单元7 导数与函数的单调性、极值、最值 A卷-2027届高三数学一轮复习

2027届高考数学一轮复习单元检测卷 单元7 导数与函数的单调性、极值、最值 A卷 参考答案与解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D A D D B A B C BCD BCD ABD 1．D 【解析】函数的定义域为，， 当时，单调递增，当时，单调递减； 的减区间是． 2．A 【解析】充分性：已知函数在定义域内处处可导，若在处取极值，所以，故充分性成立. 必要性：若，无法推出在处取极值，例如：函数， 其导函数满足，但在上单调递增，处不存在极值，故必要性不成立. 因此“在处取极值”是“”的充分不必要条件. 3．D 【解析】由的图象可知，当或时，，当时，， 所以是的极大值点，是的极小值点. 4．D 【解析】，因为关于原点对称， 所以，所以导函数是奇函数． 令，，在上单调递增， 即在上单调递增． ． 既有最大值又有最小值． 5．B 【解析】设圆锥筒的底面半径为，容积为， 因为，．所以， 即，．因为， 令得：（舍负值）． 在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，取极大值即最大值，则的最大值为， 故选B． 6．A 【解析】当时，，即， 所以函数在单调递增，所以在上恒成立， 则在上恒成立，所以在上恒成立， 又，所以. 7．B 【解析】函数的定义域为， 由，得，等价于①或②. 由②得，即，所以. 因为对任意，恒有，所以不等式不成立，因此不等式组无解. 由①得，即（）. 令，则，令，解得. 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减； 所以当时，函数有最大值. 要使恒成立，所以. 再令，则，令，解得. 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增； 所以当时，函数的最小值.要使恒成立，所以. 综上所述，的取值范围为. 8．C 【解析】函数的定义域为，求导：， 所以当时，，故，函数在上单调递增， 当时，，故，函数在上单调递减， 所以在处取得最大值，. 因为时单调递减，所以所有正整数点的函数值满足：， 代入计算得：，，， 因为有且只有两个正整数解,结合时单调递减， 可知这两个正整数解只能是和，因此需要满足：， 所以. 9．BCD 【解析】对于A，平行于轴的直线为的图象，否则，不符合题意， 此时是大于0的常数，则是单调递增的一条直线，矛盾，A错误； 对于B，与轴有3个交点的曲线为的图象，另一条曲线为的图象， 的零点即为的极值点，的单调性与的正负情况吻合，B正确； 对于C，在轴上方的曲线为的图象，该函数单调递减，则恒成立， 的图象在轴下方，符合题意，C正确； 对于D，与轴相交的曲线为的图象，该函数单调递增，则恒成立， 的图象在轴上方，符合题意，D正确. 故选：BCD. 10．BCD 【解析】对A选项，对函数求导可得，令，得，又，故曲线在处的切线方程为，即,故A选项错误. 对B选项，令，则；令，则， 所以当时，单调递增，当时，单调递减， 所以当，取得最大值， 当时，，，故， 故函数的值域是，所以B选项正确. 对C选项，当曲线在点P处的切线与直线平行时，点P到直线的距离最小， 设点，则，整理得， 令，则，故单调递增，代入，得， 因此唯一解，此时，点P到直线距离为.故C选项正确. 对D选项，设过点的切线切点为，切线斜率为，切线方程为， 将点代入切线方程，整理得，令， 若过点至少可以作曲线的两条切线，则函数和函数至少有两个交点. 对求导得，令得或， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此，在处取得极小值，在处取得极大值， 所以的大致图象如图所示： 由图象可知，当时，函数和函数至少有两个交点， 此时过点至少可以作曲线的两条切线.故D选项正确. 故选：BCD. 11．ABD 【解析】对于A，当时，，令，则，， ，当时，恒成立，在上单调递增； 在上单调递增， 根据复合函数单调性可知：在上为增函数，A正确； 对于B，当时，，又为正实数，， ，当时，恒成立，在上单调递增， 则由得：，即， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， ，则正实数的最小值为，B正确； 对于C，，当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增；，则； 不妨设，则必有， 若，则，等价于， 又，则等价于； 令，则， ，，，，即， 在上单调递增，，即， ，可知不成立，C错误； 对于D，由，得：，即， 由C知：在上单调递减，在上单调递增； ，，则，， ，即，； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， 即的最大值为，D正确. 故选：ABD. 12． 【解析】由的定义域为， 求导得， 由可得或；由可得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减, 故函数在时取得极大值. 13． 【解析】由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，且， 所以，即，所以的取值范围是. 14． 【解析】因为，所以， 又因为，所以， 所以构造函数，则， 所以在上单调递增，因为，所以， 所以不等式，即，所以， 因为在上单调递增，所以，所以不等式的解集为. 15．【解析】（1）由题可知在上有变号零点， 即方程 的根落在区间内， 当时，，因此， 故的取值范围为． （2）由有解，可得有解． 令，则， 令，可得，令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，故的取值范围为． 16．【解析】（1）由题意可知函数的定义域为，， 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，由解得；由解得， 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）因为，所以不等式化为，即. 所以在上恒成立，只需即可， 令，则， 因为，所以，函数在上单调递增， 所以，所以，即． 因此实数的取值范围为 17．【解析】（1）若，则， 所以， 要求， 只需求，令， 则， 所以在上单调递增，又， 所以当时，， 故不等式的解集为. （2）由， 则， 记， 令，则得两根为， 若满足在上存在极大值， 则在定义域内先正、再负、再正，且两根不相等， 若，即，只有零点， 所以时，， 当时，， 此时函数只有极小值，无极大值，舍去. 若，即， 则， 此时函数单调递增，无极值，舍去. 若，即， 则当时，，递增， 当时，，递减， 当时，，递增， 此时，是极大值点，满足题意. 若，即， 则当时，，递增， 当时，，递减， 当时，，递增， 此时是极大值点，满足题意. 综上，的取值范围为. 18．【解析】（1）当时，，于是. ，于是， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）存在，使得成立，即存在，使得， 也即存在，使得成立. 令，则. 令，则， 令，即，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故. 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以. 故实数的取值范围为. （3）由，得， 而. 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 于是 令，则. 当时，，单调递增，而， 故，则. 令，则，于是，，且. 故. 令，则. 令，则，故单调递增， 于是，故，在单调递增. 又，于是. 综上，. 19．【解析】（1）令，求导得， 令，可得， 当，，当，， 所以，所以有唯一零点， 所以集合中有且仅有一个元素. （2）（i）假设存在完美区间为，则，， 即方程在上有两个不同的实根， 所以在上有两个不同的实根，即， 令，则，于是有两个不同的实根. 令，，则，， 令，，则， 可知在上递增，且， 当时，；当时，； 可知在上单调递减，在上单调递增，则， 且当时，；当时，； 所以当时，方程，有两个不同的正数解， 故函数存在“完美区间”，且实数 a的取值范围为； （ii）当时，由函数， 可得导函数，所以在上单调递增， 由反函数的知识，稳定点在原函数与反函数的交点上， 即稳定点与的不动点等价， 故只需研究的不动点即可； 令， 则，则在上单调递减， 1）当时，恒成立，即在上单调递增， 当x无限接近于0时，趋向于负无穷小， 且， 故存在唯一的，使得，即有唯一解， 所以此时有唯一不动点； 2）当时，即时，， 当趋向无穷大时，趋近于0，此时， 存在唯一，使得， 此时在上单调递增，在上单调递减， 故， 当趋近于0时，趋向于负无穷大，当向正无穷大时，趋向负无穷大时， 设，则在上单调递增， 且， 又在时单调递增， ①当时，即， 此时，方程有一个解，即有唯一不动点，所以集合的子集有2个； ②当，即， 此时，方程无解，即无不动点，所以集合的子集有1个； ③当时，即，此时，方程有两个解， 即有两个不动点，所以集合的子集有4个； 综上，当时或时，集合的子集有2个； 当时，集合的子集有1个； 当时，集合的子集有4个. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习单元检测卷 单元7 导数与函数的单调性、极值、最值 A卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数的图像是一条连续不断的曲线，且在定义域内处处可导，若为的导函数，则“在处取极值”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．不充分不必要条件 3．已知是的导函数，的图象如图所示，则的极小值点是（     ） A． B． C． D． （第3题图） （第5题图） 4．已知，则导数是（   ） A．仅有最小值的奇函数 B．既有最大值又有最小值的偶函数 C．仅有最大值的偶函数 D．既有最大值又有最小值的奇函数 5．现有一张半径为1m的圆形铁皮，从中裁剪出一块扇形铁皮(如图1阴影部分)，并卷成一个深度为的圆锥筒，如图2，则圆锥筒的容积最大值为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，当时，，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．设函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，关于的不等式有且只有两个正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．将函数及其导函数的大致图象画在同一个直角坐标系内，下列选项正确的是（   ） A． B． C．  D．   10．已知函数，则下列说法正确的是（     ） A．曲线在处的切线方程为 B．函数的值域是 C．若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 D．若过点至少可以作曲线的两条切线，则 11．已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．在上是增函数 B．，不等式恒成立，则正实数的最小值为 C．若有两个零点，则 D．若，且，则的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数的极大值是______． 13．若函数在区间上的最小值为，则的取值范围是___________. 14．若函数的定义域为，满足，，都有，则关于x的不等式的解集为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数． (1)若在上不单调，求的取值范围； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围． 16．（15分）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 17．（15分）已知，． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求的取值范围． 18．（17分）已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若函数有两个不同的零点，，且，求的取值范围. 19．（17分）对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点；依此类推，可以定义函数的n阶不动点.其中一阶不动点简称为“不动点”，二阶不动点简称为“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”构成的集合分别记为A和B，即， . (1)若，证明：集合中有且仅有一个元素； (2)已知 . （i）若且函数在区间的值域为，则称区间是函数的“完美区间”.试问函数是否存在“完美区间”，若存在，求出实数a的取值范围，若不存在，说明理由； （ii）讨论集合B的子集的个数. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2027届高考数学一轮复习单元检测卷 单元7 A卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $