2.5.2 圆与圆的位置关系（导学案）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

新课标高中数学导学 第二章 直线与圆的方程 直线与圆、圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系【解析】 人教A版（）高中数学选择性必修第一册 · 第二章 直线和圆的方程 · 导学案 【内容导航】 本课时把研究对象再扩大一步——当两个圆同时出现在同一个坐标系里，它们之间又有怎样的位置关系？ 两个圆的位置关系比「直线与圆」更丰富：直线只有一条，位置关系只有三类；而圆与圆的公共点可以有 个、 个、 个，其中「相切」还要分成「外切」与「内切」，判定时要同时用到圆心距与两个半径的和、差。 本节的知识链为： 圆的标准方程 圆心距公式 圆与圆的位置关系（外离·外切·相交·内切·内含） 公共弦（方程与弦长） 公切线与圆系方程 圆与圆的综合应用。 本节的核心方法是类比迁移：把「直线与圆」中 与 的比较，迁移为「圆与圆」中 与 、 的比较。这一思想在后续研究椭圆、双曲线、抛物线与圆的位置关系时会反复出现。 本课时的核心问题： . 判断两圆位置关系的依据是什么？几何法与代数法各有什么优缺点？ . 两圆相交时，公共弦所在直线的方程怎样"一眼看出"？公共弦长怎样计算？ . 两圆相切时，"两圆方程相减所得直线"是什么？公切线的条数与位置关系有怎样的对应关系？ 【导学目标导航】 一、知识目标 . 理解两圆位置关系的五种类型（外离、外切、相交、内切、内含）的几何特征，掌握用圆心距 与半径 、 的和差关系进行判定的方法； . 会用几何法（比较 与 、）与代数法（联立方程、判断解的组数）判断两圆的位置关系，并能由位置关系反求参数（或参数的取值范围）； . 掌握公共弦所在直线方程的求法（两圆方程相减）与公共弦长的求法（弦长公式）； . 理解两圆公切线的条数与位置关系的对应关系，会求简单的公切线方程； . 了解圆系方程的构造方法，会求过两圆交点的圆的方程。 二、能力目标 . 能根据两圆的方程迅速"读出"圆心与半径，熟练计算圆心距； . 能把含参数的两圆位置关系问题转化为关于圆心距的方程或不等式（组），并能正确求解； . 能借助图形分析两圆的相对位置，对位置关系作出直观判断，并能用代数运算加以验证。 三、素养目标 . 数学抽象：由"公共点个数"抽象出五类位置关系的判定模型（ 与 、 的比较）； . 逻辑推理：由位置关系反推参数的取值范围，由已知条件推断两圆相切时"内切或外切"的两种可能； . 直观想象：借助数轴（把 、 看作数轴上的两个分点）与图形判断位置关系； . 数学运算：配方求圆心半径、圆心距、点到直线距离、弦长的准确运算。 【导学重点】 . 两圆位置关系的判定（几何法）与含参问题的求解； . 公共弦所在直线方程与公共弦长的求法。 【导学难点】 . 内切条件 中的绝对值，以及"内含"与"内切"的分界； . 由两圆相切求参数时的分类讨论（外切还是内切）； . 公共弦所在直线方程的适用前提（两圆方程中 、 的系数必须相同）。 【知识框架】 一级栏目 具体内容 圆心距 两圆圆心之间的距离 ，用两点间距离公式计算 五种位置关系 外离、外切、相交、内切、内含 判定标准 外离； 外切； 相交； 内切； 内含 公共点个数 外离 个；外切 个；相交 个；内切 个；内含 个 公切线条数 外离 条；外切 条；相交 条；内切 条；内含 条 公共弦 两圆相交时，两圆方程的差即为公共弦所在直线的方程 公共弦长 ， 为圆心到公共弦所在直线的距离 相切的性质 两圆相切时，连心线过切点；作差所得直线是过切点的公切线 圆系方程 （）表示经过两圆交点的圆 主要题型 位置关系判定、含参求值（范围）、公共弦与弦长、公切线、圆系方程、实际建模 【导学过程】 一、知识要点 （一）知识回顾 . 圆的方程的两种形式：标准方程 （圆心 ，半径 ）； 一般方程 （需 ），配方后圆心为 、半径为 ； . 两点间的距离公式：； . 直线与圆的位置关系（上一课时）：设圆心到直线的距离为 、圆的半径为 ，则 相交、 相切、 相离； . 弦长公式：直线与圆交于 、 两点，圆心到直线的距离为 、半径为 ，则 。 （二）圆与圆的位置关系及其判定 设圆 ：，圆 ：，两圆的圆心距 。以 与 把数轴分成三段，位置关系就由 落在哪一段决定： 位置关系 公共点个数 判定条件 公切线条数 外离 ​ ​ ​ 外切 ​ ​ ​ 相交 ​ ​ ​ 内切 ​ （） ​ 内含 ​ ​ ​ 注意：当 时两圆同心，是内含的特殊情形。 （三）判定两圆位置关系的两种方法 几何法（首选）：① 把两圆方程配方成标准方程，写出圆心和半径； ② 计算圆心距 ； ③ 把 与 、 比较，得结论。 代数法：联立两圆方程，消去二次项得到一个二元一次方程，再代入其中一个圆的方程，得到一个一元二次方程，由 的符号判断解的组数： 两圆相交； 两圆相切； 两圆相离。 两种方法的比较： 方法 优 点 不 足 几何法 运算简捷，能区分外切与内切、外离与内含 需先配方求圆心与半径 代数法 不必求圆心与半径，程序化程度高 分不清外切与内切， 分不清外离与内含 （四）公共弦与公共弦长 两圆相交时，把两圆方程相减（消去 、 项），所得到的二元一次方程就是公共弦所在直线的方程。 求公共弦长有两种方法： . 几何法：先求其中一个圆的圆心到公共弦所在直线的距离 ，再用 ； . 代数法：把公共弦方程与其中一个圆的方程联立，求出两交点坐标，再用两点间距离公式。 重要提醒：只有当两圆方程中 与 的系数相同时，相减才能得到公共弦所在直线；否则应先把某个圆的方程化为系数相同的整式再作差。 （五）两圆相切的性质与圆系方程 . 两圆相切（内切或外切）时，连心线必过切点；此时把两圆方程相减，所得直线是过切点的公切线（此时两圆只有一个公共点，不存在"公共弦"）； . 圆系方程：若圆 ： 与圆 ： 相交，则方程 （ 为参数，）表示经过两圆交点的所有圆；当 时，它就退化为两圆公共弦所在直线。利用圆系方程，可以把"过两圆交点"这一条件"打包"进一个式子，再追加"圆心在定直线上"等条件来确定 。 （六）常见的综合问题 . 含参问题：把位置关系翻译成关于 的方程或不等式，注意半径必须为正； . 最值问题：两圆上的点之间的距离最大值为 ；外离时最小值为 ；相交或相切时最小值为 ； . 公切线问题：先由位置关系确定条数，再设直线方程（注意讨论斜率是否存在），用点到直线的距离等于半径求解； . 实际建模：把实际情境中的位置关系翻译为方程（组）或不等式，求出结果后再回到实际情境中作答。 二、公式推导 推导 （判定条件的由来：由公共点个数到圆心距） 以内切为例说明。两圆内切时只有一个公共点，记为 。由于两圆都经过 ，且切点必在连心线上，因此 、、 三点共线。设 ，则两圆心都在切点的同一侧，于是 同理，外切时切点在两圆心之间，故 ；相交时两圆有两个公共点，由三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，得 。 推导 .（公共弦所在直线方程的由来） 设两圆相交于 、，则 、 的坐标同时满足两个圆的方程。把两圆方程相减，得 因为 、 都满足这个一次方程，即 、 都在这条直线上，而两点确定一条直线，所以它就是公共弦 所在直线的方程。 推导 .（两圆相切时，作差所得直线是过切点的公切线） 取外切的两圆 ： 与 ：（此时 ）。两式相减，得 代入 ： 故 。即作差所得的直线为 ，它垂直于连心线且经过切点 ，正是过切点的公切线。 推导 .（公共弦长的计算公式） 设圆 的半径为 ，圆心 到公共弦 所在直线的距离为 。由垂径定理，圆心 到弦 的垂线段平分弦，在直角三角形中由勾股定理得 所以 推导 .（圆系方程的构造） 记 ，。考虑含参数 的方程 把它整理成标准形式： 当 时， 与 的系数相等且不为 ，这是一个圆的方程；又因为两圆的交点同时使 、，所以它也经过这两个交点。当 时二次项被消去，方程退化为两圆公共弦所在直线。这就得到了过两圆交点的圆的全体。 三、例题讲解 例 （中等题型 · 判断两圆的位置关系） 已知圆 ： 与圆 ：，判断两圆的位置关系。 分析：先把两个方程配方成标准方程，读出圆心与半径，再计算圆心距。 解：把圆 的方程配方： 圆心 ，半径 。 把圆 的方程配方： 圆心 ，半径 。 两圆的圆心距 因为 ，，而 ，即 ，所以两圆相交。 点评：判断位置关系的标准流程是"配方 → 求圆心半径 → 算圆心距 → 比较"。比较时把 与 看成数轴上的两个"分点"，只需判断 落在哪一个区间。 例 （提高题型 · 教材例题：两种方法判定位置关系） 已知圆 ： 与圆 ：，试判断圆 与圆 的位置关系。 解法一（代数法）：把两圆方程相减（消去 、 项）： 整理得 由它得 ，代入圆 的方程并整理，得 其判别式 ，所以这个方程有两个不相等的实数根， 即两方程组有两组实数解，圆 与圆 有两个公共点，两圆相交。 解法二（几何法）：把圆 的方程化为标准方程：，圆心 ，半径 ； 把圆 的方程化为标准方程：，圆心 ，半径 。 圆心距 因为 ，，而 （右边： 等价于 ，即 ，成立；左边显然成立。） 所以圆 与圆 相交。 点评：代数法不必配方，程序固定；几何法运算量小。判断"相交"时两种方法都好用；但要判断是外切还是内切、是外离还是内含，必须用几何法（或两者结合）。 例 .（提高题型 · 含参分类讨论） 已知圆 ：（）与圆 ：（），试求 为何值时，两圆 () 相切；() 相交；() 外离；() 内含。 解：配方得 圆 ：，圆心 ，半径 ； 圆 ：，圆心 ，半径 。 圆心距 （因为 ）。 () 相切：（外切）或 （内切），即 或 ； () 相交：，即 ； () 外离：，即 ； () 内含：，即 。 点评：含参问题的关键是把几何位置关系"翻译"成关于 的方程或不等式。注意"相切"包含外切与内切两种情形，不要漏解。 例 .（近三年高考题型 · 高考真题） 【 · 新高考Ⅱ卷 · · 高考真题】 已知 ：，：，则（　） A．圆心 的坐标为 B．当 时， 与 轴相切 C．当 时， 与 相切 D．若 与 相交，则两交点所在直线的方程为 解：把 的方程配方： 所以圆心 ，半径 （需 ）。 A：圆心应为 ，A 错误。 B：当 时，。圆心 到 轴的距离为 ，等于半径，故 与 轴相切，B 正确。 C：当 时，。，而 ，即 ，两圆内切，C 正确。 D：当两圆相交时，把两式相减： 与选项中的 不符，D 错误。 答案：BC。 点评：一道题把"配方、点到直线的距离、圆心距与半径差、作差求公共弦"串成一条链。C 选项最易错：判定位置关系必须比较圆心距与 ，本题 是内切，切勿只算 。D 选项的常数项最易算错，注意是 。 例 （近三年高考题型 · 高考真题） 【 · 新高考Ⅰ卷 · · 高考真题改编】 写出与圆 和 都相切的一条直线的方程 。 解：记圆 ：，圆心 ，半径 ；圆 ：，圆心 ，半径 。 圆心距 ，所以两圆外切，共有 条公切线。 ① 当公切线斜率不存在时，设其为 。由它到 的距离为 得 ； 由它到 的距离为 得 ，即 或 。 两条件同时满足时 ，故公切线为 。 ② 当公切线斜率存在时，设其方程为 ，即 。由点到直线的距离公式得 由第二式得 ，分两种情形： 情形一：，即 。代入第一式得 ，两边平方解得 ，， 故 ，即 ； 情形二：，即 ，代入得 ，两边平方整理得 ， 解得 ，，故 ，即 。 答案： 或 或 （写出其中一条即可）。 点评：求公切线时必须先讨论斜率是否存在，这是本题最容易失分的地方。三条公切线中， 与 是外公切线（两圆在直线的同侧）， 是过切点的内公切线（两圆在直线的两侧）。 例 .（创新题型 · 数学建模） 某市规划建设两个圆形街心花园，在平面直角坐标系中（单位：十米），花园 A 的边界为圆 ：，花园 B 的边界为圆 ：。 () 判断两个花园边界的位置关系； () 求两个花园公共边界（公共弦）所在直线的方程及公共边界的长度； () 现要在两花园的公共区域内建一个圆形喷泉，使其圆周恰好经过两个花园边界的两个交点，且圆心在直线 上，求该喷泉的半径。 解： () 配方：圆 ：，圆心 ，半径 ； 圆 ：，圆心 ，半径 。 圆心距 。因为 ，所以两圆相交。 () 两式相减： 所以公共弦所在直线的方程为 。 圆心 到直线 的距离 ，故公共弦长 即公共边界的长度为 （十米）。 () 两个交点同时在公共弦 上。把 代入圆 的方程，得 解得 或 ，故两交点为 、。 经过 、 两点的圆的圆心必在线段 的垂直平分线上，即直线 上； 又要求圆心在直线 上，联立解得圆心 。 所以喷泉的半径 即喷泉的半径约为 （十米），约为 米。 点评：第 () 问是"过两定点作圆"的问题，关键结论是：圆心一定在两定点连线的垂直平分线上。这与圆系方程的思想完全一致——经过两圆交点的圆，圆心都在公共弦的垂直平分线上。 四、方法分析 . 几何法优先，配方是第一步：见到两圆方程先配方成标准方程，读出圆心与半径。一般方程 的圆心是 ，半径是 。 . 数轴上的"两个分点"：把 与 标在数轴上， 落在哪个区间就是哪种位置关系。这个方法把五种情况一次记住，不会混淆。 . 作差法求公共弦：两圆方程相减消去 、 项，得到的就是公共弦所在直线。前提是两个方程中 、 的系数都是 。 . 转化与化归：含参问题转化为解方程（相切）或解不等式组（相交、外离、内含）；求最值时转化为圆心距与半径的和差。 . 分类讨论：相切要分外切、内切；求公切线要分斜率存在、斜率不存在；两圆方程中含参时还要考虑半径为正（即 ）的限制。 易错点提醒： ① 内切的条件是 ，漏掉绝对值会漏解； ② 内含的范围是 ， 时两圆同心，仍属于内含； ③ 代数法中 只能说明"相切"，分不清外切还是内切； 只能说明"相离"，分不清外离还是内含； ④ 两圆相切时，方程相减所得的直线是过切点的公切线，不是公共弦（此时两圆只有一个公共点，谈不上"公共弦"）； ⑤ 由 表示圆，必须先有 ，含参问题中要检验半径是否为正。 五、变式练习（含答案解析） 变式 （提高题型） 已知圆 ： 与圆 ：。 () 证明：两圆相交； () 求两圆公共弦所在直线的方程及公共弦长； () 求经过两圆交点，且经过点 的圆的方程。 解：() 配方得圆 ：，圆心 ，半径 ； 圆 ：，圆心 ，半径 。 圆心距 因为 ，， 而 ，满足 ，所以两圆相交。 () 两式相减： 所以公共弦所在直线的方程为 。 圆心 到该直线的距离 故公共弦长 () 设所求圆的方程为 把 代入： 代回并整理，得所求圆的方程为 。 变式 .（提高题型） 已知圆 ： 与圆 ：（）。 () 若两圆有公共点，求 的取值范围； () 若两圆仅有一条公切线，求 的值。 解：圆 的圆心为 ，半径 ；圆 的圆心为 ，半径 。圆心距 。 () 两圆有公共点（相交或相切），则 由 得 ；由 得 。所以 ，即 。 () 两圆仅有一条公切线，说明两圆内切，此时 ，得 （ 舍去），所以 。 变式 【 · 新高考Ⅱ卷 · · 同源考法】 已知圆 ：，圆 ：。 () 求圆 的圆心与半径（用 表示）； () 若圆 与圆 内切，求 的值； () 若圆 与圆 相交，求 的取值范围，并写出此时两交点所在直线的方程。 解：() 配方得 ，故圆心 ，半径 （需 ）。 () 圆心距 。内切时 ，得 ，即 ，，所以 。 () 相交时 。由 得 ；由 得 。 所以 ，即 ，解得 。 此时把两式相减，得两交点所在直线： 变式 .【5· 新高考Ⅰ卷 · · 同源考法】 已知圆 ： 与圆 ：。 () 判断两圆的位置关系； () 求两圆公切线的条数； () 写出两圆的一条公切线的方程。 解：圆 的圆心为 ，半径 ；圆 的圆心为 ，半径 。圆心距 。 () 因为 ，所以两圆外切，切点为 。 () 外切的两圆有 条公切线。 () ① 过切点的公切线垂直于连心线（即 轴），故其方程为 。 ② 另两条外公切线关于 轴对称。设其中一条为 ， 即 （两圆的外公切线必过点 ）。由它到 的距离为 ： 故另两条公切线为 与 。 答案：外切； 条；（或 、）。 六、本节知识总结 知识板块 核心结论 判定步骤 配方 → 求圆心与半径 → 算圆心距 → 与 、 比较 五种位置关系 外离 ；外切 ； 相交 ；内切 ；内含 公切线条数 依次为 条、 条、 条、 条、 条 公共弦 两圆方程相减即得公共弦所在直线 公共弦长 ， 为圆心到公共弦的距离 相切的性质 连心线过切点；作差所得直线是过切点的公切线 圆系方程 （）表示经过两圆交点的圆 解题策略 几何法优先；含参转化为方程与不等式；相切分类讨论；公切线讨论斜率 第1页　共1页 学科网（北京）股份有限公司 $新课标高中数学导学 第二章 直线与圆的方程 直线与圆、圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 人教A版（）高中数学选择性必修第一册 · 第二章 直线和圆的方程 · 导学案 【内容导航】 本课时把研究对象再扩大一步——当两个圆同时出现在同一个坐标系里，它们之间又有怎样的位置关系？ 两个圆的位置关系比「直线与圆」更丰富：直线只有一条，位置关系只有三类；而圆与圆的公共点可以有 个、 个、 个，其中「相切」还要分成「外切」与「内切」，判定时要同时用到圆心距与两个半径的和、差。 本节的知识链为： 圆的标准方程 圆心距公式 圆与圆的位置关系（外离·外切·相交·内切·内含） 公共弦（方程与弦长） 公切线与圆系方程 圆与圆的综合应用。 本节的核心方法是类比迁移：把「直线与圆」中 与 的比较，迁移为「圆与圆」中 与 、 的比较。这一思想在后续研究椭圆、双曲线、抛物线与圆的位置关系时会反复出现。 本课时的核心问题： . 判断两圆位置关系的依据是什么？几何法与代数法各有什么优缺点？ . 两圆相交时，公共弦所在直线的方程怎样"一眼看出"？公共弦长怎样计算？ . 两圆相切时，"两圆方程相减所得直线"是什么？公切线的条数与位置关系有怎样的对应关系？ 【导学目标导航】 一、知识目标 . 理解两圆位置关系的五种类型（外离、外切、相交、内切、内含）的几何特征，掌握用圆心距 与半径 、 的和差关系进行判定的方法； . 会用几何法（比较 与 、）与代数法（联立方程、判断解的组数）判断两圆的位置关系，并能由位置关系反求参数（或参数的取值范围）； . 掌握公共弦所在直线方程的求法（两圆方程相减）与公共弦长的求法（弦长公式）； . 理解两圆公切线的条数与位置关系的对应关系，会求简单的公切线方程； . 了解圆系方程的构造方法，会求过两圆交点的圆的方程。 二、能力目标 . 能根据两圆的方程迅速"读出"圆心与半径，熟练计算圆心距； . 能把含参数的两圆位置关系问题转化为关于圆心距的方程或不等式（组），并能正确求解； . 能借助图形分析两圆的相对位置，对位置关系作出直观判断，并能用代数运算加以验证。 三、素养目标 . 数学抽象：由"公共点个数"抽象出五类位置关系的判定模型（ 与 、 的比较）； . 逻辑推理：由位置关系反推参数的取值范围，由已知条件推断两圆相切时"内切或外切"的两种可能； . 直观想象：借助数轴（把 、 看作数轴上的两个分点）与图形判断位置关系； . 数学运算：配方求圆心半径、圆心距、点到直线距离、弦长的准确运算。 【导学重点】 . 两圆位置关系的判定（几何法）与含参问题的求解； . 公共弦所在直线方程与公共弦长的求法。 【导学难点】 . 内切条件 中的绝对值，以及"内含"与"内切"的分界； . 由两圆相切求参数时的分类讨论（外切还是内切）； . 公共弦所在直线方程的适用前提（两圆方程中 、 的系数必须相同）。 【知识框架】 一级栏目 具体内容 圆心距 两圆圆心之间的距离 ，用两点间距离公式计算 五种位置关系 外离、外切、相交、内切、内含 判定标准 外离； 外切； 相交； 内切； 内含 公共点个数 外离 个；外切 个；相交 个；内切 个；内含 个 公切线条数 外离 条；外切 条；相交 条；内切 条；内含 条 公共弦 两圆相交时，两圆方程的差即为公共弦所在直线的方程 公共弦长 ， 为圆心到公共弦所在直线的距离 相切的性质 两圆相切时，连心线过切点；作差所得直线是过切点的公切线 圆系方程 （）表示经过两圆交点的圆 主要题型 位置关系判定、含参求值（范围）、公共弦与弦长、公切线、圆系方程、实际建模 【导学过程】 一、知识要点 （一）知识回顾 . 圆的方程的两种形式：标准方程 （圆心 ，半径 ）； 一般方程 （需 ），配方后圆心为 、半径为 ； . 两点间的距离公式：； . 直线与圆的位置关系（上一课时）：设圆心到直线的距离为 、圆的半径为 ，则 相交、 相切、 相离； . 弦长公式：直线与圆交于 、 两点，圆心到直线的距离为 、半径为 ，则 。 （二）圆与圆的位置关系及其判定 设圆 ：，圆 ：，两圆的圆心距 。以 与 把数轴分成三段，位置关系就由 落在哪一段决定： 位置关系 公共点个数 判定条件 公切线条数 外离 ​ ​ ​ 外切 ​ ​ ​ 相交 ​ ​ ​ 内切 ​ （） ​ 内含 ​ ​ ​ 注意：当 时两圆同心，是内含的特殊情形。 （三）判定两圆位置关系的两种方法 几何法（首选）：① 把两圆方程配方成标准方程，写出圆心和半径； ② 计算圆心距 ； ③ 把 与 、 比较，得结论。 代数法：联立两圆方程，消去二次项得到一个二元一次方程，再代入其中一个圆的方程，得到一个一元二次方程，由 的符号判断解的组数： 两圆相交； 两圆相切； 两圆相离。 两种方法的比较： 方法 优 点 不 足 几何法 运算简捷，能区分外切与内切、外离与内含 需先配方求圆心与半径 代数法 不必求圆心与半径，程序化程度高 分不清外切与内切， 分不清外离与内含 （四）公共弦与公共弦长 两圆相交时，把两圆方程相减（消去 、 项），所得到的二元一次方程就是公共弦所在直线的方程。 求公共弦长有两种方法： . 几何法：先求其中一个圆的圆心到公共弦所在直线的距离 ，再用 ； . 代数法：把公共弦方程与其中一个圆的方程联立，求出两交点坐标，再用两点间距离公式。 重要提醒：只有当两圆方程中 与 的系数相同时，相减才能得到公共弦所在直线；否则应先把某个圆的方程化为系数相同的整式再作差。 （五）两圆相切的性质与圆系方程 . 两圆相切（内切或外切）时，连心线必过切点；此时把两圆方程相减，所得直线是过切点的公切线（此时两圆只有一个公共点，不存在"公共弦"）； . 圆系方程：若圆 ： 与圆 ： 相交，则方程 （ 为参数，）表示经过两圆交点的所有圆；当 时，它就退化为两圆公共弦所在直线。利用圆系方程，可以把"过两圆交点"这一条件"打包"进一个式子，再追加"圆心在定直线上"等条件来确定 。 （六）常见的综合问题 . 含参问题：把位置关系翻译成关于 的方程或不等式，注意半径必须为正； . 最值问题：两圆上的点之间的距离最大值为 ；外离时最小值为 ；相交或相切时最小值为 ； . 公切线问题：先由位置关系确定条数，再设直线方程（注意讨论斜率是否存在），用点到直线的距离等于半径求解； . 实际建模：把实际情境中的位置关系翻译为方程（组）或不等式，求出结果后再回到实际情境中作答。 二、公式推导 推导 （判定条件的由来：由公共点个数到圆心距） 以内切为例说明。两圆内切时只有一个公共点，记为 。由于两圆都经过 ，且切点必在连心线上，因此 、、 三点共线。设 ，则两圆心都在切点的同一侧，于是 同理，外切时切点在两圆心之间，故 ；相交时两圆有两个公共点，由三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，得 。 推导 .（公共弦所在直线方程的由来） 设两圆相交于 、，则 、 的坐标同时满足两个圆的方程。把两圆方程相减，得 因为 、 都满足这个一次方程，即 、 都在这条直线上，而两点确定一条直线，所以它就是公共弦 所在直线的方程。 推导 .（两圆相切时，作差所得直线是过切点的公切线） 取外切的两圆 ： 与 ：（此时 ）。两式相减，得 代入 ： 故 。即作差所得的直线为 ，它垂直于连心线且经过切点 ，正是过切点的公切线。 推导 .（公共弦长的计算公式） 设圆 的半径为 ，圆心 到公共弦 所在直线的距离为 。由垂径定理，圆心 到弦 的垂线段平分弦，在直角三角形中由勾股定理得 所以 推导 .（圆系方程的构造） 记 ，。考虑含参数 的方程 把它整理成标准形式： 当 时， 与 的系数相等且不为 ，这是一个圆的方程；又因为两圆的交点同时使 、，所以它也经过这两个交点。当 时二次项被消去，方程退化为两圆公共弦所在直线。这就得到了过两圆交点的圆的全体。 三、例题讲解 例 （中等题型 · 判断两圆的位置关系） 已知圆 ： 与圆 ：，判断两圆的位置关系。 例 （提高题型 · 教材例题：两种方法判定位置关系） 已知圆 ： 与圆 ：，试判断圆 与圆 的位置关系。 例 .（提高题型 · 含参分类讨论） 已知圆 ：（）与圆 ：（），试求 为何值时，两圆 () 相切；() 相交；() 外离；() 内含。 例 .（近三年高考题型 · 高考真题） 【 · 新高考Ⅱ卷 · · 高考真题】 已知 ：，：，则（　） A．圆心 的坐标为 B．当 时， 与 轴相切 C．当 时， 与 相切 D．若 与 相交，则两交点所在直线的方程为 例 （近三年高考题型 · 高考真题） 【 · 新高考Ⅰ卷 · · 高考真题改编】 写出与圆 和 都相切的一条直线的方程 。 例 .（创新题型 · 数学建模） 某市规划建设两个圆形街心花园，在平面直角坐标系中（单位：十米），花园 A 的边界为圆 ：，花园 B 的边界为圆 ：。 () 判断两个花园边界的位置关系； () 求两个花园公共边界（公共弦）所在直线的方程及公共边界的长度； () 现要在两花园的公共区域内建一个圆形喷泉，使其圆周恰好经过两个花园边界的两个交点，且圆心在直线 上，求该喷泉的半径。 四、方法分析 . 几何法优先，配方是第一步：见到两圆方程先配方成标准方程，读出圆心与半径。一般方程 的圆心是 ，半径是 。 . 数轴上的"两个分点"：把 与 标在数轴上， 落在哪个区间就是哪种位置关系。这个方法把五种情况一次记住，不会混淆。 . 作差法求公共弦：两圆方程相减消去 、 项，得到的就是公共弦所在直线。前提是两个方程中 、 的系数都是 。 . 转化与化归：含参问题转化为解方程（相切）或解不等式组（相交、外离、内含）；求最值时转化为圆心距与半径的和差。 . 分类讨论：相切要分外切、内切；求公切线要分斜率存在、斜率不存在；两圆方程中含参时还要考虑半径为正（即 ）的限制。 易错点提醒： ① 内切的条件是 ，漏掉绝对值会漏解； ② 内含的范围是 ， 时两圆同心，仍属于内含； ③ 代数法中 只能说明"相切"，分不清外切还是内切； 只能说明"相离"，分不清外离还是内含； ④ 两圆相切时，方程相减所得的直线是过切点的公切线，不是公共弦（此时两圆只有一个公共点，谈不上"公共弦"）； ⑤ 由 表示圆，必须先有 ，含参问题中要检验半径是否为正。 五、变式练习（含答案解析） 变式 （提高题型） 已知圆 ： 与圆 ：。 () 证明：两圆相交； () 求两圆公共弦所在直线的方程及公共弦长； () 求经过两圆交点，且经过点 的圆的方程。 变式 .（提高题型） 已知圆 ： 与圆 ：（）。 () 若两圆有公共点，求 的取值范围； () 若两圆仅有一条公切线，求 的值。 变式 【 · 新高考Ⅱ卷 · · 同源考法】 已知圆 ：，圆 ：。 () 求圆 的圆心与半径（用 表示）； () 若圆 与圆 内切，求 的值； () 若圆 与圆 相交，求 的取值范围，并写出此时两交点所在直线的方程。 变式 .【5· 新高考Ⅰ卷 · · 同源考法】 已知圆 ： 与圆 ：。 () 判断两圆的位置关系； () 求两圆公切线的条数； () 写出两圆的一条公切线的方程。 六、本节知识总结 知识板块 核心结论 判定步骤 配方 → 求圆心与半径 → 算圆心距 → 与 、 比较 五种位置关系 外离 ；外切 ； 相交 ；内切 ；内含 公切线条数 依次为 条、 条、 条、 条、 条 公共弦 两圆方程相减即得公共弦所在直线 公共弦长 ， 为圆心到公共弦的距离 相切的性质 连心线过切点；作差所得直线是过切点的公切线 圆系方程 （）表示经过两圆交点的圆 解题策略 几何法优先；含参转化为方程与不等式；相切分类讨论；公切线讨论斜率 第1页　共1页 学科网（北京）股份有限公司 $