3.1 指数函数的概念 课时作业-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

高中数学（北师大版）必修第一册　课时作业 第三章　指数运算与指数函数 §3　3.1　指数函数的概念　课时作业 （建议用时：45分钟　满分：100分） 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________ 第一部分　知识点梳理 学习目标 1．理解指数函数的概念，能判断一个函数是否为指数函数。 2．理解指数函数中底数 需满足 且 的原因。 3．会用待定系数法求指数函数的解析式，能建立指数型函数模型解决简单实际问题。 知识点1　指数函数的定义 一般地，函数 （，且 ）叫做指数函数，其中 是自变量，函数的定义域是 。 例如 ，，， 都是指数函数。 知识点2　为什么规定 ，且 底数 的情况 举例 结论 时，， 等没有意义 在很多 处无意义 时， 没有意义 定义域不是 是常数函数，没有研究价值 知识点3　指数函数解析式的结构特征 判断一个函数是否为指数函数，要看它是否同时满足三个特征： (1) 前面的系数为1；(2) 底数 是大于0且不等于1的常数；(3) 指数位置上只有自变量 。 例如 （系数不是1），（指数不是单独的 ），（多了常数项），（自变量在底数上），（底数为负），都不是指数函数。 知识点4　指数型函数模型 在实际问题中，若某个量每经过一个单位时间，都变为原来的 倍（，），就可以用指数型函数刻画： 问题类型 函数模型 说明 增长问题 为原有量， 为平均增长率 衰减问题 为平均衰减率（） 细胞分裂 1个细胞分裂 次后的个数 放射性衰变 为初始质量， 为半衰期 下图是细胞分裂次数 与细胞个数 的对应点，这些点都在函数 的图象上，可以看到细胞个数增长得越来越快。 图1　细胞分裂个数 （） 知识点5　求指数函数解析式的方法 指数函数 中只有一个参数 ，只需知道图象上的一个点（横坐标不为0），就可以用待定系数法求出 ，注意检验 且 。 易错提醒 (1) 可以写成 ，但像 ， 这类函数是“指数型函数”，不是指数函数。 (2) 由 求底数时，要舍去 ；由系数等于1求参数时，要检验底数是否满足 且 。 (3) 实际问题中自变量往往只能取正整数或自然数，写函数解析式时要注明定义域。 典例精析 例1　判断下列函数是否为指数函数：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) （，且 ）。 解　(1) 是；(2) 自变量在底数位置，是幂函数，不是指数函数；(3) 的系数是 ，不是指数函数；(4) 底数 ，不是指数函数；(5) 是；(6) 由 ， 得 且 ，是指数函数。 例2　已知指数函数 的图象过点 ，求 的解析式及 ， 的值。 解　设 （，），则 ，即 ，所以 （ 舍去）。 所以 ，，。 例3　若函数 是指数函数，求 的值。 解　由指数函数的定义得 ，由 解得 或 ，又 ，所以 。 例4　某种储蓄按复利计算利息，本金为1000元，每期利率为2.25%。写出本利和 （元）随存期 变化的函数解析式，并求存5期后的本利和（精确到0.01元）。 解　存1期后本利和为 ，存2期后为 ，……，存 期后的本利和为 当 时，（元）。 方法总结 (1) 判断指数函数：抓住“系数为1、底数为大于0且不等于1的常数、指数只含 ”三个特征。 (2) 已知函数是指数函数求参数：列出“系数 ，底数 且 ”的条件组，解出后检验。 (3) 实际问题建模：找出“初始量”与“每个单位时间变为原来的多少倍”，写成 的形式，并注明定义域。 第二部分　课时作业 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列函数中是指数函数的是（　　） A． B． C． D． 2．若函数 是指数函数，则实数 的取值范围是（　　） A． B． 且 C． D． 且 3．已知指数函数 的图象经过点 ，则 （　　） A．2 B． C． D． 4．若函数 （，且 ）是指数函数，则 （　　） A．1 B．2 C．3 D． 5．某种细菌每20分钟分裂一次（由1个分裂成2个），则经过2小时，1个这样的细菌可以繁殖成（　　） A．64个 B．32个 C．128个 D．12个 6．已知指数函数 满足 ，则 （　　） A．3 B．9 C． D． 7．某放射性物质每经过一年，剩留量为原来的84%．设该物质原有质量为1，经过 年后的剩留量为 ，则 关于 的函数解析式为（　　） A． B． C． D． 8．已知函数 ，则 （　　） A． B．3 C． D． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列函数中是指数函数的有（　　） A． B． C． D． 10．关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11．若函数 是指数函数，则实数 的取值范围是__________。 12．已知指数函数 的图象经过点 ，则 __________。 13．某城市现有人口100万，人口年平均增长率为1.2%，则经过 年后该城市人口数 （万）与 的函数解析式为__________。 14．已知 （，且 ），且 ，，则 __________。 四、解答题（本题共3小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（8分）已知函数 是指数函数。 (1) 求实数 的值；　　(2) 求 和 的值。 16．（10分）已知指数函数 的图象经过点 。 (1) 求 的解析式；　　(2) 求 ， 的值；　　(3) 若 ，求 的值。 17．（10分）某工厂购买一台价值50万元的设备，若每年的折旧率为10%（即每年的价值比上一年减少10%）。 (1) 写出 年后这台设备的价值 （万元）关于 的函数解析式； (2) 求3年后这台设备的价值； (3) 这台设备至少使用几年后，其价值低于30万元？（参考数据：，） 第三部分　答案及解析 答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B A A C C D AC ABD 填空题：11．　　12．4　　13．（）　　14． 详细解析 1．C　【解析】A中 的系数为2，B中指数为 ，D中自变量在底数位置，都不符合指数函数的定义；C中底数 且 ，是指数函数。 2．B　【解析】由题意得 ，且 ，解得 且 。 【易错】容易只考虑底数大于0而漏掉“底数不等于1”的条件。 3．B　【解析】由 ， 得 ，所以 。 4．A　【解析】指数函数的解析式为 ，所以 ，，解得 ，，故 。 【点拨】指数函数解析式中 的系数必须为1，且不能有其他常数项。 5．A　【解析】2小时共120分钟，细菌分裂 次，所以1个细菌繁殖成 个。 6．C　【解析】设 ，则 ，所以 ，。 7．C　【解析】1年后剩留量为 ，2年后为 ，……， 年后为 ，所以 （）。 【点拨】“每年变为原来的84%”属于衰减问题，对应模型 ，其中 ，。 8．D　【解析】。 9．AC　【解析】A中底数 且不等于1，是指数函数；B中底数为负数，不是；C中 ，底数大于0且不等于1，是指数函数；D中多了常数项1，不是。 10．ABD　【解析】，A正确；，B正确；取 ，，而 ，C错误；，D正确。 【点拨】指数函数满足 ，这是指数函数的重要特征，它把“自变量相加”转化为“函数值相乘”。 11．　【解析】由 且 ，得 且 。 12．4　【解析】设 ，则 ，所以 ，。 13．（）　【解析】1年后人口为 万，2年后为 万，……， 年后为 万。 14．　【解析】。 【点拨】无需求出 ，， 的具体值，利用指数幂的运算性质整体代入即可。 15．【分析】根据指数函数的定义， 的系数为1，底数大于0且不等于1，列出条件求 。 【解】(1) 由题意得 ，即 ，解得 或 。（2分） 又 ，且 ，所以 。（2分） (2) 由(1)知 ，所以 ，。（4分） 16．【分析】设出指数函数解析式，代入点的坐标求出底数 ，再计算函数值、解方程。 【解】(1) 设 （，），由 得 ，所以 。（3分） (2) ，。（3分） (3) 由 ，得 。（4分） 17．【分析】设备价值每年变为上一年的 ，这是指数型衰减模型。 【解】(1) 1年后价值为 万元，2年后为 万元，……， 年后价值为 （3分） (2) 当 时，（万元），即3年后设备价值为36.45万元。（3分） (3) 当 时，；当 时，。（3分） 由于 随 的增大而减小，所以这台设备至少使用5年后，其价值低于30万元。（1分） 本课时规律总结 (1) 指数函数 的三个“标准”：系数为1、底数为常数且 ，、指数只有 。 (2) 求指数函数解析式用待定系数法，一个点（横坐标不为0）即可确定底数。 (3) 增长率、衰减率问题建模的一般形式为 ，要特别注意自变量的实际取值范围。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $