精品解析：陕西西安交通大学附属中学2026-2027学年第一学期高一第一次学情评估数学试题

交大附中2026～2027学年第一学期高一第一次学情评估数学试题 注意：本试题共4页，四道大题. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法将集合表示出来，再根据集合的交集运算即可求解. 【详解】， 因为， 所以. 故选：B． 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】全称量词“任意”改为存在量词“存在”，否定结论， 【详解】全称量词“任意”改为存在量词“存在”，否定结论， 所以命题“，”的否定是“，”. 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】对A，B，C举反例说明，对D，作差法求解判断. 【详解】若，取，，则，故A错误； 若，当时，则，故B错误； 若，取，，则，故C错误； 若，则，故D正确. 故选：D. 4. 若已知条件，条件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出不等式，根据真子集关系即可得到答案. 【详解】，解得或， 因为是或的真子集， 则是的充分不必要条件. 故选：A. 5. 设集合，，，则下列关系中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，即可根据集合间关系求解. 【详解】，， 中的元素为点，故， 故选：B 6. 命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】命题“，”的否定“，”为真命题. 依题意需满足 ， 即，解得， 即实数的取值范围为. 7. 为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】使用三集合容斥原理，通过韦恩图划分各部分人数，设三类都参加的人数为、只参加劳动实践和培训的人数为，根据总人数列方程化简得，再结合培训的总人数，算出只参加培训的人数． 【详解】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人， 列出韦恩图，则， 可得，则只参加技术培训的人数为人． 8. 若关于的方程有两相异实根，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两相异实根满足得到关于的不等式组，再解不等式组可得答案. 【详解】因为方程有两相异实根，且， 则，解得. 故选：C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 设集合，，则的非空真子集个数可以为（ ） A. 6 B. 7 C. 12 D. 14 【答案】AD 【解析】 【分析】分，，，求出集合AB，进而可得，再根据子集个数的公式求解即可. 【详解】当时，，，则，的非空真子集个数为； 当时，，，则，的非空真子集个数为； 当时，，，则，的非空真子集个数为； 当时，，，则，的非空真子集个数为； 故选：AD. 10. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为16 C. ​的最小值为8 D. ​的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】变换得到，得到A正确，利用均值不等式得到B正确，变换得到，展开利用均值不等式得到C错误，消元结合均值不等式得到D正确，得到答案. 【详解】，即，，故，A正确； ，解得，当，即，时等号成立，B正确； ，当，即，时等号成立，C错误； ，故，，当，即，时等号成立，D正确. 故选：ABD 11. 已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则的最小值为4 C. 关于的不等式的解集为 D. 是关于的不等式的一个解 【答案】ACD 【解析】 【详解】选项A，因为方程有两不等实根，所以，解得， 因为，所以，即取，A正确； 选项B，由韦达定理，则，由A选项可知，且，所以， ，当时，单调递增，因此，则，无法取到最小值4，B错误； C选项，令，代入原方程得，即若为原方程两根，则为的两根，又因为， 所以，已知，所以不等式解集为，C正确； D选项，将代入得，因为，因此， 即是不等式的一个解，D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，，若，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合间的基本关系得出，再代入验证. 【详解】由，知是的子集，所以或或. 由集合中元素的互异性，知，所以，故，. 从而，而，故. 经验证满足条件. 故答案为：. 13. 不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【详解】，则， ，解得， 所以解集为． 14. 设有限集M所含元素的个数用表示，并规定.已知集合A，B满足，，若，，则满足条件的所有不同集合A的个数为________． 【答案】8 【解析】 【分析】结合题目定义分别讨论的情况，最后汇总即可. 【详解】若，则，此时，，不满足； 若，则，且，，则，，满足条件； 若，则且，，则，， 满足条件的集合有，；，；，，共3个； 若，且，，则，，满足条件的集合A有，；，；，，共3个； 若，且，，则，，满足条件； 若，，此时，，不满足； 所以满足条件的集合A共有个. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，，求： （1），； （2），． 【答案】（1），； （2）；或. 【解析】 【分析】（1）首先求集合，再求集合的交集和并集； （2）先求补集，再求交集和并集. 【小问1详解】 由条件可知，，， 所以，； 【小问2详解】 因为，所以. 又或，所以或. 16. （1）已知，，求，的范围； （2）已知a，b均不为0，且，试比较与的大小． 【答案】（1）， ； （2）当（同号）时，；当（，正负）时，. 【解析】 【分析】（1）利用不等式同向可加性，分别拆分求出各单项范围后合并，得到目标式的取值区间；（2）采用作差比较法，通分因式分解后，根据的符号分类讨论差的正负，确定两式大小关系. 【详解】（1）由得；由得， 同向不等式相加：，即； 由得；由得， 同向不等式相加：，即； （2） 由得，且，差的符号由决定： 当（同号）时，，故；当（，正负）时，，故. 17. “金山银山不如绿水青山．”实行垃圾分类、保护生态环境人人有责．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于今年年初用万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为万元．若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元，设该设备产生的盈利总额（纯利润）为万元． （1）写出与之间的函数关系式；并求该设备使用几年后，其盈利总额开始达到万元以上； （2）该设备使用几年后，其年平均盈利额达到最大?最大值是多少?（） 【答案】（1），使用年后，盈利总额开始达到万元以上 （2）使用年后，其年平均盈利额达到最大，最大值为万元. 【解析】 【分析】（1）先求得与之间的函数关系式，由此列不等式来求得正确答案. （2）先求得平均盈利额的表达式，然后利用基本不等式来求得最大值以及此时对应的的值. 【小问1详解】 依题意，， 由，得， 即，解得， 所以使用年后，盈利总额开始达到万元以上. 【小问2详解】 平均盈利额， 当且仅当时等号成立， 所以使用年后，其年平均盈利额达到最大，最大值为万元. 18. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； （3）若命题“”为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由集合的运算得到集合的关系，建立不等式组，求得实数的取值范围； （2）由充分必要条件的定义，得到集合的关系，建立不等式组，求得实数的取值范围； （3）由命题的真假得到集合的关系，建立不等式，求得实数的取值范围； 【小问1详解】 因为，所以，所以，解得. 【小问2详解】 是的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，，解得，即， 所以. 【小问3详解】 命题“”为真命题，即， 所以，即，解得，所以 此时. 所以. 19. 设函数． （1）若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合； （2）时，求不等式的解集； （3）当时，记不等式的解集为，集合，若对于任意正数，，求的最大值． 【答案】（1）； （2） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的情况即可求解. （2）分解因式，根据二次不等式的解法求解. （3）根据两集合的交集不为空集，可得，作差后利用换元法根据基本不等式即可求解. 【小问1详解】 当时，， 当时，由，解得，满足题意； 当时，由有一解，得，解得或， 所以实数的取值集合. 【小问2详解】 由，得， 整理得，即，而，则， 当时，，解得或； 当时，，解得； 当时，，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【小问3详解】 集合，对于任意正数t，，由， 得当时，函数，则，即， 因此，令，则， 于是，当且仅当，即，，时取等号， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 交大附中2026～2027学年第一学期高一第一次学情评估数学试题 注意：本试题共4页，四道大题. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 若已知条件，条件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设集合，，，则下列关系中正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的方程有两相异实根，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 设集合，，则的非空真子集个数可以为（ ） A. 6 B. 7 C. 12 D. 14 10. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为16 C. ​的最小值为8 D. ​的最小值为2 11. 已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则的最小值为4 C. 关于的不等式的解集为 D. 是关于的不等式的一个解 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，，若，则实数的值为__________. 13. 不等式的解集为________. 14. 设有限集M所含元素的个数用表示，并规定.已知集合A，B满足，，若，，则满足条件的所有不同集合A的个数为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，，求： （1），； （2），． 16. （1）已知，，求，的范围； （2）已知a，b均不为0，且，试比较与的大小． 17. “金山银山不如绿水青山．”实行垃圾分类、保护生态环境人人有责．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于今年年初用万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为万元．若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元，设该设备产生的盈利总额（纯利润）为万元． （1）写出与之间的函数关系式；并求该设备使用几年后，其盈利总额开始达到万元以上； （2）该设备使用几年后，其年平均盈利额达到最大?最大值是多少?（） 18. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； （3）若命题“”为真命题，求实数的取值范围． 19. 设函数． （1）若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合； （2）时，求不等式的解集； （3）当时，记不等式的解集为，集合，若对于任意正数，，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $