精品解析：陕西省榆林市第十中学2026-2027学年高一上学期第一次考试数学试题

榆林第十中学高一数学第一次考试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：，，则为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知集合，，则的子集个数是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 4. 若，，则下列不等式中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 与是同一个集合 C. 集合与集合是同一个集合 D. 若用列举法表示集合，则集合可以表示为 10. 已知关于x的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 11. 设正实数、.满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则的最大值为______. 13. 若不等式的解集为或，则实数n的值为______. 14. 设集合，. （1）当时，A的所有子集中的元素之和为______； （2）若，m的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合或，， （1）若，求，，； （2）若，求的取值范围. 16. 设全集，集合，非空集合，其中. （1）若“”是“”的充分条件，求的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 17. 求解下列各题 （1）已知，试比较，的大小. （2）已知a，b，c全为正数且，求证：. 18. 某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为15元，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，求这批台灯的销售价格的取值范围？ 19. 已知关于x的一元二次不等式的解集为R． （1）求实数m的取值范围； （2）求函数的最小值； （3）解关于x的一元二次不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榆林第十中学高一数学第一次考试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，又，所以. 2. 已知命题：，，则为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】利用全称命题的否定可得出结论. 命题为全称命题，则命题的否定为，. 3. 已知集合，，则的子集个数是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】集合，，则， 集合共含有3个元素，所以子集个数为. 4. 若，，则下列不等式中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，由题可知，，则，故A正确，不符合题意； 对于B，由，则，故B正确，不符合题意； 对于C，当时，此时，故C错误，符合题意； 对于D，，则，，，故D正确，不符合题意． 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】， 于是，反之不成立， 于是“”是“”的充分不必要条件. 6. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵ ，，且， ∴ ， 当且仅当，即时等号成立. 将代入，解得，，满足，等号可取. ∴的最小值为. 7. 已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设， 是的必要不充分条件， 是的真子集， 又， ， 则，解得． 8. 已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由 恒成立的等价条件为 ， 【详解】命题＂＂是真命题，又 ， 则 ， 解得 ． 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 与是同一个集合 C. 集合与集合是同一个集合 D. 若用列举法表示集合，则集合可以表示为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据集合相等的定义，空集的定义，以及集合的表示方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，根据集合相等的定义，可得集合，所以A正确； 对于B，空集是没有任何元素的集合，集合是含有元素的单元素集合， 所以与不是同一个集合，所以B错误； 对于C，集合，集合， 所以集合与集合不是同一个集合，所以C错误； 对于D，由方程组，解得，所以集合可以表示为，所以D正确. 10. 已知关于x的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】一元二次不等式的解集是两根之间，说明抛物线开口向下，，再利用韦达定理得到三者的比例关系，把全部用表示，逐个代入选项验证. 【详解】因为不等式解集是， 所以方程两根是，且，故A错误； 由韦达定理得，. 选项B：由，， 则，B正确； 选项C：由，， ，即为，则，C正确； 选项D：由，， 则不等式由，即为， 则，即，解得，D正确. 11. 设正实数、.满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质求解判断. 【详解】正实数、满足， ， 当且仅当且，即时取等号， ∴的最小值为3，故A正确； ，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为1，则B正确； 因为， 当且仅当时，等号成立，所以， 的最大值为2，故C正确； 因为， 由B项知，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为2，故D错误， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则的最大值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】方法一：将所求代数式转化为二次函数，结合给定定义域求解最大值；方法二利用基本不等式求解最大值. 【详解】方法一（二次函数法）： 设函数，整理得，定义域为， 该函数为二次函数，二次项系数， 因此抛物线开口向下，对称轴为直线， 由于，故当时函数取得最大值，代入得. 方法二（基本不等式法）： 由得， 根据基本不等式（，当且仅当时等号成立）， 可得：， 当且仅当即时等号成立，且满足要求， 因此的最大值为4. 13. 若不等式的解集为或，则实数n的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由"解集的端点即对应方程的两根"，先用是根求出，再解出不等式的完整解集并与已知解集比较，从而求出. 【详解】不等式即. 因为它的解集为，所以方程的两个根为和. 把代入得，即. 于是原不等式为，即，也就是，解得或. 与已知解集或比较，得. 14. 设集合，. （1）当时，A的所有子集中的元素之和为______； （2）若，m的取值范围为______. 【答案】 ①. 80 ②. 或 【解析】 【分析】先化简集合A，第一问写出整数集A后利用元素在子集中的出现规律计算总和；第二问分B为空集和非空集两类，根据子集包含关系列不等式求解取值范围. 【详解】解不等式，得，即， （1）当时，，所以中有5个元素， 其中每个元素出现在集合的子集中的次数为， 而集合的元素和为， 因此所有子集的元素之和为； （2）若，分两种情况讨论： ① 当时，满足，此时需，解得； ② 当时，需满足，解得. 综上所述，的取值范围为 或 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合或，， （1）若，求，，； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1），或，或， （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合B，再根据集合的交集、并集和补集的定义即可求解； （2）根据集合与集合的关系，对B进行分类讨论，分和两种情况求解即可. 【小问1详解】 若，则，所以或， 所以，或， 或， 【小问2详解】 当时，满足，此时，解得， 当时，，得， 因为，所以， 因为或，所以， 由，得，即无解 综上所述，只有满足条件； 所以m的取值范围是. 16. 设全集，集合，非空集合，其中. （1）若“”是“”的充分条件，求的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由“”是“”的充分条件可得，列出不等式组求解即可. （2）由“”是“”的必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组求解即可. 【小问1详解】 由题意得到，由“”是“”的充分条件可得，    则 ，解得，则实数的取值范围是. 【小问2详解】 由于集合B为非空集合，所以，解得，      由“”是“”的必要不充分条件可得是的真子集，        所以 ，解得，所以，        当且仅当 ，即 时，.该方程组无解，所以恒成立，因此是的真子集的条件与的条件相同 故实数a的取值范围是. 17. 求解下列各题 （1）已知，试比较，的大小. （2）已知a，b，c全为正数且，求证：. 【答案】（1）； （2） 因为全为正数且， 所以， 当且仅当，即时取等号. 【解析】 【分析】（1）利用作差法比较大小即可；（2）根据“1”的妙用，利用基本不等式证明即可. 【小问1详解】 ， 因为，所以， 所以，即. 【小问2详解】 略 18. 某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为15元，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，求这批台灯的销售价格的取值范围？ 【答案】 【解析】 【分析】根据已知得到销售收入且，再由求范围． 【详解】由题设，销售收入且， 为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则， 所以，可得， 综上，． 19. 已知关于x的一元二次不等式的解集为R． （1）求实数m的取值范围； （2）求函数的最小值； （3）解关于x的一元二次不等式． 【答案】（1） （2） （3）不等式的解集为 【解析】 【分析】（1）由不等式恒成立等价的条件求参数即可； （2）利用基本不等式求最值即可； （3）根据不等式的求解方式求解即可． 【小问1详解】 已知关于x的一元二次不等式的解集为R， 则，即， 解得； 【小问2详解】 由（1）知，则， ， 当且仅当，即时取等， 函数的最小值为； 【小问3详解】 ，则， 方程的根为， 又，则，故， 一元二次不等式的解为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $