专题01 二次函数的期中复习（高效培优期中专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上学期

专题01 二次函数的期中复习 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数的顶点式 考点03 二次函数的一般式 考点04 二次函数的交点式 考点05 二次函数图像的平移、旋转、翻折 考点06 二次函数的图像与各项系数的关系 考点07 二次函数的增减性问题 考点08 二次函数与一元二次方程的关系 考点09 二次函数与一次函数的综合 考点10 二次函数的应用问题 考点11 二次函数的几何综合 考点01 二次函数的概念 1．（25-26九年级上·上海普陀·期中）下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海普陀·一模）下列函数中，关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知二次函数，则的值为（   ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 4．（25-26九年级上·上海·阶段检测）把变成一般式，它的常数项为_____． 5．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知是y关于x的二次函数，那么t的值是_______． 6．（25-26九年级上·上海·阶段检测）若是关于x的二次函数，则m的值为____________． 考点02 二次函数的顶点式 1．（25-26九年级上·上海·阶段检测）抛物线开口向____________；顶点坐标是____________；对称轴是直线____________．当x____________时y随x的增大而增大． 2．（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）抛物线的开口向下，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知点和在二次函数图像上，则_____0．（填“”、“”或“”） 4．（25-26九年级上·上海·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，函数的图象向左平移4个单位长度得到的函数图象的顶点坐标为_______． 5．（25-26九年级上·上海·期中）如果二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的，那么a的取值范围是_______． 6．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如果点、是抛物线上的两个点．那么和的大小关系是__________（填“>”或“<”或“=”）． 7．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，原点为，该抛物线交轴于点，求的面积． 8．（25-26九年级上·湖南湘西·期中）一条抛物线的顶点为，与轴的交点是．求该抛物线的解析式及其对称轴． 9．（25-26九年级上·潮州·阶段检测）把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到二次函数的图象 (1)则______，______，______； (2)指出二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标； (3)当时，求二次函数的取值范围． 10．（25-26九年级上·吉安·期末）定义：如果两个二次函数的图像的开口大小相同，方向相反且顶点的横、纵坐标都互为相反数，则称其中一个二次函数为另一个二次函数的伴随函数．如与互为伴随函数． (1)的伴随函数的表达式为 ； (2)若的图像的顶点为，且过它的伴随函数的图像顶点． 求证：这两个函数图像的交点为； 如图，点是在之间的图像的动点，轴交的图像于点，求长度的最大值． 考点03 二次函数的一般式 1．（25-26九年级上·上海·期末）抛物线的对称轴是直线（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽宣城·阶段检测）若点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·上海·期末）已知二次函数（是自变量）的图象关于轴对称，则______． 4．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是_______． 5．（25-26九年级上·上海·期中）已知二次函数的对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)当时，求函数的取值范围． 6．（25-26九年级上·上海·阶段检测）设抛物线，其中为常数． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)将抛物线向上平移个单位长度，求所得抛物线的顶点的纵坐标的最大值． 7．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）当时，抛物线有最小值为，且抛物线与轴交于点．求这条抛物线的解析式． 8．（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线的开口向下，与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)如图，若，且； ① 求抛物线的表达式； ② 抛物线上有一点D，使得，求点D的坐标； (2)若，点O是线段的中点． 直线交抛物线与E、F（点E在点F的左侧），交y轴与点M． 设、的重心分别为、，当与相似时，求的值． 考点04 二次函数的交点式 1.抛物线与轴交于，两点，抛物线的解析式为________． 2.（上海市上海市浦东新区九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是线段上的一个动点(不与B、C重合)，过点P作轴，交抛物线于点D，求线段长度的最大值； 3．已知二次函数图象与x轴的交点是，，与y轴交于． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断点是否在此抛物线上． 4．如图，已知二次函数的图象与轴的交点为，，其顶点在函数的图象上． (1)求二次函数的表达式． (2)将二次函数的图象水平向右平移3个单位，所得到的抛物线交轴于，两点（点在点的左边），顶点为，求四边形的面积． 考点05 二次函数图像的平移、旋转、翻折 1．（25-26九年级上·上海·阶段检测）抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海·期中）将二次函数的图象绕点旋转得到的图象的解析式为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·上海青浦·期中）将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的函数表达式为___________． 4．（25-26九年级上·宁波·期中）函数的图象经过向左平移2个单位，向下平移1个单位，得到的新函数表达式为_______________． 5．（25-26九年级上·驻马店·期中）已知抛物线，将绕它的原点旋转得抛物线，则抛物线的解析式为______． 6．（25-26九年级上·上海·阶段检测）某公园新建了一个音乐喷泉，喷泉喷出的水流呈抛物线型．如图是两个连续喷泉，建立平面直角坐标系后，它们关于轴对称，其中左侧的喷泉可用表示． （1）请写出的函数表达式：_________． （2）这两个喷泉最高点之间的距离是________m． 7．（25-26九年级上·南京·期末）如图，二次函数图像顶点坐标为，与x轴其中一个交点坐标为． (1)该函数图像与x轴的另一个交点坐标为_______； (2)求这个二次函数的表达式； (3)若将该二次函数沿x轴翻折，则翻折后的图像的函数表达式为_______． 8．（25-26九年级上·上海·期中）定义：将函数的图像绕点旋转，得到新的函数的图像，我们称函数是函数关于点的相关函数．例如：当时，函数关于点的相关函数为． (1)当时，①二次函数关于点的相关函数为________________． ②点在二次函数关于点的相关函数的图像上，求的值． (2)函数关于点的相关函数是，求点的坐标． 9. （25-26九年级上·上海·模拟预测）已知抛物线 (1)当时，求抛物线的顶点坐标． (2)无论a为何值，直线与抛物线相交所得的线段（点E在点F左侧）的长度都不变，求m的值和的长； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线，抛物线的顶点分别记为P，Q．是否存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 考点06 二次函数的图像与各项系数的关系 1．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）如图，已知抛物线的对称轴为轴，那么对于结论：①；②，下列说法中正确的是（     ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①、②均正确 D．①、②均错误 2．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）如图，抛物线（）的部分图象，其顶点坐标为，与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图像如图所示，有下列结论： ①；②方程的两个根是，； ③；④当时，y随x增大而增大；⑤． 其中正确的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）二次函数的图像的顶点在轴正半轴上，开口向下，则、的符号为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·天津河西·开学考试）二次函数的图象如图所示，一元二次方程的根的判别式为，则下列判断正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．（25-26九年级上·上海·模拟预测）二次函数的图象只过三个象限，则a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·河南周口·期中）二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴，则a、b、c符号判断正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 8．（2026·河南周口·一模）二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）已知抛物线的最高点的坐标为，那么__________0（填“>”、“=”或“<”）． 10．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（填写序号） 考点07 二次函数的增减性问题 1．（25-26九年级上·上海·期中）二次函数的图象如图所示，若，是该图象上的两点，则______．（填“”“”或“”） 2．（2025·上海崇明·一模）已知点、都在抛物线的图像上，那么与的大小关系是______．（填“”、“”或“”） 3．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知，，在函数的图象上，则的大小关系______． 4．（26-27九年级上·上海青浦·阶段检测）已知点在抛物线上，且，则______． 5．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知二次函数（为常数），当时，函数的最大值为，则的值为__________． 6．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）已知抛物线经过和两点，且，则m的取值范围是________． 7．（2026·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 8．（25-26九年级上·上海·阶段检测）定义：如果两条抛物线均经过线段两个端点，那么称这两条抛物线是“关于线段的相伴抛物线”．已知抛物线与抛物线是“关于线段的相伴抛物线，且点、点的坐标分别为，．若抛物线与抛物线在直线与直线之间的部分均是上升的，那么的取值范围为_____． 考点08 二次函数与一元二次方程的关系 1．（25-26九年级上·上海普陀·期中）如果抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点的坐标是，那么它与x轴的一个交点的坐标是（   ） A．（﹣6，0） B．（﹣4，0） C．（﹣2，0） D．（4，0） 2．（25-26九年级上·上海绵阳·期末）关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·上海·期中）二次函数的图像与x轴的交点坐标是______． 4．（25-26九年级上·上海·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为_________． 5．（2025·上海黄浦·一模）体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动过程中距离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，当实心球运动到点时达到最高点，那么实心球的落地点与出手点的水平距离为__________米． 6．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且的面积是6．抛物线上有一动点P（不与点C重合），当时，则点P的坐标是________________ 7．（2025·辽宁盘锦·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为________． 8．（25-26九年级上·上海普陀·期中）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段长就是抛物线关于直线的“割距”，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点恰好是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线的割距是________．      9．（25-26八年级上·上海·阶段检测）若关于的方程的一根大于2，一根小于2，则的范围是________． 10．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知抛物线的解析式为（为常数） (1)当时，求抛物线与轴的两个交点分别为和之间的距离； (2)求证：抛物线与轴必有两个交点． 考点09 二次函数与一次函数的综合 1．（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．则关于的不等式的解集为（     ） A． B．或 C． D． 2．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·阶段检测）一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·上海·期末）直线与抛物线的交点坐标是__________ ，___________ ． 4．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，抛物线与直线相交于点，点，则关于x的方程的解为_________． 5．（26-27九年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线和直线交于点A和点B．若点A的横坐标是，点B的横坐标是2，则的解集为________． 6．（25-26九年级上·上海·期末）如图，抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，与轴交于点，直线的解析式为． (1)抛物线的解析式为________________； (2)当时，的取值范围是________________； (3)当时，的取值范围是________________； (4)当时，的取值范围是________________． 7．（25-26九年级上·上海·专题练习）如图，抛物线经过点，，． (1)在y轴上取一点P，使得，写出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，求直线与抛物线L的交点D的坐标． 8．（25-26九年级上·上海·期末）如图，二次函数的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数的图象经过点B，且与抛物线交于点． (1)求二次函数与一次函数的解析式； (2)根据图象，写出满足的x的取值范围． 考点10 二次函数的应用问题 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 2．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图为喷泉某一截面的水流，可看作抛物线，水流喷出的高度与水平距离之间满足，则水流喷出的最大高度为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）投篮时篮球的飞行轨迹是一条抛物线．现以篮筐为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知篮筐到地面的高度为2.8米，如果当篮球运动到距篮筐水平距离3米时到达离地面3.4米的最高点，那么篮球脱手时的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·上海·期末）某品牌裙子，平均每天可以售出20条，每条盈利40元，经市场调查发现，如果该品牌每条裙子每降价1元，那么平均每天可以多售出2条，那么当裙子降价_________元时，可获得最大利润__________ 5．（2025·上海松江·一模）公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的离地高度（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是．那么水珠的最大离地高度是________米． 6．（2026·上海杨浦·三模）某商店购进了一种生活用品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中，且x为整数），部分对应值如下表： 每件售价x（元） 9 11 13 每天的销售量y（件） 105 95 85 (1)求y与x的函数解析式； (2)如果该商店打算销售这种生活用品每天获得425元的利润，那么每件生活用品的售价应定为多少元？ 7．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）有一座抛物线形拱桥，已知正常水位时，桥下水面宽度为20米，拱顶距水面5米．拱桥的截面如图所示，其中桥拱截线是一段抛物线，平面直角坐标系的原点是桥拱截线与正常水位的水面截线相交处的一点，轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离是1.3米． (1)求桥拱截线所在抛物线的表达式； (2)为迎接中秋，准备在拱桥桥洞中悬挂0.5米长的灯笼（忽略悬挂灯笼的绳子长度，灯笼的宽度不超过0.2米）．灯笼从拱顶开始，向拱桥两侧对称悬挂，相邻两个灯笼悬挂点的水平间距相等，且灯笼的最底端不低于． ①如果相邻两个灯笼悬挂点的水平间距为0.8米，此时最多可悬挂多少个灯笼？ ②设最左侧灯笼在拱桥截线上的悬挂点的坐标为，如果能且最多只能悬挂7个灯笼，求的取值范围． 8．（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）【实践与探究】九（9）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一一应用一一探究的过程： (1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为，隧道顶部最高处距地面，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，则该抛物线的解析式为_________________． (2)应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽、最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙）？ (3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了下面问题，请予解答： 如图2，过原点作一条的直线，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问：在线段上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点11 二次函数的几何综合 1．（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 2．（26-27九年级上·上海·阶段检测）抛物线与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，T是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． (1)求c的值； (2)如图1，若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H，求的值； (3)定义：抛物线上两点M、N之间的部分叫做抛物线弧（含端点M和N）．过M、N分别作x轴的垂线、，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线、，直线、、与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为．过点作轴，交抛物线于点Q，点Q与点C不重合．记抛物线弧的特征矩形的周长为g，若，直接写出的长． 3．（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）【实践与探究】九（9）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一一应用一一探究的过程： (1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为，隧道顶部最高处距地面，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，则该抛物线的解析式为_________________． (2)应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽、最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙）？ (3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了下面问题，请予解答： 如图2，过原点作一条的直线，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问：在线段上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（25-26九年级下·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点，顶点为． (1)求，的值与顶点的坐标； (2)抛物线（且）过点，，且与x轴另一个交点为，顶点为． ①求的余切值（用含有的代数式表示）； ②如果，求此时点的坐标． 5．（2026·上海浦东新·二模）定义：如果一个二次函数的图像与一次函数的图像相交于坐标轴上的两个点，那么称此二次函数为这个一次函数的“贯轴抛物线”． (1)已知是一次函数的一条“贯轴抛物线”，求、的值； (2)已知一次函数（其中为常数，）的图像与轴、轴分别交于点、点，它的一条“贯轴抛物线”与轴的另一个交点为，顶点在第一象限．如果在轴上存在点，使得四边形是平行四边形，求的值； (3)一个二次函数既是一次函数又是一次函数（其中为常数，）的“贯轴抛物线”，且此二次函数图像与轴分别交于、两点（点在点的左边），与轴交于点．如果二次函数图像上始终存在点，且在第四象限，使得，求满足条件的的取值范围． 6．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴负半轴交于点C，且，抛物线的顶点为M． (1)求a、c的值； (2)证明：为直角三角形； (3)若点是线段上一个动点，联结，是否存在点，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2026·上海徐汇·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，顶点为．直线经过点，且． (1)求直线的表达式； (2)已知抛物线也经过、两点，且开口向下，顶点为．设为抛物线与直线的交点，连接、、，当四边形是梯形时，求抛物线的表达式． 8．（2026·上海松江·二模）在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，是直线上一点（不与点重合），且，抛物线经过、两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，且位于第一象限，如果四边形是梯形，求梯形的面积； (3)点、都在第三象限，其中点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，如果与相似，且边与边对应，求点的坐标． 9．（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）已知，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点M是直线上方的抛物线上一动点（不与A，C重合），连接，，求的面积最大值以及此时点M的坐标． (3)如图2，若动点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2026九年级上·上海·专题练习）如图①，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，抛物线的对称轴与抛物线交于点P，与直线AB交于点M，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点K是x轴正半轴上一点，点A，P关于点K的对称点分别为，，连接，，若，求点K的坐标； (3)如图②，矩形的边在x轴负半轴上，边在第二象限，，．将矩形沿x轴正方向平移t（）个单位，直线分别交抛物线于G，H．问：是否存在实数t，使得以点D，F，G，H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数的期中复习 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数的顶点式 考点03 二次函数的一般式 考点04 二次函数的交点式 考点05 二次函数图像的平移、旋转、翻折 考点06 二次函数的图像与各项系数的关系 考点07 二次函数的增减性问题 考点08 二次函数与一元二次方程的关系 考点09 二次函数与一次函数的综合 考点10 二次函数的应用问题 考点11 二次函数的几何综合 考点01 二次函数的概念 1．（25-26九年级上·上海·期中）下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．一般地，形如（、、是常数，）的函数，叫做二次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A. 不符合二次函数的定义，不是二次函数； B. 是一次函数，不是二次函数； C. 不符合二次函数的定义，不是二次函数；     D. 符合二次函数的定义，是二次函数； 故选：D． 2．（2025·上海普陀·一模）下列函数中，关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，形如（其中）的函数是二次函数． 根据二次函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．，分母有未知数，不是二次函数； B． ，最高次项次数不为2，不是二次函数； C． ，时最高次项次数不为2，不是二次函数； D． ，符合二次函数的定义，是二次函数； 故选：D． 3．（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）已知二次函数，则的值为（   ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，最高次项为2次且二次项系数不为0，据此求解． 【详解】∵是二次函数， ∴，且， ∴， 故选：B． 4．（25-26九年级上·上海·阶段检测）把变成一般式，它的常数项为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的一般形式，二次函数的一般形式为（为常数且）. 根据整式的乘法法则将右边展开，再合并同类项，即可将其化为一般形式，即可得到答案. 【详解】解：， 把变成一般式，它的常数项为， 故答案为：. 5．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知是y关于x的二次函数，那么t的值是_______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如（a，b，c是常数，且）的函数，叫做二次函数是解题的关键． 根据二次函数的定义，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：8． 6．（25-26九年级上·上海·阶段检测）若是关于x的二次函数，则m的值为____________． 【答案】2 【分析】根据二次函数的一般式求解即可． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴且， 解得， 故答案为：2． 考点02 二次函数的顶点式 1．（25-26九年级上·上海·阶段检测）抛物线开口向____________；顶点坐标是____________；对称轴是直线____________．当x____________时y随x的增大而增大． 【答案】 上 【分析】根据顶点式解析式以及抛物线的性质分析，即可求解． 【详解】解：抛物线中，，抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线，当时，随的增大而增大， 故答案为：上，，，． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握的性质是解题的关键． 2．（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）抛物线的开口向下，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线开口向下可得，进而求解． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∴， 故选：B． 3．（25-26九年级上·上海·阶段检测）（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知点和在二次函数图像上，则_____0．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随着轴的增大而减小， ∴， ∴， 故答案为： 4．（25-26九年级上·上海·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，函数的图象向左平移4个单位长度得到的函数图象的顶点坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握“上加下减，左加右减”是解题的关键．先求出平移后的解析式，再求顶点坐标即可． 【详解】解：函数的图象向左平移4个单位长度得到的函数解析式为， ∴顶点为：， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·上海·期中）如果二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的，那么a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据抛物线在它对称轴左侧部分是上升的，得到抛物线的开口向下，即可得出结果． 【详解】解：∵二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的， ∴抛物线的开口向下， ∴； 故答案为： 6．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如果点、是抛物线上的两个点．那么和的大小关系是__________（填“>”或“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图象的对称性，得到m与n的大小关系即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， ∵， ∴． 故答案为． 7．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，原点为，该抛物线交轴于点，求的面积． 【答案】12 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质、坐标与图形、三角形面积等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． 先根据二次函数的性质确定、，即，再根据三角形面积公式即可． 【详解】解：如图：∵抛物线的顶点为， ∴抛物线的顶点坐标为，当时，，即该抛物线交轴于点， ∴， ∴的面积． 8．（25-26九年级上·湖南湘西·期中）一条抛物线的顶点为，与轴的交点是．求该抛物线的解析式及其对称轴． 【答案】抛物线的解析式为（或一般式），对称轴为直线． 【分析】根据顶点坐标设抛物线顶点式，代入已知点坐标求待定系数，再由顶点坐标得对称轴． 【详解】解：抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为． 抛物线与轴交于点， 将代入解析式，得，解得． 抛物线的解析式为，化为一般式为． 抛物线的顶点坐标为， 该抛物线的对称轴为直线． 9．（25-26九年级上·潮州·阶段检测）把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到二次函数的图象 (1)则______，______，______； (2)指出二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标； (3)当时，求二次函数的取值范围． 【答案】(1)，2， (2)函数图象开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是 (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据平移规律，可得答案； （2）根据二次函数的性质，可得答案； （3）计算出当和对应的函数值，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到， ∵二次函数与是同一函数， ∴，，， 解得． 故答案为：，2，； （2）解：∵二次函数的解析式为， ∴函数图象开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是； （3）解：∵， ∴的最小值为； ∴时，， ∵时，， ∴当时，． 10．（25-26九年级上·吉安·期末）定义：如果两个二次函数的图像的开口大小相同，方向相反且顶点的横、纵坐标都互为相反数，则称其中一个二次函数为另一个二次函数的伴随函数．如与互为伴随函数． (1)的伴随函数的表达式为 ； (2)若的图像的顶点为，且过它的伴随函数的图像顶点． 求证：这两个函数图像的交点为； 如图，点是在之间的图像的动点，轴交的图像于点，求长度的最大值． 【答案】(1)； (2)证明：∵， ∴顶点， ∴它的伴随抛物线的顶点为， ∴， 当时，， ∴点在图象上， 当时，， ∴点在图象上， ∴这两个函数图像的交点为，； 最大值为． 【分析】（）根据“伴随函数”的定义和二次函数的定义即可求解； （）由，则顶点，求出它的伴随抛物线解析式为，然后当时，，则点在图象上，当时，，从而求证； 设，则， 故有，然后根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴顶点为， ∴伴随抛物线的顶点为， ∴伴随抛物线的解析式为； （2）略 解：由可知：，，，， 设， ∵轴交的图像于点， ∴， ∴， ∵点在，之间， ∴， 当时，值最大，最大值为． 考点03 二次函数的一般式 1．（25-26九年级上·上海·期末）抛物线的对称轴是直线（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为抛物线的解析式为， 所以该抛物线的对称轴为直线． 2．（25-26九年级上·安徽宣城·阶段检测）若点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质． 计算，，的值，比较大小关系即可． 【详解】解：：， ：， ：， 因此． 故选：B． 3．（25-26九年级上·上海·期末）已知二次函数（是自变量）的图象关于轴对称，则______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称轴公式，即可求解． 【详解】解：∵二次函数（是自变量）的图象的对称轴为轴， ∴ 解得： 故答案为：． 4．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质．根据题意可得二次函数开口向上，对称轴为直线，当时随增大而增大，说明对称轴在直线左侧或重合，即． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，且对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·上海·期中）已知二次函数的对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)当时，求函数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的对称轴与函数表达式的求解、二次函数在区间内的取值范围，解题的关键是掌握二次函数的对称轴公式与单调性． （1）利用二次函数对称轴公式求出的值，进而得到函数表达式； （2）根据二次函数的开口方向与对称轴，分析区间内的最值，确定取值范围． 【详解】（1）解：二次函数中，，对称轴为， 代入对称轴公式得： ， 解得：， 二次函数的表达式为； （2）解：将二次函数配方为顶点式： 由顶点式可知，该二次函数的开口向上（因为），顶点坐标为， 即当（在区间内）时，取得最小值4， 当时，， 时，， 函数开口向上，在区间内，离对称轴越远，函数值越大． 当时，函数取得区间内的最大值． 综上，当时，函数的取值范围是． 6．（25-26九年级上·上海·阶段检测）设抛物线，其中为常数． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)将抛物线向上平移个单位长度，求所得抛物线的顶点的纵坐标的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象的平移以及配方的应用，解决本题的关键是综合利用二次函数的图象和性质． （）运用配方法将抛物线解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标； （）求出平移后的抛物线的顶点的纵坐标，再配方，求出最大值即可． 【详解】（1）解： ， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）将抛物线向上平移个单位长度后， 所得抛物线解析式为 ∴抛物线的顶点坐标为； ∴抛物线的顶点的纵坐标为： ∵二次项系数， ∴这个二次函数的图象开口向下，顶点处取得最大值， 当时，纵坐标的最大值为． 7．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）当时，抛物线有最小值为，且抛物线与轴交于点．