4.1 对数的概念 课时作业-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

高中数学（北师大版）必修第一册　课时作业 第四章　对数运算与对数函数 §1　对数的概念　课时作业 （建议用时：45分钟　满分：100分） 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________ 第一部分　知识点梳理 学习目标 1．理解对数的概念，能熟练进行指数式与对数式的互化。 2．了解常用对数、自然对数的概念及记法。 3．掌握对数的基本性质与对数恒等式，能用它们求简单的对数值。 知识点1　对数的定义 一般地，如果 （，且 ）的 次幂等于 ，即 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作 ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数。 式子 指数式 底数 指数 幂 对数式 底数 对数 真数 对数的本质是“求指数”： 就是“ 的多少次方等于 ”。例如 表示“2的3次方等于8”。 知识点2　常用对数与自然对数 (1) 以10为底的对数叫做常用对数， 简记作 。例如 ，。 (2) 以无理数 （）为底的对数叫做自然对数， 简记作 。例如 ，。 知识点3　对数的基本性质 性质 表达式 理由 负数和0没有对数 中 恒成立 1的对数为0 底数的对数为1 对数恒等式 由对数定义直接得到 指数的对数 由对数定义直接得到 知识点4　指数式与对数式的互化举例 指数式 对数式 知识点5　对数恒等式的应用 对数恒等式 可以把“指数位置上的对数”化掉，常与指数幂的运算性质结合使用，例如 ，。 知识拓展：对数的由来 16世纪末至17世纪初，天文、航海中需要进行大量繁杂的乘除运算。苏格兰数学家纳皮尔为简化计算发明了对数，它能把乘除运算转化为加减运算。后来人们认为对数的发明大大减轻了天文学家的计算负担。如今对数广泛用于声音强度（分贝）、地震强度（里氏震级）、溶液酸碱度（pH值）等的度量。 易错提醒 (1) 对数式 中要求底数 且 ，真数 ，求参数范围时三个条件缺一不可。 (2) 是一个整体（一个实数），不能理解为“ 乘 ”。 (3) 的底数是10， 的底数是 ，不要混淆。 典例精析 例1　将下列指数式与对数式互化：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 。 解　(1) ；(2) ；(3) ；(4) 。 例2　求下列各式的值：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 。 解　(1) 因为 ，所以 ；(2) 因为 ，所以 ； (3) ；(4) 。 例3　求下列各式中 的值：(1) ；(2) ；(3) 。 解　(1) 由 得 ；(2) ；(3) 由 得 ，所以 。 点拨　含多层对数的方程，从外向内逐层利用“，”去掉对数符号。 例4　求使式子 有意义的 的取值范围。 解　由 解得 且 ，所以 的取值范围为 。 例5　求下列各式的值：(1) ；(2) ；(3) 。 解　(1) 由对数恒等式，；(2) ；(3) ，所以 。 方法总结 (1) 指数式与对数式互化：底数不变，指数式中的“指数”就是对数式中的“对数”，“幂”就是“真数”。 (2) 求对数值：把真数写成底数的幂的形式，即 。 (3) 对数式有意义的条件：底数大于0且不等于1，真数大于0。 第二部分　课时作业 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．将 化为对数式，正确的是（　　） A． B． C． D． 2． 的值是（　　） A．4 B． C． D． 3．下列说法错误的是（　　） A．零和负数没有对数 B．以10为底的对数叫做常用对数 C．（，且 ） D． 表示以10为底 的对数 4．若 ，则 的值为（　　） A．6 B．8 C．9 D．5 5． 的值为（　　） A．7 B．10 C．12 D．5 6．使式子 有意义的 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．若 ，则 的值为（　　） A．2 B．4 C．8 D．9 8．已知 ，则 的值为（　　） A．9 B．6 C．3 D．12 二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列指数式与对数式的互化中，正确的是（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 10．已知 ，且 ，下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11．__________。 12．若 ，则 __________。 13．若 ，则 __________。 14．__________。 四、解答题（本题共3小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（8分）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1) ；　　(2) ；　　(3) ；　　(4) 。 16．（10分）求下列各式中 的值： (1) ；　　(2) ；　　(3) ；　　(4) 。 17．（10分）已知 ，（，且 ）。 (1) 求 的值；　　(2) 求 的值；　　(3) 若 ，用 ， 表示 。 第三部分　答案及解析 答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D B A B C A ABD ACD 填空题：11．4　　12．10　　13．81　　14．18 详细解析 1．A　【解析】由 ，底数2不变，指数 是对数，幂 是真数，所以 。 2．B　【解析】因为 ，所以 。 【点拨】求 的值，就是把真数 写成底数 的幂 ，则 。 3．D　【解析】 是以 为底 的对数（自然对数），以10为底的对数记作 ，D错误；A，B，C均正确。 4．B　【解析】由对数的定义， 化为指数式为 。 【易错】不要误写成 ：对数式中的底数2就是指数式中的底数。 5．A　【解析】由对数恒等式 ，又 ，所以原式 。 【点拨】对数恒等式 的特点：幂的底数与对数的底数相同。 6．B　【解析】由 解得 且 。 【易错】容易漏掉“底数不等于1”而误选A。 7．C　【解析】由 得 ，所以 ，故 。 8．A　【解析】由 得 ，所以 。 【点拨】也可以直接用对数恒等式：。 9．ABD　【解析】，A正确；，B正确； 对应的指数式是 ，C错误；，D正确。 10．ACD　【解析】，A正确；， 无意义，B错误；，C正确；，D正确。 11．4　【解析】因为 ，所以 。也可以设 ，则 ，得 。 12．10　【解析】由 得 ，所以 。 【点拨】利用“”“”可以快速去掉外层对数。 13．81　【解析】由 得 。 【点拨】由 求 ，两边同时取 次幂，即 。 14．18　【解析】。 15．【分析】利用 进行互化，注意底数始终不变。 【解】(1) ；（2分）　(2) ；（2分） (3) ；（2分）　(4) 。（2分） 16．【分析】把对数式化为指数式求 ；对于 ，注意底数 要满足 且 。 【解】(1) ；（3分） (2) 由 ，且 ，，得 ；（3分） (3) ；（2分） (4) 。（2分） 17．【分析】由对数定义得 ，，再利用指数幂的运算性质计算。 【解】由 ， 得 ，。（2分） (1) ；（2分） (2) ；（3分） (3) ，又 ，所以 。（3分） 本课时规律总结 (1) 对数与指数是同一关系的两种表示：。 (2) 四个常用结论：，，，。 (3) 解对数方程的基本方法是“化为指数式”，多层对数从外向内逐层处理。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $