精品解析：浙江省强基联盟2026-2027学年高二上学期10月题库数学试题

浙江省强基联盟2026-2027学年高二上学期10月题库数学试题 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若圆，则圆心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据圆的标准方程定义，圆心坐标为（2，1）．故选C． 2. 点和点的中点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】空间两点中点坐标公式：若两点， 则中点坐标为． 将和代入： ，，， 所以中点坐标为． 3. 经过两点的直线的方向向量为，则的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】由点，得，由直线的方向向量为得，因此. 4. 若函数是偶函数，则下列直线一定为函数的对称轴的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为是偶函数，得到，所以函数关于直线对称． 5. 从1，2，3这3个数中随机抽取2个不同的数相加，得到的和记为，剩余的数记为，则（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】先列举出全部基本事件，再判断满足的事件个数，利用古典概型概率公式求出概率即可. 【详解】从1，2，3中随机抽取2个不同的数，共有3种等可能的情况： ①抽取1，2，则，剩余数为3，此时； ②抽取1，3，则，剩余数为2，此时； ③抽取2，3，则，剩余数为1，此时； 在总共3种等可能的情况中，满足的情况有2种，因此． 6. 直线经过的定点为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于含参数的直线恒过定点问题，我们可以将原式按参数合并整理：把直线方程展开， 将含的项和常数项分离得：  ，该等式对任意都成立， 等价于两个括号内的项同时为，得到方程组： 解得即定点为. 7. 在棱长为2的正方体中，为棱上的一点（与不重合），若平面与平面的交线为，则直线与平面所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用面面平行的性质得到交线.以D为原点，建立空间直角坐标系，确定相关点的坐标，求出直线的方向向量与平面的一个法向量，利用空间向量的线面角公式求解. 【详解】在正方体中，上底面下底面. 平面，平面同时与平面、平面相交： 平面平面，平面平面. 由面面平行的性质定理，可得. 以为原点，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系. 因为正方体的棱长为2，则，，，， 所以，即为直线的方向向量. 取平面内两个相交向量：，. 设平面的一个法向量为，则， 解得，令，得平面的一个法向量为. 设直线与平面所成角为，则， 因为，所以直线与平面所成角为． 8. 在三角形中，点，满足，且，若，则三角形面积最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先以为原点，为轴正方向，建立平面直角坐标系，进而发现点轨迹为一个圆，而为中点，则可求出点到直线距离的最大值. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系，以为原点，为轴正方向，则， 设，则，化简得， 的轨迹是圆心为，半径为的圆， 则点到直线距离最大值为，而为中点， 故点到直线距离最大值为， 所以面积最大值为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列不等式正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数单调性比较大小 【详解】A选项，因为幂函数在R上单调递增，，所以，故A正确； B选项，因为指数函数在上单调递增，，所以，故B不正确； C选项，由对数函数在上单调递增，0.8，所以，故C正确； D选项，因为，函数在上单调递增， 所以，所以D正确． 10. 已知圆与圆相交于两点，则下列选项正确的是（ ） A. 圆与圆有四条公切线 B. 垂直平分 C. 直线的方程为 D. 线段的长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由两圆的位置关系判断A；由圆的对称性判断B；联立两圆方程，消去二次项，即可得直线AB的方程，即可判断C；求出两圆的交点坐标，由两点间的距离公式求出的长，即可判断D. 【详解】对于A，因为两圆相交， 所以两圆只有两条公切线，故A错误； 对于B，由图形对称性可知，垂直平分，故B正确； 对于C，联立， 两式相减，得到， 即为直线AB的方程，故C正确； 对于D选项，联立， 可得或， 则，故D正确． 11. 正方体的棱长为2，H为的中点，为棱（不包括端点）上的动点，下列选项正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 过三点的平面截正方体所得截面图形不可能是五边形 C. 当点为中点时，与HQ所成角为60° D. 当点为中点时，平面，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用等体积法，求出三棱锥的体积，即可判断A；作出过三点的五边形截面，即可判断B；利用空间向量判断CD. 