求这条抛物线的解析式． 【答案】 【分析】由已知条件可设出顶点式，再把已知点的坐标代入，求出待定系数，进而求得解析式． 【详解】解：抛物线在时最小值为， 设抛物线的顶点式为 抛物线过点， 解得， ∴这条抛物线的解析式为，即． 8．（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线的开口向下，与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)如图，若，且； ① 求抛物线的表达式； ② 抛物线上有一点D，使得，求点D的坐标； (2)若，点O是线段的中点． 直线交抛物线与E、F（点E在点F的左侧），交y轴与点M． 设、的重心分别为、，当与相似时，求的值． 【答案】(1)①；②点D的坐标为 (2) 【分析】（1）①结合题意求出点，再利用待定系数法求解，即可解题； ②设点D的坐标为，根据建立方程求解，即可解题； （2）结合题意求出，进而得到的面积，延长交于N，利用抛物线的对称性和重心的性质得到，利用与相似，证明，利用相似三角形性质推出，，，进而得到，，得到，进而求出的面积，即可解题． 【详解】（1）解：①，且； ， 抛物线过点，， ， 解得， 抛物线的表达式为：； ②设点D的坐标为， ， ， 解得， 点D的坐标为； （2）解：，点O是线段的中点． 抛物线， ， 的面积为， 延长交于N， 直线交抛物线与E、F（点E在点F的左侧），交y轴与点M． ， 、的重心分别为、， ，， ， 与相似， ， ， ， 由抛物线对称性可知， ， ， ， ，，， 即，解得，， ， ， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，勾股定理，重心的性质，相似三角形性质和面积，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 考点04 二次函数的交点式 1.抛物线与轴交于，两点，抛物线的解析式为________． 【答案】 【详解】解：由题意得二次函数解析式为， ∴， 故答案为：． 2.（上海市上海市浦东新区九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是线段上的一个动点(不与B、C重合)，过点P作轴，交抛物线于点D，求线段长度的最大值； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于、两点， 设抛物线解析式为， 代入得， 解得， ． （2）解：由（1）可知，， 令，则，即， ∴设直线的解析式为， ∵，则， 解得， ∴直线的解析式为． 设，则， ∴， ∴当时，最大，最大值为． 3．已知二次函数图象与x轴的交点是，，与y轴交于． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断点是否在此抛物线上． 【答案】(1) (2)点在此抛物线上 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，设二次函数的解析式为，再把代入进行计算，即可作答． （2）由（1）得，则把代入，得出，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数图象与x轴的交点是，， ∵设二次函数的解析式为， 依题意，把代入， 得， 解得， ∴； （2）解：由（1）得， 当时，， 点在此抛物线上． 4．如图，已知二次函数的图象与轴的交点为，，其顶点在函数的图象上． (1)求二次函数的表达式． (2)将二次函数的图象水平向右平移3个单位，所得到的抛物线交轴于，两点（点在点的左边），顶点为，求四边形的面积． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴可设二次函数的表达式为， ∴ ∴顶点为（1，-9a） ∵顶点在直线y=2x上， ∴ ∴二次函数的表达式为； （2）解：由（1）得：点M到x轴的距离为2， 由平移的性质得：， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形的面积为． 考点05 二次函数图像的平移、旋转、翻折 1．（25-26九年级上·上海·阶段检测）抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象的平移，准确掌握平移方法是解题的关键．根据函数图象平移的方法：左加右减，上加下减，可得答案． 【详解】解：抛物线向左平移个单位可得，再向下平移个单位可得， 故选：B． 2．（25-26九年级上·上海·期中）将二次函数的图象绕点旋转得到的图象的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以旋转中心与原抛物线顶点重合为突破口，结合旋转的性质推导解析式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，开口向上，且旋转中心为点， ∴绕该点旋转后，抛物线顶点坐标不变，开口方向向下，开口大小不变， 即二次函数的图象绕点旋转后，得到的新的抛物线的顶点为，， ∴所得新抛物线的解析式为． 3．（25-26九年级上·上海青浦·期中）将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的函数表达式为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，按照“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的函数表达式为，即， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·宁波·期中）函数的图象经过向左平移2个单位，向下平移1个单位，得到的新函数表达式为_______________． 【答案】 【分析】将原抛物线解析式进行配方，再根据二次函数图象“括号内左加右减，括号外上加下减”的平移规律进行求解即可． 【详解】解：， ∵函数的图象向左平移2个单位可得， 再向下平移1个单位可得， 即． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换．解题的关键是掌握二次函数图象“括号内左加右减，括号外上加下减”的平移规律． 5．（25-26九年级上·驻马店·期中）已知抛物线，将绕它的原点旋转得抛物线，则抛物线的解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的性质，关于原点对称图形的性质，根据得出开口向上，顶点坐标为，再根据中心对称的性质得出开口向下，顶点坐标为，即可解答． 【详解】解：∵， ∴开口向上，顶点坐标为， ∵绕它的原点旋转得抛物线， ∴开口向下，顶点坐标为， ∴. 故答案为：． 6．（25-26九年级上·上海·阶段检测）某公园新建了一个音乐喷泉，喷泉喷出的水流呈抛物线型．如图是两个连续喷泉，建立平面直角坐标系后，它们关于轴对称，其中左侧的喷泉可用表示． （1）请写出的函数表达式：_________． （2）这两个喷泉最高点之间的距离是________m． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，求出的顶点坐标，再根据对称性求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴y轴左侧喷泉最高点坐标为 ∵两个喷泉关于轴对称， ∴轴右侧喷泉最高点坐标为， 即右侧喷泉的解析式为； ∴两个喷泉最高点之间的距离是． 故答案为:； ． 7．（25-26九年级上·南京·期末）如图，二次函数图像顶点坐标为，与x轴其中一个交点坐标为． (1)该函数图像与x轴的另一个交点坐标为_______； (2)求这个二次函数的表达式； (3)若将该二次函数沿x轴翻折，则翻折后的图像的函数表达式为_______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据抛物线的轴对称性质，得该函数图像与x轴的另一个交点坐标为，即可作答． （2）依题意，设二次函数的表达式为，再把代入，求出二次函数的解析式为，即可作答． （3）因为将该二次函数沿x轴翻折，且原函数的顶点坐标是，二次项系数是1，故翻折后的图像的函数的顶点坐标是，二次项系数是，得，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数图像顶点坐标为，与x轴其中一个交点坐标为． ∴， ∴该函数图像与x轴的另一个交点坐标为， 故答案为：； （2）解：∵该函数图像与x轴的交点坐标为和， ∴设二次函数的表达式为， 把代入， 得， 解得， ∴； （3）解：∵将该二次函数沿x轴翻折，且原函数的顶点坐标是，二次项系数是1， ∴翻折后的图像的函数的顶点坐标是，二次项系数是， ∴， ∴整理得， 则翻折后的图像的函数表达式为， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·上海·期中）定义：将函数的图像绕点旋转，得到新的函数的图像，我们称函数是函数关于点的相关函数．例如：当时，函数关于点的相关函数为． (1)当时，①二次函数关于点的相关函数为________________． ②点在二次函数关于点的相关函数的图像上，求的值． (2)函数关于点的相关函数是，求点的坐标． 【答案】(1)①；② (2) 【详解】（1）解：①当时，点，相关函数顶点坐标为 则相关函数为：， 故答案为：； ②∵二次函数的顶点坐标为， ∴相关函数的顶点坐标为， ∴新函数的表达式为， 将点代入上式并解得； （2）解：函数和函数的顶点坐标分别为，， 由中点公式得：， 即； 9. （25-26九年级上·上海·模拟预测）已知抛物线 (1)当时，求抛物线的顶点坐标． (2)无论a为何值，直线与抛物线相交所得的线段（点E在点F左侧）的长度都不变，求m的值和的长； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线，抛物线的顶点分别记为P，Q．是否存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）将一般式化成顶点式即可求出顶点坐标； （2）分析可知抛物线过定点和，利用的长度不变，可知当时，抛物线相交所得的线段（点E在点F左侧）的长度都不变； （3）先求出抛物线的顶点坐标为，由（2）可知点E、F均在直线上，根据翻折的性质可知P、Q两点关于对称，即P、Q在的两侧，故要使E、F、P、Q四点构成的四边形为正方形，需满足，可得点P到直线的距离为2，即可求解． 【详解】（1）解：当时，抛物线的解析式为， ∵， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵， ∴抛物线过点， 当时，， ∴抛物线与y轴交于点， ∵直线与抛物线相交所得的线段（点E在点F左侧）的长度都不变， ∴当时，， 即当时，抛物线相交所得的线段（点E在点F左侧）的长度都不变，为4； （3）解：存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形，理由如下： ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 由（2）可知，点E、F均在直线上， 根据翻折的性质得：P、Q两点关于对称，即P、Q在的两侧，故要使E、F、P、Q四点构成的四边形为正方形，需满足， 即点P到直线的距离为2， ∴，解得：或． 【点睛】本题考查二次函数，翻折的性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数及翻折的性质． 考点06 二次函数的图像与各项系数的关系 1．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）如图，已知抛物线的对称轴为轴，那么对于结论：①；②，下列说法中正确的是（     ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①、②均正确 D．①、②均错误 【答案】A 【分析】根据开口方向和与y轴的交点即可判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴，故①正确； ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴，故②错误． 2．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）如图，抛物线（）的部分图象，其顶点坐标为，与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置及与y轴交点判断a，b，c的符号；利用抛物线的对称性确定时y的符号，结合判断①；利用对称轴公式判断③；利用顶点坐标公式判断④，即可解答． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， 对称轴为直线， ，即． ，故②错误． ， ，故③错误． 抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在和之间． 当时，，即． ， ，即，故①正确． 抛物线的顶点坐标为， ． ． ，故④正确． 综上所述，正确的结论是①④，共2个． 3．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图像如图所示，有下列结论： ①；②方程的两个根是，； ③；④当时，y随x增大而增大；⑤． 其中正确的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由抛物线与x轴有2个交点即，可判断①；由抛物线的对称轴为直线，点关于直线的对称点的坐标为即可判断②；由抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，而对称轴在y轴右侧，可判断a、b、c的正负即可判断③；由抛物线的对称轴为直线，可判断④；图象可知，当时，，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线与x轴有2个交点， ∴，故①正确． ∵抛物线的对称轴为直线，而点关于直线的对称点的坐标为， ∴方程的两个根是，故②正确． ∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴，而对称轴在y轴右侧， ∴，而， ∴，因此，，故③错误． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大， ∴当时，y随x增大而增大，故④正确． 观察图象可知，当时，，故⑤不正确． 综上所述，①②④正确，正确结论有3个． 4．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）二次函数的图像的顶点在轴正半轴上，开口向下，则、的符号为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据开口向下确定，根据二次函数的图像的顶点在轴正半轴上，确定． 【详解】解：∵二次函数的图像开口向下， ∴， ∵该函数的顶点坐标为，且顶点在轴正半轴上， ∴． 5．（26-27九年级上·天津河西·开学考试）二次函数的图象如图所示，一元二次方程的根的判别式为，则下列判断正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】根据抛物线开口方向判断的符号，根据对称轴位置判断的符号，根据与轴交点位置判断的符号，根据与轴交点个数判断的符号． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上， 对称轴在 轴右侧， ， 抛物线与轴交点在轴下方， 抛物线与轴有两个不同的交点， 一元二次方程 有两个不相等的实数根， 综上所述，，，． 6．（25-26九年级上·上海·模拟预测）二次函数的图象只过三个象限，则a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定抛物线的对称轴为直线，则可判断当时，若抛物线只经过三个象限，抛物线经过第一、二、三象限，由此列不等式组，然后解不等式组即可．当时，则，此时抛物线经过第一、二、三、四象限，不符合题意． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线图象只过三个象限， 当时，则经过第一、二、三象限， 抛物线与x轴有两个交点，与y轴交点在x轴上或x轴上方， ，即 解得； 当时，则， 抛物线与y轴交点在x轴上方， 此时抛物线经过第一、二、三、四象限，不符合题意． 的取值范围为． 7．（25-26九年级上·河南周口·期中）二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴，则a、b、c符号判断正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据二次函数的图象与性质，分别通过开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断a、b、c的符号，从而得到正确选项． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴左侧，二次函数对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数图象与y轴交于负半轴，当时，， ∴， 综上，，，，故选项A符合题意． 8．（2026·河南周口·一模）二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据二次函数开口方向、与轴交点，对称轴位置、与轴交点确定①②③，再根据顶点坐标确定④． 【详解】解：由二次函数图象可知，开口向上，与轴交于负半轴， ，， 二次函数的对称轴为， ，即， ，，结论①、③正确； 二次函数图象与轴有两个交点， 有两个不等实数根， ，结论②正确； 由图象可知，当时，， 即，结论④正确． 综上，结论正确的个数是个，选项符合题意． 9．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）已知抛物线的最高点的坐标为，那么__________0（填“>”、“=”或“<”）． 【答案】> 【分析】根据函数的最值情况推出，，进而即可比较与0的大小． 【详解】解：抛物线的最高点的坐标为， ，且在时，函数取得最大值为， 当时，， ， ． 10．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（填写序号） 【答案】②③④ 【分析】由抛物线开口方向确定的符号，由对称轴可得的关系确定的符号，由与轴的交点确定的符号，可判断①；利用时的函数值，可判断②；利用时的函数值，可判断③；结合关系及时的不等式，可判断④ ． 【详解】解：①由图像可知，抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线，即， ∴， ∴， ∵ 抛物线与轴交点在轴上方， ∴， ∴，故①错误； ②由图象可知，当时，， ∴，故②正确； ③由图象可知，当时，，故③正确； ④由①可知，则， 由②可知，， ∴，即， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论有②③④． 考点07 二次函数的增减性问题 1．（25-26九年级上·上海·期中）二次函数的图象如图所示，若，是该图象上的两点，则______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】根据二次函数的对称性质求解即可． 【详解】解：由图象知，抛物线的对称轴为直线， 又点，关于直线对称， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，能得出已知两点的对称性，并掌握二次函数的对称性是解答的关键． 2．（2025·上海崇明·一模）已知点、都在抛物线的图像上，那么与的大小关系是______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上的点满足其解析式． 先根据二次函数图象上点的坐标特征，分别计算出自变量为和时的函数值，再比较大小即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 3．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知，，在函数的图象上，则的大小关系______． 【答案】 【详解】解：当； 当； 当， ∴． 4．（26-27九年级上·上海青浦·阶段检测）已知点在抛物线上，且，则______． 【答案】 【分析】根据二次函数的增减性进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随着的增大而减小， ∵， ∴． 5．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知二次函数（为常数），当时，函数的最大值为，则的值为__________． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性与二次函数的最值问题． 先判断出二次函数的图象开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分，和三种情况，分别根据二次函数的最值列式求解． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴若，即时，则当时，函数y取最大值，即， 解得：或（舍去）， 若，即，则当时，函数y取最大值0，不符合题意； 若，即时，则当时，函数y取最大值，即， 解得：（舍去）或， 综上，h的值为-1或， 故答案为：或． 6．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）已知抛物线经过和两点，且，则m的取值范围是________． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质．通过求抛物线的对称轴和开口方向，结合开口向上，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：抛物线的二次项系数为正， 故开口向上，对称轴直线为，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小， ∵抛物线经过和两点，且， ∴， ∴， ∴或， 解得 或 ． 故答案为：或． 7．（2026·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 【答案】 ①②④ 【分析】根据二次函数的性质，逐个验证每个结论的正确性即可． 【详解】解：①：把代入，得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，故①正确； ②：二次函数的对称轴为直线，故②正确； ③：∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故③错误； ④：∵抛物线开口向下，顶点在对称轴处，此时取最大值， ∴代入得，即函数最大值是，故④正确； 综上，正确结论的序号是①②④． 8．（25-26九年级上·上海·阶段检测）定义：如果两条抛物线均经过线段两个端点，那么称这两条抛物线是“关于线段的相伴抛物线”．已知抛物线与抛物线是“关于线段的相伴抛物线，且点、点的坐标分别为，．若抛物线与抛物线在直线与直线之间的部分均是上升的，那么的取值范围为_____． 【答案】且 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性，是解题的关键．把点、点的坐标分别代入得出，再分两种情况：当时，当时，分别列出不等式，求出c的取值范围即可． 【详解】解：把点、点的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，解得：，则， ∵抛物线与抛物线在直线与直线之间的部分均是上升的， ∴，则， 解得：， ∴此时； 当时，解得：，则， ∵抛物线与抛物线在直线与直线之间的部分均是上升的， ∴，则， 解得：， ∴此时； ∵， ∴且． 故答案为：且． 考点08 二次函数与一元二次方程的关系 1．（25-26九年级上·上海普陀·期中）如果抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点的坐标是，那么它与x轴的一个交点的坐标是（   ） A．（﹣6，0） B．（﹣4，0） C．（﹣2，0） D．（4，0） 【答案】C 【分析】根据抛物线的对称性解答即可． 【详解】解： 抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， 抛物线与x轴另一交点的横坐标为 ， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ， 故选：C 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点坐标，正确理解抛物线的对称性是解题的关键． 2．（25-26九年级上·上海绵阳·期末）关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，会运用根的判别式去求参数是解题的关键．运用根的判别式，代入系数，可直接求解． 【详解】解：∵的图象与x轴有两个不同的交点， ∴， ∴． 故选：D． 3．（25-26九年级上·上海·期中）二次函数的图像与x轴的交点坐标是______． 【答案】和 【分析】此题考查了抛物线与轴的交点，要求二次函数与轴的交点，即要，得到关于的方程来求解． 令二次函数解析式中，得到关于的一元二次方程，求出方程的解可得出二次函数与轴的交点坐标． 【详解】令代入，得方程， 因式分解得：， 或， 二次函数的图像与轴的交点坐标是和． 故答案是：和． 4．（25-26九年级上·上海·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为_________． 【答案】， 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据二次函数图象与轴的交点得方程的两个根． 【详解】解：由图可知，抛物线对称轴为直线，且与轴的一个交点为， 根据抛物线的对称性，另一个交点到对称轴的距离与相等， ∵， ∴另一个交点的横坐标为，即交点为． 方程的解即为抛物线与轴交点的横坐标， 故解为． 5．（2025·上海黄浦·一模）体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动过程中距离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，当实心球运动到点时达到最高点，那么实心球的落地点与出手点的水平距离为__________米． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数，二次函数与轴交点问题，熟练掌握二次函数的顶点式和二次函数与轴交点求法是解题的关键．先利用顶点结合顶点式得出，再令，即可求解． 【详解】解：∵当实心球运动到点时达到最高点，且抛物线函数解析式为， ∴抛物线函数解析式为， 令，得， 解得：，， ∴， ∴实心球的落地点与出手点的水平距离为米， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且的面积是6．抛物线上有一动点P（不与点C重合），当时，则点P的坐标是________________ 【答案】或，或， 【分析】令，解方程求得点，的坐标，从而得到线段的长度，令，求得点的坐标，得到的长度，利用三角形的面积公式列出关于的方程，求出值，过点作轴于点，利用等底的三角形的面积的关系，得到的边上的高为3，列出关于的方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：令，则， 解得：或， 二次函数与轴交于、两点（点位于点的左侧）， ，，． ，， ． 令，则， ， ． 的面积是6， ， ， 解得：或4， ， ． 抛物线的解析式为． ， ． 过点作轴于点，如图， 设， ， ， 两个三角形中边上的高相等，为3， ， 或， 解得：或或或． 时，与点重合， 点的坐标为或，或，． 故答案为：或，或，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，要能够利用坐标表示相应线段的长度，理解函数与方程的关系，三角形面积的关系． 7．（2025·辽宁盘锦·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，求线段长，根据抛物线与轴交于点，先求得，进而将代入，求得的坐标，即可求解． 【详解】∵抛物线与y轴交于点， 当时， ∴点坐标为． 当时，，解得， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·上海普陀·期中）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段长就是抛物线关于直线的“割距”，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点恰好是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线的割距是________．      【答案】 【分析】根据直线，可以求出该直线与轴的交点，从而可以得到点的坐标，再根据点恰好是抛物线的顶点，即可得到、的值，然后联立抛物线与直线，求出它们的交点，即可求得抛物线关于直线的割距． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴点的坐标为， ∵点恰好是抛物线的顶点， ∴， ∴，， 即：抛物线为，则，解得：或， ∴抛物线与直线的交点为，， ∴此时抛物线关于直线的割距是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是求出抛物线与直线的交点坐标． 9．（25-26八年级上·上海·阶段检测）若关于的方程的一根大于2，一根小于2，则的范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的分布，将一元二次方程转化为二次函数是解决此类问题的关键．先设函数，将一元二次方程转化为二次函数，再根据二次函数图象的性质得到且，解出不等式组即可求出的范围． 【详解】解：设函数，则其图像为开口向上的抛物线， 若方程的一根大于2，一根小于2，则抛物线在处的函数值必小于0， ， 又方程有两个不相等的实数根， ，解得， 的取值范围是． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知抛物线的解析式为（为常数） (1)当时，求抛物线与轴的两个交点分别为和之间的距离； (2)求证：抛物线与轴必有两个交点． 【答案】(1) (2) 证明：令， 则：， ∵，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴抛物线与轴必有两个交点． 【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）当时，令，得，解方程即可得出抛物线与轴的两个交点和的横坐标，即可求解； （2）令，得，利用根的判别式判断一元二次方程根的情况即可得出抛物线与轴交点的情况． 【详解】（1）解：∵， ∴， 令， 得：， 解得：，， ∴； （2）略 考点09 二次函数与一次函数的综合 2026年10月14日初中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．则关于的不等式的解集为（     ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】先由得出，再根据图象直接求解即可． 【详解】解：由可得：， 根据函数图象可得：当或时，二次函数图象在一次函数图象的上面， ∴关于的不等式的解集为或． 2．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·阶段检测）一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象和性质，根据二次函数的图象确定出的符号，进而判断一次函数的图象的分布位置，再结合选项即可判断求解，掌握二次函数与一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：、由抛物线得，，， ∴， ∴直线经过第一、二、三象限，故选项不符； 、由抛物线得，，， ∴， ∴直线经过第一、二、三象限，故选项不符； 、由抛物线得，，， ∴， ∴直线经过第二、三、四象限，故选项符合； 、由抛物线得，，， ∴， ∴直线经过第二、三、四象限，故选项不符； 故选：． 3．（25-26九年级上·上海·期末）直线与抛物线的交点坐标是__________ ，___________ ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象和抛物线的交点问题，联立两函数的解析式，所得方程组的解，即为两函数的交点坐标． 【详解】解：联立两函数的解析式有：，解方程组，得或； 则直线与抛物线的交点坐标是，． 故答案为：，． 4．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，抛物线与直线相交于点，点，则关于x的方程的解为_________． 【答案】， 【分析】本题考查二次函数、一次函数的图象与方程的关系，正确理解交点的意义是解题的关键． 根据图象和交点的坐标即可求解． 【详解】解：抛物线与直线相交于点，点， 关于x的方程的解为，． 故答案为：，． 5．（26-27九年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线和直线交于点A和点B．若点A的横坐标是，点B的横坐标是2，则的解集为________． 【答案】 【分析】把 、 的横坐标代入抛物线得 、，再把两点坐标代入直线 解出 、；注意到 是直线 关于 轴的对称直线，它与抛物线的交点即 、 关于 轴的对称点，抛物线开口向上，两交点之间的部分即解集． 【详解】解：∵点 、 在抛物线 上，点 的横坐标是 ，点 的横坐标是 ， ∴，． ∵直线 经过点 、点 ， ∴两式相减，得 ， ∴， ∴， 即直线与 轴交于点 ． 考虑直线 ：，即 ． ∵抛物线 关于 轴对称，直线 关于 轴的对称直线是 ， ∴ 与抛物线的交点即 、 关于 轴的对称点： 点 的对称点 ，点 的对称点 ． ∵，抛物线开口向上， ∴ 与抛物线两交点之间，直线 在抛物线的上方， ∴ 的解集为 ． 6．（25-26九年级上·上海·期末）如图，抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，与轴交于点，直线的解析式为． (1)抛物线的解析式为________________； (2)当时，的取值范围是________________； (3)当时，的取值范围是________________； (4)当时，的取值范围是________________． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）由抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，把点代入抛物线解析式，解得值即可； （2）由抛物线与轴交于点，当时，得出点的坐标，用待定系数法求出直线解析式，再根据得抛物线图像在直线上方，由图像可知的取值范围； （3）由抛物线顶点式，可知抛物线开口向下，顶点为，，结合抛物线在范围内，两个端点和即可得出的取值范围； （4）当时，的取值范围，可以将它分为两部分分别求解再合并答案：求①当，即时，的范围；求②当，即时，的范围；综上可得，当时，的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为 把点代入抛物线解析式得， 解得， ∴抛物线解析式为， 即：抛物线解析式为 （2）∵抛物线与轴交于点， ∴当时，， ∴点的坐标为， ∵ ∴抛物线图像在直线上方， 又∵抛物线与直线的交点为点和点， ∴由图像可知，此时的取值范围为； （3）∵抛物线顶点式，可知抛物线开口向下，顶点为，， 又结合抛物线在范围内，两个端点点和点， ∴的取值范围为：； （4）①当，即， ∵时，，两根为，， 又∵抛物线的开口向下， ∴当，即时，的范围为； ②当，即， ∴， 令，解得，， 又因为的开口向下， ∴当时，的范围为或； 综上可得，当时，的取值范围是：或． 7．（25-26九年级上·上海·专题练习）如图，抛物线经过点，，． (1)在y轴上取一点P，使得，写出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，求直线与抛物线L的交点D的坐标． 【答案】(1)或； (2)或 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、一次函数和二次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定和性质等知识． （1）分两种情况，利用全等三角形的判定和性质即可求出答案； （2）分别求出直线的解析式和直线的解析式，分别与二次函数解析式联立，求出交点坐标即可． 【详解】（1）解：①在y轴正半轴上取一点P，使得，如解图， ∵，． ∴， ∵，， ∴， 点P的坐标为； ②在y轴负半轴上取一点，使得，如解图， 同理可证，， ， ∴.点的坐标为. 综上所述，点P的坐标为或； （2）如解图，设直线的解析式为， 由点B、P的坐标可得 则 解得 ∴直线的解析式为， 同理可得，直线的解析式为，， 当时， 解得（舍去）或， 当时，， 点D的坐标为， 当时， 解得（舍去）或， 则 点的坐标为. 综上所述，点D的坐标为或. 8．（25-26九年级上·上海·期末）如图，二次函数的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数的图象经过点B，且与抛物线交于点． (1)求二次函数与一次函数的解析式； (2)根据图象，写出满足的x的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【详解】（1）解：抛物线过点， 当，时，， ， ， 当时，， ， 点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点， ， 将，代入，得 ，解得， ． （2）由图象可得，或． 考点10 二次函数的应用问题 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 【答案】C 【分析】先求出抛物线的解析式，再求出它与轴的正半轴的交点的横坐标即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 又它与轴的交点坐标为， 所以， 解得：， 所以抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， 所以铅球落地点到出手点的时间为秒． 2．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图为喷泉某一截面的水流，可看作抛物线，水流喷出的高度与水平距离之间满足，则水流喷出的最大高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将二次函数解析式化为顶点式，利用二次函数的性质求最大值. 【详解】 解：， ， 当时，取最大值为， 水流喷出的最大高度为. 3．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）投篮时篮球的飞行轨迹是一条抛物线．现以篮筐为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知篮筐到地面的高度为2.8米，如果当篮球运动到距篮筐水平距离3米时到达离地面3.4米的最高点，那么篮球脱手时的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，可得该抛物线顶点坐标为，设该抛物线的解析式为，利用待定系数法解得该抛物线解析式，然后逐项分析判断即可． 【详解】解：如下图， 根据题意，可得该抛物线的顶点坐标的横坐标为，纵坐标为，即顶点坐标为， 设该抛物线的解析式为， 将点代入，可得， 解得， ∴该抛物线的解析式为， 当时，， 故选项A、B均不符合题意； 当时，， 即篮球脱手时的坐标可能是， 故选项C不符合题意，选项D符合题意． 4．（25-26九年级上·上海·期末）某品牌裙子，平均每天可以售出20条，每条盈利40元，经市场调查发现，如果该品牌每条裙子每降价1元，那么平均每天可以多售出2条，那么当裙子降价_________元时，可获得最大利润__________ 【答案】 15 1250 【分析】设裙子降价x元，利润为w元，然后由题意可得，进而根据二次函数的性质可求解． 【详解】解：设裙子降价x元，利润为w元，由题意得： ， ∴-2＜0，开口向下， ∴当时，w有最大值，最大值为1250， ∴当裙子降价15元，可获得最大利润为1250元； 故答案为15，1250． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． 5．（2025·上海松江·一模）公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的离地高度（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是．那么水珠的最大离地高度是________米． 【答案】 【分析】根据二次函数的顶点式即可求解． 【详解】∵， ∴时，y取最大值， 即水珠的高度达到最大米时，水珠与喷头的水平距离是2米， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握把二次函数的解析式化为顶点式． 6．（2026·上海杨浦·三模）某商店购进了一种生活用品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中，且x为整数），部分对应值如下表： 每件售价x（元） 9 11 13 每天的销售量y（件） 105 95 85 (1)求y与x的函数解析式； (2)如果该商店打算销售这种生活用品每天获得425元的利润，那么每件生活用品的售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)13元 【分析】（1）待定系数法求解即可； （2）由题意知，利润，令，则，计算求解满足要求的值即可． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为，， 将，代入得， 解得， ∴， ∴与的函数关系式为； （2）解：由题意知，利润， 令，则， 解得或（不合题意，舍去）， ∴每件消毒用品的售价为13元； 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 7．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）有一座抛物线形拱桥，已知正常水位时，桥下水面宽度为20米，拱顶距水面5米．拱桥的截面如图所示，其中桥拱截线是一段抛物线，平面直角坐标系的原点是桥拱截线与正常水位的水面截线相交处的一点，轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离是1.3米． (1)求桥拱截线所在抛物线的表达式； (2)为迎接中秋，准备在拱桥桥洞中悬挂0.5米长的灯笼（忽略悬挂灯笼的绳子长度，灯笼的宽度不超过0.2米）．灯笼从拱顶开始，向拱桥两侧对称悬挂，相邻两个灯笼悬挂点的水平间距相等，且灯笼的最底端不低于． ①如果相邻两个灯笼悬挂点的水平间距为0.8米，此时最多可悬挂多少个灯笼？ ②设最左侧灯笼在拱桥截线上的悬挂点的坐标为，如果能且最多只能悬挂7个灯笼，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①最多可悬挂灯笼数为个；② 【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，再根据待定系数法即可解答； （2）①根据灯笼长0.5米，要求灯笼最底端不低于，可得悬挂点的最低纵坐标为，将代入抛物线表达式，即可解答； ②根据最多只能悬挂个灯笼，可得悬挂点从拱顶向左右各延伸个，共个， 设每个灯笼的水平间距为，得到如果要在最左侧的左边再加一个灯笼，则这个灯笼的纵坐标为，根据题意列不等式组即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入可得， 解得， 所以桥拱截线所在抛物线的表达式为； （2）①解：由题意可得点的纵坐标为, 灯笼长0.5米，要求灯笼最底端不低于， 悬挂点的最低纵坐标为， 将代入抛物线表达式，可得， 解得， 相邻悬挂点水平间距为米， 最多可悬挂灯笼数为个； ②最多只能悬挂个灯笼， 悬挂点从拱顶向左右各延伸个，共个， 设每个灯笼的水平间距为， 最左侧灯笼坐标为，则，， ， 如果要在最左侧的左边再加一个灯笼， 那么这个灯笼的横坐标为， ∴这个灯笼的纵坐标为， 根据题意可得， 解得， ， ， ， 当时，， 当时，， 8．（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）【实践与探究】九（9）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一一应用一一探究的过程： (1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为，隧道顶部最高处距地面，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，则该抛物线的解析式为_________________． (2)应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽、最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙）？ (3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了下面问题，请予解答： 如图2，过原点作一条的直线，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问：在线段上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)该隧道能让最宽、最高的两辆厢式货车居中并列行驶 (3)P点的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解析式； （2）将车宽转化为横坐标，将横坐标代入解析式求解，判断，即可解题； （3）因为三角形为等腰直角三角形，需分类讨论，再根据等腰直角三角形的性质和函数解析式，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：由图设抛物线的解析式为， 则， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）∵车宽、高， ∴当时，， ∵，满足车顶部与隧道在竖直方向上的高度差至少为， ∴该隧道能让最宽、最高的两辆厢式货车居中并列行驶． （3）存在， ∵M为与的交点， 则有，解得，， ∴， ∵三角形为等腰直角三角形，需分类讨论， ①当，时， ∵N为直线与对称轴的交点， ∴， 取点，，则， ∴，即， ∴点Q为与抛物线的交点， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点Q为与的交点， 则有，解得（舍），， ∴， ∴； ②当，时，因为轴，所以该情况不存在； ③当，时， ∵， ∴轴， ∵， ∴Q点的纵坐标为5，则，解得（舍），， ∴ 综上，P点的坐标为或． 【点睛】此题考查用待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质和数形结合思想，能够将题干条件转化为数学知识解决问题是解题的关键． 考点11 二次函数的几何综合 1．（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）已知抛物线经过两个轴上的点，，把两点坐标代入抛物线解析式得到二元一次方程组，解方程组求出、的值，得到抛物线解析式；再将解析式配方化为顶点式，直接读出顶点坐标； （2）由，坐标得到底边长，三角形面积公式用点纵坐标的绝对值作为高，列出含绝对值方程；分两种情况讨论，结合一元二次方程判别式判断解是否存在，舍去无实根的情况，求出符合条件的点P坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， ， 解得， 该抛物线的解析式为， ， 该抛物线的顶点坐标为； （2）解：，， ， 点P为抛物线上一点， 设， ， ， ， 当时，， 化简得， ， 无解， 当或时，， 化简得， 因式分解得， 解得或， 综上所述，点P的坐标为或． 2．（26-27九年级上·上海·阶段检测）抛物线与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，T是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． (1)求c的值； (2)如图1，若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H，求的值； (3)定义：抛物线上两点M、N之间的部分叫做抛物线弧（含端点M和N）．过M、N分别作x轴的垂线、，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线、，直线、、与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为．过点作轴，交抛物线于点Q，点Q与点C不重合．记抛物线弧的特征矩形的周长为g，若，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将代入二次函数解析式计算即可得出结果； （2）先求出，由题意可得，则，，代入计算即可得出结果； （3）先求出，，由（2）可得，，对称轴为直线，从而可得点关于对称轴的对称点为，由题意可得，求出，由题意可得，再分情况分别求出g，再结合，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于点， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得：， ∴， ∵P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t， ∴， ∵点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H， ∴，， ∴； （3）解：当时，，即， 当时，， 解得，， ∴， 由（2）可得，，对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵点在第四象限， ∴， 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，， ∴， 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，， ∴； 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，， ∴； 综上所述，， ∵轴， ∴、关于对称轴对称， ∴， 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为，， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去）或， ∴； 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为，， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为，， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去）或， ∴； 综上所述，的长为或． 3．（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）【实践与探究】九（9）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一一应用一一探究的过程： (1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为，隧道顶部最高处距地面，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，则该抛物线的解析式为_________________． (2)应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽、最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙）？ (3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了下面问题，请予解答： 如图2，过原点作一条的直线，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问：在线段上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)该隧道能让最宽、最高的两辆厢式货车居中并列行驶 (3)P点的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解析式； （2）将车宽转化为横坐标，将横坐标代入解析式求解，判断，即可解题； （3）因为三角形为等腰直角三角形，需分类讨论，再根据等腰直角三角形的性质和函数解析式，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：由图设抛物线的解析式为， 则， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）∵车宽、高， ∴当时，， ∵，满足车顶部与隧道在竖直方向上的高度差至少为， ∴该隧道能让最宽、最高的两辆厢式货车居中并列行驶． （3）存在， ∵M为与的交点， 则有，解得，， ∴， ∵三角形为等腰直角三角形，需分类讨论， ①当，时， ∵N为直线与对称轴的交点， ∴， 取点，，则， ∴，即， ∴点Q为与抛物线的交点， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点Q为与的交点， 则有，解得（舍），， ∴， ∴； ②当，时，因为轴，所以该情况不存在； ③当，时， ∵， ∴轴， ∵， ∴Q点的纵坐标为5，则，解得（舍），， ∴ 综上，P点的坐标为或． 【点睛】此题考查用待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质和数形结合思想，能够将题干条件转化为数学知识解决问题是解题的关键． 4．（25-26九年级下·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点，顶点为． (1)求，的值与顶点的坐标； (2)抛物线（且）过点，，且与x轴另一个交点为，顶点为． ①求的余切值（用含有的代数式表示）； ②如果，求此时点的坐标． 【答案】(1)，， (2)①；② 【分析】（1）用待定系数法求得抛物线的解析式为，再配方成顶点式，得出顶点的坐标； （2）先求得抛物线的解析式为，再令，解得点的坐标为，最后根据余切的定义求解即可； （3）先求得点的坐标为，设抛物线的对称轴与轴交于点，则，，可得；设抛物线的对称轴与轴交于点，则点的横坐标，纵坐标，得出， 结合点的坐标为和正切的定义再求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点和， ∴将点代入方程，即，得， 将点及代入方程，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； ， ∴顶点的坐标为； （2）解：①∵抛物线过点和，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则， 即， 解得， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 如图，在中，， ； ②由（1）知，抛物线的对称轴为直线，顶点， 令，得，解得， ∴点的坐标为． 如图，设抛物线的对称轴与轴交于点，则，连接、， 在中，， ， ， ， 如图，设抛物线的对称轴与轴交于点，连接、， 则点的横坐标，纵坐标， ； ∵点的坐标为， ， 在中，， ∴，即， 解得或， ， ， 当时，顶点的坐标为：横坐标，纵坐标， ∴点的坐标为． 5．（2026·上海浦东新·二模）定义：如果一个二次函数的图像与一次函数的图像相交于坐标轴上的两个点，那么称此二次函数为这个一次函数的“贯轴抛物线”． (1)已知是一次函数的一条“贯轴抛物线”，求、的值； (2)已知一次函数（其中为常数，）的图像与轴、轴分别交于点、点，它的一条“贯轴抛物线”与轴的另一个交点为，顶点在第一象限．如果在轴上存在点，使得四边形是平行四边形，求的值； (3)一个二次函数既是一次函数又是一次函数（其中为常数，）的“贯轴抛物线”，且此二次函数图像与轴分别交于、两点（点在点的左边），与轴交于点．如果二次函数图像上始终存在点，且在第四象限，使得，求满足条件的的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，得直线与轴的交点为，令，得直线与轴的交点为，结合题意知点，，再进一步求解即可． （2）直线与轴，轴分别交于点，，可得，求解．点坐标为，结合四边形为平行四边形，进一步求解即可． （3）结合题意知：，，，当点在第四象限且时，则，可得，进一步可得，再解不等式即可． 【详解】（1）解：令，得直线与轴的交点为， 令，得直线与轴的交点为， 由题意知点，在抛物线上， 分别把，和，代入得： ， 解得：． （2）解：直线与轴，轴分别交于点，， ∵点在抛物线，① ∴， ∵，∴． 令代入①式，得：． ∴，， ∴点坐标为， ∵四边形为平行四边形， ∴，解得． ∴． （3）解：∵一次函数， 当，，当，则， 同理：由一次函数可得： 当，，当，则， 结合题意知：，，， ∴， ∴， 当点在第四象限且时，则， 在中，∵，， ∴， 如图， 当时，， 当时，， 在中，∵（）， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴负半轴交于点C，且，抛物线的顶点为M． (1)求a、c的值； (2)证明：为直角三角形； (3)若点是线段上一个动点，联结，是否存在点，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)证明：由（1）得， ， ∴顶点坐标为， ∵，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形； (3)存在点P使得O、C、P为顶点的三角形与相似，点坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得顶点坐标，利用勾股定理求得各边的长，证明是直角三角形即可； （3）根据，，分，，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据题意，得， 解得， 故，； （2）略 （3）解：令，则， 解得或， ∴， ∵，点，， ∴，，， ∴， 当时，    ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 过点P作轴于点F， 则， ∴， ∴． 当时，    ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 过点P作轴于点G， 则， ∴， ∴； 综上所述，存在点P使得O、C、P为顶点的三角形与相似，点坐标为或． 7．（2026·上海徐汇·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，顶点为．直线经过点，且． (1)求直线的表达式； (2)已知抛物线也经过、两点，且开口向下，顶点为．设为抛物线与直线的交点，连接、、，当四边形是梯形时，求抛物线的表达式． 【答案】(1)直线的表达式 (2)抛物线或 【分析】本题主要考查二次函数与几何的结合，涉及待定系数法求解析式，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，两点之间的距离，以及梯形的性质，解题的关键是应用分类讨论思想． （1）根据待定系数法求得抛物线，即可知点，过点M作轴，交x轴于点C，交直线l于点N，可证明，有，结合两点之间距离求得，利用待定系数法即可求得直线的表达式； （2）根据题意的，利用待定系数法求得抛物线，则点，联立方程求得点，结合梯形的性质若，过点N作轴于点C，过点M作平行于x轴的直线与过点D作轴于点C，线段与x轴交于点F，则点，且，有，两点之间距离公式求得a（当a值接近0时不满足题干要求的梯形字母顺序，故舍去）；若，过点M作轴于点G，过点D作平行于x轴的直线与过点N作轴于点H，同理可得，点，求得a即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴， 解得， 则抛物线， ∴点， 如图，过点M作轴，交x轴于点C，交直线l于点N， 则，， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， ∵点和点， ∴，， 则，解得， ∴点 ∴设直线l的解析式为， ∵直线经过点和点N， ∴， 解得 则直线的表达式； （2）解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线经过、两点， ∴， 解得， 则抛物线， ∵抛物线顶点为， ∴， 联立， 解得，， 则点， ∵四边形是梯形， ∴，或， ①如图，若，过点N作轴于点C，过点M作平行于x轴的直线与过点D作轴于点C，线段与x轴交于点F， 则，，点，点， ∴， ∴， ∵点，点，点，点，点， ∴，，，， 则， 解得，（构不成梯形，舍去）， 那么，抛物线； ②若，过点M作轴于点G，过点D作平行于x轴的直线与过点N作轴于点H， 同理可得，点，点， ∴，，，，， 则， 解得，（构不成梯形，舍去）， 那么，抛物线． 8．（2026·上海松江·二模）在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，是直线上一点（不与点重合），且，抛物线经过、两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，且位于第一象限，如果四边形是梯形，求梯形的面积； (3)点、都在第三象限，其中点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，如果与相似，且边与边对应，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据一次函数可知，的坐标，进而根据可得点是线段的中点，然后根据待定系数法即可求得二次函数表达式； （2）根据是梯形，可知的直线解析式，进而联立方程可知点的坐标，根据割补法即可求解； （3）①过点作,过点作，进而可知，根据相似三角形的性质即可求解；②过点作交对称轴于,过点作交对称轴于，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题可知，一次函数与轴交于点，与轴交于点， 则点，， ∵是直线上一点，且， ∴点是线段的中点， 设点， ∴点， ∴，， ∴点， 将点，点代入抛物线 得 解得： 则抛物线的表达式为：， （2）解：由题可得图， ∵四边形是梯形， ∴, ∵为原点， 则的直线解析式为：， 则联立函数得， 解得或， ∵点在抛物线上，且位于第一象限， ∴, 过点作轴，过点作轴， ， （3）解：①由题可得，过点作,过点作 当,与相似, 且边与边对应 则, 抛物线， , ,, ∴, ∴, ∴ 则抛物线的对称轴为：， 设点，点 ∴，， ，， 则，， 解得：或， ∵点、都在第三象限， ∴, ∴， ∴． ②由题可得，抛物线的对称轴为， 过点作交对称轴于,过点作交对称轴于， 当,与相似, 且边与边对应 则, 抛物线， , ,, ∴, ∴, ∴ 则抛物线的对称轴为：， 设点， ∴,， ，。 解得：或（舍去）， 则∴． 综上所述，，． 9．（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）已知，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点M是直线上方的抛物线上一动点（不与A，C重合），连接，，求的面积最大值以及此时点M的坐标． (3)如图2，若动点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积最大值为，此时点M的坐标为 (3)存在，符合条件的点P的坐标为：，，，， 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）作轴于点H，交线段于点D，先求直线的解析式，设点M的坐标为，用含q的式子表示出，进而用含q的式子表示出，利用二次函数的最值求解； （3）以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形时，分三种情况：当以为对角线时，则；当以为对角线时，则；当以为对角线时，则，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：如图，作轴于点H，交线段于点D， 将代入，得， ， 设直线的解析式为，将，代入， 得：， 解得， 直线的解析式为； 设点M的坐标为，则点D的坐标为， ， ， 二次项系数，抛物线开口向下，对称轴为， 当时，取最大值，最大值为， 此时， 综上可知，的面积最大值为，此时点M的坐标为； （3）解：抛物线的对称轴为：直线， 设，，，， ，，， 以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形时，分三种情况： 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ，； 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ； 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ， ， 综上可得，符合条件的点P的坐标为：，，，， ． 10．（2026九年级上·上海·专题练习）如图①，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，抛物线的对称轴与抛物线交于点P，与直线AB交于点M，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点K是x轴正半轴上一点，点A，P关于点K的对称点分别为，，连接，，若，求点K的坐标； (3)如图②，矩形的边在x轴负半轴上，边在第二象限，，．将矩形沿x轴正方向平移t（）个单位，直线分别交抛物线于G，H．问：是否存在实数t，使得以点D，F，G，H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，t的值为或或 【分析】（1）利用因式分解得出，然后根据顶点式得出，利用线段的数量关系列出方程求解； （2）根据题意画出图形，证明得出相等的线段，证明得出，然后求出相关线段的长度，即可确定点的坐标； （3）分情况进行讨论，画出图形，得出点G的横坐标为，点H的横坐标为，根据函数解析式表示出相关线段的长度，根据平行四边形的性质列出方程求解． 【详解】（1）解：由， 令，则，． ∵A在B的左侧， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，． ∴， ∴． ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴，． 作轴于Q，连接， ∵点A，P关于点K的对称点分别为，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：存在． 由题意，点G的横坐标为，点H的横坐标为，如图②，若为平行四边形的一条边，则． ∴， 解得； 如图③，④， 若为平行四边形的一条对角线，则， ∴或，， 解得． 综上所述，t的值为或或． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $