导数在函数中应用专项测试-2027届高考数学一轮复习

导数在函数中应用测试 （测试时间120分钟，总分150分） 姓名：___________班级：___________ 一、单选题（每题5分，共40分） 1．函数在上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．函数在区间上的最大值是（    ） A．0 B． C．1 D． 3．已知定义在区间上的函数，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若在是增函数，则a的最大值是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．函数在R上单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，共18分） 9．已知函数，记的极小值点为，极大值点为，则（    ） A． B． C． D． 10．已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．是奇函数 B． C．的极大值为4 D．若函数有三个零点，则 三、填空题（每题5 分，共15分） 12．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是______. 13．若函数在处取得极值4，则__________． 14．已知函数存在两个异号的零点，则k的取值范围是___________． 四、解答题（共77 分） 15．（13分）已知函数的图象在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为. (1)求； (2)求在区间上的最大值和最小值. 16．（15分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 17．（15分）已知函数． (1)求的单调区间； (2)求函数的极值； 18．（17分）已知函数，． (1)若在处的切线方程与直线垂直，求a的值并求函数在区间的最值； (2)若，试讨论的单调性． 19．（17分）设函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)设函数在上有两个零点，求实数的取值范围．（其中是自然对数的底数） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《导数在函数中应用》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A B A C A C ACD ACD 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】先求得函数的导函数，进而求出其单调递减区间，再借助集合的包含关系即可求解. 【详解】函数的定义域为， 求导得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 又函数在上单调递减，所以. 所以实数的取值范围为. 故选：B. 2．D 【分析】求导得到的单调性，然后根据单调性求最大值即可. 【详解】，定义域为， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，单调递减， 所以在区间上的最大值为. 故选：D. 3．A 【分析】求导，令，求出，从而得到答案. 【详解】，， 令得，解得， 则的单调递减区间为. 故选：A 4．B 【分析】分析可知，即在上有解，结合能成立问题分析求解. 【详解】由题意可知：，即在上有解， 又因为在上单调递增，则， 则，所以实数的取值范围是. 故选：B. 5．A 【分析】根据函数性质，可得的单调区间，是增区间的子集，即可求出答案 【详解】解：， 当即时，递增， 所以当时，在上单调递增， 而，所以a的最大值为， 故选：A 6．C 【分析】先构造函数将不等式的常数2消去，再分析构造函数的相关性质将不等式转化成定义域的比较从而计算出m的取值范围， 【详解】令，， 则，即， 因为，所以单调递增， ， 故，所以， 因为单调递增，所以，解得. 7．A 【详解】设函数，求导可得， 当时，，在上单调递增， 所以，即， 令，代入可得，即， 设函数，求导可得， 当时，，在上单调递增， 所以，即， 令，代入可得，即， 所以的大小关系为. 8．C 【分析】利用导数分别求解和时的单调性，再结合在上递增，可得，即可求解. 【详解】由题意，函数在上单调递增，当时，，依题需使恒成立，则； 当时，由在上递增，需使在上恒成立，则，即； 又由在上递增，可得，解得. 综上可得，的取值范围是. 故选：C. 9．ACD 【分析】根据单调性求出极值可判断选项A、B；把分别代入求值可判断选项C、D. 【详解】的定义域为，， 由，得或；，得； 所以在上单调递增，上单调递减，在单调递增， 所以极大值点为1，极小值点为2，即， 所以，故A对，，B错误 ，故C正确； 由在上单调递减可得 ，即，故D正确 故选：ACD 10．ACD 【分析】根据函数的图象确定在处的斜率正负，结合导数的几何意义得导数值的正负，逐项判断即可得结论. 【详解】由的图象在点处的切线斜率小于0，即，故A正确； 表示的图象在点处的切线斜率，故，故B错误； 由图可知，故，故C正确； 直线的斜率小于的图象在点处的切线斜率， 即，所以，D正确. 故选：ACD 11．ABD 【分析】利用奇函数的定义可判断A的正误，求出函数的导数后代入计算可判断B的正误，根据导数的符号可判断函数何时取何极大值，故可判断C的正误，根据函数的单调性结合与的图象有3个不同的交点可求的范围，故可判断D的正误. 【详解】对于A，的定义域为，它关于原点对称， 而，故为奇函数，故A正确； 对于B，，故且， 故，故B正确； 对于C，由已知得， 故当时，，时，， 故的极大值点为，此时极大值为，故C错误； 对于D，由C的分析可得在上为增函数，在为减函数， 又，且当时，，时，， 故当函数有三个零点时即与的图象有3个不同的交点时， 必有，故D正确. 故选：ABD. 12． 【分析】利用导数转化为能成立问题，分离参数法求解即可. 【详解】因为（），所以. 函数在区间内存在单调递增区间，则在上有解. 由. 设，则在上单调递增，所以. 所以. 故答案为： 13． 【分析】利用导数和极值点的关系列出方程组即可求解. 【详解】因为在处取得极值4， 所以且. 又，所以①， 又②， 联立①②，解得，经验证符合题意， 所以. 故答案为：. 14． 【分析】令，将问题转化为方程存在两个异号的根，进而转化为存在两个不同交点且两交点横坐标异号，运用导数计算直线与曲线时的k的值，画出图象观察即可. 【详解】因为， 设函数令， 令，得． 当时，，则， ，， 则在上单调递减，在上单调递增． 设直线与曲线切于点， 则，解得． 当时，，则． 如图所示， 又因为的图象过定点，所以依题意可得． 故答案为：. 15．(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据求得在点处的切线方程，在根据切线与坐标轴所围成的三角形的面积为即可求解； （2）由（1）得，利用导数即可求最值. 【详解】（1）由得， 所以，又， 所以在点处的切线方程为，即. 当时，；当时，. 因为与坐标轴所围成的三角形的面积为且， 所以，所以. （2）由（1）得，. 由得或. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因为，， ，，且， 所以在上的最大值为，最小值为. 16．(1) (2)当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【分析】（1）将代入，利用导数的几何意义求解即可； （2）求导得，分和求解即可. 【详解】（1）当时，，． ，． 曲线在点处的切线方程为． （2）． 当时，，是增函数． 当时，令，解得． 当时，；当，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 17．(1)单调递增区间为，，单调递减区间为； (2)极大值为，极小值为． 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间； （2）结合（1）的单调性求出函数的极值. 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 当或时，，当时，， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； （2）由（1）可知当时，有极大值，且极大值为； 当时，有极小值，且极小值为． 18．(1)，最小值为，最大值为． (2) 当时，在和上单调递增，在区间单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在区间单调递减． 【分析】（1）求出函数的导数，根据垂直关系求出参数，讨论导数的符号后可得函数的单调性，故可求最值； （2）就、、分类讨论后可得函数的单调性. 【详解】（1）由题意可知：， 所以，则， 所以此时，， 令，或（舍）． 令，，令，． 可知在上单调递减；在上单调递增； 所以，又因为， 所以． 综上，函数在区间的最小值为，最大值为． （2）由题可得：，，， 令，则或． ①当时，，令，得，令，得，或； ②当时，，令，得，令，得，或； ③当时，，则在区间单调递增． 综上所述：当时，在和上单调递增，在区间单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在区间单调递减． 19．(1)增区间为，减区间为 (2) 【分析】（1）当时，求出，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的增区间和减区间； （2）由可得，令，其中，由题意可知，直线与函数在上的图象有两个公共点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，该函数的定义域为， ，令，可得， 由，可得；由，可得， 故当时，函数的增区间为，减区间为. （2）当时，由可得， 令，其中， 由题意可知，直线与函数在上的图象有两个公共点， ， 令，则与同号， 则对任意的恒成立， 所以，函数在上为增函数，且， 当时，，此时，，此时函数单调递减， 当时，，此时，，此时函数单调递增， 所以，， 又因为，，显然，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个公共点， 因此，实数的取值范围是. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $