第7期：27.1 反比例函数的概念 27.2 反比例函数的图象和性质-【数理报】2026-2027学年九年级(中考)数学学案（人教版·新教材）

初中数学·人教中考第5~8期 °数理柄 答案详解 2026~2027学年 初中数学·人教中考 第5~8期(2026年8月) 26.4实际问题与二次函数 第5期2版 基础训练1.C;2.A;3.C:4.3. 26.2.3二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 5.(1)由题意，得A(-6,0),B(6,0),C(0,3.6). 基础训练1.B;2.D;3.C;4.二 设桥洞对应抛物线的解析式为y=ax2+3.6. 5.(①)该抛物线的对称轴为直线：=多 将8(6,0)代人解析式，得36a+3.6=0,解得a=-0 (2)因为α<0，所以该抛物线的开口向下.所以到对称轴 所以桥雨对应地物线的解析式为y=一。2+3.6 的距离越远，函数值越小.因为点A到对称轴的距离大于点D 到对称轴的距离，所以y<y: (2)因为EH=1.4米，所以H的纵坐标为：4.6-1.4= 3.2. 2a =2, 把=32代人y=-0+36,得32=-0+3.6 1 能力提高6.(1)由题意，得 解得 9a+3b-3=- 15 4’ 解得x=±2.所以EF=GH=4米. 答：横幅的长为4米 a=4 能力提高6.(1)因为箭的最大高度为2m时，距离投出 6=-1, 点的水平距离为1m,所以抛物线的顶点为(-1,2)，所以设抛 所以该抛物线的解析式为y=子-x-3。 物线L的解析式为y=a(x+1)2+2. 因为抛物线经过点A(0,1.5),所以a+2=1.5,解得a (2)由（)知，抛物线的解析式为)=子-x-3,令y =-0.5 0,即子-x-3=0,解得=-2,6=6，所以4(-2,0， 所以y=-0.5(x+1)2+2=-分-+子，即抛物线 B(6,0). L的解析式为)=-子-x+子 因为抛物线开口向上，对称轴为直线x=2,所以当-2≤ (2)因为点G的高度为0.38m, x≤6时，抛物线对应函数的值均不为正数. 因为当-2≤x≤q时，抛物线对应函数的最小值与最大值 所以令-合-+2=038， 之和为1，所以9>6. 解得x1=-2.8,x2=0.8(不符合题意，含去) 将x=2代人y=子2--3，得y=-4,即函数最小值 因为壶口宽为0.2m,所以人离壶的水平距离0E=2.8- 0.2=2.6(m). 为-4，所以最大值为：1-（-4)=5.令y=5,即4-x-3 (3)设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线为y= 2-xtn 1 =5,解得x=-4(不符合题意，舍去)或x=8,所以q的值为 8 26.3二次函数与一元二次方程 将(-2.6,038)代人，得-7×(-26)2-(-2.6)+n 基础训练1.B;2.B; =0.38,解得n=1.16. 3.答案不唯一，如0；4.y=x2-4x 能力提高5.(1)1. 所以y=-+116 当x=0时，y=1.16.所以1.16m≤0A≤1.5m (2)①证明：因为y=a(x-1)(x-3)+a2=aax2-4ax+ 3a+a2,所以4=(-4a)2-4a(3a+a2)=4a2-4a3=4a2(1 第5期3版 -a). 因为a<0,所以4a2>0,1-a>0,所以4>0. 题号12345678 所以该二次函数的图象与x轴总有两个公共点. 答案BDDC DC D B ②0<n<12. 二、9.(-1，-1)；10.>；11.不能； 初中数学·人教中考第5~8期 12.9:13.(0,3)；14.①②③④. 又抛物线过点A(0,2.5),所以a(0-4)2+3.5=2.5, 三、15.(1)x<0或x>3. 解得a=-i6 1 (2)因为二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点 (-1,0),(3,0),所以该二次函数图象的对称轴为直线x=1. 所以AB所在抛物线的函数解析式为y=一G(x-4)+ 因为该二次函数图象经过(0，-3)，所以该二次函数图象 3.5 经过点(2，-3). 所以方程a2+bx+c=-3的解为x1=0,x2=2. (2)不能.理由如下： 已知CD=0.41m,点D离地面的高度为3m,则点C的纵 16()因为a=,所以二次函数y=32-4a+4=3x 坐标为3.41. -6x+4=3(x-1)2+1,所以此函数图象的顶点坐标是(1， 所以-6x-4+3.5=341, 1). (2)因为二次函数y=3x2-4ax+4,所以该函数图象的对 解得x1=2.8,x2=5.2. 因为点C在顶点B左侧，所以x=2.8,所以C(2.8,3.41). 称精为宜线x=号：号，图象开口向上 所以此时点D的坐标为(2.8,3). 因为当1≤x≤4时，y随x的增大而减小；当8≤x≤12 设此时从点D喷出的干粉形成抛物线的解析式为y=m(x 时，y随x的增大而增大，所以4≤号≤8，解得6≤a≤12 -2.8)2+3. 又灭火器对地面的保护半径为2m, 17.(1)设抛物线的解析式为y=a(x-4)2+3. 所以干粉喷射抛物线与x轴交于点(0.8,0)，(4.8,0). 将A0,1)代入，得16a+3=1,解得a=-g 由题意可得，m(08-2.8)+3=0,解得m=-子 所以抛物线的解析式为y=一名（：-4)+3. 所以干粉喷射抛物线的解析式为y=-子(x-2.8)》尸+3， (2)绸球不能抛到观众区.理由如下： 当x=1时，y=-子×(1-2.8)2+3=057<1， 1 令y=0,则-8(x-4)2+3=0, 所以，点(1,1)在干粉喷射抛物线上方，因此灭火器喷射时 解得x1=4+26,x2=4-26. 不能覆盖着火点(1,1). 因为6<3，所以4+26<10， 20.(1)因为b=1,c=2,所以y=-x2+x+2=-(x- 所以若观众区边缘点P与原点O的水平距离为10米，绸球 + 不能抛到观众区. 18.(1)将B(1,0)代入y=-x2-3x+c,得-12-3×1 所以抛物线的膜点坐标为（分，子。 +c=0,解得c=4. (2)证明：因为抛物线上的点P(xo,o)在x轴上方， (2)令y=0,则-x2-3x+4=0,解得x1=-4,x2=1. 所以yo=-x2+bx0+c>0.所以c=x2-bx0+yo 所以点A的坐标为(-4,0). 对于方程-x2+bx+c=0,4=b2+4c=b2+4x,2-46x0 当x=0时，y=4,所以点C的坐标为(0,4). 作C关于x轴的对称点C'(0,-4),图略. +4y0=(2x0-b)2+4y%>0. 因为∠PAB=∠CAB, 所以方程-x2+bx+c=0有两个不相等的实数根. 所以直线AP过点C'. 所以抛物线与x轴有两个交点， 设直线AC的解析式为y=kx+b. (3)CD=DE.证明如下： 将A(-4,0),C(0,-4)代人，得0三4h+,解得 因为抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴 1-4=b. 交于点C(0,2), 「k=-1, 所以c=2,抛物线的对称轴是直线x=乞 1b=-4. 设A(x1,0),B(x2,0),x1>x2,则x1,x2是方程-x2+bx+ 所以直线AC'的解析式为y=-x-4. 联立，得=--3x+4, 2=0的两根， y=-x-4, 解得=6++8，。=6-+8 2 2 解得=-4或 ∫x=2, 又坐标平面内存在点M满足MA=MB=MC, y=0,ly=-6. 所以点P的坐标为(2，-6). 由抛物线的对称性可设M(之，m),由两点间的距离公式 所以AP=√[2-(-4)]2+(-6-0)=62 19.(1)因为抛物线的顶点坐标为B(4,3.5),所以设抛物 可得，Mf=(安-+)+m-0y,c=(受 2 线的解析式为y=a(x-4)2+3.5. +(m-2)2 2 初中数学·人教中考第5~8期 所以(÷.b+昏+8)+(m-0)2=(分》2+(m- (2)该图象的开口向上，顶点坐标是(0，-2)，对称轴是y 2 轴 2)2,解得m=2 17.(1)(0,4) (2)>1. 所以点n的坐标为宁，宁， (3)因为二次函数的顶点坐标为(1,5)，当x=3时，y= 1 因为直线y=bx+2与y=-bx-1相交于点D, 所以当0<x<3时，y的取值范围是1<y≤5. .3 x=2 所以6≠0，联立，得=+2，解得 18.因为小矩形的宽为xm,则小矩形的长为36,3xm 4 Ly =-bx -1.' 1 y=2 因为3x≤15，所以x≤5. 31 所以点D的坐标为(-2,2) 设矩形菜地的总面积为ym, 因为分宁，0(-六宁 则y=36:.3x=-子+27x=- 4 4(x-6)2+81. 因为-号<0≤5，所以当x=5时，)有最大值，为-是 9 所以点M,D所在的直线与y轴垂直. 因为点C,E都在y轴上，所以MD⊥CE. ×(5-6)2+81=315 又因为MC=ME,所以MD垂直平分CE,所以CD=DE. 4 第5期4版 答：当x=5时，短形菜地的总面积最大，最大面积为乎 重点集训营 四、19.()将A(-1,0),B(4,0)代人y=22+c+c, 1.D;2.C. 3 几何加油站 得 2-6+c=0,解得 b=-2 1.4.【提示】作EH⊥y轴于点H,利用∠EGC=30°可 8+4b+c=0, lc=-2. 得EBH=EG,则PE+EG转化为PE+BH,求出点A,C的 所以=2--2 坐标，进而求出直线AC的解析式，设点P的横坐标为m,用含m 当x=0时，y=-2,所以C(0,-2). 的式子表示出PE+EH,转化为顶点式，即可求出最值. (2)当x=1时，y=-3,所以G(1,-3). 2.32.【提示】找CD的中点P,DE的中点P2,由三角 设直线BC的解析式为y=kx-2. 形中位线定理可得点P的运动轨迹是线段PP2,再由垂线段最 短可得当BP⊥P,P2时，PB取得最小值，连接BP1,BP2,作BP 将点B的坐标代人，得4-2=0，解得k= ⊥PP2于点P',作P2Q⊥AB于点Q,则BP的最小值为BP'的 所以直线BC的解析式为y=子-2 长，P2Q是△EAD的中位线，由勾股定理求出BP2,BP,CE的 长，由三角形中位线定理得出PP2的长，设P'P2=x,则PP 过点G作GH∥BC交抛物线于点H,所以S△cH=S△G -3E-x,由勾股定理得BP店-PP=BP-P,解得x= 设直线GH的解析式为y=2x+m 2 3碧，即可得出结果 将点G的坐标代人，得宁+m=-3,解得m=- 1.7 3.9-45【提示】过点A作A山1BC于点J,过点E作 所以直线GH的解析式为y=2x-2 2 EK⊥BC交BC的延长线于点K,过点F作FH⊥AC于点H,过 当子子-2， 点D作DT⊥AC于点T.由“AAS”得到△AJD≌△DKE,△DTA 解得x1=1,2=3.所以H(3,-2). ≌△AHF,所以DJ=EK,设DJ=x,即可表示CT和AT,构建二 次函数，利用二次函数的性质解决问题 20()由题意，将点(0.1)，(4,1)代入y=-冬2+6c+ rc=1, 第6期综合测评卷 ,得 解得 「b21 ×42+4b+c=1, c=1. 题号12345678910 1 答案D AA CCC BB D B 所以绳子所对应的抛物线的解新式为y=一名+宁+1 二、11.a<2;12.-2.7;13.10;14.a<0或0<a< (2)身高为1.6m的君君站在绳子的正下方，绳子不能过 号或a>2:15.202 他的头顶.理由如下： 1 1 三、16.(1)图略 因为y=- 82+2x+1, 3 初中数学·人教中考第5~8期 1 2 当a<方或a>1时d>0: 所以当x= 1 1 2×(-8 1 =2时，y=-g×2+×2 当站<a<1时，4<0， +1=1.5<1.6. 所以绳子不能过他的头顶. 所以当a=言或1时，公共点个数为1： (3)令y=1.2则-g2+宁+1=142，解得西 当a<古且a≠0或a>1时，公共点个数为2： 1.2,x2=2.8.所以1.2<d<2.8. 21.(1)①由抛物线的对称性，得AB=2. 当日<a<1时，公共点个数为0 ②因为抛物线y=x2+1与y=x2的形状相同， 2ay=-- 2t+2. 所以抛物线y=x2+1与y=x2的“完美三角形”的斜边 (2)过点F作FG∥y轴交AD于点G,图略. 长的数量关系相等. (2)因为抛物线y=ax2+4的“完美三角形”的斜边长为 因为揽物线y=宁2是+2与销交于4，(1,0)两 4 点， 所以抛物线y=ax2的“完美三角形”的斜边长为4. 因为a>0,所以点B在第一象限。 令y=0,则--子+2=0，解得气=-4=1 所以点B的坐标为(2,2)： 所以A(-4,0). 把点B的坐标代人y=a2,得4a=2解得a=子 所以Sa能=2×(1+4)×3=7.5. (3)因为抛物线y=mx2+2x+n-5的“完美三角形”的 设直线AE的解析式为y=x+n,将点A,E的坐标分别代 斜边长为n, 入，得4+n=0解得=1， 所以抛物线y=mx2的“完美三角形”的斜边长为. l-k+n=3, ln=4. 由题意，得m<0,所以点B在第四象限所以点B的坐标 所以直线AE的解析式为y=x+4. 为受，受) 设点F的坐标为(m,分2-子m+2),则G(mm+4 将点B的坐标代入抛物线)=m,得m·(受)2- n 2 所以FG=-2-子n+2-m-4 所以mn=-2或n=0(不符合题意，舍去). 五、22.(1)因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 -2-3-2 经过点(1,2)，(3,4)，原点， 所us5g-合0-含m-2)×-1-(4川 1 a=- ra+b+c=2, 3 4 m-3 所以9a+3b+c=4,解得 Lc=0, b=3 、3 (m+)+22 2 161 c=0. 所以5脑=S+5aE=-子(m+子P+0 147 (2)证明：因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 经过点(1,2)，(3,4)， 所以a+b+c=2,9a+3b+c=4. 因为-子<0， 所以b=1-4a,c=1+3a. 所以当m=- 时，四边形ABEF的面积最大，为 6 将方程ax2+bx+c=2x整理，得ax2+(b-2)x+c=0. 因为△=(b-2)2-4ac=(1-4a-2)2-4a(1+3a)= (3)OP+DQ存在最小值 (2a+1)2≥0， 如图，过点D作MD上y轴，截取 所以无论a取何值，方程ax2+bx+c=2x总有实数根. MD=AD,连接MP,MO. (3)联立，得ax2+bx+c=ax. 把x=0代人直线AD的解析式y 整理，得ax2+(b-a)x+c=0. =x+4,得y=4,所以D(0,4). 因为A(-4,0),所以OA=OD= 由(2)得b=1-4a,c=1+3a. 4. 所以4=(1-4a-a)2-4a(1+3a)=13a2-14a+1= (13a-1)(a-1). 因为∠AOD=90°，所以∠AD0 =∠DA0=45°. 当4=0，即(1Ba-(a-)=0时，解得a=3或1 因为∠MD0=90°，所以∠MDP=90°-45°=45°. 根据y=13a2-14a+1的图象，得 所以∠MDP=∠DAO. 4 初中数学·人教中考第5~8期 AD DM, 所以一次函数的解析式为y1=-x+10, 在△ADQ和△DMP中， ∠DAQ=∠MDP, AO DP, 将点42,8)代人=冬得8=乞解得=16 所以△ADQ≌△DMP(SAS). 所以反比例函数的解析式为2=1乌 所以MP=DQ.所以DQ+OP=MP+OP. 所以当MP+OP最小时，DQ+OP最小. (2)由图象可知，当y1<2时，自变量x的取值范围为x> 所以当M,P,O三点共线时，DQ+OP最小，且最小值为 8或0<x<2. OM. (3)设直线AB交x轴于点D. 在直角三角形AOD中，由勾股定理，得AD= 令y=0,即-x+10=0,解得x=10.所以点D(10,0): 0A2+0D=42. 所以Se=Sw-SaD=7×10×8-7×10×2=30 所以DM=42 在直角三角形MOD中，由勾股定理，得OM= 因为5ae=号ae所以Sm=24 0D2+Dm=45, 所以20P·%=24,即20P×8=24. 即DQ+OP的最小值为45. 所以0P=6. 第7期2版 所以点P的坐标为(6,0)或(-6,0) 27.1反比例函数的概念 第7期3版 基础训练1.B;2.D;3.k≠1，x≠0,16. 4.因为y=(m+1)x23是反比例函数， 题号12345678 所以m+1≠0,12m1-3=-1.解得m=1. 答案CDDBCDB A 5.因为y与x成正比例，y2与x2成反比例， =9.1;10.y=0;1.-6<x<0或x>2: 所以设=ax(a≠0,2冬k≠0】 12.-3;13.3；14.12. 所以y=当+方=ar+岁 三15()因为点A(1,2)在函数y=,的图象上， 因为当x=2和x=3时，y的值都为19， 所以k-1=1×2.解得k=3. k [2a+4=19, (2)因为在函数y=-1的图象的每一支上，y随x的增 所以 解得a5, k=19. 3a+ lk=36. 大而增大，所以k-1<0.解得k<1. (3)点B在，点C不在.理由如下： 所以y关于x的函数解析式是y=5x+3 21 因为k=13,所以k-1=12. 27.2反比例函数的图象和性质（第一课时） 所以反比例函数的解析式为y= x 基础训练1.D;2.C；3.3; 4.x<-2或0<x<3;5.k1<k2<k 当x=3时，y=2=4,所以点B在函数y=卫的图象上： x 能力提高6.(1)①填表如下： 当x=2时y=2=6≠5，所以点C不在函数y=是的 -5-3-20 13 x … 0-1-35 32 图象上 ②略. 16（1)因为点A在反比例函数y=5弘2(>-号)的 (2)答案不唯一，如当x>-1时，y随x的增大而减小. 图象上，AB⊥x轴，且△AOB的面积为6， (3)左，1，上，1. (4)在“理解运用”的基础上向上平移1单位长度，即可得 所以+2=6.解得k=2 2 函数y=+2的图象当-1<≤1时y三4 所以反比例函数的解析式为y=12 27.2反比例函数的图象和性质（第二课时） 将点A(-2,m)代入，得m=-6. 基础训练1.D;2.y2<y3<y1; 所以m的值为-6，k的值为2. 3.-8;4.(-3,-4)；5.18. 6.(1)将点A(2,8),B(8,2)代人y1=ax+b,得 (②将x=4代人y=是得y=3 2a+6=8·解得1， 所以当x≥4时，y的取值范围是0<y≤3. l8a+b=2. 1b=10. 17.(1)由题意知，点D的坐标为(2,3). 初中数学·人教中考第5~8期 因为点D在反比例函数y=左(x>0)的图象上， (3)证明：过点C作CD⊥OA于点D,图略 1 由题意可知CB⊥AB,CN⊥x轴. 所以k=y=2×3=6. 又因为OC平分OA与x轴正半轴的夹角，所以CD=CN, 所以反比例函数的解析式为y=6(x>0). 因为点B在函数)=(x>0)的图象上，点C在函数) (2)由题意知，点C的坐标为(2,1) 将教具沿x轴正方向平移m个单位，使得点C落在函数y =子(>0)的图象上，BC∥y轴， (x>0)的图象点C处， 所以B(m,品)，则C(m,高.所以BN=合，CN=高 刀n 所以点C'的坐标为(2+m,1). 所以BN=2CN.所以BC=CN.所以CD=CB. ,6解得m=4 所以1=2+m 又因为CD⊥OA,CB⊥AB,所以AC是∠OAB的平分线， 20.(1)由题意，将A(a,-6)代入y=3x-2,得3a-2= 所以m的取值范围为0<m≤4. 18.(1)设点C(p,q),0A=m.所以k=pq,A(m,0) -6,解得a=-子所以4(-分，-60. 因为四边形OABC是菱形，所以BC∥OA,对角线交点D是 又因为点A在反比例函数y=(的图象上， AC中点.所以点B(p+m,q). 所以点D(,子). 所以k=-手×(-6)=8 因为点C,D都在y=冬上， 所以反比例函数的解析式为y=8 所以四=D+m.g=p+m (2)因为S△ABc=S△AoB,所以直线OC∥直线AB. 2 2 4 所以直线OC的解析式为y=3x 因为q≠0，所以4p=p+m,即0A=m=3p. 联立y=8和y=3x,解得x=±3 26 因为S菱形Bc=0A·yc=3pg=62,所以k=p9=22. 所以反比例函数的解析式为)=2巨(x>0. 因为点C是反比例函数第三象限图象上一点，且在直线 (2)因为四边形OABC是菱形，所以OC=OA. AB的上方，所以C(-26, 3 -26) 由(1)知，0A=3p,所以0C=3p. 过点C作CE⊥x轴于点E,图略.所以∠OEC=90° (3)联立y=3江-2和y=解得=-专成2 所以0E=p,CE=g=22 所以B(2,4). 由题意得，经过K变换后，点4(6，专)，点B'(2,-4). 在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2, 当x=3x-2时，x=1,即线段AB经过点M(1,1). 所以3p=p+2 p 当≥3-2，即-手≤≤1时，如 又因为p>0,所以p=1. 图，线段MA经过K变换后得到线段M'A', 所以OA=3p=3,即菱形OABC的边长为3. 此时M'(-1,-1), 19.(1)因为点B(2,3), 所以点A的纵坐标为3，点C的横坐标为2. 易求得直线M'A'的解析式为y= 3x- 又因为点A,C在函数y=三的图象上， 子，且-1≤≤6 所以点A1,3),(2,号. 当x<3x-2,即1<x≤2时，如图，线段MB经过K变换 设直线0C的解析式为y=:所以2水=多 后得到线段M"B',此时M"(1,-1), 易求得直线M"B'的解析式为y=-3x+2,且1<x≤2. 所以：=子所以直线0C的解析式为y=}、 综上，线段AB经过K变换后的图象为线段A'M',B'M"(不 含端点M"),如图所示. (2)四边形OABC的面积不变化.理由如下： 因为线段AB经过K变换后的图形与反比例函数y= 延长BA交y轴于点M,延长BC交x轴于点N,图略， 易得四边形BMOW是矩形. m(m<0)的图象没有交点， X 由反比例函数k的几何意义，得S网边形Bw0N=6,S△4Ow= 所以当线段A'M'与反比例函数y=m(m<0)没有交点 5m=分x3=2 1 所以Sg边形OABC=S四边形wON一S△AOw-S△cN=3. 时，方程宁号=受无解，即2-2：-3m=0无解， 所以四边形OABC的面积不变化. 所以4=（-2)2-4×(-3m)=4+12m<0, 6 初中数学·人教中考第5~8期 解得m<-方 1 <a<5且a≠2，a≠0. 当反比例函数y=m(m<0)经过M"(1,-1)时，m= 三、16.(1)设y= ≠0 -1,所以m≥-1； 由题意，得2= 当反比例函数y=m(m<0)经过B(2,-4)时，m=-8, -5+T解得k=-8 所以m<-8. 所以y关于：的函数解析式为y= 、8 8 (2)当x=5时，y=5+1 4 综上所述，m的取值范围是-1≤m<- 1 3 或m<-8. -6=-3 第7期4版 17.(1)因为y=0.8,所以y=08(x>0). x 重点集训营 所以y是x的反比例函数 1.-10;2.3；3.6;4.6. (2)因为长比宽多1.6m,所以y=x+1.6. 几何加油站 将其代人y=0.8,得x(x+1.6)=0.8. 1.√3.【提示】连接AW,HN,利用翻折的对称性得出 解得x1=-2(不符合题意，舍去)，x2=0.4. DM=AN,EF垂直平分DN,故2DH=DW,进而将求2DH+DM 所以y=0.4+1.6=2. 的最小值转化为求DW+AW的最小值，再通过轴对称求最短路 答：此模具的长为2m,宽为0.4m. 径即可 18.(1)反比例函数的解析式为y=6 2.25.【提示】过点C作CM1AB于点M,过点P作PT ⊥AB于点T,根据“三线合一”可得∠TBP=30°，所以PT= (2②)反比例两数y=兰的图象经过点(1,6).(2,3)，6。 之PB,求出之PB+PC的最小值即可得出结论 1),画图略. 3.(1)万；(2)4.【提示】(1)根据菱形的性质可知 3)号 △BCD是等边三角形，再由“三线合一”可知DP⊥BC,所以 △ADP是直角三角形，然后利用勾股定理求得DP及AP的长， 四、19.(1)当1≤x≤5时，由题意，得k=1×200=200. 最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答。 所以在新技术改造阶段，y与x之间的函数解析式为y= (2)连接DP,DB,AC,设DB交AC于点O,则点O是BD,AC的 200(1≤x≤5).当x=5时，y=200=40 中点，分别取AB,AD的中点N,M,连接NQ,OQ,MN,MB,MQ, 由题意得，当x>5时，y=40+20(x-5)=20x-60,即 B0,根据三角形中位线的性质推出D0+2DP=D0+MQ.在 新技术改造后，y与x之间的函数解析式为y=20x-60(x> 5). 点P的运动过程中，利用△ACP,△ADP中位线的性质，可得N, Q,O三点共线，所以点Q在线段NO上运动；易得△AMW是等 (2)y3>y1>2 边三角形，所以MW=2=NB.然后根据“三线合一”可证得 3)对于y=20,当y=100时，x=28 NO垂直平分BM,则MQ=BQ,进而根据“两点之间线段最短” 对于y=20x-60,当y=100时，x=8. 可求得答案。 所以资金紧张期为第3~7个月，所以该厂的资金紧张期 第8期2版 共有5个月. 27.3实际问题与反比例函数 20.(1)-2 1 基础训练1.C；2.B;3.丙；4.2米 (2)因为点E()和点F()是函数)=子(x> 5.(1)y=100x(0≤x<4),y=1600(4≤x≤10). 0)图象上不同的两个点， (2)对于y=100x,令y=200,解得x=2. 所以E( 5) 对于y=160,令y=200,解得x=8. 5),F(4 点-互-5(-) 因为8-2=6(h),所以血液中药物浓度不低于200微克 所以y4-= 3x43x3 3x3x4 /毫升持续的时间为6h. 因为(E,F)=二上=-4，所以5=4，即4x,=5. x4-x3 X3X4 第8期3,4版综合测评卷 因为x4-x3=2,所以4x3(x3+2)=5, 题号123456789 10 整理，得4x32+8x-5=0. 解得与=-弓（不特合题意，合去）或考=子 =、1.-2；12.0:13.3;14110m 所以点E(号，10)。 初中数学·人教中考第5~8期 21(1)1,y=-2 3%+6:1解得=- lk+b=-3, lb=-2. (2)连接AC,图略。 所以一次函数的解析式为y=-x-2. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以Sac=子。 (2)设直线AB交y轴于点D. 对于y=-x-2, 1 1 又因为Sap=4SgAc,所以S△ar=2S△c 当y=0时，x=-2;当x=0时，y=-2. 所以P为BC的中点. 所以点C(-2,0),D(0,-2). 因为点B(2,0),C0,-1),所以点P1,-7 所以5am=Sar+Sr=7×2x1+7x2x3=4 设直线AP的解析式为y=ax+b. 设点P(0,P). 由(1)得m=1.所以A(-2,1). 则S△Be=S△cDP+S△BDP 将点4(-2).P(1,-子)代入得 =宁×21p+21+宁×p+21 -2a+b=1, 3 =21p+21. 0+山解得a-2 因为5am=号5。c=4,所以s=子1p+21=6 所以直线AP的解析式为y=- 2 所以1p+21=4.解得p=2或p=-6. 所以点P的坐标为(0,2)或(0，-6). [y=- X, 联立，得 2 解得=：2（不符合题意，舍去）. 2 (3)存在，点0的坐标为5，-)或（号，-2 y=- 【y=1 【提示】①当∠B0Q=45°时，如图2，过点0作0B'⊥0B, 或=2，所以点Q2,-1). 且OB=OB,连接BB',交OQ于点E,易得点B'(3,1), ly=-1. 因为∠B0Q=45°，所以∠B'0Q=45°=∠B0Q. 五、22.(1)2. 所以BE=EB,所以点E(2,-1), (2)22,6. 设0B的解析式为y=x,则-1=2n,解得n=-2 (3)如图1，作直线l5:y=-x+n y/m个 交y轴于点P,交C2于M,N两点，作MG M 所以直线0E的解析式为y=-2x K 上4，NH上l4,垂足分别为G,H两点， N .C2 作OKLl,,垂足为点K,当OK=80时， 2 「x=6, x=-6 联立，得 解得 隔音屏障为GH的长. (0、6或 2, y= 6(不符 由y=-x+n,易得∠OPK= ∠P0K=45°.所以PK=OK=80. 图1 合题意，合去).所以点Q(6,-5): 在Rt△P0K中，OP=OK+PK=√2OK=802,所以 4:y=-x+802. y=-x+802, 将l与C2的解析式联立，得 ÷240 x 解得=202，=60， 图2 图3 y1=602,y2=202, ②当∠0BQ=45°时，如图3，过点B作0'B上0B,且0'B 所以点M(202,60√2)，N(60√2,20√2). =OB,连接OO',交直线BQ于点E, 所以GH=MW=8O. 易得点O'(4,-2),∠0BE=∠0'BE. 答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是80米. 所以OE=0'E,所以点E(2,-1), 23.(1)因为一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y 同法可得：直线BE的解析式为y=2x-5. ry=2x-5, 3 =点的图象交于点A(-3,m),B(1,-3), 联立，得 3解得 x= 2'或=1，（不特合 y=- y=-2, y=-3 所以=1×(-3)=-3m.所以k,=-3,m=1. 所以反比例函数的解析式为y=-是点4(-3,1)。 题意，舍去).所以点Q(子，-2). 将点A(-3,1),B(1,-3)代人y=kx+b,得 综上所述，点Q的坐标为(6，-)或（弓，-2）. -84 素养拓展 数理极 本版责任编辑：王晓萍 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 (上接第3版) 20.(14分)如图12，在平面直角坐标系x0, 报纸发行质量反馈电话： 19.(12分)如图11，点B在函数y=6(x> 中，一次函数y=3x-2的图象与反比例函数) 几何加油站 0351-5271248 0)的图象上，过点B(m,n)分别作x轴和y轴的 上的图象相交于A(a,-6),B两点， 第6期综合测评卷 参考答案 平行线，分别交函数y= 3(x>0)的图象于点 (1)求反比例函数的解析式； 1.如图1，沿EF翻折矩形ABCD,点A对应 -、1.D:2.A;3.A: (2)点C是反比例函数第三象限图象上一 4.C;5.C:6.C; 点M,点D落在CB上的点V处，作DH⊥EF于 A,C. 7.B;8.B;9.D 点，且在直线AB的上方，若△ABC的面积与 点H,AD=3,DC=4,则2DH+DM的最小值为 10.B. (1)若点B的坐标为(2,3)，求点A的坐标 △AOB的面积相等，求点C的坐标； 二、1l.a<2; 12.-2.7:13.10: 和直线OC的解析式 (3)对平面内任意一点P(a,b)定义K变 14.a<0或0<a< (2)若点B为函数图象上的动点，四边形换：若a≥b,则P变为p'(-b,-a);若a<b, 3或a>2: 15.202 OABC的面积是否变化？若不变，请说明理由；若则P变为P'(a,-b).若线段AB经过K变换后 三、16.(1)图略. (2)该图象的开口向 变化，请用含m的代数式表示四边形的面积. (3)若OC平分OA与x轴正半轴的夹角，求 的图象与另一个反比例函数y= (m<0)的 际搬是(0,2对 证：此时AC是∠OAB的平分线 图象没有交点，求m的取值范围 (2)>1. (3)当0<x<3时， 2.如图2，等边三角形ABC的边长为6，D 的取值范围是1<y≤5. 18,因为小矩形的宽为 为边AC的中点，P是线段BD上一动点，当PB m,则小矩形的长为 +2AP的值最小时，PB的长为 36-3m.因为3x≤15，所 4 3.如图3，已知菱形 以x≤5.设矩形菜地的总 ABCD,AB=4,∠BAD= 面积为ym2,则，=36-3 各用图 60°，点P在边BC上运 3x=-2+27x= 动，连接AP,取AP的中 9 9 (x-62+81.因为-4 点Q,连接DQ. 图3 <0,x≤5，所以当x=5时 (1)当点P为BC的中点时，DQ的长为 y有最大值，为-9×(5 4 6)2+81=35 (2)在点P从点B运动到点C的过程中， 答：当x=5时，矩形菜地 的总面积最大，最大面积为 DQ+2DP的最小值为 3152. 数理报社试题研究中心 数理报社试题研究中心 四、19.(1)抛物线的 (参考答案见下期) (参考答案见下期) 解析式为y=2-x 十“十十十十十十十十十十十十十 十4十m十4十四十四十十■十4十4 十十十十十十十十十 2.当x=0时，y=-2,所以 重点集训营 第5期2版参考答案 二、9.(-1，-1)；10.>；11.不能： C(0,-2). 12.9；13.(0,3)；14.①②③④. (2)点H(3,-2) 20.(1)绳子所对应的 26.2.3二次函数y=aax2+bx+c的图象和性质 三、15.(1)x<0或x>3. 抛物线的解析式为y= 基础训练1.B;2.D;3.C;4.二 (2)方程ax2+bx+c=-3的解为x1=0,x2=2. 1.如图1，点A是反比例函数y= (x 50）该秘物线的对称柏为直线：多 16.①因为a=子，所以二次函数y=3-4ar+ (2)身高为1.6m的君 君站在绳子的正下方，绳 0)图象上的一点，AB⊥y轴于点B,点P在x轴 (2)因为a<0,所以该抛物线的开口向下.所以到4=3.x2-6x+4=3(x-1)2+1,所以此函数图象的顶 不能过他的头顶.理由略. (3)令y=1.42,则 上，若△ABP的面积为5，则k的值为 对称轴的距离越远，函数值越小.因为点A到对称轴的 点坐标是(1,1). (2)因为二次函数y=3x2-4ax+4,所以该函数图 -2+2x+1=1.42 距离大于点D到对称轴的距离，所以y1<y: 解得x1=1.2,x2=2.8.所 -4a 能力提高6.(1)该抛物线的解析式为y= 1 x2- 4 象的对称轴为直线1一智号-图象开日向上 以1.2<d<2.8. 21.(1)①由抛物线的 3. 因为当1≤x≤4时，y随x的增大而减小；当8≤x 对称性，得AB=2. ②因为抛物线y=x2 (2)q的值为8， ≤12时y随：的增大而增大，所以4≤号≤8，解得6≤ 1与y=x2的形状相同， 1 26.3二次函数与一元二次方程 所以抛物线y三 1 2.如图2，B,C两点分别在函数y= 基础训练1.B:2.B: a≤12. 三龙2的“完美一角形 的斜边长的数量关系相等. 3.答案不唯一，如0；4.y=x2-4x 0)和y=-上(x<0)的图象上，线段BC⊥y轴， 1.(1)抛物线的解折式为y=-名(x-4)°+3. (2)a=2 能力提高5.(1)1 (2)绸球不能抛到观众区.理由略 (3)mn=-2. 点A在x轴上，则△ABC的面积为」 (2)①证明略. 18.(1)将B(1,0)代人y=-x2-3x+c,得-12 五、22.(1)a= ②0<n<12. 3 3.如图3，点A,B在反比例函数y=年(x 3×1+c=0,解得c=4. (2)证明略.(3)略 26.4实际问题与二次函数 (2)AP=62. 23.(1)y=-x2 >0)的图象上，经过点A,B向坐标轴作垂线 基础训练1.C;2.A;3.C;4.3 段，已知S阴影=1，则S,+S2的值为 5.(1)桥洞对应抛物线的解析式为y=- x2+ 19.(1)AB所在抛物线的函数解析式为y= 10 16 2t+2. (2)四边形ABEF的面 -4)2+3.5. 3.6. (2)不能.理由略 积最大为147 16 (2)横幅的长为4米 (3)OP+DQ存在最小 能力提高6.(1)抛物线L的解析式为y=- 2 20(1)抛物线的顶点坠标为（分子）。 值，为45. (2)证明略， (3)CD=DE.证明略. (2)人离壶的水平距离0E为2.6m 4.如图4，点A,B分别是双曲线y= R(k 第5期4版参考答案 (3)1.16m≤0A≤1.5m 重点集训营 >0)上的点，AC1y轴于点C,BD⊥y轴于点 第5期3版参考答案 1.D;2.C. D,连接AD,BC,若平行四边形ACBD的面积为 题号12345678 几何加油站 12,则k= 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期) 答案BDD CD C D B 1.4；2.32;3.9-4 数理报 2026年8月20日·星期四 初中数学 第7期总第1203期 人教 中考 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F)邮发代号：21-157 名师点睛 图解反比例函数k的几何意义 ©四川蒋明宇 模型 模型特征 模型图示 过双曲线y=上任意一点，向一坐 k(x>0) 标轴作垂线，以该点、垂足和另一坐标 (x>0 -(x>0 x>0 B 一点一垂线 C D 轴上任意一点为顶点的三角形的面积 为常数1 因为S△E=Sm 2 S△HC=S△HBm 所以S△4m=S标形A@DB 过双曲线y=冬上任意一点，向两坐 -(x>0 一点两垂线 标轴作垂线，两条垂线与坐标轴围成 的矩形的面积为常数1k S短A=S短形m 已知双曲线与正比例函数图象的交 两点两垂线 点，由交点向坐标轴作垂线，如右图 S阴影=2|k1 产料 2（x>0 两条双曲线上的两点的连线平行于 Lx>0 两曲一平行 条坐标轴，求以这两点与坐标轴上的 点为顶点的图形的面积 k2(x0 20 S短Am=k-k (-k) (k+k) 所以S网动鹅Ac=k-k, 专项练习见本期4版《重点集训营》 类型一、图象共存问题 题型全间 ■■■■■■■■■■■■■■ 例1若ab>0,则函数y=ax+b与函数 y=。在同一坐标系中的大致图象可能是 反比例函数与一次函数联袂登场 ◎山东杨晓花 A.0 B.1 C.2 D.3 (1)求直线AB的解析式和m的值； 解：因为关于x的方程x2+2x+1-k=0有 (2)求四边形DEBF面积的最大值， 两个不相等的实数根，所以△=22-4×1×(1 解：(1)由题意，得m=-6×2=-12. -k)>0.解得k>0. 因为直线y=x+b经过点B(0,-4),且 解：因为ab>0,所以a,b同号. 所以y=:的图象经过第一、三象限 与双曲线)=兴交于点A(-6,2), 若a>0,b>0,则函数y=ax+b的图象 又因为y=-4的图象位于第二四象限， 经过第一、二、三象限，函数y=名的图象位于 所。-2解士 1b=-4. 第一、三象限； 所以函数)=kx(:≠0)的图象与函数y=-4 所以直线AB的解析式为y=-x-4 若a<0,b<0,则函数y=ax+b的图象 的图象无交点。 (2)因为DE∥BF,DF∥BE,所以四边形 DEBF是平行四边形. 经过第二、三、四象限，函数y=力的图象位于 故选A. 类型三、综合问题 设点E(n,-n-4),其中n<0. 第二、四象限 例3如图，直线y= 由(1)得，双曲线的解析武为y=-二 故选C. kx+b经过点B(0,-4),且 所以点D(n,-2).所以DE=-卫-(-n 类型二、交点问题 与双曲线y=”交于点 例2若关于x的一元二次方程x2+2x+1 4)=-2 +n+4. -k=0有两个不相等的实数根，则函数y= A(-6,2)和点C,点D为第 二象限双曲线上点A右侧 所以Sam=-n(-12+n+4）=12- 红(k≠0)的图象与函数y=-4的图象的交点 一点，过点D作DE∥y轴交AB于点E,DF∥ABn2-4n=-(n+2)2+16.所以当n=-2时，四 个数为 ( )交y轴于点F. 边形DEBF的面积最大，最大值为16. 2 素养专练 数理极 丝眼踪训练 等式点>+6的解集为 27.2反比例函数的图象和性质（第二课时） 一基础训练 27.1反比例函数的概念 1.若反比例函数y=2站-3在每一个象限 了基础训练 内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是 1.下列函数中，y是x的反比例函数的是 ( 图2 5.如图2是三个反比例函数y,= y2= Ak>子B6>子Ck>0Dk< x A.y- B.y=- x 2.若点(-2，y),(1,2),(3,3)在反比例函 y3 在x轴上方的图象，则，k2,k3的大小关 ty D.y=x2+1 数y=(k<0)的图象上，则12的大小关 系为 2.夕夕家到学校的路程为3km,到校所需时 系是 (用“<”连接). 一能力提高 间t(单位：h)随平均速度v(单位：km/h)的变化 3.如图1，点P在反比例函数y=(k为常 而变化，则t关于v的函数解析式是 () 6.【问题呈现】我们知道反比例函数y= 数，k≠0，x<0)的图象上，过点P作PA⊥x轴于 A.t=3 的图象是双曲线，那么函数y=k +n(h,m,n x+m 点A,点B为OA的中点，连接PB,OP,若S△P= C.t 3v D.t=3 为常数，k≠0)的图象还是双曲线吗？它与反比例 2,则k的值为 v 3.已知反比例函数y=-二1，则的取值范 函数y=冬的图象有怎样的关系呢？让我们一起 开启探索之旅. 围是 :自变量的取值范围是 ；当 【探索思考】我们可以借鉴学过的研究函数 x=-3时，y的值为5，则k= 4.已知y=(m+1)x2m-3是反比例函数，求 的方法探素函数了=年+1的图象。 m的值 图1 图2 (1)补全表格，并画出函数的图象， ①列表： 4.如图2，已知直线y=mx与双曲线y= x x…-5-3-2013… 的一个交点坐标为(3,4)，则它们的另一个交点 y… … 坐标是 ②如图3，描点并连线 5.如图3，正方形 ABCD的顶点分别在反比例 5.已知y=y+y2,其中y:与x成正比例，3 与x2成反比例，且当x=2和x=3时，y的值都为 函数y=(k1>0)和y 19,求y关于x的函数解析式 点(k,>0)的图象上.若 图3 BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k,+k2= 543211012 A 3 6.如图4，一次函数y1=ax+b与反比例函数 为=兰的图象相交于A2,8),B(8,2)两点，连接 27.2反比例函数的图象和性质（第一课时） 图3 A0,B0. (2)观察图象，写出该函数图象的一条特征： (1)求一次函数y1与反比例函数y2的解析式； 基础训练 (2)当y<2时，直接写出自变量x的取值 山，关于反比例函数y二。，下列说法正确 【理解运用】(3)由作图可得函数y=4 范围； x+1 的是 ) (3)点P是x轴上一点，当SAO= A.图象位于第一、三象限 1的图象是由函数y=4的图象向 平移 时，求出点P的坐标 B.y随x的增大而增大 个单位长度，再向 平移 C.点(2,3)在该函数的图象上 个单位长度得到的 D.当x>0时，函数值y<0 【灵活应用】(4)根据上述画函数图象的经 2.在同一平面直角坐标系中，数y=x+k 4 与y=上的图象大致是 验，想一想函数y=x十+2的图象的大致位置。 并直接写出当y≥4时，x的取值范围. 3.已知y=(m-2)x-10是关于x的反比例 函数，且图象位于第一、三象限，则m的值是 4.直线y=kx+b与双曲线y=么在同一平 数理报社试题研究中心 面直角坐标系中的图象如图1所示，则关于x的不 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 13 同步达标检测题 ■■ 【检测范围：27.1~27.2】 (满分：120分) 16.(8分)如图8，已知反比例函数y= 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 题号 1 23 4 5 6 1 小来 5弘+2k>-名)的图象经过点A(-2,m),过点4 答案 作AB1x轴于点B,且△A0B的面积为6. (1)求m和k的值； 1.下列函数中，不是反比例函数的是( 二、细心填一填（每小题4分，共24分） (2)当x≥4时，求函数值y的取值范围， A.y=6 B.y =5x 9.若函数y=(k2+2)x2-是反比例函数， 则k的值为」 C.y=-9 D=法 10.近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米) 成反比例，已知400度近视镜片的焦距为0.2米， 2.反比例函数)：-巨的图象位于( )则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式是 A.第一、二象限 B.第一、三象限 8 11.如图4，一次函数y=x+b与反比例函数 3,红图1，点4为反比例函数y=女(：>0)的=华的图象相交于点4(2，)和点a,-1),则 C.第二、三象限 D.第二、四象限 17.(10分)数学活动课上，老师拿出一个由五 个边长为1个单位的正方形组成的教具（如图9 图象上的一点，AB1x轴，AC1y轴，垂足分别为关于x的不等式：+b>”的解集是 ①)，将它放入如图9-②所示的平面直角坐标系 点B,C.若四边形OCAB的面积为6，则k的值为 中，顶点A,0,B分别落在坐标轴上，点D恰好落在 A.3 B.-3C.6 D-6 反比例函数y=兰（x>0)的图象上 (1)求反比例函数的解析式； (2)将此教具沿x轴正方向平移m(m>0)个 单位，在平移的过程中，若此教具CD边与反比例 图4 图5 函数图象始终有交点，求m的取值范围. 12.如图5，正方形ABCD的边长为5，点A的坐 图1 图2 标为(4,0)，点B在)轴上，若反比例函数)=车（： 4反比例函数，=兰6≠0>0的图象在 ≠0)的图象过点C,则k的值为」 平面直角坐标系中的位置如图2所示，则k的值可 13.如图6，点A是反比例函数y=- 2在第二 能为 A.3 B.4 C.6 D.8 象限内图象上一点，点B是反比例还数：4在第 5关于反比例压数y=子，下列说法不正确的 一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C,且 AC=BC,连接OA,OB,则△AOB的面积是 8 ( A.函数图象位于第一、三象限 B.当x>0时，y随x的增大而减小 C.当x>-1时，y>-5 D.若点(a,b)在它的图象上，则点(b,a)也在 18.(11分)如图10，在平面直角坐标系x0y 它的图象上 6.若点A(x1,-1),B(x2,2),C(x,3)在反比 中，四边形OABC为菱形，对角线OB,AC相交于点 图6 图7 例函数)=二m-山的图象上，则，的大小 14.如图7，曲线AB是抛物线y=-x2+4x+ D反比例函数)=名（x>0)的图象恰好经过点C :2的一部分，点B是该抛物线的顶点，与y轴交于点 关系是 ( A.x3>x2>x1 B.x3>x1>x2 ）A,曲线BC是双曲线y=的一部分，点C的横坐 和点D,已知菱形OABC的面积为6V2, (1)求反比例函数的解析式； C.x1>x2>x3 D.x1>x3>x2 标为6.由点C开始不断重复“A-B-C”这一部分 (2)求菱形OABC的边长. 7.如图3，直线y=x+2与 个 曲线，形成一组波浪线，点P(2025,P)与Q(2026, x轴、y轴分别交于点A,B,与反 q)均在该波浪线上，则pg= 比例函数y=(x>0)的图 三、耐心解一解（本大题共6小题，共64分） 象交于点C,过点B作BD⊥y 70 15.(9分)已知反比例函数y=-1(k为常 轴，交反比例函数y=（x> 图3 数，k≠1). O)的图象于点D,连接CD.若BC=CD,则k的值 (1)若点A(1,2)在这个函数的图象上，求k 为 () 的值； A.6 B.8 C.10D.12 (2)若在这个函数图象的每一支上，y随x的 8.在同一平面直角坐标系中，函数y=x+b增大而增大，求：的取值范围； 与y=么（共中a,6是含数ab≠0）的图象大致是 (3)若k=13,试判断点B(3,4),C(2,5)是 否在这个函数的图象上，并说明理由. (下转第4版)