七年级上·浙江金华·期中）现有一列数其中，，，并且满足任意相邻三个数的和为同一个常数，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了数列的周期性规律，解题的关键是利用“任意相邻三个数的和为常数”推出数列的周期为3． 由相邻三个数的和为常数，得出数列周期为3（）；结合已知项确定周期内的数（，已知，）；计算周期和为0，再由总项数2025是3的倍数，得总和为0． 【详解】解：由“任意相邻三个数的和为常数”，可得数列周期为3（即）． （）， ； 已知，． 每组（3个数）的和为； 总项数2025是3的倍数（组）， 故总和为． 故选B． 3．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）按如图所示的运算程序，当输入的时，输出的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查程序流程图与代数式求值，数字类规律探究，根据流程图求出，得到规律，进而求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ∴的值以，三个数为一组，进行循环， ∵， ∴； 故选C． 4．（25-26七年级上·四川绵阳·期中）如图，将全体正偶数排成一个三角数阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个数为2，第二行有2个数为4，6，…第n行有n个数……．探究其中规律，偶数2026应该排在从上向下数的第m行，是该行中的从左向右数的第n个数，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定2026是第几个偶数，再根据三角数阵每行数字个数的规律（第行有个数），利用求和公式估算出2026所在的行数，最后确定其在该行的位置，从而求出的值． 【详解】解： 全体正偶数排列为 是第个偶数， 设前行共有个数，则 ， 当时，， 当时，， ， 2026是第45行的第个数，即，， ． 5．（2026·四川乐山·一模）观察下列图形变化的规律，我们发现每一个图形都分为上、下两层，下层都是由黑色正方形构成，其数量与编号相同；上层都是由黑色正方形或白色正方形构成（第个图形除外），则下列说法中正确的个数有（    ） ①第个图形中，白色正方形共有个 ②第个图形中，黑色正方形共有个 ③第个图形中，一共有个正方形 ④第个图形中，黑色正方形的个数比白色正方形的个数多个 A．1个 B．个 C．3个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查图形规律探究．通过观察前几个图形，找出下层黑色正方形、上层黑色正方形、上层白色正方形及总数随编号n的变化规律，用含n的代数式表示各量，再逐一验证四个说法． 【详解】解：观察图形可知， 图1中，下层1个黑色正方形，上层1个黑色正方形，共2个正方形； 图2中，下层2个黑色正方形，上层1个黑色正方形和1个白色正方形，共4个正方形； 图3中，下层3个黑色正方形，上层2个黑色正方形和1个白色正方形，共6个正方形； 图4中，下层4个黑色正方形，上层2个黑色正方形和2个白色正方形，共8个正方形； 图5中，下层5个黑色正方形，上层3个黑色正方形和2个白色正方形，共10个正方形； ∴ 第n个图形中，下层有n个黑色正方形，上层有n个正方形，正方形总数为2n个， 当n为偶数时，上层有个黑色正方形和个白色正方形， 当n为奇数时，上层有个黑色正方形和个白色正方形． ① ∵为偶数， ∴ 白色正方形有个， ∴ 说法①错误； ② ∵为奇数， ∴ 黑色正方形有个， ∴ 说法②正确； ③ ∵ 第n个图形中，下层n个，上层n个， ∴ 一共有2n个正方形， ∴ 说法③正确； ④ 当n为偶数时，黑色正方形有个，白色正方形有个， ∴ 黑色比白色多个， 当n为奇数时，黑色正方形有个，白色正方形有个， ∴ 黑色比白色多个， ∴ 说法④错误． 综上所述，正确的说法有2个． 6．（25-26六年级上·山东淄博·期末）若，，且，则的值为______． 【答案】或1 【分析】本题主要考查了绝对值的定义、有理数的大小比较、代数式求值等知识点，求得m、n的值是解题的关键． 根据绝对值的定义以及有理数的大小比较确定m、n的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解：，， ∴， ∵， ∴当时，成立，此时； 当时，成立，此时． 综上，的值为或1． 故答案为：或1． 7．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）当时，代数式的值为2024，则当时，代数式的值是 ____________ ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，利用等式的性质得出的值是解题关键．将代入中建立等式推出，再将代入中，结合求解，即可解题． 【详解】解：当时，代数式的值为2024， 即， 整理得； 当时，代数式， 由，得， 故， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·广东东莞·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为5，第1次输出的结果为16，第2次输出的结果为8，则第2025次输出的结果为___________． 【答案】4 【分析】本题考查程序流程图与代数式求值，数字类规律探究，将代入，按照流程图进行计算，找到循环节，进行求解即可． 【详解】解：第1次输出的结果为16，第2次输出的结果为8， 第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为， 第6次输出的结果为， 第7次输出的结果为，， 从第3次开始，输出结果以为一个循环节进行循环， ∵， ∴第2025次输出的结果为4； 故答案为：4． 9．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）我国古代数学家很早就对整数乘积最值问题进行了深入研究，《九章算术》中便蕴含着丰富的整数运算与优化思想，彰显了古人对数字规律的智慧探索．请你探究： （1）用数字1，2，3，4组成两个没有重复数字的两位数，使其乘积最大，这两个数是________； （2）用5个数字a，b，c，d，e（，）组成一个没有重复数字的两位数和一个没有重复数字的三位数，使其乘积最大，这两个数是________． 【答案】 41和32 和 【分析】要使两个数乘积最大，需将较大数字放在高位，再利用“两个数的和一定时，两个数的差越小，乘积越大”的规律，确定各数位的数字，得到乘积最大的组合． 【详解】解：（1）根据乘积最大要求，较大数字放在十位， 因此十位选择和，剩余和作为个位，得到两种组合，计算得： ， 因为，所以乘积最大的两个两位数为和； （2）已知，， 要使乘积最大，应将最大的两个数字放在最高位，即应为两个数的最高位， 经比较，将a作为两位数的十位，将b作为三位数的百位时，可使乘积最大， 可得较大的最高位搭配较小的次高位，较小的最高位搭配较大的次高位， 最后将剩余的放在三位数的个位，因此得到两位数为，三位数为． 10．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）观察如图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则_________． 【答案】38 【分析】结合图形寻找规律即可作答． 【详解】解：， ， ， ， 依次类推：， 当时，． 11．（24-25六年级上·北京·期中）已知，求代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)12 (2)0或16 【分析】由非负数的和为零得， ，求得，  ，分别代入求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得：，  ， 当时，， 当时，， ； （2）解：当时，， 当时，， 综上，或16． 12．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的m值为5，第1次输出的结果为16．第2次输出的结果为8，则：      （1）第6次输出的结果为________； （2）第2023次输出的结果为________． 【答案】 4 1 【分析】本题考查了根据设计的程序进行计算． （1）根据程序进行计算即可； （2）根据（1）中的计算，找到循环的规律为从第三次输出开始，输出结果按照4、2、1的顺序，每3次一循环，即可解答． 【详解】解：（1）第一次输出：， 第二次输出：， 第三次输出：， 第四次输出：， 第五次输出：， 第六次输出：，……， 故答案为：4． （2）由（1）可知，从第三次输出开始，输出结果按照4、2、1的顺序，每3次一循环， ∵， ∴第2023次输出的结果为第674个循环的第三个数字， ∴第2023次输出的结果为1． 故答案为：1． 13．（25-26七年级上·江苏扬州·周测）观察下列等式： ①；②；③；⋯⋯ 根据你发现的规律解答下列问题： (1)请直接写出第九个等式 ； (2)计算 的值； (3)计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察已知等式的规律，推导得到第九个等式； （2）根据规律拆分每一项，中间项相互抵消后计算得到结果； （3）对每一项进行变形拆分，提取公因式后抵消中间项，计算得到结果． 【详解】（1）解：由题意知，第九个等式为； （2）解： ； （3）解： ． 14．（25-26七年级上·河南许昌·期中）理解与思考：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例如：如果，求代数式的值．我们可以将作为一个整体代入：．请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： 【简单应用】 （1）已知，求代数式的值； 【拓展提高】 （2）已知，求代数式的值； 【答案】（1）2031；（2）7． 【分析】本题考查了整体代入思想． （1）通过整体代入，将已知条件变形后求值； （2）先化简代数式，再利用整体思想代入求值． 【详解】解：（1） ； （2）， ． 15．（25-26七年级上·辽宁鞍山·期末）我们知道，自然界中一切物质都是由微观粒子构成．下图是一系列物质的结构图，我们称中间的球形为碳原子，用C表示；外围较小的球形为氢原子，用H表示，则第1个图形中有1个碳原子，4个氢原子，该物质可表示为，第2个图形中有2个碳原子，6个氢原子，该物质可表示为，…… (1)请分别写出第3个，第4个图形中物质的表示方法： (2)若1个碳原子量为12，1个氢原子量为1，则第1个图形中物质的分子量计算方法是：，同理，第二个图形中物质的分子量为：；请计算第3个，第4个图形中物质的分子量，并计算第n个图形的物质分子量． 【答案】(1)第3个图形中物质的表示方法为：；第4个图形中物质的表示方法为 (2)第3个图形中物质的分子量为；第4个图形中物质的分子量为；第n个图形中物质的分子量为 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索． （1）根据题干图作答即可； （2）计算第3个，第4个图形中物质的分子量，进而找出规律，即可计算第n个图形的物质分子量． 【详解】（1）解：由图可知，第3个图形中物质的表示方法为：； 第4个图形中物质的表示方法为； （2）解：第3个图形中物质的分子量为； 第4个图形中物质的分子量为； 第n个图形中物质的分子量为． $