精品解析：江苏扬州市部分学校2026-2027学年第一学期9月学情调研高二数学试题

扬州市2026~2027学年度第一学期9月学情调研 高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．本试卷共4页，考试时间为120分钟，考试结束后，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平面直角坐标系中，直线的斜率为（   ） A. B. C. D. 不存在 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定直线的特征确定其斜率情况. 【详解】直线垂直于轴，所以直线的斜率不存在. 2. 已知复数，则对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算以及共轭复数的概念进行判断即可. 【详解】因为复数， 所以. 所以对应的点位于第一象限. 故选：A. 3. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二元二次方程表示圆可得的范围，再结合点在圆的外部，即可得解. 【详解】将圆化成标准方程，可得， 由，解得. 因为点在圆的外部， 所以，解得. 综上可得. 4. 已知直线与圆：相交于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得圆心为到直线的距离，求出弦长，计算即可得出结果. 【详解】因为圆心为到直线的距离为：， 所以= 所以,即. 故选：B 5. 已知点，直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，所以直线过定点， 所以，， 直线在到之间， 所以或，故选A． 6. 已知圆（）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用已知条件结合点到直线距离列式计算求解. 【详解】圆心到直线的距离， 结合圆上到直线距离为1的点有且仅有3个，可得. 7. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点是圆上任一点，点，，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目阿波罗尼斯圆的条件不妨取，使得，从而将所求转化为，根据题意，所表示的圆与圆相同可解得点坐标，再利用三角形两边之和大于第三边得到 (当且仅当在线段上时取等)即可得解. 【详解】设，不妨取，使得， 则， 整理得， 此方程与相同， 所以有，解得， 所以， 所以，当且仅当在线段上时，取等号. 因为，所以在圆内； ，所以在圆外； 所以线段与圆必有交点（记为）， 当重合时，，为其最小值， 故选：C. 【点睛】关键点睛：解决本题时，关键是利用阿波罗尼斯圆将变为，再由当在线段上时，求出最小值. 8. 已知圆：，直线为（），已知直线与圆相离，若在直线上存在点，在圆上存在两点、，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过分析角的最大值，结合直线与圆的位置关系建立不等式求解参数范围，首先明确圆与直线的基本信息，然后结合切线性质分析角的最大值，角度条件转化为距离条件，最后结合直线与圆的位置关系（距离公式）得出不等关系. 【详解】过作分别与圆相切于两点，连接， 在中，由正弦定理得， 当点相对固定时，均为定值，要使得最大， 则需要最大.当时，即与圆相切时，最大， 即为，所以,同理，， 故 即，所以要使圆上存在两点使得只需要 平分只需要 只需要 则直线与圆相交或相切，又已知直线与圆相离， 则弦心距满足 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分． 9. 设复数z满足（其中i是虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. z的虚部为 B. z在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先求解z的值，再根据复数的相关定义逐个计算判断即可 【详解】由可得 对A，z的虚部为，故A错误； 对B，z在复平面内对应的点位于第四象限，故B正确； 对C，，故C正确； 对D，，故D错误； 故选：BC 10. 下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线的倾斜角为120° C. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 D. 与圆相切，且在轴､轴上的截距相等的直线有两条 【答案】BC 【解析】 【分析】求出直线过的定点，即可判断A； 根据斜率与倾斜角的关系求出直线的倾斜角，可判断B; 计算圆心到直线的距离，即可判断C的对错； 求出与圆相切，且在轴､轴上的截距相等的直线，看有几条即可判断D的对错. 【详解】可变形为 ， 令 ，得 ， 即直线过定点 ，故A错； 直线的斜率为 ，故其倾斜角为 ，故B正确； 圆的圆心到直线的距离为 ， 圆的半径为2，故圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1，故C正确； 当直线不过原点时，设直线与圆相切， 则 ，解得，则满足题意； 当直线不过原点时，设直线与圆相切， 则 ，解得，则满足题意； 所以满足题意得直线有三条，故D错误， 故选：BC 11. 则下列结论正确的是（ ） A. 直线与直线关于点对称，则实数的值为2 B. 直线与曲线恰有1个交点，则实数的取值范围是 C. 已知实数、满足方程，当时，则的取值范围是 D. 由动点向圆引两条切线，，切点分别为，，若四边形为正方形，则动点的轨迹方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由两直线平行系数关系结合中点坐标公式可得A正确；由曲线的意义结合点到直线的距离可得B错误；由斜率的表达和计算可得C正确；结合题意和圆的标准方程可得D正确. 【详解】对于A，易得点不在直线上，又两直线关于点对称， 所以两直线平行，由对应系数成比例可得， 在直线上取一点，设其关于的对称点为， 由中点坐标公式可得，可得， 又在直线上，代入可得，故A正确； 对于B，曲线两边平方后可得，表示以原点为圆心，1为半径的右半圆， 当直线与圆相切时，由圆心到直线的距离为半径可得，又是右半圆，所以， 当直线过上端点时，；过下端点时，. 又当时，圆心到直线的距离为，不符合题意， 所以可得实数的取值范围是或，故B错误； 对于C，因为表示点到点连线的斜率， 所以当，，此时斜率为；当时，此时斜率为， 所以的取值范围是，故C正确； 对于D，因为四边形为正方形，且，所以， 故动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，其方程为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若三点共线，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：依题意有，即，解得. 考点：三点共线． 13. 圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆系方程可求圆的方程. 【详解】设圆的方程为：， 整理得到：， 因为圆过，代入该点得到：即， 故圆的方程为：即， 故答案为：. 14. 直线：是圆：的一条对称轴，过点作斜率为1的直线，则直线被圆所截得的弦长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线过圆心求出，然后可得直线的方程，再利用点到直线的距离公式和弦长公式可得. 【详解】圆的圆心为，半径， 由题意可知，直线经过圆心，所以，解得，所以， 又直线的斜率为1，所以直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以，直线被圆所截得的弦长为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知中，． （1）求边上的中线所在直线的一般式方程； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，再通过两点式求出直线的方程； （2）先用两点间距离公式求出的长度，再利用点到直线距离公式求出点到的距离，最后根据三角形面积公式求解． 【小问1详解】 为边上的中线，， 为边的中点，坐标为， 又， 所在直线方程为，即， 边上的中线所在直线的一般式方程为：． 【小问2详解】 ， ， ， 边所在直线方程为：，一般式为， 点到直线的距离为：， ． 16. 已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足 （1）求的值； （2）在复平面内，若对应的点在第三象限，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）令且，根据已知等量关系得，进而求复数的模； （2）由已知有，结合其所在象限列不等式组求参数范围. 【小问1详解】 令且，则， 所以，则，可得， 所以，则； 【小问2详解】 由， 故对应点在第三象限，则， 所以，即. 17. 已知圆，直线. （1）当为何值时，直线与圆相切； （2）当直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于半径，列方程求解； （2）根据弦长和半径求出弦心距，然后利用点到直线的距离公式构建关于的方程. 【小问1详解】 解：圆，即， 则圆心，半径，又直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离， 解得； 【小问2详解】 解：， 解得，则， 解得或， 则直线的方程为或． 18. 设直线的方程为 （1）求证：直线经过定点，并求此定点坐标. （2）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. （3）若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点的面积为，求的最小值并求此时直线的方程. 【答案】（1） 因为直线，即。 令，解得， 所以直线过定点. （2） 或 （3） 6， 【解析】 【分析】（1）整理可得，进而分析定点； （2）分类讨论直线是否过坐标原点，结合直线的斜率求参数的值，进而可得方程； （3）先求参数的取值范围和截距，进而求面积，结合基本不等式求最值和方程. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为直线， 当直线过原点时满足条件，则，解得， 可得直线的方程为：； 当直线不过原点时，则直线斜率为， 则，解得， 可得直线的方程为：； 综上所述，直线的方程为或. 【小问3详解】 令，解得，解得； 令，解得，解得或； 综上所述：. 则 ， 当且仅当，即时取等号. 所以（为坐标原点）面积的最小值是6，此时直线方程为. 19. 已知点，，，动点到的距离是到点距离的2倍，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的轨迹方程； （2）已知动点在直线上，过作曲线的两条切线分别切于两点，直线与分别交于，连接交于． （i）直线是否过定点，如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由； （ii）求的最小值． 【答案】（1）； （2）（i）过定点，定点坐标为；（ii）. 【解析】 【分析】（1）设，根据两点距离公式得到方程，化简即可； （2）（i）设，写出两点直径式方程，再与圆方程作差即可得到直线方程，分析即可得到定点坐标； （ii）设，，写出相关直线方程，求出，，再写出直线和的方程，联立得到，则得到最短距离. 【小问1详解】 由题意得，则，设， 则， 化简得 【小问2详解】 （i）设， 则以为直径的圆为：. 与方程作差可得直线为：. 即，则，解得. 则过定点. （ii）首先证明一个结论，标准圆， 其圆上任意一点，在该点处的切线方程为， 证明如下，当直线的斜率和直线的斜率均存在且不为0时，则，， 则切线方程为，即。 当直线的斜率不存在时，此时，，易得切线方程为，适合， 当直线的斜率为0时，此时，，易得切线方程为，适合， 综上圆上任意一点，在该点处的切线方程为. 设，， 则化简直线为：. 过定点，所以有（*） 直线为：，令，则，则 同理，直线为：，则同理得 则直线为： 即 同理直线为： 由，交于可知 两式作差可得 对比（*）式可得 即，即也在直线上. 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州市2026~2027学年度第一学期9月学情调研 高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．本试卷共4页，考试时间为120分钟，考试结束后，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平面直角坐标系中，直线的斜率为（   ） A. B. C. D. 不存在 2. 已知复数，则对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与圆：相交于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 6. 已知圆（）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点是圆上任一点，点，，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知圆：，直线为（），已知直线与圆相离，若在直线上存在点，在圆上存在两点、，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分． 9. 设复数z满足（其中i是虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. z的虚部为 B. z在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线的倾斜角为120° C. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 D. 与圆相切，且在轴､轴上的截距相等的直线有两条 11. 则下列结论正确的是（ ） A. 直线与直线关于点对称，则实数的值为2 B. 直线与曲线恰有1个交点，则实数的取值范围是 C. 已知实数、满足方程，当时，则的取值范围是 D. 由动点向圆引两条切线，，切点分别为，，若四边形为正方形，则动点的轨迹方程为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若三点共线，则的值为__________． 13. 圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为____________． 14. 直线：是圆：的一条对称轴，过点作斜率为1的直线，则直线被圆所截得的弦长为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知中，． （1）求边上的中线所在直线的一般式方程； （2）求的面积． 16. 已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足 （1）求的值； （2）在复平面内，若对应的点在第三象限，求实数的取值范围. 17. 已知圆，直线. （1）当为何值时，直线与圆相切； （2）当直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 18. 设直线的方程为 （1）求证：直线经过定点，并求此定点坐标. （2）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. （3）若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点的面积为，求的最小值并求此时直线的方程. 19. 已知点，，，动点到的距离是到点距离的2倍，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的轨迹方程； （2）已知动点在直线上，过作曲线的两条切线分别切于两点，直线与分别交于，连接交于． （i）直线是否过定点，如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由； （ii）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $