2.5.2 圆与圆的位置关系 导学案2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“圆与圆的位置关系”，引导学生掌握位置关系判定方法、根据方程判断位置关系及综合应用。通过日食现象抽象圆的动态变化，类比直线与圆的研究方法，衔接前后知识，搭建从观察到定量计算的学习支架。 资料特色突出数学核心素养，以日食情境培养数学眼光，类比推理发展数学思维，方程与几何结合强化数学语言表达。例题涵盖基础判断、相交弦及综合问题，题型分层且附详细解答，助力学生自主学习，便于教师教学评估。

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 导学案2.5.2　圆与圆的位置关系 [学习目标]　1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.2.能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系.3.能综合应用圆与圆的位置关系解决问题. 导语 日食是一种天文现象，民间称此现象为“天狗食日”.日食只在月球运行至太阳与地球之间且三者在一条直线上时发生.日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食. 我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？ 前面我们运用直线的方程、圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系. 一、两圆位置关系的判断 1.代数法：设两圆方程分别为x2+y2+D1x+E1y+F1=0，x2+y2+D2x+E2y+F2=0，联立方程得一元二次方程， 方程组有两组不同的实数解⇔两圆相交，有一组实数解⇔两圆相切，无实数解⇔两圆外离或内含. 2.几何法：已知两圆C1：(x-x1)2+(y-y1)2=，C2：(x-x2)2+(y-y2)2=，则圆心分别为C1(x1，y1)，C2(x2，y2)，半径分别为r1，r2，圆心距d=|C1C2|=.则两圆C1，C2有以下位置关系： 位置关系 圆心距与半径之间的关系 图示 两圆外离 d>r1+r2 两圆外切 d=r1+r2 两圆相交 |r1-r2|< d< r1+r2 两圆内切 d=|r1-r2| 两圆内含 d<|r1-r2| 注意点： 判断两圆的位置关系时，应优先使用几何法，因为利用代数法判断两圆位置关系时，若方程组无解或有一组解时，无法准确判断两圆的位置关系. 例1　(1)(课本例5)已知圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0，圆C2：x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2的位置关系. (2)(课本例6)已知圆O的直径AB=4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍.试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系. 例2　已知圆C1：x2+y2-2ax-2y+a2-15=0(a>0)，圆C2：x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含. 反思感悟　判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是解析几何中主要使用的方法. (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数判断两圆的位置关系. 跟踪训练1　(1)圆C1：x2+y2-4x+3=0与圆C2：(x+1)2+(y-4)2=a恰有三条公切线，则实数a的值是(　　) A.4 B.6 C.16 D.36 (2)到点A(-1，2)，B(3，-1)的距离分别为3和1的直线有　　条. 二、相交弦问题 例3　已知圆C1：x2+y2+6x-4=0和圆C2：x2+y2+6y-28=0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程. 反思感悟　(1)若圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0. (2)公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解. 跟踪训练2　(多选)已知圆C1：x2+y2-4=0和圆C2：x2+y2-6x-8y+9=0，则(　　) A.两圆的圆心距为25 B.两圆相交 C.两圆的公共弦所在直线的方程为6x+8y-11=0 D.两圆的公共弦长为 三、圆与圆的综合性问题 例4　求与圆x2+y2-2x=0外切且与直线x+y=0相切于点M(3，-)的圆的方程. 延伸探究　将本例变为“求与圆x2+y2-2x=0外切，圆心在x轴上，且过点(3，-)的圆的方程”，如何求？ 反思感悟　通过直线与圆，圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题. 1.知识清单： (1)两圆位置关系的判断. (2)两圆的公共弦问题. (3)圆与圆的综合性问题. 2.方法归纳：几何法、代数法. 3.常见误区：将两圆内切和外切相混. 1.两圆x2+y2-1=0和x2+y2-4x+2y-4=0的位置关系是(　　) A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 2.(多选)圆C1：(x+2)2+(y-m)2=9与圆C2：(x-m)2+(y+1)2=4外切，则m的值为(　　) A.2 B.-5 C.-2 D.5 3.已知以C(4，-3)为圆心的圆与圆O：x2+y2=1相切，则圆C的方程是　　　　　　　　. 4.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为2，则a=　　. 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 导学案2.5.2　圆与圆的位置关系参考答案 [学习目标]　1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.2.能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系.3.能综合应用圆与圆的位置关系解决问题. 导语 日食是一种天文现象，民间称此现象为“天狗食日”.日食只在月球运行至太阳与地球之间且三者在一条直线上时发生.日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食. 我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？ 前面我们运用直线的方程、圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系. 一、两圆位置关系的判断 1.代数法：设两圆方程分别为x2+y2+D1x+E1y+F1=0，x2+y2+D2x+E2y+F2=0，联立方程得一元二次方程， 方程组有两组不同的实数解⇔两圆相交，有一组实数解⇔两圆相切，无实数解⇔两圆外离或内含. 2.几何法：已知两圆C1：(x-x1)2+(y-y1)2=，C2：(x-x2)2+(y-y2)2=，则圆心分别为C1(x1，y1)，C2(x2，y2)，半径分别为r1，r2，圆心距d=|C1C2|=.则两圆C1，C2有以下位置关系： 位置关系 圆心距与半径之间的关系 图示 两圆外离 d>r1+r2 两圆外切 d=r1+r2 两圆相交 |r1-r2|< d< r1+r2 两圆内切 d=|r1-r2| 两圆内含 d<|r1-r2| 注意点： 判断两圆的位置关系时，应优先使用几何法，因为利用代数法判断两圆位置关系时，若方程组无解或有一组解时，无法准确判断两圆的位置关系. 例1　(1)(课本例5)已知圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0，圆C2：x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2的位置关系. 解　方法一　将圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组 ①-②，得x+2y-1=0， ③ 由③，得y=. 把上式代入①，并整理，得x2-2x-3=0. ④ 方程④的根的判别式 Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16>0， 所以，方程④有两个不相等的实数根x1，x2.把x1，x2分别代入方程③，得到y1，y2. 因此圆C1与圆C2有两个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，这两个圆相交. 方法二　把圆C1的方程化成标准方程，得(x+1)2+(y+4)2=25，圆C1的圆心是(-1，-4)，半径r1=5. 把圆C2的方程化成标准方程，得(x-2)2+(y-2)2=10，圆C2的圆心是(2，2)，半径r2=. 圆C1与圆C2的圆心距为 =3. 圆C1与圆C2的两半径长之和r1+r2=5+，两半径长之差r1-r2=5-. 因为5-<3<5+，即r1-r2<3<r1+r2，所以圆C1与圆C2相交(如图)，它们有两个公共点A，B. (2)(课本例6)已知圆O的直径AB=4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍.试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系. 解　如图，以线段AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.由AB=4，得A(-2，0)，B(2，0). 设点M的坐标为(x，y)，由|MA|=|MB|，得=×， 化简，得x2-12x+y2+4=0， 即(x-6)2+y2=32. 所以点M的轨迹是以P(6，0)为圆心，半径为4的一个圆(如图). 因为两圆的圆心距为|PO|=6，两圆的半径分别为r1=2，r2=4，又r2-r1<|PO|<r2+r1，所以点M的轨迹与圆O相交. 例2　已知圆C1：x2+y2-2ax-2y+a2-15=0(a>0)，圆C2：x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含. 解　圆C1，C2的方程，经配方后可得 C1：(x-a)2+(y-1)2=16， C2：(x-2a)2+(y-1)2=1， ∴圆心C1(a，1)，C2(2a，1)， 半径r1=4，r2=1. ∴|C1C2|==a. (1)当|C1C2|=r1+r2=5，即a=5时，两圆外切； 当|C1C2|=r1-r2=3， 即a=3时，两圆内切. (2)当3<|C1C2|<5，即3<a<5时，两圆相交. (3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离. (4)当|C1C2|<3，即0<a<3时，两圆内含. 反思感悟　判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是解析几何中主要使用的方法. (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数判断两圆的位置关系. 跟踪训练1　(1)圆C1：x2+y2-4x+3=0与圆C2：(x+1)2+(y-4)2=a恰有三条公切线，则实数a的值是(　　) A.4 B.6 C.16 D.36 答案　C 解析　圆C1的标准方程为(x-2)2+y2=1， ∵两圆有三条公切线，∴两圆外切， ∴=1+，解得a=16. (2)到点A(-1，2)，B(3，-1)的距离分别为3和1的直线有　　条. 答案　4 解析　到点A(-1，2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到点B(3，-1)的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|==5. 半径之和为3+1=4，因为5>4， 所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条. 二、相交弦问题 例3　已知圆C1：x2+y2+6x-4=0和圆C2：x2+y2+6y-28=0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程. 解　(1)设两圆交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立圆C1与圆C2的方程，得 由①-②，得x-y+4=0. ∵A，B两点的坐标都满足此方程， ∴x-y+4=0即为两圆公共弦所在直线的方程. 又圆C1的圆心(-3，0)，r=， ∴C1到直线AB的距离d==， ∴|AB|=2=2=5， 即两圆的公共弦长为5. (2)方法一　解方程组 得两圆的交点为(-1，3)，(-6，-2). 设所求圆的圆心为(a，b)， ∵圆心在直线x-y-4=0上，故b=a-4. 则 =， 解得a=，故所求圆的圆心为， 半径为. 故所求圆的方程为+=， 即x2+y2-x+7y-32=0. 方法二　设圆的方程为x2+y2+6y-28+λ(x2+y2+6x-4)=0(λ≠-1)，即x2+y2+x+y-=0，∴圆心坐标为.代入直线方程得---4=0，解得λ=-，∴圆的方程为x2+y2-x+7y-32=0. 反思感悟　(1)若圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0. (2)公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解. 跟踪训练2　(多选)已知圆C1：x2+y2-4=0和圆C2：x2+y2-6x-8y+9=0，则(　　) A.两圆的圆心距为25 B.两圆相交 C.两圆的公共弦所在直线的方程为6x+8y-11=0 D.两圆的公共弦长为 答案　BD 解析　圆C1：x2+y2=4的圆心C1(0，0)，半径r1=2，圆C2：(x-3)2+(y-4)2=16的圆心C2(3，4)，半径r2=4，圆心距|C1C2|==5，A错误； 因为|C1C2|=5，r2+r1=6，r2-r1=2，则r2-r1<|C1C2|<r2+r1，两圆相交，B正确； 将两圆方程相减得6x+8y-13=0，故两圆的公共弦所在直线的方程为6x+8y-13=0，C错误； 圆心C1(0，0)到6x+8y-13=0的距离为=，由垂径定理得，两圆的公共弦长为2×=，D正确. 三、圆与圆的综合性问题 例4　求与圆x2+y2-2x=0外切且与直线x+y=0相切于点M(3，-)的圆的方程. 解　设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)， 由题知所求圆与圆x2+y2-2x=0外切， 则=r+1. ① 又所求圆过点M的切线为直线x+y=0， 故=. ② =r. ③ 由①②③解得a=4，b=0，r=2或a=0，b=-4，r=6. 故所求圆的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+4)2=36. 延伸探究　将本例变为“求与圆x2+y2-2x=0外切，圆心在x轴上，且过点(3，-)的圆的方程”，如何求？ 解　因为圆心在x轴上， 所以可设圆心坐标为(a，0)，半径为r， 则所求圆的方程为(x-a)2+y2=r2， 又因为与圆x2+y2-2x=0外切， 且过点(3，-)， 所以解得 所以圆的方程为(x-4)2+y2=4. 反思感悟　通过直线与圆，圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题. 1.知识清单： (1)两圆位置关系的判断. (2)两圆的公共弦问题. (3)圆与圆的综合性问题. 2.方法归纳：几何法、代数法. 3.常见误区：将两圆内切和外切相混. 1.两圆x2+y2-1=0和x2+y2-4x+2y-4=0的位置关系是(　　) A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 答案　B 解析　圆x2+y2-1=0即x2+y2=1的圆心为(0，0)，半径为1，圆x2+y2-4x+2y-4=0即(x-2)2+(y+1)2=9的圆心为(2，-1)，半径为3，可知圆心距d==.由于2<d<4，所以两圆相交. 2.(多选)圆C1：(x+2)2+(y-m)2=9与圆C2：(x-m)2+(y+1)2=4外切，则m的值为(　　) A.2 B.-5 C.-2 D.5 答案　AB 解析　圆C1：(x+2)2+(y-m)2=9的圆心为(-2，m)，半径为3， 圆C2：(x-m)2+(y+1)2=4的圆心为(m，-1)，半径为2. 依题意有=3+2， 即m2+3m-10=0，解得m=2或m=-5. 3.已知以C(4，-3)为圆心的圆与圆O：x2+y2=1相切，则圆C的方程是　　　　　　　　. 答案　(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36 解析　设圆C的半径为r， 圆心距d==5， 当圆C与圆O外切时，r+1=5，解得r=4； 当圆C与圆O内切时，r-1=5，解得r=6， 则圆C的方程为(x-4)2+(y+3)2=16 或(x-4)2+(y+3)2=36. 4.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为2，则a=　　. 答案　1 解析　将两圆的方程相减， 得相交弦所在的直线方程为y=， 圆心(0，0)到直线的距离d===1，所以a=1. . 学科网（北京）股份有限公司 $