专题06 九年级期中易错50题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题06 九年级期中易错50题 正确题数：_______ 错误题数：_______ 正确率：_______ 错因分析： 1．若二次函数取最大值时，则m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 2．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 3．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（　　） A． B． C． D． 4．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 5．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且图象经过点，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．若且，则 D．若，两点都在抛物线上，则 6．已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 7．如图，抛物线的部分图像，对称轴为直线，则的值（    ） A．－3 B．－2 C．－1 D．0 8．已知二次函数中与的部分对应值如下表，下列判断正确的是（     ） … 0 1 2 … … 1 3 1 … A．抛物线开口向上 B．抛物线与轴交于负半轴 C．当时，随的增大而减小 D．方程的正根在3与4之间 9．二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表： … 0 1 … … 3 2 … 对于下列结论：①；②；③当时，随的增大而减小；④的两个根为，．其中正确结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 11．如图，和是以点为位似中心的位似图形，，的周长为6，则的周长为（   ） A．9 B．15 C．12 D．18 12．二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 13．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④若，，是抛物线上三点，则；⑤关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的结论的个数是（   ） A．2 B．5 C．4 D．3 14．若一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 15．开口向下的抛物线经过点，则下列关系式中可能成立的是（   ） A． B． C． D． 16．如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①；②；③；④对于任意实数m，都有．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．如图1，二次函数的图象开口向下，与x轴交于、两点，与y轴交于点，对称轴为直线．下列结论正确的是（    ） A． B．当时，y随x的增大而减小 C．关于x的方程的两个根为， D． 18．不等式对任意实数x都成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（　　）    A． B． C． D． 20．如图，二次函数的图象经过正方形的三个顶点，则的值为_______． 21．已知二次函数（是常数），当时，函数的最大值是，则的值为________． 22．如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是______________．（写出一种情况即可） 23．（24-25九年级上·上海·期中）当_______时（只要填一个符合条件的m值即可），抛物线（m是常数）经过一、二、三象限． 24．信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．已知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元/罐时，每天可销售60罐，为了促进销售，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20罐（销售单价不低于进价），则商家降价能获得的最大利润为_____元． 25．（25-26九年级上·上海·期中）已知点是线段的黄金分割点，，则_____. 26．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：如图，为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为_______尺． 27．如图，一辆宽为的货车要通过一条单行抛物线形隧道（从正中通过），抛物线满足表达式，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是_________． 28．（25-26九年级上·上海·期中）如果一个锐角的正弦值等于黄金分割数，那么我们称这个角叫做黄金角．如图，在中，，是黄金角，点在边上，且点是的黄金分割点（）,联结．如果，那么的长是______． 29．（24-25九年级上·上海青浦·期中）在中，点和分别在直线和上，且，如果，，那么的长等于______． 30．（25-26九年级上·上海·期中）如图，矩形的四个顶点都在的边上，且边落在上，．若，，，那么的长为_______________． 31．如图，在平行四边形中，是对角线上的两点，且，的延长线交于点G，的延长线交于点，若平行四边形的面积为24，则四边形的面积为______． 32．如图，中，，，点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．其中一个动点到达终点时，另一个也相应停止运动．那么，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是_____． 33．已知，且，求的值． 34．已知关于x的二次函数的最小值为4，设，则z的取值范围是______． 35．已知二次函数． (1)将化成的形式，并写出它的顶点坐标； (2)在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出自变量的取值范围． 36．如图，已知抛物线经过两点． (1)求抛物线与轴的交点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 37．如图，某校劳动实践基地在一道长为的墙一侧，用长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． (1)分别求与，与之间的函数解析式，并求出自变量的取值范围； (2)当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少？ 38．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽． (1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 39．已知抛物线与轴正半轴交于点，顶点为． (1)求直线的表达式； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，当的长为3时，直接写出的值． 40．已知抛物线的顶点为P，与x轴相交于点和点，与y轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； (3)计算的面积． 41．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； (2)若点，，抛物线与线段只有一个交点，求m的取值范围； (3)，是抛物线上两点，若，直接写出m取值范围． 42．（22-23九年级上·上海青浦·期中）如图，在梯形中，，点E在线段上，与相交于点F，与的延长线相交于点G，已知，，． 求的长． 43．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，直线、、分别交两条直线于点A，B，C，D，E，F，且， ，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 44．如图，四边形是某学校的一块种植实践基地，其中是水果园，是蔬菜园．已知，，，． (1)求证：； (2)若蔬菜园的面积为60，求水果园的面积． 45．一块材料的形状是锐角，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)求证：； (2)求这个正方形零件的边长； (3)如果把它加工成矩形零件如图2，当______时，这个矩形的面积最大，最大值是______． 46．如图，在矩形中，，，点是的中点．点，分别从点，两点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点，的速度均为，当点到达点时，两个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为． (1)当秒时，的值是多少？ (2)当为何值时，以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形相似？请说明理由． 47．在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上． (1)求该抛物线的对称轴． (2)若点，也在抛物线上，请通过计算比较，的大小． 48．抛物线与x轴交于点O和点A，点B是该抛物线的顶点． (1)在所给的坐标系中画出抛物线的大致图象，标出各点 （不用列表，直接描点、连线）； (2)结合函数图象，直接写出： ①当时，x的取值范围为 ； ②当时，y的取值范围为 ． (3)将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的抛物线为 ． 49．已知二次函数，其图像上有不同的两点坐标分别为、，记y的最小值为p． (1)若，请直接写出该二次函数图像的顶点坐标； (2)若，求m的值； (3)点与也在该函数图像上，判断是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由． 50．【问题背景】教材第54页《数学活动》 观察下列两个两位数（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大，如：，，…，，． 能用二次函数的知识证明的积最大． 【类比探究】 观察下列两数相乘的运算，如，，，…，，，，，，…，，，． 请你猜想，积最大的是_______________． 【归纳结论】和为定值的两个正数相乘，当这两个数相等时，它们的乘积最大． 【问题解决】 (1)请补全【类比探究】中的猜想：积最大的是_________． (2)用你所学的知识证明【归纳结论】的正确性，（提示：设其中一个正数为，两个正数的和为．） (3)如图，四边形的对角线互相垂直，垂足为，且，求四边形的面积的最大值． 试卷第1页（共3页） 1 / 48 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 九年级期中易错50题 正确题数：_______ 错误题数：_______ 正确率：_______ 错因分析： 1．若二次函数取最大值时，则m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】利用二次函数开口向下时最大值在对称轴处的性质，结合对称轴公式求解， 【详解】解：∵二次函数中， ∴函数取最大值时的值为对称轴横坐标， 由对称轴公式直线，代入，， 得， ∵函数取最大值时， ∴． 2．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】根据解析式可得开口方向和对称轴，开口向上，离对称轴越远函数值越大，再求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴二次函数开口向上，离对称轴越远的点，函数值越大，对称轴为直线， ∵， ， ∴． 3．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数图像的识别，熟练掌握二次函数图像与一次函数图像的性质是解题关键．根据图像分别判断二次函数解析式中的符合以及一次函数解析式中的符号，判断是否一致，即可获得答案． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意． 4．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【详解】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，故本选项符合题意； B、由抛物线可知，由直线可知，故本选项不符合题意； C、由抛物线可知，由直线可知，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意． 5．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且图象经过点，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．若且，则 D．若，两点都在抛物线上，则 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】根据抛物线的开口向下，与轴交于正半轴可得，，据此可得选项A错误；根据二次函数的对称轴即可得选项B错误；得出和关于对称轴直线对称，据此可得选项C正确；根据二次函数的增减性可得选项D错误． 【详解】解：由函数图象可知，抛物线的开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∴，则选项A错误； ∵这个二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，则选项B错误； ∵且， ∴， ∴和关于对称轴直线对称， ∴， ∴，则选项C正确； ∵抛物线的开口向下，其对称轴为直线， ∴当时的函数值与当时的函数值相等；且当时，随的增大而减小， ∵点在抛物线上， ∴点也在抛物线上， 又∵点在抛物线上，且， ∴，则选项D错误． 6．已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】根据二次函数的图象和性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：由表可知，点和的纵坐标相同， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，最大， ∴抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， 当与时，到对称轴的距离相等， ∴值相等， ∵时，， ∴时，． 故选：． 7．如图，抛物线的部分图像，对称轴为直线，则的值（    ） A．－3 B．－2 C．－1 D．0 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，解题关键是掌握二次函数的性质． 根据二次函数关于对称轴对称，可以求出与轴另一个交点坐标，再将坐标代入解析式中即可求解． 【详解】解：设抛物线与轴交点的横坐标为，， 由图像得，， 对称轴为直线， ，． 抛物线经过点． ． 故选：D． 8．已知二次函数中与的部分对应值如下表，下列判断正确的是（     ） … 0 1 2 … … 1 3 1 … A．抛物线开口向上 B．抛物线与轴交于负半轴 C．当时，随的增大而减小 D．方程的正根在3与4之间 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】根据题意和表格中的数据可以得到该函数的对称轴、开口方向，从而可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图表可得，当时，随的增大而增大， ∴抛物线开口向下，故选项A错误，不合题意； 当时，，即抛物线与轴的交点为， 即抛物线与轴交于正半轴，故选项B错误，不合题意； ∵该函数图象开口向下，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小，选项C正确，符合题意； 根据二次函数图象的对称性质可知，当时，， 可知方程的正根在2与3之间，故选项D错误，不符合题意． 9．二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表： … 0 1 … … 3 2 … 对于下列结论：①；②；③当时，随的增大而减小；④的两个根为，．其中正确结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】由表格数据可知对称轴为直线，即可得出，与同正负，即可判断②；当时，，可得出，再结合与同正负即可得出，即可判断①；由二次函数的对称性可得出点关于对称轴的对称点为，即可判断④；根据，均在二次函数图象上，且均在对称轴左侧，可得抛物线开口向下，进而根据二次函数的图象与性质可判断③． 【详解】解：根据表格可知：和时，的值均为， ∴该二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，与同正负，且不为， ∴，故②错误； 当时，， ∴， ∴，故①正确； ∵二次函数图象上的点关于对称轴的对称点为：， ∴方程，即方程的两个根为，，故④正确； ∵，均在二次函数图象上，且均在对称轴左侧， ∴在对称轴左侧，y随的增大而增大， ∴，抛物线开口向下， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，故③错误； 综上所述，① ④正确，共个． 10．如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【详解】解：， ， A、 ，故本选项不符合题意； B、，与的大小无法判定， 无法判定，故本选项符合题意； C、， ，故本选项不符合题意； D、， ，故本选项不符合题意． 11．如图，和是以点为位似中心的位似图形，，的周长为6，则的周长为（   ） A．9 B．15 C．12 D．18 【答案】B 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】此题主要考查了位似变换，正确得出和的周长比是解题关键． 直接利用位似图形的性质得出和的周长比，进而求出答案． 【详解】解：， ， 和是以点为位似中心的位似图形， 和的周长比等于位似比是， 的周长为6， 的周长为15． 故选：B． 12．二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【详解】解：①∵抛物线的开口向上， ∴， ∵， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∴，故①错误； ②∵对称轴为直线， ∴， ∴，故②正确； ③∵时，， ∴，③正确． 13．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④若，，是抛物线上三点，则；⑤关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的结论的个数是（   ） A．2 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数的图象与性质进行排除选项即可． 【详解】解：由图象可知：开口向上，即，对称轴为直线，即，故②错误； 由抛物线与x轴有两个交点，可知：，故③错误； 当时，则有，故①正确； ∵点，，是抛物线上三点，且， ∴根据开口向上，离对称轴越近，其对应的函数值也就越小可知：，故④正确； 由关于x的一元二次方程的解可看作是直线与二次函数的交点横坐标，则由二次函数的图象可知：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；故⑤正确； 综上所述：正确的有①④⑤，共3个； 故选D． 14．若一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数的图象，由一次函数的图象判断出， ，再判断二次函数的图象特征，进而求解． 【详解】解：由一次函数的图象可得：，， ∴二次函数图象的对称轴是直线，与轴的交点在正半轴， ∴二次函数的图象可能为： 15．开口向下的抛物线经过点，则下列关系式中可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题主要考查了二次函数的性质及一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数的图像性质、能结合等式分析参数取值是解题的关键．先根据抛物线过点得出关于、的等式，再结合开口向下得到，然后逐一分析选项． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴，即， 化简得， 又∵抛物线开口向下， ∴， 选项A：若，则，代入，得，即，，符合条件； 选项B：若，与矛盾，不符合； 选项C：∵抛物线经过点， ∴方程有实数根， ∴，与矛盾，不符合； 选项D：若，代入，得，即，解得，与矛盾，不符合． ∴故选：A． 16．如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①；②；③；④对于任意实数m，都有．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】由图象可得，当时，，即可判断①；由开口方向和与y轴的交点得到，，即可判断②；由对称轴得到，然后代入即可判断③；将变形得到，然后根据即可判断④． 【详解】解：∵， ∴由图象可得，当时，，故①正确； ∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，故③错误； 若， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，故④错误． 综上所述，其中正确结论的个数为2个． 17．如图1，二次函数的图象开口向下，与x轴交于、两点，与y轴交于点，对称轴为直线．下列结论正确的是（    ） A． B．当时，y随x的增大而减小 C．关于x的方程的两个根为， D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】根据开口向下得到，然后结合对称轴得到，然后根据与y轴交点得到，即可判断A；根据图象即可判断B；根据抛物线与x轴的交点即可判断C，D． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴交于点， ∴， ∴，故A错误； 由图象可得，当时，y随x的增大而增大，故B错误； ∵抛物线图象与x轴交于点，， ∴关于x的方程的两个根为，，故C正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故D错误． 18．不等式对任意实数x都成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求不等式组的解集、y=ax²+bx+c的图象与性质、利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数恒成立的问题，讨论当，和时，结合题意求出a的取值范围即可． 【详解】解：当时，则， 当时，恒成立； 当时，则， 即，不是任意实数x都成立； 当时，设，函数图象开口方向向上， 不等式不是对任意实数都成立， 当时，则， 即（无解）或， 解得：， 设，函数图象开口方向向下， 不等式， 只要， 即， ，即或（无解）， 解得：， a的取值为； 综上， a的取值为； 19．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查的是二次函数的应用，根据题意列出二次函数是解题的关键． 设P、Q同时出发后经过，的面积为，则，，，进而得到S的表达式；由于S的表达式为二次函数的形式，将其化为顶点式，再结合t的取值范围就能得出面积的最大值． 【详解】解：设P、Q同时出发后经过，的面积为S cm2． 则，，， 则． ∵，，点P的运动速度为，点Q的运动速度为， ∴， ∴， ∴时，S有最大值，最大值为9，即的最大面积为 故选：C． 20．如图，二次函数的图象经过正方形的三个顶点，则的值为_______． 【答案】2 【分析】由题意易得点C、B关于y轴对称，点，进而根据正方形的性质可得点，然后代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∴C、B关于y轴对称， ∵四边形是正方形， ∴，与相互平分， 令时，则有， ∴点， ∴， ∴点， 把点C代入得：，解得：或， ∵， ∴． 21．已知二次函数（是常数），当时，函数的最大值是，则的值为________． 【答案】3或-6 【分析】根据题目中的函数解析式和当0≤x≤2时，y的最大值是2，利用分类讨论的方法可以求得m的值，本题得以解决． 【详解】解：二次函数y=-x2+mx+=-（x-）2+， 当时，即m＞4， 在0≤x≤2时，x=2时取得最大值，则2=-22+2m+，得（舍去）； 当＜0时，即m＜0， 在0≤x≤2时，x=0时取得最大值，则，得； 当0≤≤2时，即0≤m≤4， 在0≤x≤2时，x=时取得最大值，则，得，（舍去）， 由上可得，m的值是3或． 故答案为：3或． 【点睛】本题主要考查考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答． 22．如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是______________．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】根据相似三角形的判定解答即可． 【详解】解：∵， ∴添加条件：可判定． 23．（24-25九年级上·上海·期中）当_______时（只要填一个符合条件的m值即可），抛物线（m是常数）经过一、二、三象限． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据函数图象经过一、二、三象限，得到图象与坐标轴有两个交点，且与轴的交点的纵坐标为非负数，确定的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，当时，， ∴当抛物线（m是常数）经过一、二、三象限时，图象与坐标轴有两个交点，且与轴的交点的纵坐标为非负数， ∴，解得：， ∴当时，满足题意； 故答案为：（答案不唯一） 24．信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．已知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元/罐时，每天可销售60罐，为了促进销售，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20罐（销售单价不低于进价），则商家降价能获得的最大利润为_____元． 【答案】1690 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】设降价金额为元，根据“总利润=每罐利润×销售量”列出二次函数关系式，利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】解：设商家降价元，每天获得的利润为元， ∵ 每罐进价为元，原售价为元， ∴ 降价后每罐利润为元． ∵ 售价每降低元，销量增加罐，原销量为罐， ∴ 降价元后，销售量为罐， 又∵销售单价不低于进价， ∴， 解得， 总利润， ∵ ，二次函数开口向下，在顶点处取得最大值，顶点的横坐标为，满足， 将代入得， 因此商家降价能获得的最大利润为元． 25．（25-26九年级上·上海·期中）已知点是线段的黄金分割点，，则_____. 【答案】/ 【知识点】二次根式的混合运算、黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割点的定义，设，表示出和，利用列出方程，解方程即可． 【详解】解：设， 由于点是线段的黄金分割点，且，即， 则， ， 由，得 ， ， ， ， ， ， ， 故． 故答案为：． 26．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：如图，为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为_______尺． 【答案】 【分析】将实际问题转化为几何模型，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 【详解】解：如图，过作，分别交标杆、树于点， 设树高为尺，由题意可知（尺），步，（步），尺， ∵标杆、大树均与地面垂直， ∴， ∴， ∴， 解得． 27．如图，一辆宽为的货车要通过一条单行抛物线形隧道（从正中通过），抛物线满足表达式，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是_________． 【答案】 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据题意，先将代入，求得，然后结合车顶离隧道的顶部至少要有的距离，即可求得答案． 【详解】解：由题意可知，当时，， 为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离， 货车的限高应是． 28．（25-26九年级上·上海·期中）如果一个锐角的正弦值等于黄金分割数，那么我们称这个角叫做黄金角．如图，在中，，是黄金角，点在边上，且点是的黄金分割点（）,联结．如果，那么的长是______． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、黄金分割 【分析】本题主要考查了黄金分割点、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，掌握黄金分割的定义是解题的关键． 由黄金分割点的定义可得，再结合黄金分割角的定义可得，则可得，再证明可得，然后将代入即可解答． 【详解】解：∵点是的黄金分割点， ∴， 在中，，是黄金角， ∴， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 29．（24-25九年级上·上海青浦·期中）在中，点和分别在直线和上，且，如果，，那么的长等于______． 【答案】15或35 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查平行线分线段成比例，分在边和上，以及在边和的延长线上两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当在边和上时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在边和的延长线上时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：15或35． 30．（25-26九年级上·上海·期中）如图，矩形的四个顶点都在的边上，且边落在上，．若，，，那么的长为_______________． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】如图：设交于点M．由矩形的性质可证明，即，设，则有，，再代入得到比例式求解即可． 【详解】解：如图：设交于点M． ∵四边形是矩形， ， ， ， 设，则有，， ，解得：， ∴． 31．如图，在平行四边形中，是对角线上的两点，且，的延长线交于点G，的延长线交于点，若平行四边形的面积为24，则四边形的面积为______． 【答案】7 【知识点】利用平行四边形的性质求解、利用平行四边形的性质证明、由平行判断成比例的线段、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识， 推导出及是解题的关键．由平行四边形的性质推导出，则，而，所以，求得，则，由，得，则，所以，再证明，得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平行四边形的面积为24， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 32．如图，中，，，点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．其中一个动点到达终点时，另一个也相应停止运动．那么，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是_____． 【答案】4或 【知识点】利用相似三角形的性质求解、相似三角形——动点问题 【分析】设运动时间是t秒，根据题意得，，，根据相似三角形的性质可得或，进而求解即可． 【详解】解：设运动时间是t秒， ∵点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动． ∴，，， ∵，且以为顶点的三角形与相似， ∴或， ∴或 ∴或． 即当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是4或． 33．已知，且，求的值． 【答案】5 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、比例的性质 【分析】设，，，代入，即可求出的值，进而得出的值，再把它们的值代入所求式子计算即可． 【详解】解：设，，． ， ， 解得， ，，， ． 34．已知关于x的二次函数的最小值为4，设，则z的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数最小值为4得到，之间的关系，代入中根据二次函数的性质求解即可得到答案； 【详解】解：二次函数的对称轴直线为， ∵的最小值为4， ∴，，解得：， ∴， ∴， ∴对称轴直线为：， ∵，， ∴时最大， ∴， 故答案为：． 35．已知二次函数． (1)将化成的形式，并写出它的顶点坐标； (2)在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出自变量的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标是 (2) (3)或 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式、画y=ax²+bx+c的图象、根据交点确定不等式的解集 【分析】（1）运用配方法将原解析式化为顶点式即可； （2）根据（1）所得的顶点式解析式，利用五点作图法直接画出图象即可； （3）根据函数图象确定当时对应的的取值范围即可． 【详解】（1）解： ， 抛物线的顶点坐标是； （2）解：列表如下： x … 0 1 … y … 0 3 4 3 0 … 作图如下： （3）解：由图象知：在点的左侧和的右侧， 当时，或． 36．如图，已知抛物线经过两点． (1)求抛物线与轴的交点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标、利用不等式求自变量或函数值的范围、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）令解方程即可得到抛物线与轴的交点坐标； （2）根据二次函数的图象和性质即可得出答案； （3）设，则的高为，，由列出方程即可求出y的值，从而可求出P的坐标． 【详解】（1）解：令，即， 解得：， ∴抛物线与轴的交点坐标为，； （2）解：∵抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值为， 当时，， ∴； （3）解：设，则的高为， ∵， ∴． ∵， ∴， 解得：， 当时，即， 此时方程无解； 当时，即 解得：或， ∴或． 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，二次函数与轴的交点坐标，二次函数图象的性质，解方程等知识，利用数形结合的思想是解题关键． 37．如图，某校劳动实践基地在一道长为的墙一侧，用长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． (1)分别求与，与之间的函数解析式，并求出自变量的取值范围； (2)当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)，，； (2)当时，矩形实验田的面积最大，最大面积是 【知识点】求自变量的取值范围、列二次函数关系式、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据题意得到，则，再由建立与之间的函数解析式，然后根据解不等式组求解自变量的取值范围； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， 又，即 ， ； （2）解： ， 抛物线的对称轴为直线 ，抛物线的开口向下，自变量的取值范围为，在对称轴右侧，随的增大而减小， 当时，取最大值， 当时，， 答：当时，矩形实验田的面积最大，最大面积是 38．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽． (1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 【答案】(1) (2)如果该船的速度不变，能安全通过此桥 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²的图象和性质、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1 ）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据设函数解析式为，根据抛物线的图象和性质得到点D、B的坐标，由待定系数法求出其解即可； （2 ）计算出船行驶到桥下的时间，由这个时间计算水位上升的高度，比较上升的高度与3的大小就可以求出结论． 【详解】（1）解：设函数解析式为，设桥拱最高点到水面的距离为米，，， 则，， 代入，得， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：能，理由如下， 由题意得，船行驶到桥下的时间为小时， 水位上升的高度为米， ， 该船的速度不变，能安全通过此桥． 39．已知抛物线与轴正半轴交于点，顶点为． (1)求直线的表达式； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，当的长为3时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)的值为或 【知识点】求一次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了一次函数的性质和二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质是解决本题的关键． （1）根据二次函数的性质求出点A和点B，设直线为，进行代入求解即可； （2）根据题意将点M和点N表达出来，再根据的长为3进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的解析式为：， ∴顶点坐标为， ∴点B坐标为， 当时， 解得， ∵抛物线与轴正半轴交于点， ∴点A为， 设直线为， 将点A和点B代入得，， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：∵过点作轴的垂线，交抛物线于点， ∴点为， ∵过点作轴的垂线，交直线于点， ∴点为， ∴为 ， ∵的长为3， ∴， ∴， ∴当时， 解得或， 当时，（无实数解）． ∴的值为或． 40．已知抛物线的顶点为P，与x轴相交于点和点，与y轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； (3)计算的面积． 【答案】(1) (2)开口向上，顶点坐标， 对称轴为直线 (3)27 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将抛物线解析式化为顶点式即可得解； （3）利用三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为P，与x轴相交于点和点，与y轴相交于点， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵，， ∴抛物线开口向上，顶点坐标，对称轴为直线， （3）解：∵抛物线的顶点为P，与x轴相交于点和点， ∴，， ∴的面积． 41．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； (2)若点，，抛物线与线段只有一个交点，求m的取值范围； (3)，是抛物线上两点，若，直接写出m取值范围． 【答案】(1)直线 (2)或或 (3) 【分析】（1）利用对称轴公式进行求解； （2）求出抛物线与轴的交点坐标，然后根据交点情况进行分析即可； （3）根据得，解不等式组即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线； （2）解：∵， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， 抛物线与轴的交点为和，点在线段上，要使抛物线与线段只有一个交点，则另一个交点需要在线段之外，或与重合， 当交点在线段之外时，或， 解得或； 当交点与重合时，， 解得； ∴或或； （3）解：由（1）得，抛物线的对称轴为直线，且解析式，抛物线开口向上， ∴为抛物线的顶点坐标， ∴的值最小， ∵，， ∴， ∴由得， ， 整理得， ∴， ∴． 42．（22-23九年级上·上海青浦·期中）如图，在梯形中，，点E在线段上，与相交于点F，与的延长线相交于点G，已知，，． 求的长． 【答案】， 【知识点】由平行判断成比例的线段、相似三角形的判定与性质综合 【分析】通过证明，可得，再根据可得相似比，即可求解的长度；通过证明，可得，再根据，，可得相似比，即可求解的长度． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，，则， 则， ∵， ∴，解得：． 综上：，． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形对应边成比例，注意数形结合思想的应用． 43．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，直线、、分别交两条直线于点A，B，C，D，E，F，且， ，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：过点D作，交于点N，交的延长线于点M， ，即， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， 设， ：：3， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ； (2)10 【知识点】根据平行线判定与性质证明、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题重点考查平行线分线段成比例定理、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）过点D作，交于点N，交的延长线于点M，则四边形是平行四边形，所以，由，，得，由，得，由，推导出，则，所以，则，可证明四边形是平行四边形，进而证明 （2）可证明，则，由，，，，得，求得，则，所以，则 【详解】（1）略 （2）解：，，， ， ， ，，，， ， ， ， ， ， 的长为 44．如图，四边形是某学校的一块种植实践基地，其中是水果园，是蔬菜园．已知，，，． (1)求证：； (2)若蔬菜园的面积为60，求水果园的面积． 【答案】(1) 证明：∵，，， ∴，，   ∴，    ∵， ∴，     ∴； (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质． （1）利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知：， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为：， 答：水果园的面积为． 45．一块材料的形状是锐角，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)求证：； (2)求这个正方形零件的边长； (3)如果把它加工成矩形零件如图2，当______时，这个矩形的面积最大，最大值是______． 【答案】(1)证明：∵四边形为矩形， ， ∴； (2) (3)40，1200 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、利用相似三角形的性质求解、利用平行判定相似 【分析】（1）根据正方形的性质和三角形相似的判定即可证明； （2）利用相似三角形的性质得，代值计算即可； （3）与（2）类似，利用求得与的关系，用的长x表示出矩形的面积，根据二次函数的性质即可求出最值． 【详解】（1）略 （2）解：设正方形零件的边长为， 由（1）知， ， 同理，由得， ∴， 即， 解得， ∴这个正方形零件的边长为； （3）解：设长方形的长为，宽为， 当长方形的长在时， 同（2）得，即，， 矩形面积， ∵， ∴当时，长方形的面积最大为． 即当时，这个矩形的面积最大，最大值是． 46．