湖南省邵阳市邵东市第一中学2024-2025学年高二上学期第三次月考数学试题

邵东一中2024-2025学年高二上学期第三次月考数学试卷 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、已知复数，则z的虚部为( ) A. B. C. D. 1、【答案】B 【解析】依题意，，所以z的虚部为.故选：B. 2、已知直线，，则“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2、【答案】A 【解析】当时，直线的斜率为，的斜率为， 又，所以，充分性成立； 直线，， 若，则有，解得或，必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A. （选择性必修第一册 课时P140 3 改编） 3、在等差数列{an}中，已知a2＋a5＋a12＋a15＝36，则S16＝(　　) A．288 B．144 C．572 D．72 3、 【答案】B 4、已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4、【答案】D 【详解】根据题意，an＝f(n)＝，n∈N*，要使{an}是递增数列，必有，据此有：，综上可得2<a<3. 故选：D （选择性必修第二册 学法课时P88 11） 5、一动圆P过定点M（﹣3，0），且与已知圆N：（x﹣3）2+y2＝16外切，则动圆圆心P的轨迹方程是（　　） A．（x≥2） B．（x≥2） C．（x≤﹣2） D．（x≤﹣2） 5、【答案】C 【解析】解：∵圆P与圆C外切，如图， ∴|PN|＝|PM|+4，即|PN|﹣|PM|＝4， ∵0＜|PN|﹣|PM|＜|MN|＝6， ∴由双曲线的定义，点P的轨迹是以A，C为焦点，2为实轴长的双曲线的左支，其中a＝2，c＝3，∴b2＝c2﹣a2＝9﹣4＝5．故所求轨方程为：（x≤﹣2）． 故选：C． 6、设函数与直线的交点的横坐标构成以为公差的等差数列，且是图象的一条对称轴，则下列区间中是函数的单调递减区间的是（ ） A． B． C． D． 6、【答案】D 【解析】根据题意可得，函数的周期为，求得，再由解得，由题意，可得：； 所以，令， 解得：， 故函数的单调递减区间为， 故区间是函数的单调递减区间， 故选：D. 7、已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，，，平面平面，则球的体积为　　 A． B． C． D． 7、【答案】C 【解析】解：因为，，可知， 又，，所以，故， 取的中点，则，， 又平面平面，且平面平面，所以平面， 设的外接圆的圆心为， 则在的延长线上，因为，， 所以，所以， 设为的外接圆的圆心，则为的中点，， 连结，，由球的性质可知，平面， 所以，，同理可得，，， 所以四边形为正方形，所以球的半径为， 所以，则球的体积为．故选：． （期中考试 第7题 改编） 8、已知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于，两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．3 8、【答案】B 【解析】设， 过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，则， 因为点为线段的中点， 所以根据梯形中位线定理得点到抛物线的准线的距离为， 因为，所以在中，由余弦定理得， 所以， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，故. 所以的最大值为. 故选：B 【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，余弦定理，基本不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，设，进而结合抛物线的定于与余弦定理得， ，再求最值. 2、 选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9、已知数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A．是递增数列 B．数列是递增数列 C．数列中的最小项为 D．，，成等差数列 9、【答案】AB 【解析】：因为，所以数列为等差数列，公差为3，因为， 所以，； 对于A，因为，所以是递增数列，A正确； 对于B，因为，所以数列是递增数列，B正确； 对于C，因为，所以数列中的最小项为，C不正确； 对于D，当时，，显然不是等差数列，D不正确. 故选：AB 10、已知为双曲线的右焦点，过的直线与圆相切于点，且与及其渐近线在第二象限的交点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线是的一条渐近线 C．若，则的离心率为 D．若，则的渐近线方程为 10、【答案】ABD 【分析】根据给定条件，计算斜率判断A；由计算直线斜率判断B；求出点的坐标计算判断C，D. 【解析】对于A，根据题意，，设直线， 又因为直线与圆相切于点， 所以，A正确； 对于B，根据题意可知，可得， 所以直线是的一条渐近线，B正确； 对于C，若，根据题意，联立，解得， 同理联立，解得，由于，故，即，化简得，则的离心率为，C错误； 对于D，设，依题意知，则，故，得，故，代入，得， 所以，则，得，则的渐近线方程为，D正确； 故选：ABD 11、在棱长为1的正方体中，已知E为线段的中点，点F和点P分别满足，，其中，则下列说法正确的是( ) A．当λ=时，三棱锥P-EFD的体积为定值 B．当µ=时，四棱锥P-ABCD的外接球的表面积是 C．的最小值为 D．存在唯一的实数对，使得EP⊥平面PDF 11、【答案】ACD 【解析】对于A选项，当时，，只需要证明点到平面的距离恒定，就能说明三棱锥的体积为定值；对于B选项，当时，点为正方体的中心，只需求出四棱锥的外接球的半径即可算出表面积；对于C选项，把问题转化为在平面内求点使得最小即可求解；对于D选项，建立空间直角坐标系，利用向量方法来证明即可. 【详解】对于A选项，当时，点为线段的中点，又为线段的中点，故为三角形的中位线，，点在线段运动时，点到平面的距离恒定，故三棱锥的体积为定值；对于B选项，当时，点为正方体的中心，设四棱锥的外接球的半径为，由，解得，故四棱锥的外接球的表面积为对于C选项，把问题转化为在平面内求点使得最小，如图，作点关于线段的对称点，过点作的垂线，垂足分别为和， 则，设，则，故，故 对于D选项，以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 易求得，，故，若平面， 则 解得（舍）或故存在唯一的实数对，使得平面. 故选：ACD. 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12、已知数列是正项等比数列，且成等差数列，则数列的公比为______. 12、【答案】2 【解析】由题设，令公比为，则， 所以，即，则. （选择性必修第二册 学法P25 训练3（2）改编） 13、数列满足,若，,，则＝_________． 13、【答案】－6 【详解】解：因为，， 所以，，，， 所以数列的周期为4， 又因为， ∴ 14、过点的直线与椭圆交于点和，且．点满足，若为坐标原点，则的最小值为　___　 14、【答案】 【解析】解：设，，，，， 由，，，则，， 即为，，相乘可得，① 同理可得，② 可得，即， 化简可得，即，即的轨迹方程， 可得的最小值为． 故答案为：． 4、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、(13分)已知在数列中a1=1，且，记. (1)证明：数列是等差数列； (2)记求数列的前n项和 15、【答案】（1）略（学法P13 训练2（1）） （2）（学法P43 例3 改编） 【解析】解：（1）∵ ∴ 又 ∴ ∴ 且 ∴ 数列是首项为1，公差为1的等差数列 …………6分 （2） 由（1）知 则 ∴ …………13分 16、（15分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2a﹣b＝2ccosB． （1）求角C； （2）若△ABC的面积为，点D为AB中点，且，求c边的长． 16、【答案】（1）；（2）． 【解析】解：（1）由2a﹣b＝2ccosB得2sinA﹣sinB＝2sinCcosB ∵ A+B+C=π 则有sinA=sin（B+C） ∴2sin（B+C）﹣sinB＝2sinCcosB 即 2sinBcosC+2cosBsinC﹣sinB＝2sinCcosB ⇒2sinBcosC＝sinB， ∵B∈（0，π）则sinB≠0， ∴ ， ∵ C∈（0，π） ∴ ……………………7分 （2）由已知得， 所以， ∴ ， 即：a2+b2+ab＝52， 因为△ABC的面积为，所以， 即ab＝12，a2+b2＝40， 由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2abcosC＝a2+b2﹣ab＝40﹣12＝28， ∴ ……………………15分 17、（15分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，. （1）求证：平行四边形为矩形； （2）若为侧棱的中点，且点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值. 17.【解答】（1）取中点，连接，如图所示： ∵为正三角形，则. 面面，面面，面，则面. ∵面 ∴ 又，，面，，所以面， 面，故 ∴平行四边形为矩形.………………………6分 （2）如下图所示： 以为原点，为轴，为轴建立坐标系，设， 则，，，，， 所以，，，， 设面的法向量为，则， 令，则 设点到平面的距离为， 则，解得. 所以. 设面的法向量为，则， 令，则，则. ∵平面与平面所成角为锐角， ∴平面与平面所成角的余弦值为.…………………………15分 18、17分已知椭圆C：经过点，离心率为 求椭圆C的标准方程； 设椭圆C的左、右两个顶点分别为，，T为直线l：上的动点，且T不在x轴上，直线与C的另一个交点为M，直线与C的另一个交点为N，F为椭圆C的左焦点，求证：的周长为定值．  18、【答案】解：有题意可知，解得， 椭圆C的标准方程为 ………………………5分 (2) 证明：由题意可知，，， 设，，如图所示 直线的方程为，直线的方程为， 联立方程，消去y得， ，即，                   则， 联立方程，消去y得， ，即， 则            ， 直线MN的方程为，       即，， 故直线MN过定点，                          所以的周长为定值8， 当时，，或，，  过焦点，此时的周长为定值，      综上所述，的周长为定值………………………………………17分 19、（17分）若数列满足：对任意，都有，则称是“数列”． (1)若，，判断，是否是“数列”； (2)已知是等差数列，，其前项和记为，若是“数列”，且恒成立，求公差的取值范围； (3)已知是各项均为正整数的等比数列，，记，若是“数列”，不是“数列”，是“数列”，求数列的通项公式． 19．【答案】(1)数列是“数列”；数列不是“数列”； (2) (3)或 【解析】（1）对于数列而言，若，则, 所以数列是“数列”； 对于数列而言，若，则，则数列不是“数列”；.………3分 （2）因为等差数列是“数列”，所以其公差． 因为，所以， 由题意，得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立． 当时，恒成立，故； 当时，对任意的恒成立，即对任意的恒成立， 因为，所以．所以的取值范围是..………………………9分 （3）设等比数列的公比为，因为，所以， 因为“数列”的每一项均为正整数，由得， 所以且， 因为，所以，所以单调递增， 所以在数列中，“”为最小项， 而，从而在数列中，“”为最小项． 因为是“数列”，则只需，所以， 因为数列不是“数列”，则，所以， 因为数列的每一项均为正整数，即，所以或， ①当时，，则，令， 又， 所以为递增数列，又， 所以对于任意的，都有，即，所以数列为“数列”，符合题意． ②同理可知，当时，，则， 令， 又， 所以为递增数列，又， 所以对于任意的，都有，即，所以数列为“数列”，符合题意． 综上，或..………………………17分 @公众号：数学研讨 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是首先将恒成立任意性问题转换为与1比较大小得出的值，回过头去检验是否满足题意即可顺利得解。 1 @公众号：数学研讨 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 邵东一中2024-2025学年高二上学期第三次月考数学试卷 时量：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、已知复数，则z的虚部为( ) A. B. C. D. 2、已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3、在等差数列{an}中，已知a2＋a5＋a12＋a15＝36，则S16＝(　　) A．288 B．144 C．572 D．72 4、已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5、一动圆P过定点M（﹣3，0），且与已知圆N：（x﹣3）2+y2＝16外切，则动圆圆心P的轨迹方程是（　　） A．（x≥2） B．（x≥2） C．（x≤﹣2） D．（x≤﹣2） 6、设函数与直线的交点的横坐标构成以为公差的等差数列，且是图象的一条对称轴，则下列区间中是函数的单调递减区间的是（ ） A． B． C． D． 7、已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，，，平面平面，则球的体积为　　 A． B． C． D． 8、已知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于，两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．3 2、 选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9、已知数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A．是递增数列 B．数列是递增数列 C．数列中的最小项为 D．，，成等差数列 10、已知为双曲线的右焦点，过的直线与圆相切于点，且与及其渐近线在第二象限的交点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线是的一条渐近线 C．若，则的离心率为 D．若，则的渐近线方程为 11、在棱长为1的正方体中，已知E为线段的中点，点F和点P分别满足，，其中，则下列说法正确的是( ) A．当λ=时，三棱锥P-EFD的体积为定值 B．当µ=时，四棱锥P-ABCD的外接球的表面积是 C．的最小值为 D．存在唯一的实数对，使得EP⊥平面PDF 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12、已知数列是正项等比数列，且成等差数列，则数列的公比为______. 13、数列满足,若,，则＝_________． 14、过点的直线与椭圆交于点和，且．点满足，若为坐标原点，则的最小值为__________. 4、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（13分）已知在数列中a1=1，且，记. (1)证明：数列是等差数列； (2)记求数列的前n项和 16、（15分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2a﹣b＝2ccosB． （1）求角C； （2）若△ABC的面积为，点D为AB中点，且，求c边的长． 17、（15分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，. （1）求证：平行四边形为矩形； （2）若为侧棱的中点，且点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值. 18、17分已知椭圆C：经过点，离心率为 求椭圆C的标准方程； 设椭圆C的左、右两个顶点分别为，，T为直线l：上的动点，且T不在x轴上，直线与C的另一个交点为M，直线与C的另一个交点为N，F为椭圆C的左焦点，求证：的周长为定值．  19、（17分）若数列满足：对任意，都有，则称是“数列”． (1)若，，判断，是否是“数列”； (2)已知是等差数列，，其前项和记为，若是“数列”，且恒成立，求公差的取值范围； (3)已知是各项均为正整数的等比数列，，记，若是“数列”，不是“数列”，是“数列”，求数列的通项公式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$