【详解】对于A，，为定值，故A正确； 对于B，过点作，交BC于点，连接AM； 再过点作，交于点，连接GQ， 则构成平面五边形，故B错误； 对于C，以为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系： 则,,,,,,,,,, 则， 则， 所以，故C错误； 对于D，因为,, 设平面的法向量， 则有， 所以， 所以平面的一个法向量， 又，， 所以 所以，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 2026年度浙BA篮球联赛前8轮比赛中，某篮球运动员得分从低到高依次为3，5，8，9，12，16，16，18，则这8个数据的第75百分位数是__________． 【答案】16 【解析】 【详解】已知数据总量为8，数据已从低到高排列，第分位数，位置为． 因为为整数，所以取第6项和第7项数据的算术平均数，故这8个数据第75％分位数为． 13. 若复数z满足，则的最小值是_______. 【答案】1 【解析】 【分析】由可得，则，根据可得的最小值. 【详解】设，， ，，则， ， 当时，. 故答案为：1. 14. 在四棱锥中，平面，为的中点，是直线上一点．若平面，则到平面的距离最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】到平面的距离等于点到平面的距离，等于点到平面距离的一半，即到直线的距离的一半．易知到直线的距离的最大值为，所以到平面的距离最大值为． 【详解】若平面PAB，则到平面的距离等于点到平面的距离， 因为为的中点， 所以到平面的距离等于点到平面距离的一半． 又平面，平面， 所以平面平面. 因为平面平面， 所以过点垂直于的直线，垂直于平面. 所以点到平面距离等于点到直线距离． 易知，所以到直线的距离的最大值为， 当且仅当，即时等号成立. 综上所述，到平面的距离最大值等于到直线的距离的最大值的一半，为． 四、解答题：本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 已知圆C经过坐标原点，且圆心为． （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程． 【答案】（1） （2）和 【解析】 【分析】（1）根据圆心及过原点可得半径，据此得出圆的方程； （2）利用圆心到切线的距离等于半径，分切线斜率不存在、存在两类情况求解. 【小问1详解】 因为圆心为，且过原点，所以半径， 则圆的方程为． 【小问2详解】 当斜率不存在时，过点的直线方程为，圆心到的距离为1等于半径，符合题意； 当斜率存在时，设切线方程为，即， 则圆心到直线的距离， 解得，所以切线方程为， 综上所述：切线的方程为和． 16. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）将函数的图象向左平行移动个单位长度后得到函数的图象，若锐角满足，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）整体代换，利用正弦函数单调递增区间，解出的范围，即为所求； （2）先通过图像平移求出，代入已知等式，利用余弦和差公式化简得到，再结合为锐角得到两个正切值均大于0，最后使用基本不等式，求出的最小值． 【小问1详解】 由题可得，， 解得，， 故函数的单调递增区间是． 【小问2详解】 函数的图象向左平移个单位长度可得， 故， 化简得， 所以， 又为锐角，则， 因此， 当且仅当时取等号， 所以最小值为． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，点为的中点． （1）求证：平面； （2）若线段上存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】（1）取的中点，连接， 因为F，M均为中点， 故为中位线，即， 又， 故， 所以四边形为平行四边形， 故， 又平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，根据中位线的性质证明四边形为平行四边形，得到线线平行，进而证得线面平行； （2）先建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用向量法即可确定的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面中，过作，以所在直线为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知，． ， 设平面法向量为，则， 解得，令，则，故． 设，则， 所以， 解得（舍去）， 故． 18. 在平面直角坐标系中，点，直线AB的倾斜角为，直线与轴相交于点． （1）求点的坐标； （2）若点在第四象限，满足， （i）证明：； （ii）过原点的直线分别与线段交于两点，且，求三角形的面积． 【答案】（1） （2）（i）证明：因为且在第四象限， 所以，在中由正弦定理得， 因为直线斜率为，倾斜角，所以，， 所以， 又因为为锐角，所以． （ii） 【解析】 【分析】（1）由直线的倾斜角和点坐标求得的方程，与方程联立即可求得点坐标； （2）（i）先求与轴交点，由直线的斜率得，故，在中利用正弦定理结合边的比例关系推导的大小； （ii）由已知线段乘积等式证明与相似，得到，求得直线的方程后联立方程得坐标，再结合相似三角形性质、弦长公式计算的面积. 【小问1详解】 因为点，直线AB的倾斜角为， 所以，直线AB的方程为， 因为直线BC的方程为， 所以，联立，解得，即的坐标为． 【小问2详解】 （i）略 （ii）因为，所以， 又因为是公共角，所以和为相似三角形， 因为直线AB的斜率为，直线BC的斜率为，， 所以，，即是直角三角形， 所以，所以是直角三角形， 所以，即直线， 因为，所以直线的倾斜角为， 所以，直线的斜率为，所以，直线的斜率为， 又直线过原点，所以直线方程为，即的方程为， 由直线和直线BC联立方程组得到， 因为，斜率为，所以直线的方程为：， 由直线和直线AC联立方程组得到， 所以， 因为直线方程为，直线方程为：， 联立方程，解得 又因为，所以， 所以 19. 菱形ABCD边长为，，延长CD至，使得．将三角形ACE沿AC翻折至三角形，记AC中点为，的中点为． （1）证明：平面； （2）若二面角的平面角的余弦值为，求平面与平面夹角的余弦值； （3）若二面角的平面角是不等于的锐角，若存在实数，，使得，，且平面平面，平面平面，求的最小值． 【答案】（1）因为四边形ABCD是菱形， 所以，， 所以由折叠可知， 因为，平面，平面 所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质，可得，，根据线面垂直的判定定理即可证明结论. （2）建系，分别求出平面和平面的一个法向量，利用法向量夹角的余弦值可求平面与平面夹角的余弦值. （3）设二面角平面角为，利用面面垂直的性质得和，转化为向量的数量积的关系，即，，从而用可表示出，，从而将转化为关于的函数，进而可求其最小值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 如图，建立空间直角坐标系， 由（1）可知，则即为二面角的平面角． 若二面角的平面角的余弦值为， 则，，，，， 在平面中，，， 设平面一个法向量为， 则，即， 令，得，， 所以平面一个法向量为； 平面中，，， 设平面一个法向量为， 则，即， 令，得，， 则平面一个法向量为， 所以 ， 所以平面与平面夹角余弦值为． 【小问3详解】 设二面角平面角为， 则，． ∵平面平面，平面平面， 平面， 所以平面， 因为平面， 则． ∵平面平面，平面平面， 平面， 所以平面, 因为平面， 所以． ， ， 由， 同理可得． 所以， 令， 原式， 当且仅当，即时取等号， 所以最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省强基联盟2026-2027学年高二上学期10月题库数学试题 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若圆，则圆心的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 点和点的中点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 经过两点的直线的方向向量为，则的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 4. 若函数是偶函数，则下列直线一定为函数的对称轴的是（ ） A. B. C. D. 5. 从1，2，3这3个数中随机抽取2个不同的数相加，得到的和记为，剩余的数记为，则（ ） A. 1 B. C. D. 0 6. 直线经过的定点为（ ） A. B. C. D. 7. 在棱长为2的正方体中，为棱上的一点（与不重合），若平面与平面的交线为，则直线与平面所成角为（ ） A. B. C. D. 8. 在三角形中，点，满足，且，若，则三角形面积最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列不等式正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆与圆相交于两点，则下列选项正确的是（ ） A. 圆与圆有四条公切线 B. 垂直平分 C. 直线的方程为 D. 线段的长为 11. 正方体的棱长为2，H为的中点，为棱（不包括端点）上的动点，下列选项正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 过三点的平面截正方体所得截面图形不可能是五边形 C. 当点为中点时，与HQ所成角为60° D. 当点为中点时，平面，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 2026年度浙BA篮球联赛前8轮比赛中，某篮球运动员得分从低到高依次为3，5，8，9，12，16，16，18，则这8个数据的第75百分位数是__________． 13. 若复数z满足，则的最小值是_______. 14. 在四棱锥中，平面，为的中点，是直线上一点．若平面，则到平面的距离最大值为__________． 四、解答题：本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 已知圆C经过坐标原点，且圆心为． （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程． 16. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）将函数的图象向左平行移动个单位长度后得到函数的图象，若锐角满足，求的最小值． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，点为的中点． （1）求证：平面； （2）若线段上存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 18. 在平面直角坐标系中，点，直线AB的倾斜角为，直线与轴相交于点． （1）求点的坐标； （2）若点在第四象限，满足， （i）证明：； （ii）过原点的直线分别与线段交于两点，且，求三角形的面积． 19. 菱形ABCD边长为，，延长CD至，使得．将三角形ACE沿AC翻折至三角形，记AC中点为，的中点为． （1）证明：平面； （2）若二面角的平面角的余弦值为，求平面与平面夹角的余弦值； （3）若二面角的平面角是不等于的锐角，若存在实数，，使得，，且平面平面，平面平面，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $