10 福建省福州市高三上学期期中考试-【景行之教育】2027年数学高考一轮复习先锋名校检测卷

10福建省福州市高三上学期期中考试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小6.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 个位数为0的概率是 4 1 1.设复数z满足1-3z=iz(i为虚数单位)，则1zl=（ .9 B. 3 A.0 10 B 2 5 C.9 C.5 D.√10 7已知双眉线号卡-1(a>0,6>0)的左，右袋点分为 2.若m>0,>0,且3m+2n-1=0,则3+2的最小值为 F1,F2,抛物线y2=45x的准线1经过F1,且1与双曲线 m n ( 的一条南近线交于点A若∠F,PA=牙，则双曲线的方 A.20 B.12 程为 C.16 D.25 2 1641 B.y 4161 3.已知a,B是两个互相垂直的平面，l,m是两条直线，x∩ B=l,则“m⊥1”是“m⊥a”的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 8数)=11-3n2君在到0,1上的零点 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 个数为 A.3 B.4 4.设直线x+y+2=0与圆C:x2+(y-2)2=16相交于A,B两 C.5 D.6 点，则△ABC的面积为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小 A.12 B.4 题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 C.8 D.4√2 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. [-x2-2ax-a,x<0, 9.有一组从小到大排列的样本数据x1,x2,…,x1,x,(n≥ 5.已知函数f(x)= 在R上单调递增，则 4),若将第1个数据减1，最后一个数据加2，其余数据 e*+ln(x+1),x≥0 不变，得到新的一组数据x1-1,x2,…,x1,xn+2,则下列 a的取值范围是 ( 统计量中，相比原来的数据变大的有 A.(-∞，0] B.[-1,0] A.极差 B.中位数 C.[-1,1] D.[0,+o) C.平均数 D.方差 10.已知三次函数f(x)=ax3+bx2+c(a>0,b,c∈R),下列结 且椭圆C的离心率为 ,其左、右焦点分别为F,F2 2 论中正确的是 () (1)求椭圆C的方程 A当a=62时)的单调运减区间为号，0) (2)设斜率为-了且过？，的直线1与椭圆C交于P,0 B当a=62时x)的单润递瑞K间为子，0) 两点，求△F,PQ的面积. C.当c=-4a时，若函数f(x)恰有两个不同的零点，则 =3 e D.当b=c=0时，f(x)>lnx恒成立，则a的取值范围 为+】 11.数列{an}满足：an-1+ant1>2an(n>1,n∈N),下述命题 正确的有 () A.数列{an}的通项公式可以是an=n2 B.数列{an}是递增数列 C.若ptq>m+n(其中p,q,m,n∈N),则a,+a,>am+a。 D.存在常数d,使得an≥a1+(n-l)d都成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量a=(2√2,1)，b=(3,0),则a在b上的投影 向量的坐标为 13.已知S,是数列a}的前n项和，a1g,且对于任意 p,9eN,有a,+a,=apn,则Sg三 14.存在集合A={1,2,…,10}的一族子集两两交集非空， 那么这族子集最多有个. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤 15(13分)已知椭圆c:言若-1a6>0的长箍长为4. 数学P答案D32卷10 16.(15分)如图，长方体ABCD-AB,C,D,的底面ABCD17.(15分)在△ABC中，点D为BC的中点，且AB=2AD. 是正方形，点E在棱AA,上，BE⊥EC (1)证明：∠DAC+∠BAC=T. (1)证明：BE⊥平面EB,C· (2若c<石求0 的取值范围. AC (2)若AE=A,E,求二面角B-EC-C,的正弦值. C D C 景行 卷10答案D32Q数学 18.(17分)已知函数g(x)=lnx-x+1. 19.(17分)已知数列A:a1,a2,…,an,从中选取第i1项、第 (1)求y=g(x)的图象在x=e处的切线l的方程. 2项…第in项(i1<i2<…<im,m≥2)，称新数列a, (2)讨论g(x)=a的根的个数. a,…,a为A的长度为m的子列.记N(A)为A所有 (3)设x1,x2(x1<x2)是g(x)=a的两根，证明：x2-x1< 不同子列的个数，例如，对于A:1,0,0,长度为2的子列 有1,0和0,0，长度为3的子列有1,0,0，所以 N(A)=3. (1)对于数列A:2,0,2,4,写出A的长度为3的全部子 列，并求N(A). (2)对于数列A:a1,a2,…,an(n≥3)，B:an,an-1,,a1, C:0,a1-a2,a1-a3,…,a1-an,判断N(A),N(B),N(C) 的大小关系，并说明理由。 (3)对于整数n,k(1≤k≤n-1且n≥3)，数列A:a1,a2,…, an满足a∈{0,1}(i=1,2,…,n)和a1+a2+…+an=k, 求N(A)的最小值. 之教育高考一轮复习检测卷·数学 所以g(0)=2-40a=2-00,类推②同理可得不符合 题意 综上可得，正实数a的取值范固是（兮+）】 (17分) 19.【解】(1)由题意知，静态密码为202，动态验证码x,=4. 若s=1,则M=2×13+0×12+2×1=4,得x1=4,符合题意； 若s=2,则M=2×23+0×2+2×2=20,得x2=0,不符合题意； 若s=3,则M=2×33+0×32+2×3=60,得x3=0,不符合题意； 若s=4,则M=2×43+0×42+2×4=136,得x4=6,不符合题意； 若s=5,则M=2×53+0×52+2×5=260,得x=0,不符合题意. 综上可得，s=1. (4分) (2)对于三位静态密码a1a2a3,由M=a1·53+a2·52+a3· 5=5(a1·52+a2·5+a3),可得M的末位是0或5，即x只 能是0或5. 又M=125a1+25a2+5a3=10(12a1+2a2)+5(a1+a2+a3), 所以当a1+a2+a3为奇数时，x,=5;当a1+a2+a为偶数时， x5=0. (6分) 下面计算a1+a2+a3为奇数时，a1a2a3的个数： ①当a1,a2,a3均为奇数时，有53=125（个）； ②当a1,a2,a3为一奇两偶时，有Cg5×52=375(个). 所以a1a2a共有125+375=500（个）. (7分) 所以P(=5)=501 1032 从而P(x=0)=1-P(x,=5)=122 11 (8分) 因此动态校验码x,的分布列如下： 0 5 2 2 (9分) (3)记事件A:得到的动态校验码x,=0,事件B:得到的动态校 验码x,=1,事件C:收到动态校验钥匙s=i(1≤i≤5，i∈N), A=AC UAC2 UAC3 UAC UACs,B=BC UBC2 UBC3 U 10福建省福州市言 一、1.A多法解题〉【方法一】由1-3z=iz,得1=(3+i)z,所以 3-i 3 1 ：=3=(3+3==010i,所以1z1= √可-放途 【方法二】由题意，得2=3所以11=13+√ 0故选A 10 2.D【解析】因为3m+2n-1=0,所以3m+2n=1,所以3+ m 2-(月}3m+2=900+4≥13+2 n 13+12=25,当且仅当0-60，即m=a=写时取等号，所以 m n 3+2的最小值为25故选D. m n 3.B【解析】由题意知，a⊥B,anB=l.若m⊥L,则当mCB 时，m⊥a;当m￠B时，m与a可能平行、垂直或mCa.若 D32卷 BC,UBCs, 从而Q。=P(A)=P(AC,)=P(C,)P(AIC,)=店P,P(AI C), (10分) 同理可得，Q,=P(B)=P(BC:)=立P(C:)P(B1C:)= 享P氏B1C. (11分) 1 ①对于事件C,:由第(2)向可知，P(A1C,)=2,P(B1 C5)=0, 从而P5·P(AIC)>0,P5·P(B1C5)=0, 所以P5·P(AIC5)>P5·P(B1C5), (12分) ②对于事件C2,C4,静态密码a1a2a对应的M=a1·s3+ a2·s2+a3·s, 当s=2或s=4时，M为偶数，得x,≠1， 所以P(B1C2)=P(B1C4)=0. 又当a1a2a=000时，M=0,得x,=0,可知P(A1C2)>0, P(AIC4)>0, 从而P2·P(AIC2)>0,P4·P(AIC4)>0,P2·P(B1C2)=0, P4·P(B1C4)=0, 所以P2·P(AIC2)>P2·P(BIC2),P4·P(AIC4)>P4· P(BIC). (14分) ③对于事件C1,C3,静态密码a1a2a3对应的M=a1·s3+ a2·s2+a3·s. 当s=1时，若a,遍历0~9这10个整数，则M的个位数也遍 历0-9这10个整数，所以P(A1C,)=P(B1C,)=10' 1 从而P1·P(AIC)=P1·P(B1C). 当s=3时，若a3遍历0~9这10个整数，则3a3的个位数遍 历0,3,6,9,2,5,8,1,4,7，继而有M的个位数字也遍历0-9 这10个整数，所以P(AIC,)=P(B1C,)=1 1 从而P3·P(AIC3)=P3·P(B1C3)· (16分) 由①②3可知，2n,P(AIC,)>2nP(B1C), 即Qo>Q1 (17分) 三上学期期中考试 m⊥a,则由lCa,得mll.所以“m⊥”是“m⊥a”的必要不充 分条件.故选B 4.C【解析】由题意得，圆心C(0,2),半径r=4.因为圆心 C(0,2)到直线x+y+2=0的距离d=12+21=22,所以 √1+12 1AB1=2√-2=2√16-8=42.由42+42=(42)2，得 ∠ACB=受所以Sauc=之×4=8[也可直接由d和1M81的 值求SAe,即Sc=子AB1d=2×42x2=8]放选C 5.B【解析】因为f(x)在R上单调递增，且x≥0时，f(x)= -2a e+n(x+1)单调递增，所以需满足{2x-)≥0，解得-1≤ （-a≤e°+ln1, a≤0，即a的取值范围是[-1,0].故选B. 6.D【解析】由题意得，个位数与十位数之和为奇数的两位 数共有AA;+AA4=45(个).从中任取一个数，共有45个不 同的结果，其中个位数为0的数为10,30,50,70,90，共5个， 所以由古典概型险经率公式得所求概家为名)放选D 10·数学 7.D【解析】由题意知，抛物线y2=45x的准线方程为x= -/5,则c=√5，F(-√5,0)，F2(5,0).不妨设点A为第二象 b 限内的点，则渐近线的方程为y=-名x联立 。,可得 (x=-C, 即点A会)因为A1F且∠RRA=牙，所 x=-C, 以△F,F,A为等腰直角三角形，则1AE,1=1F,E1,即c=2, (b=2, (a=1, 可得6=2.联立 解得〈b=2，因此双曲线的标准 =5, c2=a2+b2, (c=5, 方程为-子-1放滤D 8.C【解析】由于函数y=1eas1,y=m2x石）都是周 期函数，其最小正周期为π，则函数(x)的最小正周期为不. 当0≤≤时，)=sx-3m2x石），则f'() m26am2当0≤号时，≤2≤号 f()<0,所以函数)在(0，写）上单调递减又） m石5m2x名君）=0，所以函数✉)在(0，号）上有 唯一的零点当写≤时，令8()=/()=-n-2: c2石），则g(e)=-cosx+45n(2石）由写<x≤ 号得号ca6≤g所以25≤45m2君）k45.而 0≤m<则g()>0,所以函数了（✉）在（日]上单调 递城面f(）=0(）=-1+3=2>0,则存在e (行，），使得f()=0所以当gx<,时()<0：当 <x≤时，f”(x)>0.所以函数f(x)在（写，上单调递 减，在(，]上单调递增，则，)<（得）<0，）× (侣）-0，所以数)在(5]上无号点当受 ≤m时，闭=s52石），则∫()=血-2· 2）当e(时，2x6e(g]。 c0s(2x石）≤0，sinx>0,则f'(x)>0,所以函数f(x)在 (任引]上单调道塔因为（侣）0得）30， 所以数在（行]上存在唯-零点当：=（怎小时。 令)=f'(,则()=s+43n2石）由g<≤ ,得2g<,则-45≤4ma-2,而 cas<0,所以h()0,所以函数f'(x)在(]上单调递 减而f(）=子>0，f(m)=-3<0,所以存在e D33卷 参考答案及深度解析 (g,使得f)=0所以当<时，f'(x)>0,当 ≤=时，()<0所以函数)在(。，西)上单调递增， 在（上单润递减又得）0m)=1+停0，所 以函数)在(]上无零点从而函数)在[0，m]上 有且只有2个零点.又函数f(x)的最小正周期为π，所以函 数到在[，2]上有2个零点，在，]上有1个零点 而3m e:,引，且）=0，所以福数=1 3n2-君）在，1]上有5个零点放达C 二、9.ACD【解析】极差比原数据大3，故A符合题意； 中位数不变，故B不符合题意； 因为原数据的平均数元=+，+++比，新数据的平均数 7--1++t,+2_tt++核，t1 ，所以平均数 n 变大了，故C符合题意； 因为最小的数据变小，最大的数据变大，其余数据不变，所 以新数据较原数据相对于各自的平均值波动变大，所以由 方差的定义可知方差也变大了，故D符合题意.选ACD. 10.ACD【解析】由f(x)=ax3+bx2+c(a>0,b,c∈R),得 f'(x)=3ax2+2bx=x(3ax+2b).当a=b=2时，f'(x)= 24(3+2.所以在区阿（号，0）上了(c0,所以在 (号，0)上单润递减，故A正确，B错误 要使函数(x)恰有两个不同的零点，则f(x)有一个极值为 Q由上述分析知，当之或0时，函数)取得侵值， 所以-治)=0或0)=0当0)=0时c=0,所以c= -4如=0，则a=0,不满足题意令升） 8634b3 27a2t9n24a= 0,化简可得=3，C正确 当6=0时到>h恒成立，即a面成立令A( 则(e-1所以(0)-0，所以在(0，)上， h'(x)>0,h(x)单调递增；在(e,+∞)上，h'(x)<0,h(x)单 调莲流所以A(=A(o)=记故a>0D正瑰放 选ACD 11.AD【解析】对于A,若a.=n2,则a-1=(n-1)2,a+1= (n+1)2,所以an-1+a+1=(n-1)2+(n+1)2-2n2+2>2an= 2n2,故A正确. 对于B,取a.=-lnn,则a1ta1=-ln(n-1)-lh(n+1)= -ln(n2-1),2an=-2lnn=-lnn2.当n>l,neN*时，满足 an-1+aa1>2a(n>1,neN),但数列{an}是递减数列，故B 错误 对于C,若数列a,为递减数列，则设a,=(neN),满 足题意.当p=2,9=4,m=1,n=3时，满足p+q>m+n,但a2+ a4<a1+a3,所以不符合题意，故C错误. 对于D,由a1+a1>2an,得a1-a,>a,-an-1,即a1-a,> a-a-1>…>a2-a1.取d≤a2-a1,则an=a1+(a2-a1）+(a3 10·数学 高考一轮复习检测卷·数学 a2)+…+(an-an-1)≥a1+d+d+…+d=a1+(n-1)d,故D正 确.选AD. 三、12.(22,0)【解析】因为b=(3,0),所以1b1=3.又向量 口在b上的投影为-6学=22，所以向量a在6上的投 影的量为之女-22·台-2a10=a0 13.550【解析】因为对于任意p,9∈N,有a,+a,=apg,令 p=a,g=1,则a.+a=an,即a1-0.=01=号，所以数列 1a}是首项和公差均为号的等差数列，所以S 9a》.9aw=9(日49）-50 2 14.2【解析】显然，这族子集不含有空集，按所含元素的多 少可把这族子集分为10类.不妨设A:(i=1,2,…,10)是含 有i个元素的子集，对应有a,个，则一元子集A,至多只有 一个.若不止一个，则它们的交集都是空集，不符合题意.所 以a1+a2+…+a1o≤C8+Cg+…+Cg=2°，故A:最多有29个. 四、15.【解】(1)由题意可知，2a=4,则a=2. (1分) e=c-3 a2…c=3, (2分) .b=√a2-c2=√4-3=1， (3分) 一椭圆C的方程为 94ty2=1 (4分) (2)如图.由(1)知，F,(-√3,0)，F2(5,0), ·直线1的方程为y= y↑ 3x+1. 联立得方程组 3 =-3x+1 消去y,得7x2-83x=0. (7分) 设P(x1y1),Q(x2y2), -83 则x=7=0, (9分) 1PQ1=V1+21x1-x2|=√1+k2·√(x1+x2)2-4xx2= (-×-4w9 (10分) 3x(-3)+1-0 √ 易得点F,到直线PQ的距离d= 2 =3, (12分) 23 5wm1d55=85 7 (13分) 16.(1)【证明】因为几何体ABCD-A,B,C,D1是长方体， 所以B,C1⊥侧面A1B,BA. 而BEC平面A1B1BA,所以BE⊥B,C· (3分)》 又BE⊥EC1,B1C1∩EC1=C1,B,C1,EC1C平面EB,C1, 所以BE⊥平面EB,C1· (6分) (2)【解】【方法一：利用三垂线定理找二面角】 由(1)知，BE⊥平面BEC. 因为EB,C平面EB,C1,所以BE⊥EB1. 又AE=AE,所以△BEB,为等腰直角三角形， 所以AA1=2AB. D34卷 如图(1)，连接AC,BD交于点O. C 因为AA1⊥平面ABCD,B0C平面 D ABCD,所以AA,⊥BO. (8分) 又B0LAC,AA1∩AC=A,AA1,ACC平 面ACC1A1, 所以B0⊥平面ACC,A1· 过点0作OH⊥CE,垂足为点H,连接 BH,由三垂线定理可知BH⊥CE, H 则∠OHB为二面角B-EC-C,的 C 补角. (11分) 设AB=1,则AM1=2,AE=1,AC=√2， 图(1) CE=√3. 易得△CH0∽△CAE,则g,即-，解得OH=6 OC CE' 23 61 2 (13分) 1工6 在Rt△BOH中，BH=√OH+0B=√6+2=3， √2 所以sin∠OHB 0B2√3 B班V62? 3 即二面角B-8C-C的正弦位为号 (15分) 【方法二：利用平面的法向量找二面角】 设长方体底面的边长为1，高为2x, 则BE2=x2+1,B,E2=x2+1. 因为BE⊥平面EB,C1,B,EC平面EB1C1,所以BE⊥B,E, 所以BE2+B,E2=BB, 则2x2+2=4x2,解得x=1 (8分) B 如图(2)，连接BD,DE 因为BC⊥平面A1ABB1,B,EC平面 D A1ABB1,所以BC⊥B1E. 又B,E⊥BE,BC∩BE=B, 所以B,E⊥平面BCE, 故B,E为平面BCE的一个法向量. (10分) C 易知B,D1⊥平面A1ACC 因为平面C,CE与平面A,ACC,为同 D 一平面， 图(2) 所以B,D,为平面C,CE的一个法 向量 (12分) 在△B,D1E中，易得B1D1=D,E=B,E=√2， 所以B1E与B1D的夹角为60°， 所以二面角B-EC-C,的正弦值为s咖60°=，3 (15分) 【方法三：利用等体积法结合二面角的定义求解】 设长方体底面的边长为1，高为2x, 则BE2=x2+1,B,E2=x2+1. 因为BE⊥平面EB,C1,B1EC平面EB1C1,所以BE⊥B,E, 所以BE2+B,E2=BB, 所以2x2+2=4x2,解得x=1. (8分) 由长方体的性质易得BC⊥BE,所以△BCE是直角三角形， 则BC=1,EB=√互，EC=√3 易知BB,∥平面ECC1, 所以点B,B,到平面ECC,的距离相等，设为h, 同理，点A,E到平面BB,C,的距离相等，都为1. (10分) 易得5==，，即子Sa6,·B 10·数学 1 3x2 解得私号 (11分) 设点B到直线CE的距离为h2, 则在△BCE中，由面积相等，得 ×1xV2=1 /3xha, 静得么- (12分) 设0为二面角B-EC-C,的平面角，则sin0 h,-3 h 2 (14分) 所以二面角B-EC-C,的正弦值为3 (15分) 【方法四：等价转化后利用射影面积计算】 结合(1)知BE⊥EB, 又AE=A,E,所以易证△ABE≌△A,B,E, 所以∠AEB=∠A1EB1=45°，所以AE=AB. 易得二面角B-EC-C1的正弦值与二面角B-EC-A的正弦 值相等 (8分) 设BB1,CC1,DD1的中点分别为F,G, G H,连接EF,FG,GH,EH,GE,显然 ABCD-EFGH为正方体，如图(3). 在正方体ABCD-EFGH中，求二面角 B-EC-A的正弦值. (10分) 连接AC,BD,交于点O,连接E0. 易证B0O⊥平面ACGE, 所以△EOC是△EBC在平面ACGE上 图(3) 的射影 (11分) 令正方体ABCD-EFGH的棱长AB=BC=AE=2. 则BE=22,0C=√2， 1 1 所以Sam=20C·AE=2,Sac=2BC·BE=22., (13分) 设二面角B-EC-A的平面角为0. 由Sam=S6c·c0s0,得cos0=SA@-√2_1 SAEBC 22 2 √3 所以sin0=√J1-cos20= 2 故二面角B-5C-C的正弦值为受 (15分) 【方法五：作高找到二面角的平面角进行计算】 如图(4)，分别取BB1,CC1,DD1的中 C 点F,G,H,连接EF,FG,GH,HE,GE. 过点G作GP⊥EC,垂足为P,连接 BP.BG. （7分) 易得E,F,G,H共面，且平面EFGH G--- 平行于平面ABCD. 由(1)可知BE⊥平面EB,C1 因为B,EC平面EB,C, 所以BE⊥B,E. 又因为AE=AE, 所以△ABE≌△A1B,E,且均为等腰 图(4) 直角三角形 (9分) 设AB=1,则AE=1,四棱柱ABCD-EFGH为正方体 在△GEC及△BEC中，CG=CB=1,EG=EB=√2，EC=√3」 所以△EGC与△BEC均为直角三角形，且△EGC≌△EBC. 又因为GP⊥EC,所以BP⊥EC, D35卷 参考答案及深度解析 所以∠BPG为二面角B-EC-G(即B-EC-C,)的平面角. (12分) 在△CGE中，由等面积法，得·GE·GC=7·BC·6印， 即2x2x1=2×3xP,所以cP=BP= 2 3 又BG=2, 所以8子子 1 2BP·GP 2x2x22, 55 所以sinL BPG=-VI-eos'ZBPG-3 2, 故二面角B-BC-C,的正弦值为 (15分) 【方法六：空间向量法】 以点B为坐标原点，以BC,BA,BB, C B 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建 D A 立如图(5)的空间直角坐标系 设AB=a,AA1=b,则 B(0,0,0),C(a,0,0),C1(a,0,b), E0,a,2) (8分) 所以成=(o,a2）,C=(a, C y 由(1)得BE⊥EC1, 图(5) 所以·C=0,即-a 4=0, 所以b=2a, (10分) 所以E(0,a,a),C1(a,0,2a). 所以E元=(a,-a,-a),CC=(0,0,2a),B2=(0,a,a). 设m=(x1,1,a)是平面BEC的法向量， 则m·=0即ay+a=0, m·EC=0,(a1-ay1-az1=0. 令y1=1,则x1=0,21=-1,所以m=(0,1,-1). (12分) 设n=(x2y2,应2)是平面ECC1的法向量， n·CC1=0,n2az2=0, 则 即 n.CE=0,axz-ay2-azz=0. 令x2=1,则y2=1,22=0,所以n=(1,1,0). (14分) 所以二面角B-EC-C,的余弦值为m:n 1 1 1mlln√2x22' 所以二面角8-6Cc-C的正孩值为，一（仔- (15分) 17.(1)【证明】因为D为BC的中点，所以BC=2CD. 在△ABC中，由正弦定理可得 BC AB sinLBAC sin C' B∠ 则sinC=AB·sin∠BAC (2分) BC DC AD 在△ACD中，由正弦定理可得 sin∠DAC sin C 则sinC=AD·sinDAC DC 所以AB·sin_BAC_AD·sinLDAC BC DC 又AB=2AD,BC=2CD,所以sin∠BAC=sin∠DAC.(4分） 10·数学 高考一轮复习检测卷·数学 又因为∠BAC≠∠DAC,且∠BAC,∠DAC∈(O,T), 所以∠DAC+∠BAC=T. (6分) (2)【解】因为A店=A+D,A元=A+D元=A心-D, 所以AB+AC=(A⑦+D品)2+(A⑦-DB)2=2(A+D), AB2+AC2=2(AD2+BD2), (8分) 则4D+AC=2(A02+BD),整理可得AD=BD2-4C. 在△ACD中，由余弦定理可得AD2=AC2+CD2-2AC· CDeoC,GAC+DAG BDeC. 整理可得D3 AC 4cos C' (12分) 又因为0<c石，所以 <c0sC1, 所以D 3 33) AC4 cos C（42 C的取值范围为 33 42 (15分) 18.(1)【解】由g(x)=lnx-x+1得g'(x)= 1 1-x x>0), x x 所以ge (1分) 又g(e)=lne-et1=2-e, 所以直线1y-(2-e)=1-(x-e), e 即直线l:(1-e)x-eyte=0. (3分) (2)【解】由(1)得g(x)=1-*(20). 当x∈(0,1)时，g'(x)>0,g(x)单调递增； 当xe(1,+∞)时，g'(x)<0,g(x)单调递减 (4分) 所以g(x)极大值=g(x）=g(1)=0 要求方程g(x)=a的根的个数，即求函数y=g(x)的图象与 直线y=a的交点个数. (5分) 作出函数y=g(x)与y=a的图象，如图(1). -=a y=g(x) 图(1) 由图(1)可知，当a>0时，函数y=g(x)的图象与直线y=a 无交点，所以g(x)=a无实数根； (7分) 当a=0时，函数y=g(x)的图象与直线y=a有1个交点，所 以g(x)=a有1个实数根； (8分) 当a<0时，函数y=g(x)的图象与直线y=a有2个交点，所 以g(x)=a有2个实数根. (9分) 综上所述，当a>0时，g(x)=a无实数根；当a=0时，g(x)= a有1个实数根；当a<0时，g(x)=a有2个实数根. (10分) (3)【证明】因为x1,x2(x,<x2)是g(x)=a的两根， 所以a<0. 因为日）h。1:(日） e -=e-1 所以函数g(x)的图象在x= 处的切线r的方程为 D36卷 ()=(e-D(k),即(e-10xy-1=0 (13分) 设直线y=a与直线'，l的交点的横坐标分别为x,x2,画出 大致图象，如图(2). 在(e-1)x-y1=0中，令y=a,则-a+1 e-1i 在1-ege=0中，令y=a,则对-得 由图象可知，x≤x1,x≥x2 又因为函数()的图象在x=1和x=心处切点的纵坐标 e 不同， 所以等号不能同时取到， 所以x2+x<x1+x对，所以2x,<x-x1, a*1, ae-e_a+l_ae-e a+l_a(e+1)+1-e_l+e 所以x1-ee-11-e1-e 1-e 1+e 所以-a+1成立 (17分) 2x2 v=g(x) y=a 图(2) 19.【解】(1)由N(A)的定义以及A:2,0,2,4,可得A的长度 为3的子列及N(A)的值 因为数列A:2,0,2,4, 所以A的长度为3的子列为2,0,2；2,0,4；2,2,4；0,2,4，有 4个，且A的长度为2的子列有5个，长度为4的子列有 1个， (3分) 所以N(A)=10. (5分) (2)N(A)=N(B)=N(C).理由如下： (6分) 若m1,m2,…,mk-1,m4是A:a1,a2,…,an的-个子列， 则mk,mk1,…,m2,m1为B:a,an-1,…,a1的一个子列. 若m1,m2,…,mk1,m4与n1,n2,…,nk-1,n4是A:a1,a2,…, an的两个不同子列， 则mk,mk-1,…,m2,m1与ns,n-1,…,几2，n1也是B:an,an1,…, a1的两个不同子列. 所以N(A)≤N(B) (9分) 同理可得N(B)≤N(A),所以N(A)=N(B). (10分) 由C:0,a1-a2,a1-a3,…,a1-an可得C:a1-a1,a1-a2,a1-a,, a1-ae· 同理可得N(A)=N(C). 所以N(A)=N(B)=N(C). (11分) (3)由题意可得，数列A:a1,a2,…,an中恰有k个1，(n-k) 个0. 令A°：0,0，…0,1,1，，1， (14分) (-k)个 个 下证：N(A)≥N(A). 由于A°：0,0，…，0,1,1，…，1， 1-1个 个 所以A*的子列中含有i个0，j个1(i=0,1,…,n-kj=0,1,…, k,计≥2)的子列有且仅有1个，为0,0，…0,1,1，… 因为数列A:a1,a2,…,a,含有i个0，j个1的子列至少有 一个 所以N(A)≥N(A·),因此N(A)的最小值为N(A) 数列A中，含有i个0，i个1(0≤i≤n-k,0≤j≤k,i+j≥2)的 子列恰有1个. 当i=0,=2,3,…,k时，共有(k-1)个子列： 10·数学 当i=1=1,2,…,k时，共有k个子列； 当2≤i≤n-k,j=0,1,…,k时，共有(k+1)个子列. 11广东省三校高 一、1.C【解析】由x2-5x≤0，解得0≤x≤5.又x∈N·,所以 A={1,2,3,4,5}.由1x-11<2,解得-1<x<3.又x∈Z,所以 B={0,1,2}.所以AnB={1,2}.故选C. 2.A【解析】设z=x+yi,x,y∈R由Iz+z=8+4i,得√x2+y2+ i=8+4,所以V7+=8,解得=3，y=4所以=3+ (y=4, 4i.故选A. 3.C多法解题)【方法一：基向量法】由题意，得CM=C+ BM=-Ad+(入-1)AB,C成=C品+D成=(u-1)Ad-AB,则Ci· C成=[-A+(A-1)AB]·[(μ-1)Ai-AB]=(1-)A-(- 1)AB2=(1-u)-(A-1)=1,故A+u=1.·.A2+2μ2=(1-u)2+ 202=32-2+1,当u=了时，32-2+1取得最小值，为 子放选C 【方法二：坐标法】如图，以A为坐标原点， 建立平面直角坐标系.由正方形ABCD的 边长为1，可得A(0,0),B(1,0),C(1,1), D(0,1),AB=(1,0),A⑦=(0,1). ..AM=AAB,AN=MAD,..M(A,0),N(0, AM B u),则C=(入-1，-1)，C=(-1,- 1),.CM.C=1-A+1-4=1,.入+4=1，.2+22= (1)2+22=32-24+1当4=号时，32-24+1取得最小 值，为子故选C 【解析】由sina+cos(m-a)=sina-cosa 7 (sin a-cos a)2=1-2sin acos a= 16,则2 in=16>0. 因为ae(0,T),所以sina>0,所以cosa>0,所以sin+ 6osa>0,又(sinc+cosa）2=1+2 sinc=6,所以sin& sa=军所以sn(a）经（血a*os)=瓜放 选D. 5.C【解析】设球的半径为R,则球的表面积为S表=4πR2, 球的体积为=子R,圆柱的底面积为S=心，商为2R。 所以圆柱的表面积为S=2πR2+2πR·2R=6πR2,圆柱的体积 “4标e2,m=2aR 为Vs鞋=mR2·2R=2mR,所以n=6mR=3 4 子所以只=1.（日宁）广=(）八=项式) 1 的展开式的通项为T+1=C6xr·(-x2)'=(-1)C6x6-”.令 6-3r=0,解得r=2,故常数项为T3=(-1)2C6=15.选C. 6.D【解折】将函数y=sm2+)的图象向右平移m(m> 0)个单位长度，得到的图象对应的函数为f(x)=sin2x 2+君)因为)在区同臣，得引]上单调遥说，所以2x (）-2+g2m+且2x智2m+g≤2m+空ke 6 D37卷 参考答案及深度解析 所以N(A*)=k-1+k+(n-k-1)(k+1)=nk+n-k2-2, 所以N(A)的最小值为nk+n-k2-2. (17分)》 三上学期期中联考 解得-m子≤m≤年keZ,则m=-m牙kez因 为m>0,所以令k=-1,得m的最小值为3π故选D. 4 7.B【解析】由题意，得Sg 18(a,+as=9(a,+ao)<0,则 2 ag+a1o<0.又S1g 19(atao）-19ao>0,所以ao>0,所以a,< 0,所以等差数列{an}的公差d>0. ①当1≤n≤9，neN时，a,<0,3.<0,故8>0.又1S.1lm= a 1s1,la.1n=1a1,所以(S）=8 ②当10≤n≤18，eN°时，a,>0,S.<0,故<0.又1S.1m= a 1Sl,lal=1al,所以） aa min 41o ③当n=19时， >0且80-S6+ap-S+1<1, So Sstao= 19 a19a19a19 ag as +11,故 ag a19 ag ,9,S…,S,中，最大项和最小项分别为 综上所述a4…aag S0.故选B a10 8.c【解析】令x=1,y=-1,得f(-1)=f(1)+f(-1)-1,所以 f1)=1;令x=-1,y=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1)-1,所以 f(-1)=1.令y=-1,得f(-x)=f(x),则y=f(x)(x≠0)为偶 函数，故A错误 任取1，k2E(0,+0),西1<2，则>1，所以()=f(x)+ x1 -1✉)，故7=✉(x≠0)在(0，+a)上单调递减 又y=f(x)(x≠0)为偶函数，所以由f2x+1)>1,可得fI2x+ ),故12x+111,解得-1x<0,且x≠-，放B错误 若2)=7，则1024)=2)=2)2)-1=f2)+ 2f2)-2=f2)+3f2)-3=…=10f2)-9=-4,故C正确。 若分)=2则)2分)-1-3)=0)-1 5分)f分)分)-16，所以1024)=2分)1 11,故D错误选C. 二、9.CD【解析】由题意知，=100，o2=100. 对于A,标准差为√G2=10,故A错误； 对于B,由P(100-10<X≤100+10)=P(90<X≤110)≈0.6827，得 P(x<90）)=7[1-P(90<X≤10)1]=0.15865，则P(X≥ 90)=1-P(X<90)=0.84135<0.86=86%,故B错误； 对于C,由P(100-30<X≤100+30)=P(70<X≤130)≈0.9973，知 得分在(70,130]内的学生人数约为1000×0.9973≈997，故 C正确； 对于D,由学生的成绩服从正态分布N(100,100),得P(X< 80)=P(X≥120)，所以得分低于80分的学生人数和优秀的 11·数学