第26章 二次函数 高频考点突破(章节拔尖攻略)-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

第二十六章 二次函数 幻高频考点突破 考点一二次函数的图象和性质 典例1[2025绥化中考]如 图，二次函数y=a.x2十bx十c B 1 的图象与x轴交于点A(3,32012B元 0),B(一1,0)，与y轴交于 -3 \c 一4 点C(0,m),其中-4< -54 m<一3.有下列结论： (典例1图) ①a-c>0;②方程a.x2十bx十c-5=0没 <b<-2:④a+b+c> 8 有实数根；③- 3 b-a 0.其中，错误的有 ( A.1个B.2个C.3个D.4个 分析 根据题意得到函数图象开口向上，对称轴 为直线x= b_=31=1,故a>0,b=-2u. 2a2 当x=一1时，代入计算可判定①；根据二次函 数图象与直线y=5的位置关系可判定②；根据 随意得到(=6，可判定③：根据函数最小值的 符号可判定④.由此即可求解. 解答：.'二次函数y=ax2十bx十c的图象 与x轴交于点A(3,0),B(一1,0)，图象开口 向上，∴.对称轴为直线x= b_3-1=1, 2a2 a>0.∴.b=-2a.当x=-1时，y=a-b十 c=0,∴.a-(-2a)+c=0,即3a+c=0. ∴.c=-3a.∴.a-c=a-(-3a)=4a>0. 故①正确.易知抛物线y=a.x2十bx十c与直 线y=5有两个交点，∴.方程ax2十bx十c 5=0有两个不相等的实数根.故②错误 ,二次函数y=a.x2+bx十c的图象与y轴 交于点C(0,m),其中-4<m<-3,∴.当 10 聚焦高频考点，各个击破 x=0时，y=c=m..-4<c<-3. .c=-3a,b=-2a,∴.c= 3 .-4< 863即一86<2.放③正确当 3 x=1时，函数有最小值，最小值为y=a十 b+c<0..b=-2a,∴.b-a=-2a 4=-3a<0..utb+c>0.故④正确.综 b-a 上所述，正确的为①③④，错误的为②，∴.错 误的有1个.故选A. 小结 1. 二次函数图象的特征与a,b,c的关系： 字母的符号 图象的特征 a>0 开口向上 0 a<0 开口向下 b=0 对称轴为y轴 6 ab>0(a,b同号) 对称轴在y轴左侧 ab<0(a,b异号) 对称轴在y轴右侧 c=0 经过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 b2-4ac=0 与x轴有唯一交点（顶点） b2-4ac>0 与x轴有两个交点 Aac b2-4ac<0 与x轴没有交点 2.一般地，当式子中缺少a或b时，常利用 对称铅（直线=一会）进行消元誉换，如@：同 时要注意图象中的最高点或最低点，如本题当 x=1时，图象的最低点位于x轴下方，故y= a+b+c<0. 对应练习 1.[2025资阳中考]如图，在平面直角坐标 系中，O为坐标原点.抛物 线y=a.x2+bx十c(a≠0) y 与y轴相交于点A(0,2), x=-1 且抛物线的对称轴为直线 x=一1.给出以下4个结 (第1题) 论：①abc<0;②对于任意实数m, am2十bm十c十a的值都不小于2；③若 P是对称轴上的一点，则OP十AP的最 小值为2√2；④若点(x1y1),(x2,y2)在 抛物线上，且满足x1<x2,x1十x2十2> 0,则一定有y1<y2.其中，正确的为 (填序号). 典例2已知二次函数y=x2+bx+c(b,c 为常数)的图象经过点A(一2,5)，对称轴为 直线x=一是 (1)求二次函数的解析式. (2)若点B(一1,7)先向上平移2个单位长 度，再向左平移m(m>0)个单位长度后，恰 好落在二次函数y=x2十bx十c的图象上， 求m的值 (3)当-2≤x≤n时，二次函数y=x2十 6征+：的最大值与最小值的差为}，求n的 取值范围。 分析 (1)由对称轴“直线x= )”及图象经过 点A(-2,5)可得与b,c有关的方程求解即可； (2)根据平移规律可知平移后的点为（一1一m, 9),将此，点代入二次函数解析式即可求出m的 值：3)根据n<一分、号C1和月>1进 2、-2 行分类讨论，即可计算得解。 第二十六章二次函数 解答：(1)：二次函数为y=x2十bz十c, 八函数图象的对称轴为直线工=一名= 2 是16=1.二次时数的解折式为y x2十x十c.又，图象经过点A(-2,5), ∴.4-2十c=5..c=3..二次函数的解析 式为y=x2十x+3. (2)由题意，得点B平移后的点为（一1一， 9).·点（一1一m,9)恰好落在二次函数 y=x2十x十3的图象上，.9=(-1 m)2十(-1-m)十3..m=2或m=-3 (舍去)..m=2. (3)由题意，若n<一2，则在一2≤x<n 中，当x=一2时，y有最大值，为（一2）2 2+3=5;当x=n时，y有最小值，为n2十 n十3，∴.最大值与最小值的差为5-(n2十 9」 y n十3)=4，解得n1=n:=一2，不符合题 意，舍去.若一 2≤n≤1，则在-2≤x≤m 中，当x=一2时，y有最大值，为(-2)2一 2十3=5；当x=- 时y有最小值为 (-》°+8-录大位与最小值的 若为5符合题点若m>1,则在 一2≤x≤n中，当x=n时，y有最大值为 2+n十3：当x=一号时y有最小值为 (》”--3=子最大值与最小值的 差为n2十n十3- -是偏得0=1或 n2=一2，均不符合题意.综上所述，n的取值 范围是-<n≤1. 11 数学（人教版）九年级上 小结 决定二次函数在某区间上的最值问题的主 要因素：(1)二次函数图象的开口方向；(2)所给 自变量的范围：(3)对称轴的位置.在这三个因 素中，比较容易确定的是开口方向，而所给区间 和对称轴的位置的讨论是解决问题的关键要素. 对应练习 2.已知抛物线y=a.x2十bx(a≠0)经过点 (6,0). (1)求该抛物线的对称轴， (2)若a=一4，且对于该抛物线上的两点 P(m1,n1),Q(m2,n2),当t≤m1≤t+1, m2≥5时，均满足n1≥n2,求t的取值 范围， (3)点A(x1y1)和B(x2y2)分别在抛物 线y=a.x2十bx和y=2x2-x上（点A,B 都不与原点重合.当器时，老是 一个与x1无关的定值，求a与b的值， 考点二二次函数与一元二次方程 典例3关于x的一元二次方程a.x2十2x a十2=0的两个不相等的实数根都在一2和 0之间（不包括一2和0），则a的取值范围是 分析 本题运用求根公式较为繁琐，将问题转化 为二次函数图象与x轴的交点问题，通过图象 建立关于a的不等式组求出a的取值范围. 解答：.关于x的一元二次方程ax2+2x a十2=0有两个不相等的实数根，.△= 22-4×a×(-a+2)=4a2-8a+4=4(a 1)2>0..a≠1.令y=a.x2+2x-a+2. 当a>0时，函数y=a.x2+2x-a+2的图 象如图0所示，由题意，得-4十2>0， 4a-4-a+2>0, 解得号<a<2.当a<0时，函数y=ar2+ 2x一a十2的图象如图②所示，由题意，得 4a-4一a十2<0，：.该不等式组无解.综 -a+2<0, 上所述0的取值范固是号<0<2且a. ② (典例3图) 小结 方程与函数联系密切.在确定函数解析式中 的待定系数、函数图象与坐标轴的交点、函数图 象的交点等问题时，常将问题转化为解方程 (组)；在讨论方程、方程组的解的个数、解的分布 情况等问题时，借助函数图象能获得直观、简捷 的解答 对应练习 3.关于x的方程x2-(2m-3)x十m-4= 0的两根为a1,a2,且满足-3<a1<-2, a2>0,则m的取值范围是 典例4已知抛物线y=x2,直线y=(k十 2)x-(2k-1). (1)求证：无论k为何值，该抛物线与直线恒 有两个交点。 (2)设两个交点分别为A(x1,y1),B(x2, y2),若x1,x2均为整数，求k的值 分析 抛物线与直转 线恒有两个 令二次函数与一次函数的函 交点 数值相等，得一元二次方程 4>0 根与系数的关系 用含k的式子表示x,+x和xx 消去k求出无与x的值 代入求k的值 y=x2, 解答：(1)由 得 y=(k+2)x-(2k-1), x2=(k+2)x一(2k一1)，整理，得x2一(k十 2)x+2k-1=0..·△=(k+2)2-4(2k- 1)=k2-4k十8=(k-2)2十4>0，.无论k 为何值，该抛物线与直线恒有两个交点」 (2)由x2-(k十2)x+2k-1=0,得x1十 x1=k十2，x1x2=2k一1，消去k,得x1x2 2x1-2x2=-5,即(x1-2)(x2-2)=-1. 不妨设x1<x2.,x1,x2均为整数， x1-2=-1, x1=1, 解得 .x1十x2= x2-2=1, x2=3. 4=k十2..k=2. 小结 二次函数 二次函数 无交点《 y=ax +bxtc y=ax +bx+c 次 有一个交点 的图象与 的图象与 数与 x轴交点的 x轴的交点 有两个交点 横坐标 情况 有两个不相 等的实数根 一元二次方 一元二次 次 有两个相等 程ax+bx+ 方程ax4 的实数根 bx+c=0的 c=0的根 根的情况 无实数根 对应练习 4.对于平面直角坐标系中的点P(x,y),若 x,y满足|x一y=5,则P(x,y)就称为 “平衡点”.例如：点(1,6)，由于|1一6= 5,故(1,6)是“平衡点”. (1)有下列点：①(2,7)，②（-1，-5)， ③（一9,4），④(2，一3).其中，是平衡点 的为 (填序号) 第二十六章二次函数 (2)已知一次函数y=3x十k(k为常数) 的图象上有一个“平衡点”的坐标是(3， 8),求出一次函数y=3x十k(k为常数) 的图象上另一个“平衡点”的坐标， (3)已知二次函数y=ax2-(2a+1)x+ a十2(a≠0)的图象上有且仅有两个“平 衡点”，求a的取值范围。 考点三】二次函数在实际生活中的应用 典例5小明同学很喜欢玩纸飞机，他发现纸 飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三 个阶段，上抛和下降的飞行路径可看作是一 段抛物线，滑行的飞行路径可看作是一条线 段.如图，以地平线为x轴，起抛点所在铅垂 线为y轴建立平面直角坐标系，分别得到抛 物线y=一 2+x十a和直线y=一 m.其中，当纸飞机飞行的水平距离为8m 时，自动进入滑行阶段， y/m (起抛点) 0(地平线) 8(落地点)x/m (典例5图) (1)若纸飞机进入滑行阶段时的高度为 3.8m. ①直接写出a,m的值. ②小明前方有一堵2.7m高的围栏，小明最多 距离围栏多少米时，纸飞机能顺利飞过围栏？ 13 数学（人教版）九年级上 (2)要使纸飞机落地，点与起抛点的水平距离 不超过16m,求a的最大值 分析 (1)①依据题意，把(8,3.8)分别代入抛物 线对应的函数解析式和直线对应的函数解析 式，可求得a和m的值；②根据题意，围栏所在 位置最远应在开始进入滑行阶段的点和落地，点 之间，将y=2.7代入①中的一次函数解析式， 即可求得结果.(2)易得直线最远经过点(16， 0),代入一次函数解析式，求得m的值，进而取 x=8,求得y的值，代入二次函数解析式可得a 的最大值， 解答：(1)①由题意，得抛物线经过点(8， 3.8),∴.3.8= ×82+8十a.∴.a=2.2. 10 直线y=一 2x十m经过点(8,3.8)， 六3.8=2×8+m.m=7.8 ②由题意，纸飞机进人滑行阶段时对应的点 的坐标为(8,3.8)，∴.围栏最远的位置应在 开始进入滑行阶段的点和落地点之间.∴.将 y=2.7代入y=- 2x+7.8,得2.7- 2x十78，解得x=10.2.小明最多距 离围栏10.2米时，纸飞机能顺利飞过围栏， (2)由题意，得直线y=一2x十m最远经过 点16,0).0=-号×16+m.m=8 .y= 2十8.当x=8时，y=4,.抛物 1 线y=一 x2十x十a经过点(8,4). 10 .4=- 0×82+8+a..a=2.4.a的 最大值为2.4. 14 小结 本题是利用二次函数解决抛物线形问题，求 解时需注意：(1)若平面直角坐标系未给出，则 需要建立合适的平面直角坐标系，常以抛物线的 顶点为原点；(2)二次函数相关量与实际问题中 相关量之间的判断与转化. 对应练习 5.如图，某大型游乐场引入了一种水上娱乐 项目，人从点A处沿水滑道下滑至点B 处，然后腾空飞出落入水池.水滑道C,和 人腾空飞出后经过的路径C,都近似看作 是抛物线的一部分.现以地面所在的水平 线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直 线为y轴，垂足O为坐标原，点，建立平面 直角坐标系.经过测量，水滑道C,的最低 点C到地面的距离为米，点B到地面 的距离为2米，点C与点B的水平距离为 3米，点O与水池边缘的距离OE为12米. (1)求抛物线C,对应的函数解析式 (2)经过前期模拟实验，当下降落水时， 只要距离地面高度1米时，人与点E的 水平距离大于4米，则腾空落水都是安全 的.若某人腾空后的路径C2的顶点坐标 为，智），请通过计算说明此人腾空后落 水是否安全 y/米 C C C B E 0 x/米 (第5题) 考点四二次函数与几何的综合应用 典例6如图①，矩形ABCD的顶点A,B的 坐标分别为（一4,0）和(2,0)，且BC=2√5. 直线AC与直线x=4交于点E, (1)求以直线x=4为对称轴，且过点C与 原点O的抛物线对应的函数解析式，并说明 此抛物线一定过点E (2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点 为N,M是抛物线上位于点C,N之间的 个动点，求△CMN面积的最大值 (典例6图) 分析 (1) 求抛物线对应的函 代入检验是否过点E 待定 数解析式 系数法 求直线AC对应的函 得点E的坐标 数解析式 (2) 已知，点C, 欲求△CMN 需表示出N的坐标 面积的最大值 设M(x,y) 利用二次函数的 「割补法 性质求最大值 求面积 解答：(1)由题意，点C的坐标为(2,2√3) 设抛物线对应的函数解析式为y=a(x 4)2十m..抛物线过点C与原点O, 16a+m=0, a、3 6 解得 .所求 4a+m=23, 8√3 m= 3. 抛物线对应的函数解析式为y一一 6(x 第二十六章二次函数 4)+8 -5+4 6 x.设直线AC对 应的函数解析式为y=kx十b.将点A,C的坐 4k十b=0, k= 标代入，得 解得 .直 2k+b=23, b= 4v3 31 线AC对应的函数解析式为y= 343 √ 3 “当x=4时，y 83 ·点E的坐标为 )马知E为抛物线的膜点比箱 物线过点E (2)如图②，过点M作MQ∥y轴，交x轴于 点Q,交直线CN于点P.易知N(8,0),C(2, 2√3)，∴.易得直线CN对应的函数解析式 为y=一 58 32 3.设点Q的坐标为(m,0) ②<m<8,则Pm,3m士831 3m+ 3/,Mm, 6m44 √3 m).MP=3 45 622士538√3 3 3 m- 3 '.SACMN=S△CPM+S△MNP= 2MP·lxM 1 Cc+)MP·zN=xM=2MP·xN m士383 3 6= m+5v3m-85=- 3 2(m +: <0,2<m<8,∴.当m= 2 ,9V3 5时，Sw取得最大值，为2，即△CMN 9√3 的最大面积为2 15 数学（人教版）九年级上 小结 N,连接BN,DN,求△BDN面积的最 本题是二次函数与几何动态问题的综合题， 小值 求解动态问题时，常要化“动”为“静”，找出图形 在变化过程中不变的量或遵循的数量关系，从而 构建函数解析式求解.若在运动过程中，随着自 变量的改变，函数关系或图形也发生改变，则需 要针对函数关系或图形变化的情况分类讨论.求 解动态问题时，依据图形分析变量间的关系是解 ① ② 题的关键. (第6题) 对应练习， 6.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1: y=x2十bx十c经过点A(0,2),B(2,2), 顶点为D,抛物线C2:y=x2一2x十 m2一m+2(m≠1)的顶点为Q. (1)求抛物线C1对应的函数解析式及顶 点D的坐标 (2)如图①，连接AD,E是抛物线C1对 称轴右侧图象上一点，F是抛物线C2上 一点.若四边形ADFE是面积为12的平 行四边形，求m的值. (3)如图②，连接BD,DQ,M是抛物线 C,对称轴左侧图象上的动点（不与点A 重合)，过点M作MN∥DQ,交x轴于点 盟综合素养提升 强化综合运用，融会贯通 1.如图，二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0)图象的一部分与x轴的一个交点坐 y x=1 标为(3,0)，对称轴为直线x=1,结合图象给出下列结论：①abc>0;②b= 2a;③3a十c=0;④关于x的一元二次方程a.x2十bx十c+k2=0(a≠0)有 0 两个不相等的实数根；⑤若点(m,y1),(一m十2，y2)均在该二次函数图象 上，则y1=y2.其中，正确结论的个数是 (第1题) A.4 B.3 C.2 D.1 2.[2025青岛中考]将二次函数y=x2一2x一3的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴 翻折到x轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是() A.图象与y轴的交点坐标是(0，一3) B.当x=1时，函数取得最大值 16数学（人教版）九年级上 意.不存在m的值，使得(AB-3)(AD-3)=m. [综合素养提升] ①C根据题意，得“贺岁方程”的一个根为x=一1.方 程a2x2一2024a.x十1=0(a≠0)是“贺岁方程”，，.a2十 2024a+1=0..a2+2024a=-1,2024a+1=-a2. ∴原式=(a+2024a)ta-2o2ia+-(a+2024a)+ 2024a2+a 2024a2 2024a+1-202ia+1=(a2+2024u)+2024a+ -1+2024a2 =-1-2024=-2025, -a2 2C方程(m+2)x2-2(m+1)x十m=0只有一个实 数根，∴.该方程是一元一次方程，即m十2=0，解得m= -2.∴.关于x的方程(m十1)x2-2m.x十m-2=0可化 为-x2+4x-4=0,即x2-4x+4=0.∴.△=(-4)2 4×1×4=0..∴.方程有两个相等的实数根」 3C.a,b是方程x2一3x一3=0的两个根，∴.a十b 3,a2-3a-3=0,b2-3b-3=0..a2=3a+3,b2=3b+ 3.∴.a3=a(3a+3)=3a2+3a=3(3a+3)+3a=12a+9. ∴.2a3-6a2+b2+3b+1=2(12a+9)-6(3a+3)+3b+ 3+3b+1=6(a+b)+4=6×3+4=22. 0-1Km≤3 根据题意，得x1十x2=1,x1x2= 3m2:x十，-1，<3,1-3m,1<3,解得 2 2 m>一1.，方程有两个实数根，∴.△=b2一4ac≥0，即 (一2)2-4X2X(3m-1D≥0，解得m<2.实数n的取 值范固是一-1m≤号 0-500:25+203+1=0.(月）广'+20（日）十 25=0.”a2+20a+25=0,明≠1，a,月可看作方程 x+20x+25=0的两个根1a+日=-20.a·日=25， :原式=。·台+日·台-(+日)=5× (-20)=一500. 0原式=x-4r+4+子(x2-2y+y)+1=（x 2》+(x-y)+1.:y为实数，(x-2)≥0， 寻-y≥0(x-2+x-yy+1≥1.原式 的最小值为1. ⑦(1)，△=b2-4ac=(m+3)2-4×1×(m+1)=m2+ 2m十5=(m十1)2+4>0，∴.无论m取何值，原方程总有 50 两个不相等的实数根.(2)由题意，得x1十x2=一(m十 3),x1x2=m+1.|x1-x2|=2W5,.(x1-x2)2= (25)2..(x1+x2)2-4x1x2=20,即[-(m+3)]2 4(m+1)=20,整理，得m2+2m-15=0,解得m1=3, m2=-5..m的值为3或-5. ⑧(1)(36-3x).(2)根据题意，得x(36-3x)=96,解 得x1=4,x2=8,:当x=4时，36-3x=24>14,.x=4 不合题意，舍去.当x=8时，36-3x=12<14,符合题意， ∴.x的值为8.(3)不能.理由：假设苗围ABCD的面积 能为110m,则由题意，得x(36一3x)=110,整理，得 3x2-36x+110=0.:△=(-36)2-4×3×110=-24< 0,∴·原方程无实数根..苗圃ABCD的面积不能为 110m2. 第二十六章二次函数 [高频考点突破] 0230由图象和题含可知。>0，名=-1，当x=0 时，y=c=2,∴.b=2a>0.∴.abc>0.故①错误.当x= 一1时，函数取得最小值为a一b十c,∴.am2十bm十c十a≥ a-b十c十a=2a一b十c=c=2.∴.对于任意实数m, am2十bm十c十a的值都不小于2.故②正确.如图，作点O 关于对称轴的对称点O',连接O'A,则O(一2,0)，∴.当点 P在OA上时，OP+AP的值最小，为OA的长.：A(0, 2),∴.OA=√22+2=2√2..OP+AP的最小值为 22.故③正确.抛物线的开口向上，∴.抛物线上的点离 对称轴越远，函数值越大.：点(x1y1),(x2,y2)在抛物 线上且满足，<1十十2>0士>-1 ∴点(x2y2)离对称轴更远.y,<y2.故④正确.综上所 述，正确的为②③④. (第1题) 2(1)抛物线y=a.x2+b经过点(6,0)，∴.0=aX 62十b×6..b=一6a.抛物线的对称轴为直线x= 上么将b三一6a代入，得x三二)0=3，“该抛物线的 2a 对称轴为直线x=3.(2)当a=一4时，b=一6X (一4)=24，∴.抛物线对应的函数解析式为y=一4x2+ 24x.∴.抛物线开口向下，对称轴为直线x=3.'当x≥3 时，y随x的增大而减小，.当m2≥5时，n2的最大值 为-4X5+24X5=20.∴.需满足在t≤m,≤t十1内所有 n,≥20.若t十1≤3，即t≤2，则n1最小值在x=t处取得， .-4t2+24t≥20，解得1≤t≤5.t≤2，∴.1≤t≤2.若 t≥3，则n1最小值在x=t+1处取得，∴.一4(t十1)2+ 24(t+1)≥20，解得0t4.又"t≥3，.3t4.当t< 3<t+1,即2<t<3时，易知n1≥20恒成立.综上所述，t 的取值范围是1≤t≤4.(3)设=k(k≠0)，则x2= x1.:'点A(x1,y1)和B(x2,y2)分别在抛物线y= ax2+bx和y=2x2-x上，∴.y1=ax号+ba1,y2= 2)-,=-爱-要小费-，即 2y1x1 y2=2ky1..2kx号一k1=2k(ax十bx1).两边除以k, 得2kx-x1=2a.x号十2bx1,整理，得(2k-2a)x+(-1 (2k一2a=0, 2b)x1=0.该式子的成立与x1无关，. (-1-2b=0. (a=k, 6-1b=-6a.a12 0<m<g 令y=x2-(2m-3)z十m-4,根据题 意，画出函数的大致图象如图所示.∴.当x=0时，y=m 4<0:当x=-2时，y=4+4n-6十m-4<0;当x=-3 m-4<0, 时，y=9+6m-9+m-4>0,即4+4m-6+m-4<0, 9+6m-9+m-4>0, 解得号<m<号 3 2y-(2m-3)x*m-4 a a -32-012 -2 (第3题) ④(1)①④.(2)将(3,8)代人y=3x十k,得8=9+k, ∴.k=一1..一次函数的解析式为y=3x一1.联立 lx-y|=5 解得3， x=-2, 或 另一个“平衡点” y=3x-1, y=8y=-7. 的坐标为(-2，-7).(3)x一y|=5,∴.y=x-5或 y=x十5，即“平衡点”所在的直线为y=x一5或y=x+ 5.当a>0时，抛物线上有且仅有两个“平衡点”，∴.抛 附：答案与解析 物线与直线y=x一5没有交点，与直线y=x十5有两个交 点，分别令a2-(2a+1)x+a+2=x+5,ax2-(2a+1)· x十a+2=x-5,整理，得ax2-(2a+2)x+a-3=0, [-(2a+2)-4a(a-3)>0, ax2-(2a+2)x十a+7=0,则[-(2a+2)-4a(a+7)<0, a0, 解得。>吉当。<0时，同塑可得 (2a+2)2-4a(a-3)<0, 2a+2)-4aa+>0,解得a<-吉综上所述a的 a<0, 取值范围是a>号或a<一号 目(1)由题意，得C(-3),B0,2),∴可设抛物线C 对应的函数解析式为y=ac十3)+日：抛物线C,经 过点B0,22=aX(0叶3)+尽a=日地物 线C对应的国数年析式为y=日(x十3十名 7 (②)：抛物线C,的顶点坐标为(3，罗)，“设抛物线C: 对应的函数解析式为y=4'(x一3》+5.将B(0,2)代入， 8· 得a×0-3+容=2a=-日抛物线C对应 的函数解折式为y=日-3》+答令=1.则1 日-3》+袋x=3+V下或=3T(合去》 ∴.此时人与点E的水平距离为12-(3十√17)=(9一 √17)m.9-√17>4，.腾空后落水是安全的 ⑥(1)抛物线y=x2+bx+c过点A(0,2),B(2,2), c=2, b=一2， 4+2h+c=2 解得 .抛物线C,对应的函数 c=2. 解析式为y=x2-2x十2.：y=x2-2x+2=(x-1)2+ 1,∴.顶点D的坐标为(1,1).(2)如图①，连接DE,过点 E作EG∥y轴，交AD的延长线于点G,过点D作DH⊥ EG,垂足为H,与y轴交于点H'.设直线AD对应的函数 解析式为y=kx十d.由题意，得 d=2,解得 k=-1, k+d=1, d=2. ∴.直线AD对应的函数解析式为y=一x十2.设E(t,t2 2t十2)，则G(t,2-t),∴.EG=t2-t.:'□ADFE的面积 51 数学（人教版）九年级上 为12，SAAe=2S.AneE=2 X 12=6..SADE 1 SaGs-SAx=2EG·H'D=6.易知H'D=1BG= 12.∴.t2-t=12,解得t,=4,t2=-3(舍去..E(4,10). 点A先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长 度，得到点D,∴点E先向右平移1个单位长度，再向下 平移1个单位长度，得到点F.∴F(5,9).将F(5,9)代入 y=x2-2m.x+m2-m+2(m≠1)，得m2-11m+18=0, 解得m1=2,m2=9.(3)如图②，过点M作MP⊥x轴， 垂足为P,过点D作DK∥y轴，过点Q作QK∥x轴，QK 与DK交于点K.设M(h,h2-2h十2)，N(n,0).:y= x2-2mx十m2-m十2=(x-m)2十2-m,∴.抛物线C2 的顶点Q的坐标为(m,2-m).∴.DK=|1-(2-m)| m-1|,KQ=|m-1.∴.DK=KQ,∠DQK=45. MN∥DQ,KQ∥NP,.∠MNP=∠DQK=45. ∴.∠NMP=45.∴.MP=NP.∴.h2-2h+2=n-h. n=-h+2=(h-)'+子5当方=时n取得 最小值子，即点N横坐标的最小值为子此时点N到直 线BD的距离最短，△BDN的面积最小，最短距离即边 BD上的高.易知直线BD对应的函数解析式为y=x,该 7√2_7 直线过原点，“.易得高为4×？ .又：BD=2, 8 六△BDN面积的最小值为2××，2=名 8 G Q ① ② (第6题) [综合素养提升] ①B抛物线开口向上，∴.a>0.又，对称轴在y轴右 侧，∴.b<0.抛物线与y轴交于负半轴，.c<0. o>0故①正确”-一会-16-2a故②惜 误抛物线与x轴的一个交点为(3,0)，对称轴为直线 x=1,∴.抛物线与x轴的另一个交点为（一1,0）..a一 b十c=0.b=-2a,∴.3a十c=0.故③正确.关于x的一 元二次方程a.x2+bx十c十k2=0(a≠0)的解可看作抛物线 52 y=ax2十br十c(a≠0)与直线y=一k2的交点的横坐标. 一k2≤0，∴.当直线y=一k2过抛物线y=ax2十bx十c (a≠0)顶点时，两图象只有一个交点，即方程a.x2十bx十 c十2=0有两个相等的实数根.故④错误 :m十（二m+2-=1点(my),(-m+2y)关于直 2 线x=1对称.∴y,=y2·故⑤正确.综上所述，正确结论 的个数是3. ②C二次函数为y=x2一2x一3，.当x=0时， y=一3.∴.其图象与y轴交于点(0，一3).又：图象在 x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，∴.新函 数图象与y轴的交点为(0,3).故A选项错误结合函数图 象可以发现，函数没有最大值，故B选项错误令y=x2 2x一3=0，则x=3或x=一1，∴.函数图象与x轴交点为 (一1,0)，(3,0).∴.图象与x轴两个交点之间的距离为 3一（一1）=4.故C选项正确.：'原函数为y=x2一2x一 3=(x一1)2一4，∴.原函数图象在x轴下方的部分翻折后 对应的函数解析式为y=一(x一1)2+4（一1≤x≤3）. ∴.该部分的函数图象的对称轴是直线x=1.∴结合函数 图象可得，当1<x<3时，y随x的增大而减小；当x>3 时，y随x的增大而增大.故D选项错误 ③D由题意，得方程x2+(a-2)x十3=x在1≤x≤2 上只有一个解，即x2+(a-3)x十3=0在1≤x≤2上只有 一个解.当△=0，即(a-3)2-12=0时，a=3±23.当 a=3+2√3时，此时方程的解为x1=x2=一3，不满足题 意；当a=3一2√3时，此时方程的解为x1=x2=3,满足 题意.当△>0时，令y=x2+(a-3)x十3，当x=1时， y=a+1;当x=2时，y=2a+1.由题意，得(a+1)(2a+ 1D<0,解得一1a<-分当a=-1时，此时方程的解为 1或3，满足题意当a=-时，此时方程的解为2或号， 不满足题意.综上所述，a=3一25或-1≤a<-2 1 ④D如图，由题意可得，“互异二次函数”y=(x一m)2一 m图象的顶点(m,一m)在直线y=一x上运动.在正方形 OABC中，A(0,2),C(2,0),∴.B(2,2).从图象可以看出， 当函数图象从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交 点，则其位置应在第一次经过点A的位置和最后一次经过 点B的位置之间.∴.只需算出当函数图象经过点A及点 B时m的值，即可求出m的最大值及最小值.当“互异二次 函数”y=(x一m)2一m的图象第一次经过点A(0,2)时， m=2(舍去)或m=-1;当“互异二次函数”y=(x一m)2一 m的图象最后一次经过点B(2,2)时，m-5二亚（合去） 2