专题08 九年级期中解答题压轴39题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题08 九年级期中解答题压轴39题 正确题数：_______ 错误题数：_______ 正确率：_______ 错因分析： 1．（25-26九年级上·上海嘉定·期中）已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，AC=BC，∠ACB=90°，∠ADC=90°，CD=2，(点A、B分别在直线CD的左右两侧)，射线CD交边AB于点E，点G是Rt△ABC的重心，射线CG交边AB于点F，AD=x，CE=y. (1)求证：∠DAB=∠DCF. (2)当点E在边CD上时，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围. (3)如果△CDG是以CG为腰的等腰三角形，试求AD的长.    2．（25-26九年级上·上海宝山·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，sin∠ABC＝，点D为射线BC上一点，联结AD，过点B作BE⊥AD分别交射线AD、AC于点E、F，联结DF，过点A作AG∥BD，交直线BE于点G． （1）当点D在BC的延长线上时，如果CD＝2，求tan∠FBC； （2）当点D在BC的延长线上时，设AG＝x，S△DAF＝y，求y关于x的函数关系式（不需要写函数的定义域）； （3）如果AG＝8，求DE的长． 3．（25-26九年级上·上海·期中）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝4，AC＝8，把线段AB沿射线BC方向平移（点B始终在射线BC上）至PQ位置，直线PQ与直线AC交于点D，又连结BQ与直线AC交于点E． （1）当BP＝3时，求证：△PBD∽△PQB； （2）当点P位于线段BC上时（不含端点B，C），设BP＝x，DE＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域． （3）当以Q，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，求PB的长． 4．（25-26九年级上·上海·期中）如图，已知在梯形中，，，，是边上一点，，点是射线上一点，联结交射线于点， （1）求的长； （2）若点在的延长线上，设，，求与x之间的函数解析式，并写出定义域； （3）当时，求的长． 5．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）（1）如图1，在中，，，D是边上一点，，F是边上一点，．求的长； （2）如图2，在四边形中，点D是边的中点，，若，，求线段的长． （3）在中，，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上．若，，求y关于x的函数解析式及定义域． 6．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，在等腰中，，，点是射线上的一点，连接，以为底边作等腰（点与点在直线两侧），且，连接． (1)求边的长； (2)当点在线段上时，设线段的长为，的面积为，求关于的函数解析式； (3)当是直角三角形时，求的值． 7．（25-26九年级上·上海闵行·期中）在直角梯形中，，的平分线交边于点E，点F在线段上，射线与梯形的边相交于点G． (1)如图1，如果点G与A重合，当时，求的长； (2)如图2，如果点G在边上，联结，当，且时，求的值； (3)当F是中点，且时，求的长． 8．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图1，在梯形中，，点E为边上一点，且，连接与对角线交于点O，，点F是边的中点，连接． (1)求证：； (2)当时，连接交对角线于点G． ①如图2，若，求此时的余弦值； ②求，是等腰三角形时，求的面积． 9．（25-26九年级上·上海·期中）如图，在矩形中，，，点E在边上（点E与端点A、B不重合），连接，过点D作，交的延长线于点F，连接，与对角线、边分别交于点G、H．设，． (1)求证：，并求的正切值； (2)求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域； (3)连接，当与相似时，求x的值． 10．（25-26九年级上·上海奉贤·期中）已知：矩形，在边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，当，且时，求的长； (3)如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值． 11．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，已知梯形，，，．为射线上一动点，过点作交射线于点，连接，设，． (1)求的长； (2)当点在线段上时，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)连接，若与相似，试求的长． 12．（25-26九年级上·上海崇明·期中）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，CD平分∠ACB交边AB于点D，P是射线CD上一点，联结AP． （1）求线段CD的长； （2）当点P在CD的延长线上，且∠PAB=45°时，求CP的长； （3）记点M为边AB的中点，联结CM、PM，若△CMP是等腰三角形，求CP的长． 13．（25-26九年级上·上海宝山·期中）已知：在梯形中，，，，点在对角线上(不与点重合)，，的延长线与射线交于点，设的长为． (1)如图，当时，求的长； (2)设的长为，求关于的函数解析式，并直接写出定义域； (3)当是等腰三角形时，求的长． 14．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（)． 【初步感知】 （1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，，求的值； 【深入探究】 （2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 （3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求线段的长度；若不能，请说明理由． 15．（25-26九年级上·上海徐汇·期中）如图1，在梯形中，，，点在上，满足，又，． (1)求证：； (2)如图2，若点是线段上的动点且与点不重合，连接并延长交的延长线于点，设，求与之间的函数关系式，并写出定义域； (3)若点是线段上的动点且与点不重合，连接交于点，当是等腰三角形时，求的长度． 16．（25-26九年级上·上海·期中）已知，在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转后得到，过点作交直线于点，连接． (1)如图①，若点在线段上（且不与点、点重合）时，求证：； (2)延长与直线相交于点． ①当点在线段上（且不与点，点重合）时，如图②所示，若平分，，且，求线段的长： ②当点在射线上（且不与点、点重合）时，若时，直接写出的值． 17．（25-26九年级上·上海·期中）如图，在中，，，点是边的中点，点，是射线上的动点（点在左边），以为一边作． (1)求的长； (2)当点是的重心时，求的值： (3)如果是以为腰的等腰三角形，求的长． 18．（24-25九年级上·上海静安·期中）综合与实践 问题情境： 数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在中，D是上一点，．求证． 独立思考： （1）请解答王老师提出的问题． 实践探究： （2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．“如图2，延长至点E，使，与的延长线相交于点F，点G，H分别在上，，．在图中找出与相等的线段，并证明．” 问题解决： （3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当时，若给出中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求，该小组提出下面的问题，请你解答．“如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长．” 19．（25-26九年级上·上海青浦·期中）如图，在直角图形中，，，对角线交于点，已知，，点是射线上任意一点，过点作，垂足为点，交射线于点M，射线于点H． (1)当点是线段中点时，求线段的长． (2)当点在线段上时（不与重合），设，，求关于x的函数解析式及定义域． (3)联结，如果线段与直角梯形中的一条边（除外）垂直时，求的值． 20．（25-26九年级上·上海普陀·期中）已知：在中，，点P是斜边上的一个动点，，交边于点D（点D与点A、C都不重合），点E在射线上，且，设A、P两点的距离为x，的面积为y． (1)如图1，当点E和点C重合时，求的长； (2)如图2，当点E在线段上时，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； (3)当与相似时，直接写出的面积． 21．（25-26九年级上·上海闵行·期中）在中，点E是边上的点，连接． (1)如图1，点D是的延长线上的点，过点D作的平行线，分别交、的延长线于点C、F． ①求证：； ②连接AD，如果，，，求与的面积比值； (2)如图2，已知，点H是线段上的点，分别连接．如果，，，求的值． 22．（25-26九年级上·上海·期中）四边形中，，在边上（不与重合），在边上； (1)如图1，若平分，且为中点，判断的形状，并证明； (2)如图2，若四边形为平行四边形，且，，求的值； (3)如图3，若，平分，，，且为等腰三角形，直接写出的值． 23．（25-26九年级上·上海普陀·期中）如图，在与中，，，，过点A作，垂足为点E，延长交于点F，连接． (1)求证：； (2)设，，求关于的函数关系式及其定义域； (3)当与相似时，求边的长． 24．（25-26九年级上·上海·期中）如图，已知中，，，，点、分别在边、上（不与端点重合），，垂足为点． (1)当时，求的长； (2)当时，求值； (3)连接，如果是直角三角形，求这时四边形的面积． 25．（25-26九年级上·上海杨浦·期中）已知在正方形中，点是边上一点，点关于直线的对称点是点． (1)如图1，如果点在对角线上，求的值； (2)如图2，延长交边于点． ①求证：； ②过点作交边于点，连接、，如果与相似，求的值． 26．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，已知在等腰中，，，，垂足为F，点D是边AB上一点（不与A，B重合） （1）求边BC的长； （2）如图2，延长DF交BC的延长线于点G，如果，求线段AD的长； （3）过点D作，垂足为E，DE交BF于点Q，连接DF，如果和相似，求线段BD的长． 27．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，在中，，点在边上，，点为边上一动点（不与点A、B重合），与交于点，点在边上，且． (1)求证：； (2)已知． ①如果，求和的长； ②小明发现在点E运动的过程中，与的比值随着的增大而减小，你认为他的发现是否正确？请判断并说明理由； 28．（25-26九年级上·上海·期中）在矩形中，，，点是边上一动点，交边于点，点在射线上，且是和的比例中项． (1)求证：； (2)如图1，当点在线段上时，设，，求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (3)如图2，连接，交于点，如果与相似，求的长． 29．（25-26九年级上·上海虹口·期中）如图1，在中，，是边上的高，，点E在边上，，过点E作，交边于点P，． (1)求的值； (2)如图2，点F在延长线上，连接、，设． ①延长交边于点G，如果，记、的周长分别为、，求的值； ②如果，且，求m的值． 30．（25-26九年级上·上海·期中）已知：中，，，D为边上一点，，点E、F分别在、的延长线上，联结、，交边于点G，                                        (1)如图1，如果， ①求证：； ②求的值． (2)如图2，当时，求的值． 31．（25-26九年级上·上海黄浦·期中）在中，，，，点在边或上（不与、重合），点在边上，点关于直线的对称点为，连接，交边于点，连接、． (1)如图1，当点在边上时，如果，，求的长； (2)当点在线段上时，如果与相似，，求的值； (3)如果是直角三角形，，求的面积． 32．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，，，，，垂足为，点是边上一动点（点不与点、点重合），连接，过点作交线段于点，垂足为． (1)当时，求的余切值； (2)当是等腰三角形时，求的面积； (3)连接，当与相似时，求的值． 33．（25-26九年级上·上海·期中）在中，，点为边上一点，且，点分别为边上的动点（点在点的右边），且．设，． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，当点在边上时，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)连接，当是以边为腰的等腰三角形时，直接写出的长． 34．（25-26九年级上·上海·期中）已知在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，点P是直线AB上任意一点，联结PC，在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D不重合），且∠PCQ=30°. （1）如图，当点P在边AB上时，如果BP=3，求线段PC的长； （2）当点P在射线BA上时，设，求y关于的函数解析式及定义域； （3）联结PQ，直线PQ与直线BC交于点E，如果与相似，求线段BP的长. 35．（25-26九年级上·上海松江·期中）如图，已知中，D是边的中点，E是边上一点，，，连接交于点 (1)求的值； (2)如图2，若，，求的长； (3)若，且是等腰三角形，求的长． 36．（25-26九年级上·上海青浦·期中）如图，在矩形中，，，对角线、交于点，点为对角线上一点，连接，在内部作射线与线段交于点（不与点、点重合）、与线段交于点，且． (1)当，求的正切值． (2)射线交射线与点，若线段是与的比例中项，求的长． (3)设线段，，写出关于的函数关系式，并写出取值范围． 37．（25-26九年级上·上海·期中）已知：如图，在中，．点是射线上一点，过点A作，分别交射线于点D、F． (1)当点M在上（点M与点不重合）时． ①如图（1），如果，求的长； ②的面积为，求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)过点A作，交直线于点，当为等腰三角形时，求的长． 38．（25-26九年级上·上海·期中）已知中，，平分，，．点、分别是边、上的点（点不与点、重合），且，、相交于点． (1)求的长； (2)如图1，如果，求的值； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求长． 39．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，矩形中，，点P为对角线上一点，射线交线段于点D，射线交线段于点． (1)当时，求的长度； (2)设，，当时，求y关于x的函数表达式； (3)如图，连接，交于点M，若，求点P到线段的距离． 试卷第1页（共3页） 1 / 134 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08九年级期中解答题压轴39题 /正确题数： 错误题数： 正确率： 错因分析： 一一一一一一一一一 1.(25-26九年级上·上海嘉定·期中)已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，AC=BC,∠ACB=90°， ∠ADC-90°，CD=2,(点A、B分别在直线CD的左右两侧)，射线CD交边AB于点E,点G是Rt△ABC 的重心，射线CG交边AB于点F,AD,CE (1)求证：∠DAB=∠DCF (2)当点E在边CD上时，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围 (3)如果△CDG是以CG为腰的等腰三角形，试求AD的长 D E 【答案】 (I)证明：，点G是Rt△ABC的重心， ∴.CF是Rt△ABC的中线 又，'在Rt△ABC,AC-BC,∠ACB-90°， ∴.CF⊥AB,即∠AFC90° ∠DEF=∠ADE+∠DAE=LEFC+∠ECF,且∠ADE=∠EFC-90°， ∴.∠DAB=∠DCF 1/160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x2+4 v= 0<x≤2) (2)x+2 6AD-1或4 【知识点】重心的有关性质 【分析】(I)首先根据点G是Rt△ABC的重心，得出CF是Rt△ABC的中线，又由AC=BC, ∠ACB=90°，得出CF⊥AB,即∠AFC=90°，然后等量转换即可得出∠DAB=∠DCF: (2)首先判定△CAD△BCH,得出BH=CD,CH=AD,又根据∠ADC-∠BHC-90°，得出ADIBH, AD DE 进而得出BHEH,列出等式，即可得出y关于x的函数关系式： (3)分两种情况进行求解：①当GCGD时，根据直角三角形斜边中线定理得出MD=MC,进而得出 MG⊥CD,且直线MG经过点B,那么BH与MG共线，即可得出AD;②当CG=CD时，CG=2,点G为 △ABC的重心，然后运用勾股定理即可得出AD, 【详解】(1)略 (2)解：如图，过点B作BH⊥CD于点H ∠DAC=∠HCB AC=CB ∠DCA=∠HBC .△CAD≌△BCH(ASA). ..BH=CD=2,CH=AD=x,DH=2-x. :∠ADC=∠BHC-90 ∴.ADBH AD DE ·BHEH x DE x+2 DE+EH DH EH=4-2x 2EH,2 EH EH x+2 y=CE=CH+HE=x+- +4-2x=2+4 (0<x≤2) x+2x+2 2/160 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (3)解：当GC=GD时，如图1， 取AC的中点M,联结MD.那么MDMC, 联结MG,MG⊥CD,且直线MG经过点B那么BH与MG共线 又CH=AD,那么AD-CH2CD=I, 当CG=CD时，如图2，即CG=2,点G为△ABC的重心， CF-CG-3,AB-2CF-6,4C=98=32. 2 AD=VAC2-CD2=V18-4=14 B 第(3)小题图1 第(3)小题图2 综上所述，AD=1或4 【点睛】此题主要考查三角形与函数的综合应用，涉及到的知识点有直角三角形斜边中线定理、重心、勾 股定理等，熟练掌握，即可解题 3 2.(25-26九年级上·上海宝山期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4,sin∠ABC-5,点D 为射线BC上一点，联结AD,过点B作BE⊥AD分别交射线AD、AC于点E、F,联结DF,过点A作 AGBD,交直线BE于点G. (I)当点D在BC的延长线上时，如果CD=2,求tan∠FBC: (2)当点D在BC的延长线上时，设AG=x,SDAF=y,求y关于x的函数关系式（不需要写函数的定义 域)； 3/160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)如果AG=8,求DE的长. G E D 2 27x 19V1721 【答案145：（②’24+对9,3）68或20. 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 DC 2 【分析】(1)求出AC-3,可得∠DAC-=∠FPBC,则tam∠FBC=am∠DAC=AC=3: AF CF (2)由条件可得∠AGF=∠CBF,可得AGBC,可用*表示CF和AF的长，求出CD,则S%DA= 方4r,CD,可用x表示结果 (3)分两种情况，①当点D在BC的延长线上时，②当点D在BC的边上时，可求出AE长AD的长，则 DE=AD-AE可求出. 【详解】解： 3 (1):∠ACB=90。,BC=4,sin∠ABC=5, ∴.设AC=3x,AB=5x, (3x)2+16=(5x)2, ∴x=1, 即AC=3, BE⊥AD, .∠AEF=90°， ·∠AFE=∠CFB, ∴.∠DAC=∠FBC, DC 2 :tan∠FBC=tamn∠DAC=Ac-3; (2).AGIBD. .∠AGF=∠CBF, 4/160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴.tan∠AGF=tan∠CBF, AF CF AG AF .AGBC,BCCF· x 3-CF ∴4CF, :CF=12 4+x :4F=3-CF=3-12=3x 4+x4+x ,∠EAF=∠CBF, CD CF :.AC BC' .CD=- 9. 4+x ag=2ArCn-xX9。 1 27x 2^4+x^4+x2(4+x): (3)①当点D在BC的延长线上时，如图1， G A DC 图1 .AG=8,BC=4,AGlBD, AGAF2 BCCF1· ..AF-2CF. AC=3, AF=2,CF=1, :.tan∠AGE=tan∠CBF=CF=I BC 4 ,AE=1 GE 4 设AE=x,GE=4x, ∴x2+16x2-=82, 5/160 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m, 解得x=17 即5号 同理tan∠DAC-tan∠CBF, DC=1 AC4' 3 .DC= :.DE-AD-E 17 68, ②当点D在BC的边上时，如图2， G B 公 图2 .AGBD,AG=8,BC=4, AG AF 2 ·BCCF=1: ∴.AF=6, '∠EAF=∠CBF=∠ABC, ∴.cOS∠EAF=cos ZABC, 6_5 AE4' :AE=24 AC BC 同理ADAB' 6/160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 34 AD5 :AD=15 4 241521 DE=AE-AD=5-420: 19W1721 综合以上可得DE的长为68或20： 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、锐角三角形的定义，掌握相似三角形 的判定与性质、解直角三角形、锐角三角形的定义是解题的关键 3.(25-26九年级上·上海期中)如图，在△ABC中，AB=6,BC=4,AC=8,把线段AB沿射线BC方向 平移（点B始终在射线BC上）至PQ位置，直线PQ与直线AC交于点D,又连结BQ与直线AC交于点 E D (1)当BP=3时，求证：△PBD一△POB; (2)当点P位于线段BC上时（不含端点B,C),设BP=x,DE=y,试求y关于x的函数解析式，并写 出定义域： (3)当以Q,D,E为顶点的三角形与△ABC相似时，求PB的长. 【答案】(1) 如图1， 证明：，PO4B, .△CDP-△CAB, PD CP .AB CB' PD 1 .64? 3 .PD-2, 7/160 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3 ∴.PDP02x69, ∴.PB=PDPO, PB=P≌ PD PB' ∠BPQ是公共角， ∴.△PBD△POB: D 图1 2x2 2)yx+4 36 0<x<4):(6)x= 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 3 【分析】(I)由POAB得△CDP-△CAB,求得PD-2,进而可证； CD PC 2)由AOBC,得△AOE-△EB,表示出CB,由PDMB得4CBC，表示出CD,进而求得： (3)由PDAB得∠EDO=LA,由∠DED-LACB+∠EBC,∠OED>∠ACB得∠OED-∠ABC,故仅有 △ABC-△DEQ: 【详解】()略 (2)如图2， D p C 图2 解：连接AQ, .PO AB,PO=AB 81160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴，四边形ABPQ为平行四边形 ∴.AOBC,AO=BP=x, ∴△AQE-△CEB, AO AE BC CE' xAE 4CE CE=8x4=32 x+4x+4, .PD AB, CD PC ..AC BC CD 4-x .84 ∴.CD-2(4x), 42(4) DE=CE-CD-32 2x2 x+4? 2x2 x+4 (0<x<4): (3)如图3， E B 图3 解：当P在BC上时， .PD AB, .∠EDO=∠A, '∠OED=LACB+LEBC, ∴.∠OED>∠ACB, ∴.∠OED=LABC, ∴.△ABC-△DEQ, 9/160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 DO AC 4 DE AB 3 .PD AB, ∴.△CDP-△CAB, PD PC :.AB BC PD 4-x .64 3 :.PD-2 (4x), ∴.D0=PQ-PD 3 =6-2(4) 3 =2, 3 3+ 4 2x3, x+4 36 7 如图4， 图4 .'∠OED>∠ACB, ∴.∠OED-∠ABC, ∴.只存在一种情况即△ABC一△DEQ, 36 综上所述：PB=7· 【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，解决问题的关键是判断对应元素找相似. 10/160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26九年级上·上海期中)如图，已知在梯形ABCD中，AD/BC,AD=AB=CD=5,∠ABC=60° E是AB边上一点，AE:BE=2:3,点F是射线BC上一点，联结EF交射线DC于点G, D (1)求BC的长： DG (2)若点F在BC的延长线上，设CF=x,CG=y,求y与x之间的函数解析式，并写出定义域： (3)当CF=2时，求DG的长， 1331 【答案】()BC-10:(②25>0，(3)DG的值为：号和3 3x 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】(I)过点D作DMIIAB交BC于点M,首先证明四边形ABMD是平行四边形，求出 BM=AD-5,再证明△CMD是等边三角形，得到CM=CD=5,最后求出BC的长： (2)延长FE交DA的延长线于点P,然后根据相似三角形的性质进行解答即可： (3)利用当F在BC的延长线上时，以及当F在线段BC上时，分别得出答案. 【详解】(I)如图1所示，过点D作DMAB交BC于点M, 则四边形ABMD是平行四边形，， D E M C 图1 ∴.BM=AD=5,∠DMC=∠ABC=60°， .AD=AB-CD-5. △CMD是等边三角形， ∴.CM=CD=5, ∴.BC-BM+CM=5+5=10: (2)解：如图2，延长DA和FE相交于点P, 11/160 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 P.------- A G B 图2 .·AD/IBC AP_AE_2 ∴.FBEB3, .BC=10.CF=x, .BF=10+x, .10+x3, r-0+对 DG 又：AD1BC,CGy, DP DG .CF CG =y 2a0+x)+52x+35(x>0: y= 3x (3)如图2，当F在BC的延长线上时， CF=2, y=2×2+3513 6 2, DG 13 .5-DG2, DG=13 3, 如图3，当F在线段BC上时， AD//BC, APAE .∴.BFBE CF=2,AE:BE=2:3, AP 2 83, 12/160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ·AP=16 3 DP DG .·CFCG, 16*5 3 DG .2DG-5, DG=31 5 1331 综上所述DG的值为：3和5· 图3 G 【点睛】此题考查了等腰梯形的性质、相似三角形的判定和性质，对边三角形的判定和性质，关键是分析 题意作出辅助线 5.(25-26九年级上·上海浦东新期中)(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,D是 B边上-点，MD=2,F是8C边上一点，∠CDF=45”.求BF的长： BC B D D D 图1 图2 图3 (2)如图2，在四边形ABFC中，点D是AB边的中点，∠A=∠B=∠CDF=45°，若AC=9,BF=8,求 线段CF的长， (3)在△ABC中，AB=4V2,∠B=45°，以A为直角顶点作等腰直角三角形ADE,点D在BC上，点E 在AC上.若CD=x,CE=y,求y关于x的函数解析式及定义域. 13/160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3 【答案】(1)BF=2:(2)CF=5:(3)y=VP-8x(c>8) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三等角基本几何模型是解 题的关键. AC AD (I)证明△ACD∽ABDF,得BDBF; AC AD (2)延长AC交BF的延长线于点T,证明△ACD∽△BDF,推出BDBF,求出AD,CT=FC,再利 用勾股定理求解； (3)过点E作EF与CD交于点F,使∠EFD=45°，由(1)同理得△ABD∽△DFE,可知 DF=√2AB=2 再利用△EFC∽△DEC 可得答案： 【详解】解：(1)：∠ABC=90°，AC=BC=4, .∠A=∠B=45°，AB=4V2, :BD=AB-AD=42-V2=32 ,∠A+∠ACD=∠CDF+∠BDF,∠A=∠CDF=45°， .∠ACD=∠BDF, .△ACD△BDF, AC AD ∴.BDBF, 4V2 ..32 BF, (2)如图2中，延长AC交BF的延长线于点T. 14/160 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C D 图2 :∠A=∠CDF=∠B=45°， .∠T=90°，TA=TB, :∠CDB=∠A+∠ACD=∠CDF+∠BDF, .∠ACD=∠BDF, ∴.△ACDABDF, AC AD ∴.BDBF, AD=DB. 9 AD .AD 8' ∴.AD=6N2, .AB=2AD=12√2， ∴.TA=TB=12, .CT=12-9=3,TF=12-8=4, :.CF=CT+7F=V3P+4=5 (3)如图，过点E作EF与CD交于点F,使∠EFD=45°， E .∠B=∠ADE=45°， ∴.∠BAD=∠EDF, .△ABD∽△DFE, 祭品， 15/160 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE-AD AB=4V2 DF=2AB=8 .∠EFD=45°，∠ADE=45°， .∠EFC=∠DEC=135°， ∴.△EFC∽△DEC, FC_EC .EC CD, :y=V-8x(x>8) 6.(25-26九年级上~上海闵行期肿)如图，在等腰。1BC中，M份=AC=15,am∠ABC= 3,点D是射 线BA上的一点，连接CD,以CD为底边作等腰aCDE(点E与点B在直线CD两侧)，且△EDC∽△ABC, 连接AE, D B (1)求边BC的长： (2)当点D在线段AB上时，设线段BD的长为x,△ADE的面积为'，求y关于x的函数解析式： (3)当△AEC是直角三角形时，求x的值. 【答案】(1)18 ②y=-号r+5x0<rs15) 54 3)5或30 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角 形的相关计算 【分析】(I)如图1中，过点A作AF⊥BC于点F,解直角三角形求出CF,再利用等腰三角形的性质即 16/160 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 可解决问题： (2)AC与DE交于点O,过D作DM⊥BC于点M,首先证明AE/BC,利用相似三角形的性质求出AE (用x表示)，即可解决问题： (3)分两种情形∠AEC=90°和∠ACE=90°，分别求解即可解决问题： 【详解】(1)解：如图1中，过点A作AF⊥BC于点F, y D B F 图1 ”AB=AC=15, tan∠ABC=4 "BF =CF=BC,tan ZABC=AF=4 BF3· 设MF=4a,BF=3a,则B=VAP2+BF=50 BF 3a 3 ·AB5a5' BF-348-3x15-9 5 5 .BC=2CF=18: (2)解：如下图所示，AC与DE交于点O,过D作DM⊥BC于点M, A E D B MF ,△EDCP△ABC, EC CD ∠OEC=∠OAD,∠EDC=LB=∠ACB,ACBC· :∠AOD=∠EOC, 17/160 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △AODAEOC. AO DO AO EO ·E0=C0,即D0C0: .∠AOE=∠DOC, .△AOE∽aDOC, ∴.∠EAO=∠ODC, ∠ODC=∠B=∠ACB. ∴.∠EAO=∠ACB, .AEl/BC, EC CD AC BC' BC_CD .AC CE' :∠ACB=∠DCE, ∠BCD=∠ACE, ∴.△BCD∽△ACE, BC BD ·ACAE :1B=15,BC=18,设线段BD的长为0<x≤15) 18x .15AE 片4B=x 6 由(1)可知，tan∠ABC=F-DM_4a4 ABBD5a5· :DM=4x,4F=4-4×15=12 5 5 5 (3)解：当∠AEC=90°时， 由(2)可知，△AEC∽aBDC ∴.∠CDB=∠CEA=90°， 18/160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 &3x40 *CD-2Bc×r, AB=15,AF=12,BC=18, :CD=18x1272 155 x=BD-BC-CD-18- 2_54 5 当∠ACE=90°时，如图2，作AF⊥BC于点F, D A E B F C 图2 同理，∠BCD=∠ACE=90°， .∠AFB=∠DCB=90°， ..AFIICD. BF=CF, .BA=AD, .BD=2AB=30, 即x=30. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质，解直角三角形、勾股定理、分类讨论 等，解题的关键是找到相似的线索并展开分析 7.(25-26九年级上·上海闵行·期中)在直角梯形ABCD中，AD∥BC, ∠B=90°，AD=6,AB=4,BC>AD,∠ADC的平分线交边BC于点E,点F在线段DE上，射线CF与梯 形ABCD的边相交于点G. ①图1，如果点G与4重合，当m∠BCD-时，求BE的长： 19/160 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A(G) B E 图1 (2)如图2，如果点G在边AD上，联结BG,当DG=4,且△CGB∽△BAG时，求sin∠BCD的值： A G E 图2 (3)当F是DE中点，且AG=1时，求CD的长. 【答案】(1)4 (@3)CD 的长为5或 9+V万 【知识点】全等三角形综合问题、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合、解直 角三角形的相关计算 【分析】(I)过点D作DH⊥BC于点H,利用直角梯形的性质，矩形的判定与性质求得DH,利用直角 三角形的边角关系定理求得CH,利用勾股定理求得CD,利用角平分线的定义和平行线的性质得到 CD=CE,则BE=BC-CE; (2)过点D作DM⊥BC于点M,利用(I)的结论，勾股定理和相似三角形的判定与性质求得BC,CM,再 利用等腰直角三角形的判定与特殊角的三角函数值解答即可： (3)利用分类讨论的方法分两种情况讨论解答：①当点G在AD上时，利用等腰三角形的三线合一的性质， 全等三角形的判定与性质解答即可；②当点G在AB上时，连接DG,GE,延长DG,CG交于点N,利用勾 股定理求得BE,利用相似三角形的判定与性质求得AN,再利用全等三角形的判定与性质解答即可. 【详解】(I)解：过点D作DH⊥BC于点H,如图， 20/160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A(G) AD∥BC,∠B=90, .∠BAD=90°， :DH⊥BC, 四边形ABHD为矩形， ∴.DH=AB=4,BH=AD=6 tan∠BcD=4 3 DH 4 CH3, CH=3, :CD=CH2+DH2=5 .AD∥BC, ∴.∠ADE=∠DEC, ,'∠ADE=∠CDE, ∴.∠CDE=∠CED, .CE =CD=5, ∴.BC=BH+CH=9, .BE=BC-CE=9-5=4. (2)过点D作DM⊥BC于点M,如图， A G D E M 由(1)知：AD=BM=6,DM=AB=4,CD=CE, .DG=4,AD=6, :.AG=2. 21/160 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.BG=AB2+AG2=25 ,△CGB∽△BAG ∴.∠BAG=∠CGB=90°， BG BC AG BG 25 BC 225 .BC=10, .∴.CM=BC-BM=4. ∴.DM=CM=4, ∴△DMC为等腰直角三角形， .∠BCD=∠CDM=45°， sin∠BCD=sim45°=V2 (3)①当点G在AD上时，如图， G D E M 由(1)知：CD=CE, :F是DE中点， .CF⊥DE, 在△DGF和△DCF中， I∠GDF=LCDF DF=DE ∠DFG=∠DFC=90°' .ADGFADCF (ASA), ·DG=DC, .AG=1,AD=6, DG=5, ..CD=DG=5: 22/160 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②当点G在AB上时，连接DG,GE,延长DG,CG交于点N,如图， A D N-- G F B E 由(1)知：CD=CE, ,F是DE中点， .CF⊥DE, :CG为DE的垂直平分线， ..GD=GE, ..GD2=GE2, :.AG2+AD2=BG2+BE2, .1+62=32+BE2, .BE=27 AD∥BC, .△ANG∽△BCG, AG AN BG BC' 1 AN 3 BC' 在△DNF和△DCF中， 「∠NDF=∠CDF DF=DF ∠NFD=∠CFD=90 △DNF≌△DCF(AAS) .CD=ND. 设CD=x, 23/160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BC=CE+BE=x+27 AN=DN-DA=CD-DA=x-6 则 1-x-6 3x+2W7 :x=9+V7 :CD=9+V5 综上，CD +7 的长为5或 【点睛】本题主要考查了直角梯形的性质，平行线的性质，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，直角 三角形的边角关系定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定 义，等腰三角形的判定与性质，过梯形的上底的一点作高线是解决此类问题常添加的辅助线. 8.(25-26九年级上·上海浦东新期中)如图1，在梯形ABCD中，ADI川BC,点E为边AD上一点，且 ME=2BD·连接BE与对角线4C交于点O,E0-=号B0,点F是边BC的中点，连接Op E F 图1 图2 (1)求证：OFDC: (2)当∠BAD=90°时，连接DF交对角线AC于点G. ①如图2，若OF2=OGOC,求此时∠DCB的余弦值： ②求AD=3,△OBF是等腰三角形时，求△GFC的面积. 【答案】(1) 延长FO交AD于点M, 24/160 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A M E 在梯形 中， ABCD AD BC ∴.△AOE∽△COB,△EOM∽△BOF AE OE ME OE BC OB'BF OB o-0 AE 1 ME BC-2BF ∴.BC=2AE,BF=2ME 点F是边BC的中点， .BF CF AE =2ME, .AE =2ED. .DE ME=AM, .CF AE=MD, ADI‖BC,即MD∥FC, ∴四边形CFMD是平行四边形， :MF∥DC,即OF II DC: (2C0S-DCB= 254√2 10②△GFC的面积是5或5 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、根据矩形的性质与判定求面积、相似 三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查的是相似三角形判定与性质、平行四边形判定与性质、矩形判定与性质及勾股定理的应 用， (I)延长FO交AD于点M,先得出△AOE∽aCOB,aEOM∽aBOF,BC=2AE,BF=2ME及 CF=AE=MD,证明四边形CFMD是平行四边形即可证明结论： 25/160 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)①连接EF,作DK⊥BC于点K,设DE=a,根据四边形ABKD是矩形及四边形ABFE是矩形，得 出O听=X=CK-=0,E期C0Dr DF=DC=10a 求出 即可求出结论： ②先求出5,0-亏S,4c,分三种情况：当B0=BF=2时或当F0=BF=2时或当OF=OB时，分别求出 结论即可. 【详解】(1)略 (2)解：①连接EF,作DK⊥BC于点K, A M B 设DE=a,由(1)知：AD=3DE=3a,BC=4DE=4a. 在梯形ABCD中，AD‖BC,∠BAD=90°， .∠BAD=∠ABK=∠BKD=90°， ∴.四边形ABKD是矩形， .AD=BK =3a,CK=4a-3a=a; AE=BF=2a,AE∥BF,∠BAD=90° ∴四边形ABFE是矩形，DE=FK=a, .AB=EF DK.DE=FK=CK=a, 0F2=0G0C OF OC 0G0F, ∠FOG=∠COF, AFOG∽aCOF, ∠OFG=LOCF, OF∥DC, .∠OFG=CDF, 26/160 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠FCG=∠CDF, ∠CFG=∠DFC, ·ACFGADFC, CF FG DF FC ADI BC. ..AAGDACGF, ÷4G.DG-4D303 CG FG CF2a2· DG=3x FG=2X DF=5x ,则 CF_FG 'DFFC· 2a_2x 5x2a' x=Vi0 解得： s a (负值已舍)， ..DF =5x=10a 'FK=CK=a,DK⊥FC .DF=DC=10a cos∠DCB=CK=aVI0 在RtADKC中， CD√10a10: ②连接AF, M E D B ·.BF=CF 27/160 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ·.SABF=SACr 2c, AG 3 CG 2' .CG_2 AC5· 2 21 1 ∴.S.Grc= S.ACF= 51 5 AD=3, .AE=BF=2,DE=FK=CK=1,BC=4 :△OBF是等腰三角形时，分三种情况： 当BO=BF=2时， :0E=0B=1 21 BE=2+1=3, :AB=BE2-AE2=32-22=5 8cx5x425, 5m8e26-2 5: 当FO=BF=2时， 由(1)知△EOM∽aBOF, OM OE 1 OF OB 2 .OM-OF1 MF=2+1=3, :EF=MF2-ME2=32-12=22=AB 5m24=45, 28/160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5m5m写454 1 1 5: 当OF=OB时，则点O在BF的垂直平分线上， 在矩形ABFE中，AM=EM, 则点M在BF的垂直平分线上， ..OM 所在直线是BF的垂直平分线，这与 F,O,M 在同一直线上相矛盾， 故此种情况不存在： 2V54V2 综上所述，△GFC的面积是5或5， 9.(25-26九年级上·上海期中)如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=1,点E在边AB上（点E与端 点A、B不重合)，连接DE,过点D作DF⊥DE,交BC的延长线于点F,连接EF,与对角线AC、边 分别交于点GH设E=xDH=y CD D H B (I)求证：△ADE∽△CDF,并求∠EFD的正切值： (2)求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域： (3)连接BG,当△BGE与△DEH相似时，求x的值. 【答案】(I) 解：，四边形ABCD是矩形，AB=2,AD=1, .BC=AD=1,CD=AB=2,∠DAE=∠DCB=∠ADC=90°=∠DCF, ,DF⊥DE,即∠EDF=90°， .∠ADE+∠CDE=90°，∠CDF+∠CDE=90°， .∠ADE=∠CDF, .△FAD∽△FCD, 29/160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 DE AD 1 DF CD 2 .tan∠EFD= DE 1 DF 2: 2x2+2 2'=2x+1 0<x<2) ③*5+v9 3 4或2 【知识点】相似三角形一一动点问题、解直角三角形的相关计算 【分析】(I)根据垂直关系得到∠ADE=∠CDF,根据“AA”即可证明△ADE∽△CDF,得到 DEAD1 DF=CD=2,再根据正切的定义即可求解tan∠EFD: FC CH 2x_2-y (2)先证明△FCH∽△FBE,得到FBBE,代入得到2x+12-x,故可求解： (3)根据题意分△BEG∽△DHE和△EGB∽△HDE,分别列出比例式求出x的值即可求解. 【详解】(1)略 (2)解：由(1)可知△ADE∽△CDF, EA DE AD 1 ·FC DF CD2, ∴FC=2EA=2x, .DH=y, :.CH=CD-DH=2-y,BE=AB-AE=2-x,FB=CF+BC=2x+1, 在矩形ABCD中，ABICD, .△FCH∽△FBE, FC CH FB BE' 2x2-y .2x+12-x 2x2+2 ..y= 2x+1 (0<x<2): 30/160 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：延长BG,交CD于点P,如图所示： D B AE=x,DH=y, .BE=2-x, .ABII CD, ∴.△AEG∽△CHG, EG AE ∴.HGCH EG AE EH AE+CH' ..AB II CD. ∴.∠BEG=∠CHF=∠DHE. 若△BEG∽△DHE. BE EG ·DHHE' BE AE ∴.DHAE+CH' 2-x=x 即yx+2-y x2+2y-4=0 化简得 ,y= 2x2+2 2x+1, r2+2x2r2+2 -4=0, 2x+1 化简得2x2+5x-8=0, 31/160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x=-5+V89 x=-5-V8g 解 4 4(舍去)， 若△EGB∽△HDE,则有∠DEH=∠GBE, BE∥DH, .∠DEH=∠GBE=∠BPC, .m BrCDE-2. 0= .AB I CD. .△ABGACPG,AAEG∽aCHG, CP CG CH ·AB AG AE· HC PC 1 AE AB4 ·2-y=40<x<2),化简得：x+4y-8=0, ,y= 2x2+2 2x+1, .x+4 2x2+2-8=0,整理得：2x2-3x=0' 2x+1 3 :2=0(不符合题意，舍去)： 3 综上， x=5+V89 4°和=2时△BGE与△DEH相似. 【点睛】本题考查了矩形的性质、函数关系式、正切的定义、相似三角形的判定和性质等知识点，解题的 关键是灵活运用所学知识解决问题，用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题. 10.(25-26九年级上·上海奉贤·期中)己知：矩形ABCD,在边CD上取一点E,将△BCE沿BE翻折，使 点C恰好落在AD边上点F处. 32/160 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (1)如图1，若BC=2BA,求∠AFB的度数： (2)如图2，当CE=4,且AF.FD=12时，求DE的长： AB (3)如图3，延长EF,与∠ABF的角平分线交于点M'BM交AD于点N,当NF=AN+FD时，求BC的 值. 【答案】(1)∠AFB=30°： (2)DE=2: 23 (3)5 【知识点】因式分解法解一元二次方程、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形 的相关计算 【分析】(1)根据矩形的性质和三角函数定义，先得到∠AFB=30°，再由折叠的性质可得到∠CBE=15°： DF_DE (2)由三等角证得△DFE一△ABF,从而得AB=AF,求出DE=2即可： (3)过点N作NG⊥BF于点G,可证得△WFG∽△BFA.再根据相似三角形的性质得出对应边成比例及角 平分线的性质即可得解， 【详解】(1)解：：四边形ABCD是矩形， AD=BC,AB=CD,∠BAD=∠BCD=90° :△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处， ,.BC=BF,EC=EF,∠BFE=∠BCD=9O°，∠FBE=∠CBE, ..BC=2AB ∴.BF=2AB, sin∠AFB=AB_1 BF-2: ∴.∠AFB=30°： (2)解：设DE=x,:∠BFE=∠BAF=∠ADC=90°， 33/160 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·∠AFB+∠DFE=90°，∠FED+∠DFE=90°， .∠AFB=∠FED, ∴.△DFE~△ABF DF_DE .ABAF, .AF·DF=AB·DE, CE=4,DE=x,且AF·FD=12, :x(6x+4)=12 解得x=2或x=-6(舍去)， .DE=2: (3)解：过点N作NG⊥BF,垂足为G, 图③ ,BM平分∠ABF,∠A=90°， .AN GN, ∴.∠FGN=∠FAB=90°，∠GFN=∠AFB. .△GFN△AFB .GN:AB=FN:FB. .NF AN+FD. 、F=2AD,BC=BF=AD .GN:AB=1:2, ∴.AB=2GN=2AN, 设NF=x,AN=y,则AB=2y,BC=BF=2x, 在直角三角形ABF中，根据勾股定理，得AB+AF2=BF2, :(2y+(x+y=(2x) 34/160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 业=3 解得：x5, 2y3 2x=5 AB 3 ·BC5 【点睛】本题注意考查了矩形的折叠，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的应用，解题 时要灵活运用折叠的性质和相似三角形的判定与性质的综合应用： 11.(25-26九年级上·上海浦东新·期中)如图，己知梯形ABCD,AD∥BC,AB=AD=5, tan∠DBC=3 ·E为射线BD上一动点，过点E作EF∥DC交射线BC于点F,连接EC,设BE=x: SAECE=y SABDC A D A D E B B 备用图 (1)求BD的长： (2)当点E在线段BD上时，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围： (3)连接DF,若△BDF与△BDA相似，试求BF的长. 【答案】(1)8 2y=-121 x2+。x(0<x<8) 648 64 (3)5或5 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、相似三角形一一动点问题 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数关系，勾股定理，平行线的性质，利用分类 讨论得出是解题关键. (1)过点A作AH⊥BD于H,再根据ADII BC,AB=AD=5,可得∠ABD=∠ADB=∠DBC, 35/160 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3 BH=HD 再根据tan∠ABD=tan∠DBC ，设AH=3x:BH=4x,利用勾股定理列方程求解，即 可计算出BH=DH=4,进而得到BD=8； FC DE 8-x (2)首先利用平行线的性质得出BF-BE=x，△FEB∽aCDB,根据相似三角形的面积比等于线段 比的平方，结合△ECF与△EFB同高，即可得出y与x的函数关系式： (3)分：①当LBFD=∠A时，②当LBFD=∠ABD时，利用相似三角形的性质求出BF的长即可. 【详解】(1)解：如图，过点A作AH⊥BD于H, D A B F .ADI BC,AB=AD=5, ∠ABD=∠ADB=∠DBC,BH=HD, tan∠ABD=tan∠DBC=3 4 在RIABH中，：tan∠ABD=4=3 BH 4, ∴设AH=3x,BH=4x. AH2+BH2=AB2,即(3r刘+(4=5 .x=1, .BH=DH=4. BD=8: (2)解：EF DC, FC DE 8-x BF BE x，△FEBACDB, :△ECF与△EFB同高， 、Sc-FC_8-x S.FEB BF x 36/160 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :△FEBACDB .S.= -P BD y=8m=8m8m8-E:-r+0<k<8 1 SBDC S.FEB S.BDC X 6464 8 (3)解：由(1)可知，∠ADB=∠DBC, 若△BDF与△BDA相似， 如图，当∠BFD=∠A ① 时，则∠ABD=∠FDB D B F :AB/IDF, ∴.四边形ABFD是平行四边形， :BF=AD=5, ② 如图，当∠BFD=∠ABD 时， D A B '∠ADB=∠DBF,∠ADB=∠ABD .∠DBF=∠BFD,△DBF∽△ADB, DB BF DF=BD=8·ADDB' 8 BF 即58 ·BF=64 · 37/160 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 64 综上所述：当。BDF与ABDA相似时，BF的长为5或5· 12.(25-26九年级上·上海崇明期中)如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=1,BC=2,CD平分 ∠ACB交边AB于点D,P是射线CD上一点，联结AP. (1)求线段CD的长： (2)当点P在CD的延长线上，且∠PAB=45时，求CP的长； (3)记点M为边AB的中点，联结CM、PM,若△CMP是等腰三角形，求CP的长. P D B 备用图 2v2 32 3W2V55√2 【答案】(1)3；(2)2；(3)CP的长是2或2或12· 【知识点】根据正方形的性质与判定证明、相似三角形的判定与性质综合、圆与三角形的综合（圆的综合问 题) 【分析】(I)作辅助线，证明四边形ECFD是正方形，设DF=x,则CF=x,BF=2-x,由 DF BF △BDF-△BAC,得AC=BC,可得CD的长； (2)如图2，作辅助线，构建全等三角形，先根据C、B、P、A四点共圆，得∠APB=90°，可知 AP-BP,由角平分线性质得：PM-PN,根据HL证明Rt心PMA≌Rt△PNB(L),得AM-BN,设AM, 则PCM+1,CN2-x,由CMCN列方程可得x的值，可得CD的长： (3)存在三种情况： ①当PM-CM时，如图3，同理作出辅助线，根据△PCM是等腰直角三角形，可得CP的长；②先根据勾 股定理求4BV5 根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得CP的长： ③由△CPN-△CMH,列比例式结合①可得CP的长. 【详解】详解：(1)如图1，过D作DE⊥AC于E,DF⊥BC于F. 38/160 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A Ef1-- F B 图1 .DF平分∠ACB,∠ACB=90°，.DE=DF. '∠DEC-∠ACB=LCFD-90°， ∴.四边形ECFD是正方形. 设DF=x,则CF=x,BF=2-x .DF AC, ∴.△BDF△BAC, DE BE .AC BC .x_2-x 1=2 2 .3 :△CDE是等腰直角三角形， 2W2 ∴.CD-3； (2)如图2 M P D B 图2 .∠PAB=∠PCB=45°， ∴C、B、P、A四点共圆， ∴.∠ACB+∠APB=180° ∠ACB=90°， ∴.∠APB-90°， 39/160 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴△APB是等腰直角三角形， ∴.AP=BP 过P作PMLAC于M,PNLBC于N,联结PB. .PMEPN, ∴.Rt△PMA≌Rt△PNB(HL), ∴.AFBN 由(1)知：四边形MCWP是正方形， .∴.CM=CN 设AMx,则PCM+1,CN2-x, 1 ∴.x+1=2-x,x=2, .CE2: 3W2 ∴.Cp=2； (3)若△CMP是等腰三角形，存在三种情况： ①当PFCM时，如图3，同理作出辅助线. P G D M N B 图3 ,∠PCN-45°， ∴.△PCN是等腰直角三角形， ∴.CN=PN, 3W2 同(2)得：CP=2: ②Rt△ACB中，AC=1,BC=2, 40/160 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D M B 图4 AB=V5 ,M是AB的中点， 1 5 ∴.CMCP=2AB=2: ③作CM的中垂线交CD于P,则CP-PM,过M作MH⊥CD于H. G H M B 图5 3√23W2 3V2 由①知：CG(就是CP-2）=2,CH4. '.'△CPN-△CH. CM CP .CH CN 5 ..2 CP 32=√5， 44 . CP-12 3√2√55W2 综上所述：CP的长是2或2或12. 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、三角形相似的性质和判定、正方形的判定和性质、等腰三角形 的判定和性质等知识，与方程相结合，设未知数，列方程解决问题. 41/160 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3(25-26九年级上上海宝山期中)已知：在稀形BCD中，DBC,1C=BC=10,cos∠ACB= 5, 点E在对角线AC上（不与点A、C重合，∠EDC=∠ACB,DE的延长线与射线CB交于点F,设AD的长 为x. B (I)如图，当DF⊥BC时，求AD的长： (2)设EC的长为'，求y关于x的函数解析式，并直接写出定义域： (3)当△DFC是等腰三角形时，求AD的长. 【答案】)AD=7 2 x2-16x+100 10 (0<x<16且x≠10) 39 (3)当△DFC是等腰三角形时，AD的长是6或4· 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角 形的相关计算 【分析】(1)过4作AH⊥BC,利用os∠ACB- 5求出CH,根据勾股定理求出4H,再证明四边形 AFD是矩形，得到DF=AH=6:再根据an∠DEC-C DF,∠EDC=∠4CB求出CF=2:从而求出. CA CD (2)根据题意证明△C4D∽△CDE,得到CDCE,故CD2=CA:CE=10y:在同理可得AT=8,CT=6: 则DT=8-x,在RUADTC中，由勾股定理即可求出答案： (3)分DF=DC、FC=DCFC=FD三种情况，根据y与x的函数关系与三角函数的定义求解即可. 【详解】(I)解：如图所示，过A作AH⊥BC,垂足为H, 42/160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B H 在Ra4HC中，os∠ACH=CH 4 =AC,且os∠4CB=5,AC=10 .CH=8 在RtAHC中，由勾股定理得H=VAC-CH=6, ·在RtAHC中，tan∠ACH=4-3 HC4· :ADII BC,且DF⊥BC,AH⊥BC, :.∠AHF=∠HFD=∠DFH=90°， .四边形AHFD是矩形， .DF=AH=6. 在RtADFC中，an∠FDC=CE DF,且∠FDC=∠ACB· CF3 DF4 2CF ·AD=HF=8-97 229 (2)解：AD‖BC, .∠DAC=∠ACB :∠EDC=∠ACB, .∠EDC=∠DAC. ,∠ACD=∠DCE, .△CAD∽ACDE, CA CD ·CDCE 43/160 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ..AC=10,EC=y, CD2=CA.CE=10y 如图所示，过点C作CT⊥AD交AD延长线于T, 同理可得AT=8,CT=6, .'DT=AT-AD=8-x, E 在RtADTC中，由勾股定理得CD2=DT2+CT2 六10y=62+(8-y,即y=-16x+10 10 (0<x<16且x≠10)： (3)解：当DF=DC时，则LDFC=∠DCF ,∠ECF=∠FDC,∠DFC=∠CFE, ∴.△DFC∽aCFE, ∴.∠CEF-∠DCF=∠DFC :AD∥CF, ∴.∠ADF=∠CFE, 又，∠AED=∠CEF, ∴∠AED=∠ADE, .AE AD=x, .AC=AE+CE=x+y=10 :x+-16+10=10, 10 解得x=6或x=0(舍去)： 44/160 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当FC=DC时，则∠CFD=∠CDF, ∠CDF=∠ECF, ∴.LECF=∠EFC, :AD∥CF, ∴，∠EAD=∠ECF,∠EDA=∠EFC, ∴.∠EAD=∠EDA, .AE=DE=AC-CE=10-y: 如图所示，过点E作EH1AD于H,则4H=DH-D= 2 在Rt△AEH中，cos∠HAE=cos∠ACB=4_4 AE 5 1 4 10-y5’ .y= 40-2.5x 4， :40-25r=x2-16x+100 4 10 39 解得x=4或x=0(舍去)： HD 当DF=CF时，则∠FDC=∠FCD ,∠FCE=∠FDC, :.∠FCE=LFCD,这与点E在AC上且与A、C不重合矛盾，即此种情况不存在： 45/160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 39 综上所述，x=6或=4， 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质与判定，等腰 三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键。 14.(25-26九年级上·上海浦东新·期中)数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置， 固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和 BDE中，∠ACB=∠BDE=90°，BC=BD=6,AC=DE=8,旋转角为a(0°<a<360). B B 图1 图2 备用图 【初步感知】 AE (1)如图1，将三角形纸片BDE绕点B旋转，连接AE,CD,求CD的值： 【深入探究】 (2)如图2，在三角形纸片BDE绕点B旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线CF的延长线上时，延 长ED交AC于点G,求AG的长： 【拓展延伸】 (3)在三角形纸片BDE绕点B旋转过程中，试探究A,D,E三点，能否构成以AE为直角边的直角三角 形.若能，求线段AD的长度：若不能，请说明理由. 5 7 16W13 【答案】(1)3(2)2(3)13或413 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质与判定求角度、根据旋转的性质求解、相似三角形 的判定与性质综合 【分析】(I)证明△BCD∽aBAE即可解答： (2)如图2，通过延长CF交AE于点H,连接BH,得到四边形AHBC为矩形，设MH=x,先根据相 似得AG=2x,再证明三角形全等得EM=BM=8-x,由勾股定理列方程即可解答； (3)分两种情况：如图3和图4，分别根据相似三角形和勾股定理即可解答， 46/160 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：(1)∠ACB=∠BDE=90°，BC=BD=6,AC=DE=8, .AB=BE=10」 由旋转得：∠CBD=∠ABE, :BC、BD AB BE .ABCD△BAE, AE BE 10 5 CD BD 6 3 (2)如图2，延长CD交AE于H,连接BH交DE于M, H 图2 由(I)知：△BCD∽△BAE, ∴.∠BAE=∠BCD, ,CF是中线，∠ACB=90°， .CF=AF=BF=5, :.∠BCF=∠FBC, .∠FBC=∠BAE, ,∠AFH=∠BFC, △AFH≌△BFC(ASA) .CF=FH, ∴四边形ACBH是平行四边形， ,∠ACB=90°， .口ACBH是矩形， .∠AHB=90°，BH=AC=8, AB=BE, .'AH=EH=BC=6. 47/160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 设MH=x, :∠EHB=∠HAC=90°，∠AEG=∠HEM, ∴.△AEGAHEM, MH EH 1 AGAE2· ..AG=2x, :EH=BD=6,∠EMH=∠BMD∠EHM=∠BDM=90° ÷△EHM≌aBDM(AAS) .BM EM=8-x, 由勾股定理得：EM2=EH+MH2,即(8-=6+， 部物子、 77 ∴.AG=2× 42: (3)分两种情况：①如图3，∠EAD=90°，过点B作BQ⊥AE于O,过点D作DP⊥BQ于P, P 图3 ∴.∠AQP=∠DPQ=∠DAQ=90° “四边形ADP巴是矩形， .∠ADP=90°，AQ=PD 设AQ=PD=b, AB=BE,BQ⊥AE 48/160 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 、A0=E0=b, .'AE=2b. .∠ADP=∠BDE=90°， ∴.∠ADE=∠BDP, :∠EAD=∠DPB=90°， ∴.△DAEr△DPB, .AE PB 2b PB DEBD,即8=6， 3 ∴PB=2b 2 Rt△BPD中，BP2+PD2=BD, 3, 2 .b2+ 。b =62 2 12v13 b= 解得： 13(负值舍)， ,△DAEr△DPB, 12W13 AD_PD即AD=13,· ED BD' 8=6 ·AD=16v3 13: ②如图4，∠AED=90°，过点B作B0⊥AE于Q, A D 图4 ∴.∠BQE=∠AED=∠BDE=90° 49/160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ·四边形BDEO是矩形， ∴.EQ=BD=6 :AB=BE,BQ⊥AE .AE=2EQ=12 由勾股定理得：AD=VAE2+DE2=V12+8=4N3 16v13 综上，AD的长是13或4V13 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相 似三角形的性质和判定，矩形的判定和性质等知识，熟练掌握相关的性质是本题的关键 15.(25-26九年级上：上海徐汇期中)如图1，在梯形ABCD中，AB∥DC,AD=16,点P在AB上， 满足PD=PC=号4D,又PC-2PB:∠PDA=∠DCP B A 图1 图2 (1)求证：PB=CD: (2)如图2，若点Q是线段PB上的动点且与点P不重合，连接CQ并延长交DP的延长线于点O,设 PO=x,DO=y ,求与之间的函数关系式，并写出定义域： (3)若点M是线段PA上的动点且与点P不重合，连接CM交DP于点N,当△PNM是等腰三角形时，求 PM的长度， 【答案】(I) 匪明：PD=PC=2AD,PC=2Pe。 50/160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .PB=4,PC=PD=8. ..ABlIDC, ∴.∠APD=∠PDC, .PD=PC, .∠PDC=∠DCP, ,∠PDA=∠DCP. .∠PDA=∠DCP=∠APD=∠PDC, ∴△PDASADCP PC CD :.AD PD' 8 CD 即168’ .CD=4, .PB=CD: 32 (2)y=4-x,定义域(0,4) (3)PM的长度为4或12 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的判定与性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分折1山由PD=PC-4D:PC=2P8:AD=16可得PB=4PC=PD=8:由BDC得 LAPD=∠PDC,由PD=PC得∠PDC=∠DCP,再由∠PDA=∠DCP等量代换得 ∠PDA=∠DCP=∠APD=∠PDC,可证△PDA∽aDCP,由相似比可得出CD=4,即可证明； ODCD y4 32 y= (2)由AB/DC得△OCDAOQP,可得OPPQ'即y-8x,化简得4-x,由点是线段PB上的 动点且与点P不重合，得0<<4，即定义域为 0,4) (3)当△PNWM是等腰三角形时，分三个情况讨论：①当PM=PV时，由ABIIDC得aCDN∽aMPV,得 CD DN PM=PN,从而得，进而得PM=PN=PD-DN=4:②当PM=MN时，由∠PDA=∠APD得 AP=AD=16,由PM=MN得∠MNP=∠APD,代换得∠PDA=∠MNP，,从而得INIIAD,进而得四边形 AMCD是平行四边形，得出DC=AM=4,可得PM=AP-AM=12. 51/160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)略 (2)解：，AB/DC, OCDAOOP OD CD :.OP PO' y4 :y-8-x' 32 ..y= 4-x9 ,点Q是线段PB上的动点且与点P不重合， (0,4) :0<<4,即定义域为04： (3)解：分三种情况 ①PN=PM,如图， D M P B 图1 ABlIDC, ∴.aCDW∽aMPN, CD DN PM PN .'CD=DN=4. .PM=PN PD-DN=4. ②PM=MN,如图， D A M 图1 ,∠PDA=∠APD, .AP=AD=16. 52/160 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .PM MN. ∴.∠MNP=∠APD ∴.∠PDA=∠MNP, .MNIIAD, ∴，四边形AMCD是平行四边形， .DC=AM=4, ∴.PM=AP-AM=12: ③当PN=MN时，等腰三角形不存在： 综上所述，PM的长度为4或12. 【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义及性质，相似三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质， 掌握等腰三角形的定义及性质，相似三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质并分情况讨论是解题 的关键。 16.(25-26九年级上·上海期中)己知，在△ABC中，AB=BC,∠ABC=90°，点D在射线CB上，连接 DA D绕点P逆时针旋转9O0后得到DE,过点E作EM1BC交 D 90° BC .M AE,CE ,将线段 交直线于点”，连接 D 图① 备用图 图② (I)如图①，若点D在线段CB上（且不与点C、点B重合）时，求证：MC=BD: (2)延长AD与直线CE相交于点N. ①当点D在线段CB上（且不与点C,点B重合）时，如图②所示，若4D平分∠B1C,CD=V2ME,且 AB=2+2W2 求线段的长： CE 3 ME NC ②当点D在射线CB上（且不与点C、点B重合）时，若NE-7时，直接写出MD4C的值. 【答案】(1) 证明：∠ADE=90°， 53/160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ·∠ADB+∠MDE=90°， .∠ABD=90°， ∴.∠ADB+∠BAD=90°， ∴.∠BAD=∠MDE, 在△ABD和△DME中， ∠B=∠M ∠BAD=∠MDE AD-DE ABDDME(AAS) .AB=DM .AB=BC, .BC=DM, .MC=BD: ME CN 33 (2)04V②MDAC=4或10 【知识点】全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)、等腰三角形的性质和判定、相似三角形 的判定与性质综合 【分析】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识，解决 问题的关键是转化线段和角， (I)证明ABD≌△DME,进而得出结论： (2)①设AC与DE交于点F,证明∠BAD=22.5°，在AB上取一点T,使得AT=DT,证明BD=BT, 设D=B7=m,则DT=7=2m,可得m+2m=2+2 ,推出m=2,再证明△1 BDADF ,利用 相似三角形的性质求出AF,再证明EN=AF可得结论： ②证明∠MDE=∠CAE,进而证明△MDE∽aCAE,运用相似三角形的性质求得结果. 【详解】(1)略 (2)解：①设AC与DE交于点F, 54/160 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 T 图② ,△ABD≌△DME, ∴.AB=DM,BD=EM, AB=BC, .BC=DM, ·MC=BD=EM, :.∠MCE=∠MEC=45°， EC=ME CD=ME .CD=CE, .∠CDE=∠CED, :∠MCE=∠CDE+∠CED, ·∠CDE=∠CED=22.5°， :∠ADE=90°， ∴∠ADB=67.5°， ,∠B=90°， ∠BAD=22.5°， 在AB上取一点T,使得AT=DT, .∠TAD=∠TDA=22.5°. .∠BTD=∠TAD+∠TDA=45°， :∠B=90° :.∠BDT=∠BTD=45°， ∴.BD=BT, 55/160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 设BD=B7=m,则 DT=AT=2m, :m+V2m=2+2V2 .m=2, BD=2, :4D=VBD+AB=V22+2+22=V16+82, :AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠DAF, :∠B=∠ADF=90°， ∴.△ABDP△ADF, AB AD ·ADAF, 2+2√2 V16+8√2 ·16+8W2 AF :F=4V2 ,∠DEN=∠DAF=22.5,DE=AD,∠EDN=∠ADF=90°， ∴，△EDN≌△ADF(ASA), EN=AF=4V2 ②当点D在线段BC上时， ,∠BAC=∠DAE .∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD, 即：∠BAD=∠CAE, AC_AE=2, AB AD .△ABD~△ACE, ∠ACE=∠B=90°： CE 3 NE7 56/160 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CE 3 CN4' :∠ADE=90°， .∠MDE+∠ADB=90°， 又∠BAD+∠ADB=90°， .∠BAD=∠MDE ,∠M=∠D=90°， △MDE∽△BAD, ∴.△MDEACAE, ME CE ·MDCA' ME CN CE CN CE 3 MD AC AC'AC CN 4: 如图，当点D在CB的延长线上时，连接AE, D N 由旋转得：DE=AB,∠ADE=90°， ∴.∠EDM+∠ADB=90°， ,EM⊥CD ∴.∠MED+∠EDM=90°，∠DME=∠ABD, ∴.∠MED=∠BDA, .△ABD≌△DME, ∴，ME=DB,CB=DM, .CM=BD, ∴.CM=EM .∠ECM=45°， 又∠ACB=45°， .∠ECA=90°， 57/160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 同理可证△MDE∽aCAE, ME CE .MD CA' ME CN CE CN CE 33 ·MD ACAC AC CN7+310: ME CN 33 综上所述， MDAC4或10 17.(2526九年级上上海期中)如图，在△18C中，4B=4C=5,BC=2,点D是边4C的中点，点 M,N是射线BD上的动点（点M在左边），以CM为一边作∠MCN=∠ABC. D M B 备用图 (1)求BD的长： (2)当点M是△ABC的重心时，求CN:BN的值： (3)如果△MCN是以MN为腰的等腰三角形，求BM的长. 3 【答案】(1)2 √5 (2)4 4133√13 (3)BM为13或13 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角 形的相关计算 【分析】(I)过点A、D作BC的垂线，垂足分别为E、F,通过解直角三角形求出CF、BF,利用勾 股定理求出DF,即可解答： 58/160 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)连接AM并延长交BC于点H,根据题意得到AM是BC的垂直平分线，证明△NCD∽△WBC,列出 比例式即可解答； (3)若△MCN是以MN为腰的等腰三角形，分以下两种情况：①当MN=NC时，证明△DMC∽aDCB, BN=8V13 Nc=26 求出DM,即可解答；②当MN=MC时，证明△BCDn△BNC,求得D13, 13,过M作 w=5v3 MH⊥NC,垂足为H,求出13，即可解答. 【详解】(I)解：如图，过点A、D作BC的垂线，垂足分别为E、F, D M E F :AB=AC=V5AE⊥BCBC=2 ∴CE=BC=1cosC-CE-↓-5 2 AC 55, 点D是边AC的中点， .CD-1AC=5 2 2， 在Rt△CFD中， os∠ACB= CD= 5, 2, ·CF=cos∠ACB-CD=1 2 BF=BC-CF=2-1=3 22: 59/160 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ..DF=CD2-CF2 BD=BF2+DF2 在Rt△BDF中， 2 (2)解：如图，连接AM并延长交BC于点H, M 点 是 的重心， 23 B 4 H :M△ABC “点M是△ABC的三条中线的交点， AH是△ABC的中线， AB=AC, ∴.AM是BC的垂直平分线， .BM=CM, .∠1=∠4， AB=AC,∠MCN=∠ABC, .∠ACB=∠ABC=∠MCN, ∴.∠1+∠2=∠2+∠3 ∠1=∠3 ∠3=∠4， :∠N=∠N, ..ANCDANBC, 峪 CN_CD_2_5 BN BC 2 4 CN:BN= 4 60/160 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：若△MCN是以MN为腰的等腰三角形，分以下两种情况： ①，MN=NC 时，如图： N M 3 B4 的C .∠1+∠2=∠2+∠3 .∠1=∠3， .MN NC. .∠NMC=∠NCM=∠2+∠3， ∠NMC=∠1+∠4， .∠2=∠4， .·∠MDC=∠CDB ∴.ADMC∽ADCB. DMDC DC BD 5 DM 2 5V3, 22 DM=53 26, :.BM-BD-DM=1351/134V3 22613: ②当N=Mc 时，如图： 61/160 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 N M D --H B ∴.∠MCN=∠MNC :∠ACB=∠MCN, .∠ACB=∠MNC, ∠CBD=∠NBC, .△BCD∽△BNC, BC BD CD BN BC CN 35 即2 2 BN2-NC .BN=813 13, NC=2V65 13, 过M作MH⊥NC,垂足为H, .MC=MN, NH-号NC=6 1 13, cosW=cos∠MCN=cs∠ACB=5_MH 5 MN, ·w=5i3 13, .BM-BN-MN-8/135/133V13 13 1313: 4133W13 综上，BM为13或13， 62/160 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【点睛】本题考查三角形的综合运用，主要考查勾股定理、重心的性质、解直角三角形、垂直平分线的判 定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关 键 18.(24-25九年级上：上海静安·期中)综合与实践 问题情境： 数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图I,在△ABC中，D是AB上一点，∠ADC=∠ACB.求证 ∠ACD=∠ABC, 独立思考： (1)请解答王老师提出的问题. 实践探究： (2)在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答.“如图2，延长 CA至点E,使CE=BD,BE与CD的延长线相交于点F,点G,H分别在BF,BC上，BG=CD, ∠BGH=∠BCF.在图中找出与BH相等的线段，并证明.” 问题解决： (3)数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当∠BAC=90°时，若给出△ABC中任意两边 长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求，该小组提出下面的问题，请你解答.“如图3，在 (2)的条件下，若∠BAC=90°，AB=4,AC=2,求BH的长.” F D B 图1 图2 图3 【答案】(I).∠ADC=∠ACB,∠A=∠A, 而∠ACD=180°-∠A-∠ADC,∠ABC=180°-∠A-∠ACB, ∴.∠ACD=∠ABC, (2)BH=EF,理由如下： 63/160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 如图，在BC上截取BN=CF, .BD=CE,∠ACD=∠ABC, ∴.△CEF≌△BDN, ∴.EF=DN,∠EFC=∠DNB, G B H ∠BGH=∠BCF∠GBN=∠FBC, .∠BHG=∠BFC, ∠EFC=∠BND, ∠BFC=∠DNC, ∠BHG=∠DNC, BG=CD. △GHB≌△CND. ∴BH=DN, .BH EF. (3) BH 3 【知识点】全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)、用勾股定理解三角形、相似三角形的判 定与性质综合 【分析】(1)利用三角形的内角和定理可得答案： 64/160 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图，在BC上截取BN=CF,证明△CEF≌△BDN,再证明EF=DN,∠EFC=∠DNB,证明 △GHB≌△CND, BH=DN, 可得 从而可得结论： (3)如图，在BC上截取BN=CF,同理可得：BH=DN=EF,利用勾股定理先求解 BC=V2+4=2W5,证明△ADCACB,可得MD=1,CD=V5,可得BG=CD=V5,证明△BGH△BCR, 可得BF=2BH,而EF=GH,可得BE=3BH,再利用勾股定理求解BE,即可得到答案 【详解】证明：(1)略 (2)略 (3)如图，在BC上截取BN=CF, 同理可得：BH=DN=EF, E B H ,AC=2,AB=4,∠BAC=90°， :BC=V22+42=2√5， ,'∠DAC=∠BAC,∠ACD=∠ABC, ∴.△ADC∽△ACB, ADAC CD AC AB BC' AD 2 CD 24251 :AD=1.CD=5. 65/160 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.BG=CD=5, ·,'∠GBH=∠FBC,∠BGH=∠BCF, ∴.△BGH∽△BCF, ..BG-GH_BH 51 BC CF BF2√52 .BF =2BH,EF=GH, 而 :BE =3BH, ·.AB=4,AD=L,BD=CE, .BD=CE=3, .AE=3-2=1,∠BAE=∠BAC=90°， 而 .BE=AB2+AE2=17, :.BH7 3 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三 角形的判定与性质，作出适当的辅助线构建全等三角形是解本题的关键。 19.(25-26九年级上·上海青浦期中)如图，在直角图形ABCD中，AB∥CD,∠ABC=90°，对角线 1 AC、BD交于点G,已知AB=BC=3,am∠BDC=2,点E是射线BC上任意一点，过点B作BF⊥DE, 垂足为点F,交射线AC于点M,射线DC于点H. G (I)当点F是线段BH中点时，求线段CH的长， (②)当点E在线段BC上时（不与B、C重合），设BE=x,CM=y,求'关于x的函数解析式及定义域. 66/160 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)联结GF,如果线段GF与直角梯形ABCD中的一条边(AD除外)垂直时，求x的值. 【答案】(1)35-6 9√2-3V2x 2)少 3+x,定义域为0<x<3 *33v 4或21-6V11 【知识点】公式法解一元二次方程、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、解直角三 角形的相关计算 【分析】(1)先根据线段垂直平分线的性质得到BD=DH,再利用平行线的性质求得∠DCB=9O°，然 后解直角三角形求得 DH =BD=3V5 ,进而可求解： (2)先根据三角形的内角和定理求得∠FBE=∠CDE,过M作MN⊥BC交BC延长线于N,则 MN CE tan∠MBN=tan∠CDE,即BNCD,证明△MCN是等腰直角三角形得到MN=CN,CM=√2MN,设 MN=CN=t:则3+(6，进而求得MN=1=9-3x t 3-x 3+x，即可求解： (3)分两种情况：当GF⊥BC时和当GF⊥CD时，分别画出图形，利用相似三角形的判定与性质、平行 线分线段成比例求解即可. 【详解】(1)解：：点F是线段BH中点，BF⊥DE, ∴.DF垂直平分BH, .BD=DH, ,AB∥CD, .∠DCB=180°-∠ABC=90°， 在RtBCD中，BC=3,tan∠BDC=2CD, CD=6BD=BC+CD+6-35 DHt=35 67/160 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.CH-DHI-CD=35-6 (2)解：，BF⊥DE, ∴.∠BFE=∠DCE=90°，又∠BEF=∠DEC, ∴.∠FBE=∠CDE, 过M作MN⊥BC交BC延长线于N, D A E MN CE 则tan∠MBN=tan∠CDE,即BN=CD, .AB=BC=3,∠ABC=90°， .∠ACB=∠CAB=45°=∠MCN,又∠MNC=90°， :.△MCN是等腰直角三角形， ÷MN=CN.CM=2Mw 设MN=CN=t,则BN=BC+CN=3+t, :点E在线段BC上时（不与B、C重合），且BE=x, .0<x<3,CE=BC-BE=3-x, t3-x .3+t6” 3+x,即MW=9-3x 9-3x 解得1= 3+x :CM=2w=9W2-3V2x 3+x, 9W2-3√2x 3+x,定义域为0<x<3: (3)解：当GF⊥BC时，则AB∥CD∥GF, 68/160 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BF BG AB BC ·FH GD DC DC =tan∠BDC= 2 BF 1 BH3,即BF=BH」 3 由(2)知，∠CBH=∠CDE,又∠BCH=∠DCE=90, ∴.△BCH∽△DCE. BH BC 1 ∴.DECD2' :H-DE,则8F-0E, 6 :∠BFE=∠DCE=90°，∠BEF=∠DEC, △BFE△DCE, DE :职=BE,即 s_Y CD DE 6 DE .DE2=36x, .DE2=CD2+CE2, :36x=36+(3-x)2 解得：本=21-6.名=21+6而 (舍)： G G B H 当GF⊥CD时，如上图，则GF∥BC,又AB∥CD, KC=BG AB BC=1 ·DK=DG CDCD2·△DKF∽ADCE, -0=4,kc-2答号即-现 KF 2 3 69/160 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠BCH=∠DCE=90°，∠CBH=∠CDE=90°-∠CED, .△BCH∽△DCE, …2恶则cH==-). CH BC 1 k1=cK-0m=2--3)=72 ,KF∥BC, ∴.∠KFH=∠CBH,∠FKH=∠BCH, ∴.△FKH∽aBCH, -)72 2 ·K=KH,即3一=x-3, BC CH 2 整理得：2(x-3=9(7-).即2x2-3x-45=0, 3-3√41 解得 3+3V41 4， x2= 4(舍)， 3+3V41 综上， x= 4或21-6W11. 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的 判定、三角形的内角和定理、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键 20.(25-26九年级上上海普陀期中)己知：在Rt△ABC中，∠4CB=90°，BC=6,AC=12,点P是斜边 AB上的一个动点，PD⊥AB,交AC边于点D(点D与点A、C都不重合)，点E在射线DC上，且 ∠EPD=∠A,设A、P两点的距离为x,△BEP的面积为y. CE) 图1 图2 备用图 (I)如图1，当点E和点C重合时，求AP的长： 70/160 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，当点E在线段DC上时，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域： (3)当△BEP与△ABC相似时，直接写出△BEP的面积. 【谷灯四45 y=-2+250<x≤185 (2)31 5 22545 (3)16或4 【知识点】用勾股定理解三角形、由平行判断成比例的线段、相似三角形一一动点问题 DP BC 1 【分析】(1)根据题意可证明△APD∽△ACB可得APAC2,根据∠EPD=∠A,∠PED=∠AEP可得 PE ED PD 1 △PED∽△AEP,则AE PEAP2,表达出DP,再在Rt△APD中运用勾股定理即可求解； DP AD PE ED PD 1 (2)过点E作EH⊥AB于点E,根据题意可证明DP∥EH,则EHAE,根据AEPE-AP2,设 2 ED=a,则PE=2a,AE=4a,进而求出EH= x,再在Rt△ABC中运用勾股定理求出AB并表达出PB, 最后运用三角形面积公式即可求解： (3)根据题意当△BEP与△ABC相似时，只有两种情形：∠BEP=∠C=90°或∠EBP=∠C=90°，进行分 类讨论即可. 【详解】(I)解：：PD⊥AB, ∴.∠APD=90°. .∠ACB=90° .∠APD=∠ACB :∠A=∠A, .△APD∽△ACB AP DP .ACBC· .BC=6,AC=12, DP BC 6 1 .APAC122· 71/160 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠EPD=∠A,∠PED=∠AEP, ∴，△PED∽△AEP. PE ED PD 1 .AE PE AP2· .PE=6,ED=3 .AD=9 DP 1 :AP2,AP=x’ .DP-Ix 1 . :∠APD=90°， ..AD2=AP2+DP2. 81=x2+x2 4 解5 ÷aP=185 5 (2)解：过点E作EH⊥AB于点E,如图， D E B 图2 .∠AHE=90° :APD=90°， .∠AHE=∠APD .DP∥EH. DP AD .EHAE· 72/160 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 PE ED PD 1 :AEPE AP2· 设ED=a,则PE=2a,AE=4a, ∴.AD=AE-ED=4a-a=3a, AD 3 AE4· DP 3 ∴.EH4 1 又：DP=2, :∠ACB=90°，BC=6,AC=12 :AB=√AC2+BC=6√5 PB=6V5-x S.E=x PBx EH y65-号 =x+25x0<xs5月 (3)解：当△BEP与△ABC相似时，只有两种情形：∠BEP=∠C=90°或∠EBP=∠C=90°， ①，∠BEP=90° DC,△PEBP△BCA 当 时，点E在线段上， ,如图， :DP∥EH, ∴.△APDAAHE, :△APD∽△ACB, :△PEH∽aBAC, PE AB ·HEAC' 73/160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .PE-E.ABx65 5x AC 2 3 PE BC .PB AB' 5x 3 s、6 65-x6√5 9√5 解得4. A D E 当 时，点E在射线 上，即点E在C点下方， B② ∠EBP=90° DC △EPBP△ABC PD⊥AB .∠APD=90°， 又，∠EBP=90°， .DP∥EB, ∴.△APDP△ABE, .△APD∽△ACB, .△ABE△ACB. AE AB ·ABAC, E4.615 AC 12 在R△ABE中，BE=VAE2-AB=S2-(65=35, .△EPB∽aABC, 74/160 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PB BC BE AC' PB 6 3512· :P阳36 2 .S.PBE= 22 ×3V5=45 , 22545 综上所述，△BEP的面积为16或4· A 【点睛】本题考查勾股定理的应用、平行线的性质和相似三角形的判定与性质，找出图形中的相似三角形， 掌握相似三角形的判定和性质是关键 21.(25-26九年级上：上海闵行·期中)在△AOB中，点E是边AB上的点，连接OE. B E 图1 图2 (I)如图1，点D是BO的延长线上的点，过点D作AB的平行线，分别交AO、EO的延长线于点C、F ①求证：CF·BE=AE·DF: ②连接AD,如果AB=6,CD=9,EF∥AD,求△COF与△AOB的面积比值： (②)如图2，已知∠AB0=90°，点H是线段OE上的点，分别连接BH、AH.如果 ∠AOH=∠BOH=∠OBH,AH=AB,BE=4,求sin∠OAB的值. 75/160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1) ①：CDI‖AB, .∠C=∠OAB,∠OFC=∠OEA,∠ODF-LOBE,∠OFD=∠OEB ∴.aOCF∽aOAE,aODF∽AOBE. CF OF DF ∴.AEOE BE' ∴.CF.BE=AE·DF: 27 ②20 V17-1 (2)4 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的 相关计算 【分析】(I)①证明△OCF∽aOAE,△ODF∽aOBE,然后利用对应边成比例即可得出结论： ②证明1 △OCD∽△OAB 得出对应边成比例，然后证明△CFO∽ACDAABOEBDA ,假设 S.BOE=4s ，表示 出相关图形的面积，然后求比值即可： (2)过点E作EG⊥OA于点G,证明△ABH△HBE,令AE=x,OH=BH=EH=r,则AB=AH=x+4, 利用对应线段成比例表示出x= 44,然后利用勾股定理列出方程求解即可. 【详解】(1)解：①略 ②CD‖AB, .∠ODC=∠OBA,∠OCD=∠OAB ∴.△OCD∽△OAB, OB OA AB 2 ·OD0CCD3' ,EF∥AD, 76/160 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.∠CFO=∠CDA,∠COF=∠CAD,∠BOE=∠BDA,∠BEO=∠BAD .ACFO∽aCDA,△BOE∽△BDA, 假设了ae=4, S.BOE S.ODF=9s,S.BDA =25s 5四边形AE0D=25s-4s=21s DF∥AE,AD∥EF, ∴四边形AEFD为平行四边形， S.0S.o+..o0 )=155 S.OE=15s-9s=6s S.COE ∴.S.oME 27 .cr=25, 27 的面积比值为，2} 27 ACOF与。A0 6s+4s20 (2)解：过点E作EG⊥OA于点G, E 图2 77/160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠AOH=∠BOH=∠OBH,∠ABO=90°， .GE=BE=4,∠HEB=∠HBE, ∴.OH=BH=EH, AH=AB, ∴∠AHB=∠ABH, ∴，△ABHr△HBE, 令AE=x,OH=BH=EH=r,则AB=AH=x+4, HB AB ·BEHB, rx+4 即4r 整理得r= 44, A44,3 4 由勾股定理得OB=VOE2-BE=2VP-4 ,∠GAE=∠BAO,∠AGE=∠AB0=90° ,△AGE∽△ABO, AG GE AB OB' AG 4 即2P-4, 4 r2 AG= 整理得 2Vr2-4,(暂不化简) 由勾股定理得AG+GE2=AE2, r2 +16-16 ） 即2P-4 16 78/160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 令2=1，则上式为：4t-4 +16=-16)} 16, 整理得t2-40t+128=0, 解得=20+47或=20-47 :产=20+417成2=20-47 或 则0E2=4r2>BE2=16, 20-47<20-46=4 :80-1617<16 故取 2=20+4V17 sin∠OAB= GE 4 17-1 AE 20+417-4 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，直角三角形的性质，解 一元二次方程等内容，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质. 22.(25-26九年级上上海期中)四边形ABCD中，ADI‖BC,E在边CD上(E不与C、D重合)，F 在边AD上： 4 F D 图1 图2 图3 (I)如图1，若EF平分∠BFD,且E为CD中点，判断△BEF的形状，并证明； DE 5 DF 2 AF 2)如图2，若四边形ABCD为平行四边形，EC7且∠D=∠BFE,EF3,求FD的值： 79/160 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图3，若∠A=90°，EF平分LBFD,∠FED=∠EBC,tan/C=2,且△BEF为等腰三角形，直接写 AF 出FD的值. 【答案】(1) 解：△BEF为直角三角形. 证明如下：如图， A F D 2 NE 5 B 延长FE与BC的延长线交于点M, :E为CD中点， .DE=CE AD‖BC, ∴.∠2=∠M. ∠4=∠5， .AEDF≌AECM .EF=EM」 :EF平分∠BFD, .∠1=∠2 ∠2=∠M， .∠1=∠M ∴.BF=BMJ .BE⊥FM(三线合一) ..∠3=90° 即△BEF为直角三角形. AF (②)FD的值为3 80/160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AF 6v5 +27 3)FD的值是5“或5. 【知识点】全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)、等腰三角形的性质和判定、相似三角形 的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的相关计算， 关键是根据题意作出适当的辅助线以及熟练掌握全等三角形的判定与性质， (I)延长FE与BC的延长线交于点M,可证△EDF≌aECM,进一步得BF=BM,最后利用等腰三角形 “三线合一”的性质即可证明； (2)先证出△DEF∽aCEG和△GCE∽aGFB，,再利用对应边成比例得AF与FD的值即可： (③)分三种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质结合解直角三角形，求解即可， 【详解】(1)略 (2)解：如图， F B 延长FE与BC的延长线交于点G, DF 2 ·EF3, .设DF=10k,则EF=15k. :四边形ABCD为平行四边形， ,AD∥BC,AD=BC ∴，∠D=∠GCE.△DEF∽ACEG DE 5 EF DF EC-7-EG-CG DE 5 15k 10k EC-7-EG-CG .EG=21k,CG=14k, ∴.GF=EG+EF=36k ∠D=∠BFE, ∴.∠GCE=∠BFE. 81/160 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠G=LG, .∴△GCE∽△GFB GC GE GF GB 14k_21k 即36kGB' ..GB=54k .BC=BG-CG=40k=AD, ..AF=AD-DF=30k, AF_30k=3 .FD 10k AF 答：FD的值为3 (3)解：设∠DEF=a,∠DFE=B, 则∠EBC=a,∠BFE=B,∠EDG=a+B, 分三种情况： ①当BF=BE时，△BEF为等腰三角形， ∴.∠BFE=∠BEF, .∠BFE=∠DFE, ∴.∠DFE=∠BEF, ∴.BE∥AD,此时点E与C重合，不符合题意： ②当EF=BE时，△BEF为等腰三角形，如图3， 0 G M 图3 延长FE,BC交于点M,过点E作EP⊥BF于点P,过点E作GH⊥BC于H,交AD的延长线于点G,则 GH⊥AD :EF平分∠BFD,EP⊥BF,EG⊥FG, 82/160 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .PE=EG. .EF EF, ,RtaPEF≌RtAGEF(HL) ∴.PF=FG, EF =BE, .∠BFE=∠EBF=B, ,AD∥BC, 、.∠AFB=∠FBC=Q+B, ∴.∠AFB=∠BCE=∠EDG」 ∴.tan∠AFB=tan∠BCE=tan∠EDG, ,tan∠BCE=2. AB_EH-EC=2. AF CH DG 设CH=a,DG=b, .EH =2a,EG=2b,AB=GH=2a+2b, :.AF=a+b BF=5(a+b) EF=BE,EP⊥BF, BPPF5(atb)G 2 DF=FG-DG.5a+0-6-5a+5-2b 2 2 由(1)可知， BM=BF=5(a+b) .BM=BH+CH+CM, :5a+)-a+b+5g*0a+Cy 2 83/160 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Cw-5-a+5-2b 2 :AD∥BM, ∴.△FDE∽△MCE,△DEG∽△CEH, DF DE EG 2b b CM EC EH 2a a' .aDF =bCM, 5a2+(5-2)ab（N5-4)ab+(N5-2b2 2 2 :5a+2ab+(2-5)b2=0, (5-25)b 解得a=-b(舍去)，a= 5， 4=a+6.-2566-2-256 5 5 DF-5a+/5b-2h 52-25】 b-2b 5 =(N5-2b, 2 2 25 2 b 5 FD 65+2: 5-2b ③当BF=EF时，△BEF为等腰三角形，如图4， F D G 武M 图4 过点F作FO LBE于点Q,过点B作BK⊥EF于点K,延长FE,BC交于点M,过点B作GH⊥BC于 H,交AD的延长线于点G,则GH⊥AD, 84/160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 设DF=x, :BF=EF,∠BFK=∠GFE,∠BKF=∠G=9O° △BKF≌△EGF(AAS) ∴.FK=FG=b+x,BK=EG=2b,∠FEG=∠FBK, ,BF=BM,BK⊥FM, ∴.∠FBK=∠KBM=∠FEG,FK=KM=b+x, ,∠FED=∠EBC, .∠DEG=∠EBK, :∠G=∠BKE=90° △EGD≌ABKE(ASA) EK=DG=b BE=DE=56 .EM=x, BF=EF,FQ⊥BE, BO-OE-1BE-5 2 2 :Cos∠QEF= EO EK EF BE 5p b 2= 2b+x 5b 1 ..x=6 2 DF-3b,BF-EF-264x-56=BM Γ2 2 =1.BM.EH=I S.BEM=2 2 b-2a=5b2b, .2 2 85/160 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .4B=2a+2b 12b=2.4b .AF=VBF2-AB2=V2.5b}-(2.4b}=0.7b AF_0.7b_7 .FD0.5b5 AF 6W5 +27 综上，FD的值是5或5. 23.(25-26九年级上·上海普陀期中)如图，在Rt△ABC与RtABD中，∠ACB=∠DAB=90°， AB2=BC.BD AB=3 过点A作A1E⊥BD 垂元为点R,延长低，C交于点儿，连接Dr B (I)求证：AE=AC: AE ②)设BC=x,EF=y,求y关于x的函数关系式及其定义域： (3)当△ABC与△DEF相似时，求边BC的长， 【答案】(1) 证明：：AB=BC·BD AB BD ·BCAB 又：∠ACB=∠DAB=90° ∴.△ABCP△DBA .∠ADB=∠CAB 在Rt△EBA与Rt△ABD中 ∠AEB=∠DAB=90°，∠ABD=∠ABD ∴.△ABDP△EBA ∴.∠ADB=∠EAB ∴.∠EAB=∠CAB 86/160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△EBA与Rt△CAB中 ∠EAB=∠CAB,AB=AB,∠ACB=∠AEB=90°， ∴.△AEB≌△ACB .AE=AC 9 3W2 (②2-1,0<x< 2 3)5或 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】(I)由题意可证得△ABD∽aEBA,△ABDn△EBA,即∠EAB=∠CAB,则可得△AE≌△ACB,故 AE=AC (2)②可证得FE8FC4,故有FrC-E4C BE,在Rt△AFC中由勾股定理有AF?=FC2+AC2,联立后化 9 简可得出'=2示-1，BC的定义域 0<x<32 2. (3)由(1)(2)问可设BC=BE=x, r,AE=Vg-r,FE=2x0平 DE=9-x2 9-2x2,若△ABC与 △DEF相似时，则有△ACB∽△DEF和△ACB∽aFED两种情况，再由对应边成比例列式代入化简即可求得 x的值. 【详解】(1)略 (2)解：：∠ACB=∠FEB=90°，∠F=∠F .△FEB∽AFCA BE AC ·FEFC ..FC=FE.AC BE 在Rt△AFC中由勾股定理有AF2=FC2+AC2 即FE+AE=FC2+AC 87/160 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 代入化简得FE2+AE2+2·FEAE=FE.AC BE2 +AC2 由(I)间知AC=AE,BE=BC=x FE+AE+2-FEE-FEAEA x2 式子左右两边减去AE得FE+2,FEE=PE4C x2 式子左右两边同时除以FE得1+2作C AE EF =y 1+2s4E2 x2 在RtAAB 中由勾股定理有AE=VAB-BE 即4E=V32-x2=V9-x 1+2=92 9 移项、合并同类项得少=2示1， 22-1>0 y= 整理得2<9 32.3W2 <x< 解得2 2 3V2 0<x< ∴.BC的取值范围为 2. (3)解：由(1)、(2)问可得 BC=BE=x, ，E=9-7,E=29 E=9-x2 9-2x2 88/160 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当△ACB∽△DEF时 由(I)问知△AEB∽△DEF AE DE 即BEFE 9-x2 V9-x2 则x2x29- 9-2x2 9-x2_9-x2.9-2x2 化简为xx2x2V9-x2 约分得1=9-2x 2.r2 移向，合并同类项得？=9 4 3 则x 2或x=2(舍) 当△ACB∽△FED时 由(I)问知△AEB∽△FED AE FE 即BEDE 2x2V9-x2 9-x2 则 _9-2x2 9-x2 V9-x22x2V9-x2 化简得x9-2x29-x2 12x2 约分得二= x9-2x29-x2 9-2x2)(9-x2)=2x4 移项得 去括号得81-9x2-18x2+2x4=2x 移向、合并同类项得x2=3 89/160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (舍) 3 综上所述当。ABC与ADEF相似时，BC的长为3或2· 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及证明，全等三角形的判定及证明，勾股定理，需熟练掌握相似三 角形和全等三角形的判定及性质，本题解题过程中计算过程较复杂繁琐，耐心细致的计算是解题的关键. 24.(25-26九年级上：上海期中)如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，BC=3,AB=2,点E、F分别 在边AB、AC上（不与端点重合），BF⊥CE,垂足为点D. A A 备用图 (1)当BE=1时，求AF的长： (②)当BF=2CE时，求an∠BCE值： (3)连接EF,如果△AEF是直角三角形，求这时四边形BCFE的面积. AF= 2W13 【答案】(1) 11: (2②)tan∠BcE 2: 459V13-27 (3)四边形BCFE的面积为16或2· 【知识点】同（等）角的余（补）角相等的应用、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角 三角形的相关计算 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，同角的余角相等等知识，掌握 知识点的应用是解题的关键. (1)过F作FH⊥AB于点H,通过同角的余角相等得∠BCE=∠ABF,则 an∠BCE=BC=tan∠Z1BFsH -3 BH,设FH=a'则BH=3a,AH=AB-BH=2-3a,代入2-3a2,解 90/160 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 有0合则有用-合仙引，然后通过物段定理闲1开+ 6 4 BC CE BE (2)过F作FN1AB于点N,则∠BNF=∠EBC=90°，证明BCEPANBF,所以NB=BF=NF,从 2=B 而可得NB=),所以AN=AB-BN=2-氵=)，再求出FN=3,得三 2 22 4 所以旺-是此时w5日 重合，然后利用tan∠BCE=BE BC即可求解： (2)分①当∠AEF=90°时，②当∠AFE=90°时两种情况求解即可. 【详解】(I)解：如图，过F作FH⊥AB于点H, A D B BF⊥CE, ∴∠CDB=∠ABC=90°， ∴.∠DBC+∠BCE=∠ABF+∠DBC=90°， ∴.∠BCE=∠ABF, BE .tan∠BCE= BC =tan∠ABF=FH BH 1 FH .3BH, 设FH=a,则BH=3a,AH=AB-BH=2-3a, :tan∠A=FH-BC AH AB 82-302,解得：a=6 11 =,4H=2-3x64 .FH=6 1111 91/160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AF=FH+AH 213 11: (2)解：如图，过F作FN⊥AB于点N,则∠BNF=∠EBC=90°， A BF⊥CE, ·∠CDB=∠ABC=90° :.∠DBC+∠BCE=∠ABF+∠DBC=90°， ∴.∠BCE=∠ABF, ∴.△BCE∽aNBF, BC CE BE NB BF NF· BCBE」 ·NB=2, :B= ·AW=AB-BN=2-3-1 22 :an∠A=FW、BC AN AB FN 3 2 2.FN=3 BE 2= 3 92/160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 &BE= 2:此时N与E重合，如图， A EN)尺 A B 3 ,tan∠BCE BE=2=1 BC 32 (3)解：①如图，当∠AEF=90°时， B .EF∥BC, ,tan∠A= EF BC AEAB· EF 3 AE 2' 设EF=3x,则AE=2x,BE=2-2x, 同(I)理得∠BCE=∠ABF, :tan∠BCE=BE tan∠ABF=FE BE 2-2x_3x ÷3=2-2x,整理得：4x2-17x+4=0 解得：，5=4《合去)， 2 阳边形0re的鱼积为行32-号子3。-总 1 16-16: 93/160 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ② ∠AFE=90° 如图，当 时， B :tan∠A=EF-BC EF 3 AF2, 设EF=3m,则AF=2m, 4E=VEF2+4F2=V(3m)+(2m)=13m :BF⊥CE .∠CDB=∠EDB=∠ABC=90°， ∴.∠DBC+∠BCE=∠ABF+∠DBC=90°， ∴.∠BCE=∠ABF, ∴.△EBDABCD, BD ED ∴CDBD' .BD2=EDxCD. 同理：FD=ED×CD, ∴BD=FD. ∴.CE垂直平分BF, .BE=EF =3m, AB=AE+BE=2, m=3-3 .V13m+3m=2,解得： 2， 94/160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .EF= 33-3) 2一，则AF=√3-3， 润边号CrE的积32-号孔行-引，而-到 1 2 、2 =3-Lx322-61 2 2 =9W13-27 2, 459W13-27 综上可得：四边形BCFE的面积为：16或2， 25.(25-26九年级上·上海杨浦期中)已知在正方形ABCD中，点E是边AB上一点，点A关于直线DE 的对称点是点P」 B 图1 图2 备用图 AE (I)如图1，如果点p在对角线BD上，求BE的值： (2)如图2，延长AP交边BC于点G. ①求证：CG2=PG·AG: ②过点P作PF⊥AP交边AB于点F,连接PB、PC,如果△PFB与△PGC相似，求tan∠ADE的值. 【答案】(1) AE √2 BE的值为2： (2) (① AC PC 证明：连接心， 95/160 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :四边形ABCD是正方形， .AD=CD,∠ADC=90°，∠ACB=45°， 点A关于直线DE的对称点是点P, .DE垂直平分线段AP, .DA=DP, .PD=CD,∠DAP=∠DPA, .∠DPC=∠DCP, 设∠DPC=∠DCP=a,∠DAP=∠DPA=B. 在四边形ADCP中，∠ADC+∠DCP+∠DPC+∠DPA+∠DAP=360° :.90°+a+a+B+B=360°， .a+B=135° .∠CPG=180°-135°=45°， ∠CPG=∠ACG, 又：∠PGC=∠CGA, .△CPG∽aACG. CG PG AGCG' .CG2=PG·AG. 1 ②an∠ADE的值为√2-1或3， 【知识点】线段垂直平分线的性质、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切 值 【分析】(I)连接EP,由已知可得DE垂直平分线段AP,可得DA=DP,EA=EP,可证明 96/160 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ADAE≌aDPE 由正方形的性质可得PEB=∠PBE,从而可得PB=PE,由勾股定理可得 E=V√2PE PE√2 AE 可得BE2,从而可得BE的值： (2)①连接AC,PC,由已知可得DE垂直平分线段AP,由正方形的性质，结合线段垂直平分线的性 质，可得DA=DP,PD=CD,可得∠DAP=∠DPA,∠DPC=∠DCP,设∠DPC=∠DCP=a, ∠DAP=∠DPA=B a+B=135° ∠CPG=∠ACG 由四边形的内角和可得 ,从而可得 ，,可证明 CG PG △CPG△ACG,可得AGCG,即可证得结论；②由正方形的性质，结合己知可得∠PFB=∠PGC,如 果△PFB与△PGC相似，那么∠FBP=∠CPG或∠FPB=∠CPG,分类讨论：当△PFB∽aCGP时，由(I) 所得结论，结合线段之间的关系可得tan∠ADE的值：当aPFB∽aPGC时，由已知可得PFIDE, ∠BAG=∠ADE,由三角形相似的性质，结合角平分线的性质，可得BF=BG,由平行线分线段对应成比 例，可得AE=EF,证明△DAE≌aABG,可得AE=BG,可得tan∠BAG,即可得tanZADE的值 【详解】(1)解：连接EP, :点A关于直线DE的对称点是点P, ∴.DE垂直平分线段AP, ∴DA=DP,EA=EP, 在△DAE和△DPE中， DA=DP EA=EP DE=DE' △DAE≌ADPE, 97/160 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴，∠DPE=∠DAE, :四边形ABCD是正方形， ∴.∠BAD=∠ABC=90°，BD平分∠ABC, :.∠ABD=90x245°，∠DPE=90°， 2 .∠BEP=90°-45°=45°，∠BPE=90°， ∴.∠PEB=∠PBE, ∴.PB=PE, BE=BP+EP=2PE PE-√2 .BE2, AE2 .BE2, AE √2 ∴.BE的值为2. (2)解：①略 ② 如图所示， G A E ,PF⊥AP, .∠APF=90, ,四边形ABCD是正方形， ∴.∠ABC=90°，∠DAB=90° .∠APF=∠ABC, ,∠PFB=∠PAF+∠APF,∠PGC=∠GAB+∠ABG, 98/160 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·.∠PFB=∠PGC, 如果△PFB与△PGC相似，那么∠FBP=∠CPG或∠FPB=∠CPG, 当△PFB∽aCGP时，∠FBP=∠CPG=45°，点P在对角线BD上， AE√2 由(1)得BE2, 设4E=V5k,则B5=2 4D-4B-V5k+2k=2+2)k √2k :an∠4DE =2-1 (2+2)k 当△PFBAPGC时，∠FPB=∠CPG=45°， .∠BPG=180°-90°-45°=45°， ∴.∠CPG=∠BPG, 设点G到CP的距离为4，点P到8C的距离为么，则点C到P的距离为， h 1 1 ..S.Gcp= PB BG :PC CG' ,△PFBAPGC, PB BF PC CG' BG BF CG CG' .BF=BG. :点A关于直线DE的对称点是点P, ∴.DE垂直平分线段AP, PF⊥AP, ..PFIDE, .AE=EF, 99/160 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :四边形ABCD是正方形， ∠DAB=90°，DA=AB, 又：DE⊥AP, .∠ADE=∠BAG, 在△ADE和△ABG中， [∠ADE=∠BAG DA=AB ∠DAE=∠ABGI ∴.△DAE≌△ABG, .AE=BG. .AB=AE+EF+BF=3BG, BG 1 AB3 :tan∠BAG= :tan∠ADE=3, tan∠ADE的值为√2-l或3： 【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，同角的余角相等，勾股定理，平行线分线段对应成比例， 四边形的内角和，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角函数，线段垂直平分线的性 质，角平分线的性质。 26.(25-26九年级上上海浦东新期中)如图，已知在等腰△1BC中，4B=4C=55.am∠ABC=2 BF⊥AC,垂足为F,点D是边AB上一点（不与A,B重合） 100/160