如图，在矩形中，，，点是的中点．点，分别从点，两点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点，的速度均为，当点到达点时，两个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为． (1)当秒时，的值是多少？ (2)当为何值时，以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形相似？请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 【知识点】根据矩形的性质求面积、相似三角形——动点问题 【分析】（1）根据运动情况得到，，再根据求解，即可解题； （2）分两种情况：①当时，②当时，结合相似三角形性质列式求解，即可解题． 【详解】（1）解：当时，， ， ． ∵点是的中点，， ∴． ∴ ． （2）解：当运动时间为时，，． ①当时， 则， 即． 解得：． ②当时， 则时， 即． 解得：，． 综上所述，或或． 47．在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上． (1)求该抛物线的对称轴． (2)若点，也在抛物线上，请通过计算比较，的大小． 【答案】(1)直线 (2)当时，；当时，；当时， 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查二次函九图像与性质， （1）将点代入得出的关系与的关系，即可得出结论； （2）分，，三种情况讨论即可； 掌握二次函数的增减性及分类讨论思想的运用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∴该抛物线的对称轴为直线； （2）∵， ∴抛物线的图像开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越近其函数值越小， 当时，， 此时点与点关于直线对称， ∴； 当时，点离直线更近，则； 当时，点离直线更近，则； 综上所述，当时，；当时，；当时，． 48．抛物线与x轴交于点O和点A，点B是该抛物线的顶点． (1)在所给的坐标系中画出抛物线的大致图象，标出各点 （不用列表，直接描点、连线）； (2)结合函数图象，直接写出： ①当时，x的取值范围为 ； ②当时，y的取值范围为 ． (3)将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的抛物线为 ． 【答案】(1) 如图， (2)①或；② (3) 【知识点】二次函数图象的平移、画y=ax²+bx+c的图象、图象法解一元二次不等式 【分析】本题考查了画二次函数图象，利用二次函数图象解不等式，二次函数的平移，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）用5点发画图即可； （2）①②结合图象求解即可； （3）利用“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】（1）当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； （2）①由图象可知，当时，x的取值范围为或； ②∵当时，；当时，； ∴当时，y的取值范围为． 故答案为：①或；②； （3）将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的抛物线为． 故答案为：． 49．已知二次函数，其图像上有不同的两点坐标分别为、，记y的最小值为p． (1)若，请直接写出该二次函数图像的顶点坐标； (2)若，求m的值； (3)点与也在该函数图像上，判断是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)是定值， 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据题意求得对称轴为直线，进而根据抛物线开口向上，结合题意，当，最小值，可得顶点坐标； （2）由（1）可得抛物线的解析式为，代入得出，根据，得出方程，解方程，即可求解； （3）根据题意得出，①，②，进而可得，根据（2）可得③，进而得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数，其图像上有不同的两点坐标分别为、 ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴当，最小值， ∴该二次函数图像的顶点坐标； （2）在的函数图像上， ， ， ， ， ，； （3）和在上， ①，②， 由②①得，， 在， ③， 由①③得，， ， ． 50．【问题背景】教材第54页《数学活动》 观察下列两个两位数（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大，如：，，…，，． 能用二次函数的知识证明的积最大． 【类比探究】 观察下列两数相乘的运算，如，，，…，，，，，，…，，，． 请你猜想，积最大的是_______________． 【归纳结论】和为定值的两个正数相乘，当这两个数相等时，它们的乘积最大． 【问题解决】 (1)请补全【类比探究】中的猜想：积最大的是_________． (2)用你所学的知识证明【归纳结论】的正确性，（提示：设其中一个正数为，两个正数的和为．） (3)如图，四边形的对角线互相垂直，垂足为，且，求四边形的面积的最大值． 【答案】(1) (2)证明：设其中一个正数为，则另一个正数为，积为， ， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，有最大值， 即当时，积最大，此时积为， ∴当两个数相等时，乘积最大． (3)50 【知识点】数字类规律探索、y=ax²+bx+c的最值、猜想与证明 【分析】（1）根据所给等式可得结论； （2）设其中一个正数为，则另一个正数为，积为，根据二次函数图象与性质可得结论； （3）先求出四边形的面积为，继而推导出当时，取得最大值，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得：积最大的是， （2）略 （3）解：∵四边形的对角线互相垂直， ∴四边形的面积． ∵， 根据“若两个正数和为定值，当两个正数相等时，这两个正数的积最大”， ∴当时，取得最大值， ∴四边形面积的最大值． 答：四边形面积的最大值为50． 试卷第1页（共3页） 1 / 48 学科网（北京）股份有限公司 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