2026--2027学年人教版九年级上册数学期中考试知识清单（第25–27章）

人教版九年级上册数学期中考试知识清单（第25–27章） 标记说明：⭐基础必会；⭐⭐高频重点；⭐⭐⭐难点压轴 第二十五章 一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念 知识点1：一元二次方程定义 ⭐ 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程。 一般形式：（） ⚠关键：二次项系数 绝对不能为0， 可以为0。 典型例题 题目：下列方程属于一元二次方程的是（） A. B. C. 解析：A不是等式，不是方程；C最高次数为1，是一元一次方程；B符合一元二次方程定义。 答案： 知识点2：一元二次方程的项与系数 ⭐ 在中： 为二次项，为二次项系数；为一次项，为一次项系数；为常数项。 典型例题 题目：写出方程 的二次项、一次项、常数项。 解析：对照一元二次方程一般形式直接区分各项。 答案：二次项，一次项，常数项 知识点3：一元二次方程的解 ⭐ 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的根（解）。 典型例题 题目：判断 是否是方程 的解。 解析：代入检验：左边右边，等式成立。 答案：是方程的解 25.2 解一元二次方程 知识点1：直接开平方法 ⭐⭐ 适用形式：、 口诀：左边平方，右边非负，正负两根。 典型例题 题目：解方程： 解析：移项得，直接开平方得 答案： 知识点2：配方法（必考基础） ⭐⭐ 步骤：移常数项→二次项系数化为1→两边加一次项系数一半的平方→写成完全平方→开方求解。 典型例题 题目：用配方法解方程： 解析： 移项： 配方：，即 开方： 答案： 知识点3：公式法（万能解法） ⭐⭐⭐ 求根公式： 根的判别式： 典型例题 题目：用公式法解方程： 解析： 答案： 知识点4：根的判别式（期中高频压轴） ⭐⭐⭐ ：方程有两个不相等实数根 ：方程有两个相等实数根 ：方程无实数根 典型例题 题目：判断方程 根的情况。 解析： 答案：无实数根 知识点5：因式分解法（最快解法） ⭐⭐ 常用方法：提公因式、平方差、完全平方公式、十字相乘。 原理：若 ，则 或 。 典型例题 题目：解方程： 解析：提公因式 或者 答案： 知识点6：根与系数的关系（韦达定理） ⭐⭐⭐ 若 两根为 ，则： 典型例题 题目：已知方程 ，求两根之和、两根之积。 解析： 两根之和：，两根之积： 答案：两根之和为5，两根之积为6 25.3 一元二次方程实际应用 ⭐⭐⭐ 期中必考模型：增长率问题、面积问题、传播问题、利润问题。 典型例题（增长率） 题目：某商品原价100元，连续两次涨价，每次增长率相同，现价121元，求增长率。 解析：设增长率为 解得：（增长率不能为负数，舍去负根） 答案：增长率10% 第二十六章 二次函数 26.1 二次函数的概念 知识点1：二次函数定义 ⭐ 一般形式：，自变量最高次数是2，属于整式函数。 典型例题 题目：下列是二次函数的是（） A. B. C. 解析：A是一次函数；C分母含有字母不是二次函数；B符合二次函数定义。 答案： 26.2 二次函数的图象与性质 知识点1：基础型 图象性质 ⭐⭐ ：开口向上，有最低点，对称轴为y轴 ：开口向下，有最高点，对称轴为y轴 越大，抛物线开口越窄。 典型例题 题目：抛物线 开口方向、有无最值分别是？ 解析：，开口向下，存在最大值。 答案：开口向下，有最大值 知识点2：顶点式 ⭐⭐⭐ 对称轴：直线 顶点坐标： 典型例题 题目：求 的对称轴和顶点坐标。 解析：对比顶点式， 答案：对称轴，顶点 知识点3：一般式对称轴、顶点公式 ⭐⭐ 对于 对称轴： 顶点纵坐标： 典型例题 题目：求 的对称轴。 解析：，代入公式 答案：直线 知识点4：二次函数增减性 ⭐⭐⭐ ：对称轴左侧递减，对称轴右侧递增（左减右增） ：对称轴左侧递增，对称轴右侧递减（左增右减） 典型例题 题目：，当时，随如何变化？ 解析：开口向上，位于对称轴右侧，y随x增大而增大。 答案：随增大而增大 知识点5：二次函数最值 ⭐⭐⭐ 自变量取全体实数范围内： ，在顶点处取得最小值；，在顶点处取得最大值。 典型例题 题目：求 的最值。 解析：配方：，，最小值是 答案：最小值为 26.3 二次函数与方程、不等式 知识点1：抛物线与x轴交点 ⭐⭐⭐ 抛物线 与x轴交点横坐标，就是一元二次方程 的实数根。 典型例题 题目：抛物线 与x轴交点坐标。 解析：令，解方程， 答案： 26.4 二次函数实际应用 ⭐⭐⭐ 拱桥模型、投篮问题、利润最值、面积最值为期中压轴必考。 典型例题（最值应用） 题目：已知利润 ，求最大利润。 解析：，顶点取最大值；当时， 答案：最大利润为4 第二十七章 反比例函数 27.1 反比例函数概念 知识点1：反比例函数定义 ⭐ 形式：，等价形式：、 典型例题 题目：下列属于反比例函数的是（） A. B. C. 解析：B满足反比例函数的形式。 答案： 27.2 反比例函数图象与性质 知识点1：图象特征 ⭐⭐ 图象名称：双曲线；不过原点、永远不与坐标轴相交。 典型例题 题目：反比例函数的图象形状是？ 答案：双曲线 知识点2： 的符号与所在象限 ⭐⭐⭐ ：图象在第一、三象限 ：图象在第二、四象限 典型例题 题目： 图象经过哪些象限？ 解析： 答案：第二、四象限 知识点3：反比例函数增减性 ⭐⭐⭐ ：每个象限内，随增大而减小 ：每个象限内，随增大而增大 ⚠易错提醒：必须强调同一象限内，不能跨象限直接比较大小 典型例题 题目：对于 ，下列说法正确的是（） A.y随x增大而减小 B.每一象限内y随x增大而减小 解析：缺少“同一象限”这个前提A是错误的。 答案： 知识点4：反比例函数几何意义（必考难点） ⭐⭐⭐ 过双曲线上任意一点作x轴、y轴垂线，围成矩形面积 ，三角形面积 典型例题 题目：点P在 上，分别向x轴、y轴作垂线，求围成矩形的面积。 解析： 答案：6 27.3 反比例函数实际应用与综合 知识点：函数值比较大小 ⭐⭐⭐ 利用象限+增减性判断函数值大小，期中选择压轴高频考点。 典型例题 题目：已知 在 上，比较 大小。 解析：A点在第二象限，；B点在第四象限，，因此 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $