上海市华东师范大学第二附属中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

华二附中高二月考数学试卷 2026.10 一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1．两条异面直线所成的角的取值范围是________． 2．若空间中两直线a，b确定一个平面，则直线a，b的位置关系为________． 3．如图为正六棱柱，其6个侧面的12条面对角线所在直线中，与直线异面的共有________条． 4．在半径为30米的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则其高度应为________米． 5．已知某圆台上底面和下底面的半径分别为1和2，高为，则该圆台的母线长为________． 6．在棱长为2的正方体中，若E为棱的中点，则平面截正方体的截面面积为________． 7．已知m，n为空间中两条不同的直线，，为两个不同的平面，若，，则是的________条件 8．如图，是空间四边形，E，F，G，H分别是四边上的点，且平面，平面，，，当四边形是菱形时，的值是________． 9．在正四棱锥中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线与所成角的大小等于________（结果用反三角函数值表示） 10．已知圆柱底面半径为1，高为2，为其上底面圆的一条直径，点C是其下底面圆周上的一个动点，则面积的取值范围是________． 11．如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点A处进行射击训练，已知点A到墙面的距离为，某目标点P沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小，，，，则的最大值是________．（仰角为直线与平面所成的角） 12．如图，正方体的一个顶点在平面内，其余顶点在的同侧．若顶点，，到平面的距离分别为1，2，4，那么其余四个顶点到的距离构成的集合是________． 二．选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分） 13．已知空间中两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法正确的是（ ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 14．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，则（ ） A．相等的角在直观图中仍然相等 B．相等的线段在直观图中仍然相等 C．菱形的直观图是菱形 D．三角形的直观图是三角形 15．如图，在正方体中，点，，，分别是棱，，，的中点，连接，．对于空间任意两点，，若线段上不存在点在线段，上，则称，两点可视．则下列选项中与点可视的为（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 16．正方体的剖分是指若干多面体内部两两无交集（即无公共点），且并集（即拼接在一起）恰好等于原正方体，试判断下列两个命题的真假（ ） ①可将一个正方体剖分成5个四面体（不要求全等）； ②可将一个正方体剖分成3个全等的四棱锥． A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 三．解答题（共78分） 17．已知直四棱柱，，，，，． （1）证明：直线平面； （2）若该四棱柱的高为4，求异面直线与所成角的大小． 18．如图，已知四棱锥中，平面，，分别为，的中点，，，． （1）求直线与平面所成角大小； （2）求证：平面． 19．如图，为圆锥顶点，为底面中心，点，，均在底面圆周上，且为等边三角形． （1）求证：平面平面； （2）若圆锥底面半径为2，高为，求点到平面的距离． 20．如图1，正的边长为，是边上的高，，分别是和边上的点，且满足，现将沿翻折，使平面平面，如图2． （1）试判断翻折后直线与的位置关系，无需说明理由； （2）求二面角的大小； （3）若异面直线与所成角的余弦值为，求的值． 21．如图四面体中，，，是中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的最大值； （3）求二面角的正弦值的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 一．填空题 1． 2．平行或相交 3．5 4． 5．3 6． 7．充要 8． 9． 10． 11． 12． 二．选择题 13．A 14．D 15．C 16．A 三．解答题 17．证明：在直四棱柱中，取中点，连接． 因为，且，所以四边形为平行四边形，（2分） 所以且，又因为且，所以且，从而四边形为平行四边形，（2分） 所以，又因为平面，不在平面内，所以直线平面．（3分：3个条件各1分） 法二：证明：，不包含于平面，包含于平面，平面； 由直四棱柱得，又不包含于平面，包含于平面，平面； （4分：其中一个线面平行中3个条件各1分，共3分；另一个线面平行同理可得1分．） 、包含于平面，， 平面平面；（2分：2个条件各1分） 又直线平面，直线平面．（1分） （2）解：在直四棱柱中，取中点，连接．因为，且，所以四边形为平行四边形，所以且，又因为且，所以且，从而四边形为平行四边形，所以，（若第（1）小题用方法二，则可直接由（1）可得）所以是异面直线与所成的角或其补角．（3分，没有明确指出异面直线所成的角扣1分） 连接．因为，，所以．在直角三角形中，，由勾股定理，．因为平面，平面，所以．在直角三角形中，，由勾股定理，． 因为平面，平面，所以．在直角三角形中，，由勾股定理，．在三角形中，由余弦定理，．（3分，没有解题过程和公式各扣1分）所以异面直线与所成角的大小为．（1分） 18．（1）解：连接． 因为平面，所以是在平面上的投影， 所以即为求直线与平面所成角．（2分） 因为平面，平面，所以． 又因为，所以三角形为等腰直角三角形，从而， 因为四边形为矩形，所以．在直角三角形中，，由勾股定理，， 因为平面，平面，所以， 在直角三角形中，，（3分） 所以直线与平面所成角大小为．（1分） （2）证明：如图，取的中点，连接、， 则有，且， 四边形是平行四边形．．（2分） 平面，平面，， 因为四边形为矩形，， ，平面．（2分） 又平面，，，①， ，为中点，三角形为等腰三角形， ，，②，（2分） ③又，④平面，平面， 平面．（2分） （若证明平面，再根据得到平面，扣1分） 19．（1）连接，交于点，由为等边三角形，得是的中心，则，（1分） 而平面，平面，则，（1分） 又，，平面，因此平面，（2分） 又平面，所以平面平面．（2分） （2）①连接，作于，②由（1）知平面平面，③平面平面，④平面，则平面，（4分，每个条件1分） 显然，， 则， 而，于是， 因此，（2分） 所以点A到平面的距离为．（2分） 20．【详解】（1）；（4分） （2）过D点作于点G，连接．因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面．（2分，条件不写全扣1分） 又平面，所以，又，，平面．所以平面，又平面，所以．所以是二面角的平面角．（2分，没有明确指出二面角的平面角扣1分） 在中，，，，所以． 在中，．所以．（1分） 即二面角的大小为．（1分） （3）因为，所以（或其补角）是异面直线与所成的角．（1分） 因为，所以．又，，（2分） 所以 ．（2分） 所以．即．（2分） 解得．（1分） 21．（1）因为，中点为， 则，且，， 因为是直角三角形，所以，（2分） 所以有，所以三角形是直角三角形，即．（2分） （2）由（1）因为，，，、面，所以面，又平面，所以平面平面， 在面内过向作垂线，垂足记为，平面平面，面面， 又因为，面，所以面，（2分） 所以是直线与面所成角，（1分） 所以在直角三角形中，， 在直角三角形中，由等面积得，且，（1分） 所以根据基本不等式，即，当且仅当时取等， 因此，故，所以最大值为；（2分） （3）在面内过点作的垂线，垂足记为， 在面内过点作的垂线，垂足记为，在面内过点作的平行线，交于点，所以即为二面角的平面角，（2分） 设，，则，，，， ，． 在直角三角形中，， 得到． ，，． 在三角形中，由余弦定理，，（2分） 由及基本不等式， ，（2分） 所以，等号成立当且仅当． 所以二面角的正弦值的最小值为．（2分） 学科网（北京）股份有限公司 $