湖南邵阳市邵东市第一中学2026-2027学年高二上学期第一次监测数学试题

2026年下学期高二第一次监测数学试卷（参考答案） 时间：120分钟；总分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合要求的。 1.直线3x+4y-5=0的倾斜角为0，则sin0=() A号 B-号 c D.4 答案：A 解析：由题意tan0=-是又tan0-。所以cos0=密8=言in0, tan 从而sim20+cos20=sim20+9sin20=1,sim20=是而sin0>0, 所以sin0=号 2.若直线l1:3x-4y-1=0与12：6x-ay+4=0(aER) 平行，则11与12间的距离是() A时 B c D 答案：C 解析：因为11与I2平行，所以-3a+24=0,得a=8, 所以12：6x-8y+4=0, 所以1，与1间的距离为d-音 3.已知向量a,满足风=1，=V2,a1(a-可，则向量a与的夹角为() A号 B c D号 答案：B 解析：向量a,b满足d=1,b1=V2,a1(a-,则a·(d-b=0, 即a2-d.b=0,可得a.b=1, 故c0s(位，瓦)-调品-号则向量ā与万的夹角为号 4.已知2sina-sinB=V3,2cosa-cosB=1,则cos(a-β)=() A.g B-8 c D.5 4 答案：C 解析：由2sina-sinB=V3,2cosa-cosβ=1， 两边平方后相加得4sin2a+4cos2a+cos2B+sin2B-4 sina sin B 4 cosacos B=4,即5-4 sin a sin B-4 cos acosβ=4，得sin asin B+ cosa cosB- 所以cos(a-B)= 5.函数y=Qog0.5x)2-41og0.5x+5的单调递增区间为() A(-∞， B(G周 c.o D.+o 答案：D 解析：令t=l0go.5x,(x>0),所以t∈R,且函数t=logo.5x(x>0)是减函数， 所以y=t2-4t+5=(t-2)2+1, 在tE(-o,2)上单调递减，在tE(2,+o)上单调递增，令t=logo.sx=2,解得x= 由复合函数单调性可得函数y=I0g0s)2-4logo.5x+5的单调递增区间为[，+∞) 6.己知点A(1,4),B(3,-1).若直线1：mx+y+2m-1=0与线段AB相交，则m的范 围是() A[1,引 B.(1] C.(-m,-1uG+∞） D(-∞，-引U[1,+m) 答案：A 解析：直线1恒过定点P(-21,又kp品=1，k。=台台 直线1的斜率为-m,要使直线1与线段AB有公共点，-≤-m≤1解得-1≤m≤径 7.已知圆x2+y2+4x-4y-1=0上至少有3个点到直线x+y+m=0的距离为 1,则m的取值范围是() A.[-2W2,2V2 B.[-V2,V2] C.[-2W2,VZ D.[-√2,22] 答案：A 解析：将圆x2+y2+4x-4y-1=0配方得(x+2)2+(y-2)2=9, 因此圆心为C(-2,2),半径r=3: 若圆上至少有3个点到直线x+y+m=0的距离为1，则圆心到直线的距离d需满足 d≤r-1=2; 当d=2时，圆上恰好有3个点到直线距离为1： 当d<2时，圆上有4个点到直线距离为1，均满足要求； 由此可得圆心C到直线的距腐d--罗≤乙， 解得m≤2V2,即me[-2V2,2V2 8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，F为AA1的中点，M在线段 B1C上，则直线DD1与平面MEF所成角的最大值为() A月 B号 B c D哈 D 答案：C 解析：以D为原点，分别以DA,DC,DD所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐 标系D-xyz,设正方体的棱长为2，则D(0,0,0),D1(0,0,2),A(2,0,0), A1(2,0,2),E(1,0,2),F(2,0,1),由M在线段B1C上，可设M(x,2,x),0≤x≤2， 则EM=(x-1,2,x-2),EF=(1,0,-1),DD1=(0,0,2)设平面MEF的法向量为 a-c=0, n=ab.o则：_0即a1+2b+ce-20令a=1,得c=1, b=2, 则平面MEF的一个法向量为元=(1,2,1)设直线DD1与平面MEF所成 的角为0，则sin6=|cos(DD,= DDinl 2 IDDilllnl 24-9+2 +2 因为0≤ x≤2，所以当x=时，、（任-》+2取得最小值V2,此时sn0取得最大值受由 0E[0,],知0的最大值为所以直线DD,与平面MEF所成角的最大值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是() A.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，至少一名男 生”和全是女生”是对立事件 B.1,2,4,5,6,12,18,20的上四分位数是12 C.已知事件A,B相互独立，P(A=P(B)=专则P(AB)=立 D.数据x1,x2,.,x100的方差为32，则数据2x1-1,2x2-1,.,2x100-1的方 差为64 答案：AC 解析：对于A,从中任选2名同学参加演讲比赛， 有“两名男生”“一名男生一名女生”“全是女生”三种情况， 而“至少一名男生”包含“两名男生”“一名男生一名女生”， 所以“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件，故A正确： 对于B,由8×75%=6，则上四分位数是2=15，故B错误： 对于C,已知事件A,B相互独立，则PAB)=P(APB)=×专立故C正确： 对于D,根据方差的性质可知，数据2x1-1,2x2-1,,2x100-1的方差为22× 32=128,故D错误 10.已知函数f(x)=sin(ωx+p)-V3cos(ωx+p)(w>0,0<p<π)且f(x)图象的 相邻两条对称轴间的距离为5，则以下说法正确的是() A若fx)的一个对称中心为(-五0)，则p=君 B.若f()为偶函数，则p=g C若f)在区间0，m]内有三个零点，则p=号 D.若f(x)在区间(0，上单调递增，则p的最大值为 答案：BCD 解析：f(x)=sin(ωr+p)-V3cos(ωx+p)=2sin(ωx+p-) 由题意知吃7=则T=元，又@>0，则T=恶所以a=要=行=2 故f()=2sin(2x+p-） 对于A若fx)的一个对称中心为（亚0） 则f()=2sin(2×()+p-)=2sin(p-)=0,可得p--kik eZ,所 以p-+kr,k∈Z.又0<p<π所以p=2A错误 对于B,若fx)=2sin(2x+p-）为偶函数，则p-号=kπ+2kEZ, 所以=名+kkEZ,.又0<9<元，所以p-答B正确， 对于C,当xe[0,m时，2x+p-写e[p-52π+p-且区间p-2r+p-的 长度为2π，若fx)在区间[0，π]内有三个零点，则p-=kπ，kEZ,则p=kπ+k∈Z, 又因为0<p<元，故p=写C正确 对于D,当xe(0,)时，2x+0-(p晋p)因为0<0<元，所以-晋<p-晋< 若fx在(0，)上单调递增，则(p-5,p）[引 (0<p<π 即-晋≥-解得0<≤故的最大值为D正确 p≤号 11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P满足BP=BC+BB1,)∈ [0,1],∈[0,1]，则下列说法正确的是() D A.当入=u≠0时，BP/平面AB1D1 A B B当入+：=1时，AP长度的最小值为 D C.当1+u=1时，存在点P,使得AP与平面BCC1B1所成的角为 D.当A=,H=时，平面APB与平面ABD1夹角的余弦值为四 答案：AD D D 解析： 对于A,当1=u≠0时，BP=1BC+BB1=BC,即点P在线段BC1上，则BP/AD1, 又BP平面AB1D1,AD1C平面AB,D1,BP/平面AB1D1,A正确 对于B,当1+M=1时，BP=BC+(1-)BB,即B1P-B1C,即P,C,B1三点共线，线 段AP在△ACB1中，因为AB1=IAC=√2，所以当点P为B1C中点时，API最小，此时 AP1B,C.IAPn=VcAP-ICP平-√②-( 6B错误 对于C,点A在平面BCC1B1上的射影为点B,所以AP与平面BCC1B1所成的角为 ∠APB,sin∠APB=g=又API≤aB,所以MPI∈[停V2所以sin∠APBe [停9又sin受≥APB∈0，引所以uAPB<C错误 对于D,以D为原点，分别以DA,DC,DD所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐 标系D-xyz,正方体的棱长为1则D(0,0,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),B1(1,1,1), B(1,1,0),C(01,0),当1=，=时，由BP=BC+BB,可得P(子，1，，则AB= (0,10,AP=(-1,设平面APg的法向量为元=(a,,G,则·5=0即 (n.AP=0, -a+b+c=0,令a=2,得c=1,b=0,则平面4PB的-个法向量为m b=0, (2,0,1).平面AB1D1的一个法向量为A1C=(-1,1,-1),设平面APB与平面AB1D1夹 角为6，则os(A,C1一别-品=D正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若经过点P(1-a,1)和Q(2a,3)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是 答案：(-四， 解析：因为直线的倾斜角是钝角，所以斜率。<0，解得a<号 2a-1+a 所以a的取值范围是(-∞，. 13.写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+y-4)2=16都相切的一条直线的方程： 答案：x+1=0(或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0) 解析：显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为x+by+c=0, 则品1，- 故c2=1+b2①，13+4b+c=|4c4.所以3+4b+c=4c或3+4b+c=-4c,再 =0或 结合①解得{1或 (b 25或 所以直线方程有三条，分别为x+1=0,7x-24y-25=0,3x+4y-5=0.(填 一条即可) 14.已知函数fa)=异若不等式f(sina)+f(osa)≤在区间(5m,9m)上恒成 立，则实数a的取值范围是 答案：{[忘司 解桥：设g倒)=f心)-兰-品 则VxR,都有g-x刘=2-到=-gx,故g(x)为奇函数， 2(2x+1) 2(2*+1) 又x>20,>好20，器器=a02<0, 即器<器≤0，所以g<譬器≤4器即g)<9 g(x)在区间[0，+oo)上单调递减，故奇函数g(x)在R上单调递减 不等式f(sina)+f(cosax)≤}r0+a即g(sina8+g(cosa)≤0， 由奇函数的性质得g(sinax)≤g(-cos ax),即sinax≥-cosax, 化简得sin(ax+羽≥0在区间(5π，9m)上恒成立. 当a<0时，ax+e(9ra+5ra+)由 9ma+号≥2k元，kEZ,得 5ma+≤(2k+1)元， 2k1 9 361 2k,3 a≤ 5+20 当k=0时，解得6≤a<0,当k=-1时，解得a=-当k≤-2，keZ时，无解。 36 当a=0时，sin(ax+到=2≥0恒成立： 当a>0时，ar+e(5ma+F,9ma+) 由 5ma+≥2k元， 9πa+≤(2k+1)m, kEZ,解得 k=0, 0a袋上所述：的取值范围是（元司 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是，b,c,△ABC的面积为S,且2S= V3AC.AB (1)求角A: (2)若D为BC的中点，AD=3,△ABC的面积为3V3,求a. 答案：(13(2)2V3 解析：I)由2S=V3AC.AB,得2·2 bc sin A=V3bc·cosA,则tanA=V3, 又AE(0,),则A= ②油s=besinA=是bc=3V3,即bc=12,因为D为BC的中点，所以aD= (AB+AC),D2=(AB2+2AB.AC+AC2)=(c2+2bccosA+b2)=(c2+ 12+b2)=9,即b2+c2=24,由余弦定理得a2=b2+c2-2bcc0sA=24-2× 12×2=12,即a=2W3 16.已知圆M:x2-4x+y2-4y+m=0. (1)求m的取值范围 (2)已知直线：x+y-2=0与圆M交于A,B两点，且AB|=2V2 ①求： ②求过点(4，-2)的圆M的切线方程 答案：(1)(-∞，8)(2)①m=4:②x=4或3x+4y-4=0 解析：①)（方法一）由题意得M:(x-2)2+(y-2)2=8-m,则8-m>0, 得m<8,所以m的取值范围为(-oo,8): (方法二)由D2+E2-4F=(-4)2+(-4)2-4m>0, 得m<8,所以m的取值范围为(-oo,8), 2)①由题意得M(2,2)到1的距离d=2+2=到 =V2, √12+12 则圆M的半径为 d+(AB=2=8-m,得m=4 ②当所求切线的斜率不存在时，该切线的方程为x=4. 当所求切线的斜率存在时，设该切线的方程为y=k(x-4)-2,即kx-y-4k-2=0 由禁=2，得k=一是 所以所求的切线方程为y=-x+1,即3x+4y-4=0. 综上，过点(4，-2)的圆M的切线方程为x=4或3x+4y-4=0 17.已知函数f(x)=1og2(-3x2+mx+13) (1)若f(x)在[1,3]上单调递减，求实数m的取值范围： (2)设g(x)=-4x+2x+3-12,若对于x1,x2E[1,3],f(x1)≥g(x2)恒成立，求实数 m的取值范围 答案：，6 (2)[10,+∞) 解析：(1)令u()=-3x2+mx+13,其图象开口向下、对称轴为x=又y= log2u在定义域上单调递增， 故f(x)在[1,3]上单调递减等价于u(x)在[1,3]上单调递减且u(x)>0恒成立. 则g≤1，且u(3)=3m-14>0,解得号<m≤6，故m的取值范围为（传，6 (2)令t=2*,由xe[1,3]得t∈[2,8]，则g(x)=-t2+8t-12=-(t-4)2+4, 当t=4,即x=2时，g(x)取最大值4. 条件“对任意x1,x2E[1,3]都有f(x1)≥g(x2)"等价于f(x)≥4对一切xE[1,3]成立， 即10g2(-3x2+mx+13)≥4=1l0g216,则-3x2+mx+13≥16， 即m≥3x+3对-切xe[1,3成立. 根据对勾函数的性质可知h(x)=3x+3在[1,3]上单调递增， 故h(x)≤h(3)=10,所以m≥10，即m的取值范围为[10，+∞)： 18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD是正三角 形.侧面PADL底面ABCD,E是PD的中点. (1)证明：平面ACE⊥平面PCD (2)求二面角E-AC-D的余弦值 (3)求点D到平面PAC的距离 答案：()见解析2)四3区 7 解析：(1)如图所示，取AD中点O,连接PO,因为4PAD为正三角形，故P0⊥AD. 又平面PAD1平面ABCD,交线为AD,POC平面PAD,故PO⊥平面ABCD 以O为原点，OA所在直线为x轴，平行于AB的直线为y轴，OP所在直线为：轴建立 空间直角坐标系，则A(2,0,0),D(-2,0,0),P(0,0,2V3),C(-2,4,0),E为PD中点，故 E(-1,0,V3)所以AE=(-3,0,V3),PD=(-2,0,-2V3),CD=(0,-4,0)1 AE.PD=(-3)×(-2)+0+V3×(-2V3)=6-6=0,故AE1PD; AE.CD=(-3)×0+0×(-4)+V3×0=0,故AE1CD. 因为PD∩CD=D,且PD,CDc平面PCD,所以AE1平面PCD. 又AEC平面ACE,所以平面ACEI平面PCD. (2)平面ACD即为底面ABCD,取其一个法向量n=(0,0,1). 设平面EAC的法向量为m2=(x,y,z),平面内向量AC=(-4,4,0),AE=(-3,0,V3), 则2E3z0令x1,得y=,=V3,即n=(a,1,v3. 所uos属-器 3 5. 又二面角E-AC-D为锐二面角，所以二面角E-AC-D的余弦值为 5 3)设平面PAC的法向量为元=(x,y,z),平面内向量AP=(-2,0,2V3),AC=(-4,4,0), 则-子1影=ay-发贩 (3,3,1),AD=(-4,0,0),由点到平面距离公式可得：d= AD列 -4v3 4√21 wa2+va2+12 7， 所以点D到平面PAC的距离为 19.定义在区间D上的函数f(x)满足：若对任意x1,x2∈D,且x1>x2,都有f)f2)> 号则称f)是D上的好函数 (2②)设fx)是[L,+∞)上的好函数”，且f(①)=0，求证：f(④)>等 (3)已知g(x)=lnx是(0，+oo)上的好函数？，设n∈N*, 证明：n(2n+1)>1+分++++片 答案：①)，+∞）2)证明见解析：3)证明见解析. 解析：山)油题可知任意x1,2∈1，+0)，且x1>x2,>即过>1 2 x1+x2 2 X1十X2 解得a>,因为x+xze2,+m),所以解得a≥即a的取值范围为+o） ②由好函数定义取x=,=1,则四>名又f(1)=0,故2)> 2 再取x=4=2则/@>号得f④)-f2)>号 2 两式相加得f④>关证明完毕， 3)由g(x=nx是(0，+o)上的“好函数”可知，当x(1,+o)时，1，> 2 x1+x2 令x,=2n+1,x2=2m-1,neN,则2nt22m> 2 即n(2n+1)-n(2n-1)>是 故n3-ln1+n5-ln3++ln(2n+1)-l(2n-1)>t经+号++号 化简可得n(2n+1)>1++++…+员2026年下学期高二第一次监测数学试卷 时间：120分钟；总分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合要求的。 1.直线3x+4y-5=0的倾斜角为0，则sin0=() A号 B- c D-青 2.若直线11：3x-4y-1=0与12：6x-ay+4=0(a∈R)平行，则11与12间的距离 是() A月 B号 c D 3.已知向量a,满足=1，=V2,a1(a-,则向量与的夹角为() A号 Bi c D 4.已知2sina-sinβ=3,2cosa-cosB=1,则cos(a-β)=() A-日 B-日 c D西 4 5.函数y=Qog0.5x)2-41og0.5x+5的单调递增区间为() A(-∞， B(6 c.( Df+∞） 6.己知点A(1,4),B(3,-1).若直线1：mx+y+2m-1=0与线段AB相交，则m的范 围是() A1, B C(-∞，-1u后，+∞） D(-∞，-U[1,+∞) 7.已知圆x2+y2+4x-4y-1=0上至少有3个点到直线x+y+m=0的距离为 1,则m的取值范围是() A.[-2W2,2WZ B.[-V2,V2] C.[-2W2,VZ D.[-V2,2V2] 8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，F为AA1的中点，M在线段 B1C上，则直线DD1与平面MEF所成角的最大值为() A B3 c D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列说法正确的是() A.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，至少一名男 生和“全是女生”是对立事件 B.1,2,4,5,6,12,18,20的上四分位数是12 C.已知事件A,B相互独立，P(A=子P(B)=子则P(AB)= D.数据x1,x2,,x100的方差为32，则数据2x1-1,2x2-1,,2x100-1的方 差为64 10.已知函数f(x)=sin(ωx+p)-V3cos(ωx+p)(w>0,0<p<π)且f(x)图象的 相邻两条对称轴间的距离为，则以下说法正确的是() A若f(x)的一个对称中心为(-受，0)，则p=日 B若f(x)为偶函数，则p=g C若f)在区间[0，内有三个零点，则p=号 D.若f)在区间(，)上单调递增，则p的最大值为号 11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P满足BP=BC+BB,λ∈ [0,1]∈[0,1]，则下列说法正确的是() D A.当1=L≠0时，BP/平面AB1D1 B当入+u=1时，AP长度的最小值为写 D. C.当1+μ=1时，存在点P,使得AP与平面BCC1B1所成的角为 A D,当入=H=时，平面APB与平面AB1D1夹角的余弦值为四 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若经过点P(1-a,1)和Q(2a,3)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是 13.写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+y-4)2=16都相切的一条直线的方程： 14.已知函数f)=车，若不等式f(sina)+f(c0sa)≤在区间(5m,9m)上恒成 立，则实数a的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,△ABC的面积为S,且2S= √3AC.AB: (1)求角A: (2)若D为BC的中点，AD=3,△ABC的面积为3V3,求a. 16.已知圆M:x2-4x+y2-4y+m=0. (1)求m的取值范围， (2)已知直线：x+y-2=0与圆M交于A,B两点，且AB|=2V2 ①求： ②求过点(4，-2)的圆M的切线方程 17.已知函数f(x)=1og2(-3x2+mx+13) (I)若f(x)在[1,3]上单调递减，求实数m的取值范围； (2)设g(x)=-4+2x+3-12,若对于Vx1,x2∈[1,3]，f(x1)≥g(x2)恒成立，求实数 m的取值范围 18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD是正三角 形.侧面PADL底面ABCD,E是PD的中点. (1)证明：平面ACE1平面PCD (2)求二面角E-AC-D的余弦值 (3)求点D到平面PAC的距离. A 19.定义在区间D上的函数f(x)满足：若对任意x1,x2eD,且x1>x2,都有f)f2)> 2 +号则称f是D上的好函数 (1)若f(x)=ax2是[1，+o)上的好函数”，求a的取值范围. (2)设fx)是[L,+∞)上的好函数”，且f(①)=0，求证：f(④)>等 (3)已知g(x)=lnx是(0，+oo)上的好函数”，设n∈N*, 证明：n(2m+1)>1++行++…+只