精品解析：江苏省江都中学、江苏省高邮中学、江苏省仪征中学2026-2027学年度第一学期高二10月份联合测试数学试卷

江苏省江都中学、江苏省高邮中学、江苏省仪征中学 2026-2027学年度第一学期高二10月份联合测试数学试卷 命题单位：江苏省高邮中学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 的虚部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出. 【详解】因为，所以其虚部为1， 故选：C. 2. “”是“直线：与直线：互相平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线与直线平行的充要条件，再判断即可. 【详解】若直线：与直线：互相平行， 则，解得或， 又当时，两直线重合（舍去）， 所以“”是“直线：与直线：互相平行”的充要条件， 故选：C 3. 过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用斜率与倾斜角的关系可求解. 【详解】当时，直线的斜率不存在，此时； 当时，直线的斜率，即，解得； 当时，直线的斜率，即，解得； 综上可得实数的取值范围是. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程表示 B. 方程表示经过的所有直线 C. 直线的倾斜角为 D. 经过两点、的直线方程为 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，当直线过原点时，直线在两坐标轴上的截距相等， 如但不能用表示，错误； 对于B，方程表示的直线的斜率为，经过点， 但是不包含经过点且斜率不存在的直线，错误； 对于C，对于直线，则该直线的斜率存在， 若，则该直线的斜率为，该直线的倾斜角为，不为，错误； 对于D，，则直线斜率存在， 经过两点、的直线斜率， 所以所求的直线方程为，正确． 5. 从空中某个角度俯视北京冬奥会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图如图，在平面直角坐标系中，下列直线系方程（其中为参数，）能形成这种效果的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象可由原点到直线的距离为定值判断即可. 【详解】原点到直线的距离为不是定值，故A错误； 原点到直线的距离为不是定值，故B 错误； 原点到直线的距离为定值，故C正确； 原点到直线的距离为不是定值，故D错误； 故选：C. 6. 德国数学家米勒提出了一个经典的几何问题——“米勒问题”，其核心是：“设点，是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大．”其结论是：点为过，两点且和射线相切的圆与射线的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据米勒问题的结论，当最大时，过、、三点的圆与轴相切于点，利用圆心在的垂直平分线上及圆与轴相切的性质列方程求解即可. 【详解】由题意，，， 则线段的中点坐标为，即， 直线的斜率， 所以线段的垂直平分线方程为，即. 因为过、、三点的圆与轴相切于点， 所以圆心必在直线上， 设圆心坐标为， 则圆的半径，且切点的坐标为. 又因为圆过点， 所以，即， 化简得， 整理得， 即，解得或. 当时，半径；当时，半径. 由正弦定理可知，在的外接圆中，， 因为为定值，且为锐角， 所以当半径最小时，最大，即最大. 因为，所以当时，取最大值， 此时点的横坐标为. 7. 过动点（）作圆：的两条切线，切点分别为，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出，确定动点的轨迹方程，从而结合表示圆上的点与坐标原点连线的斜率，利用距离公式列出不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知圆：的半径为， 因为，分别为两条切线，的切点，且，则，所以，所以动点在圆上且， 表示圆上的点与坐标原点连线的斜率， 设，则直线与圆有公共点， 由点到直线的距离公式可得，解得或， 即的取值范围是， 故选：D 8. 已知圆，过轴上的点存在圆的割线，使得，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用割线定理得，再根据，列出关于的关系式，利用求解即可. 【详解】由题意得圆的圆心坐标为，半径，如图所示： 连接，交圆分别点，易证△∽△ 则， 因为，故，， 所以， 又， 所以， 解得. 故选：D. 【点睛】本题主要考查圆的方程及圆的几何性质，考查学生分析处理问题的能力，属于难题，解答时将问题灵活转化是关键. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知直线：，下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线的倾斜角为 B. 若直线在两坐标轴的截距相等，则 C. 直线与直线垂直，则 D. 若直线不过第二象限，则， 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据直线的斜率与倾斜角及其关系即可判断；对于B，分别令和求出两坐标轴的截距，由其相等计算即可得解；对于C，由两直线垂直的充要条件即可求解判断；对于D，由题意得，计算其即可得解. 【详解】对于选项A，当时，直线l可化为，故直线的斜率为， 所以倾斜角为，正确； 对于选项B，由题意，令，得，令，得， 若截距相等，则有，解得或，错误； 对于选项C，由直线垂直的充要条件得，解得，正确； 对于选项D，直线l可化为， 因为不过第二象限，所以，解得， 所以，错误. 10. 已知虚数满足．记，则（ ） A. 为纯虚数 B. C. 若，则一定为纯虚数 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设虚数，代入到中求出，根据纯虚数定义判断；利用模长公式判断；令解得判断；根据虚数的运算判断. 【详解】对于A，设虚数，则， ， 因为，所以，因此，所以为纯虚数，故A正确； 对于B，，又即， 所以； 当时，，所以，故B错误； 对于C，若，则 ，解得； 又因为，所以为纯虚数，故C正确； 对于D，设，则， ，， 所以，故D正确. 11. 已知集合．由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”，则（ ） A. 白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为； B. 在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3； C. 阴影部分的面积为； D. 白色“水滴”图形的面积是． 【答案】ABD 【解析】 【分析】令，求得，可判定A正确；根据圆的方程，得到点到坐标轴的距离为或，结合三角函数的性质，可判定B正确；令，求得，得到白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形和一个半圆组成，结合圆，扇形和三角形的面积公式，可判定C错误，D正确. 【详解】由方程， 可得集合是圆心为，半径为的圆上所有点的集合，其中， 其圆心的轨迹为单位圆的上半部分，即， 对于A，令，整理得，即， 解得或，即， 所以“水滴”图形与轴的交点，分别为， 所以白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为，所以A正确； 对于B，由，可得， 所以点， 所以点到坐标轴的距离为或， 因为， 所以， 所以在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于，所以B正确； 令，整理得，即， 解得或，即， 因为表示圆心为，半径为的圆， 则，且，则在轴上以及轴上方， 所以白色“水滴”的下半部分的边界为以为圆心，半径为的半圆， 阴影的上半部分的外边界是以为圆心，半径为的半圆， 根据对称性知：白色“水滴”在第一象限的边界是以为圆心，半径为的圆弧， 设，则，即所对的圆心角为， 同理可得：所在圆的半径为，所对的圆心角为， 阴影部分在第四象限的外边界是以为圆心，半径为的圆弧， 设，可得，所对的圆心角为， 同理可得：所在圆的半径为，所对的圆心角为， 所以白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形和一个半圆组成， 所以它的面积为， 其中轴上方的半圆（包含阴影和水滴的上半部分）的面积为， 第四象限的阴影和水滴部分面积可以看作一个直角三角形和一个扇形的面积的和， 且等于， 所以阴影部分的面积为，所以 C错误，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，复平面内表示复数的点位于第三象限内，则m的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数对应的点位于第三象限内，列出相应的不等式组，解得答案. 【详解】由题意可知，复数对应点的坐标为，该点位于第三象限内， 则满足 , 得 ,所以, 故答案为： 13. 如图，在长方形中，,,分别是边上的动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先设，再根据勾股定理，用表示出，再通过式子中的几何意义，根据“将军饮马”模型解决即可. 【详解】设， 在长方形中，,， ，又， ∴， ∴， 这个式子的几何意义是轴上的动点， 到点与点的距离之和，如图， 作关于轴对称点，则， 则，∵两点之间线段最短， ∴最小值就是线段的长， 即. 14. 已知圆，圆，直线上存在点，过点向圆引两条切线和，切点是和，再过点向圆引两条切线和，切点是和，若，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，作出图形，结合图形转化为，利用两点间距离公式，求得点的轨迹方程，结合直线与圆有交点，列出不等式，即可求解. 【详解】如图所示，连接， 因为，可得， 由圆表示以为圆心，半径为的圆， 圆表示以为圆心，半径为的圆， 可得且， 所以，可得， 不妨设，因为，可得 整理得，即， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 又因为在直线上，所以圆有交点， 则满足，即，解得， 所以实数的取值范围为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知圆：． （1）求的取值范围． （2）已知直线：与圆交于，两点，且．求过点的圆切线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将圆化为标准方程，根据半径恒为正列不等式求的取值范围； （2）根据弦长公式，建立方程，求出参数；再分斜率不存在和存在两种情况，设出切线方程，根据圆心到直线的距离等于半径列方程求切线． 【小问1详解】 由题意得，则，得，所以的取值范围为． 【小问2详解】 设圆的半径为，由题意得圆心到直线的距离 因为，解得，所以，解得． 因此圆. 当所求切线的斜率不存在时，该切线的方程为； 当所求切线的斜率存在时，设该切线的方程为，即． 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即, 得， 所以所求的切线方程为，即． 综上，过点的圆的切线方程为或． 16. （1）复数，（），若为纯虚数，求． （2）设和是关于的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，求实数． 【答案】 （1）；（2） 【解析】 【分析】（1）对复数商做分母实数化运算，结合纯虚数性质求解参数后计算模长； （2）利用实系数方程虚根共轭特性与韦达定理，结合直角三角形向量垂直的坐标运算求解参数. 【详解】（1）由，得的共轭复数， 所以 ， 由为纯虚数得， 解得， 故，得： （2）根据实系数一元二次方程虚根成对定理，设，则， 由韦达定理得，， 解得，即， 三个复数在复平面对应的点为、、，由在轴上，关于轴对称，所以，由对称性可知直角顶点只能为， 故，因为，，所以得， ，解得， 所以. 17. 直线过点 且与轴、轴正半轴分别交于两点. （1）若直线与的法向量平行，写出直线的方程； （2）求面积的最小值； （3）如图，若，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标. 【答案】（1） （2）12 （3）由题意，设，因为，点， 即， ∴，即，∴. 过点作平行于轴的直线交轴于点，则. 直角梯形的顶点为， 上底，下底，高为2， 梯形的面积， 设动点，， 因为直线平分直角梯形的面积，所以四边形的面积为 6， 四边形是梯形，其上底为，下底为 ，高为 2， 所以，即， 因此点的坐标为， 直线经过点和，其斜率 ， 则直线的方程为：，化简得， 去分母整理得， 上式对任意恒成立，因此需满足，解得. 所以，直线必过定点，该定点坐标为. 【解析】 【分析】（1）利用两直线垂直设出一般式，代入点即可求出直线方程； （2）设直线方程，代入点得到直线方程，然后得到交点坐标，由交点坐标计算三角形面积，然后利用基本不等式即可求出面积最小值； （3）设，利用得到.再设，根据四边形面积得到关系式，代回直线方程，求出定点得解． 【小问1详解】 由题意可设直线， 所以，所以， 即. 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，不存在点，舍去. 当直线斜率存在时，设，即， 由题意可知，∴， ∴， ∵时，∴，当且仅当，即时取等号， ∴. 【小问3详解】 略 18. ①圆心C在直线上，圆C过点B (1，5)；②圆C过直线和圆的交点；在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解．已知圆C经过点A(6，0)，且 . （1）求圆C的标准方程； （2）过点P (0，1)的直线与圆C交于M，N两点 ①求弦M N中点Q的轨迹方程； ②求证为定值. 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）①； ②当直线的斜率不存在时，直线：交圆C得， 当直线的斜率存在时，设直线：，设 则 消元得，其中 则，， ， 综上所述：＝－3∴为定值. 【解析】 【分析】（1）选①，待定系数法可解；选②，利用过直线和圆交点的直线系方程可得； （2）①利用，数量积为0直接求轨迹方程；②利用韦达定理代换后化简可证，注意讨论斜率不存在的情况. 【小问1详解】 选①条件：设所求圆的方程为， 由题意得解得，，， 所以所求圆的方程是 选②条件：因为圆C过直线和圆的交点，所以设圆C的方程为， 因为圆C过点A（6，0），将点A的坐标代入方程，解得， 所以圆C的方程是，即 【小问2详解】 ①设，圆心C（3，2） 由题意可知：得 ②略 19. 在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为.对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，若，两点间的距离有最小值，且最小值恰好为，则称点为图形的“关联点”. （1）如图1，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为，则 .在点，，，中，矩形的“关联点”是 ；(直接在答题卷上写出答案即可，不需要书写过程) （2）如图2，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为. 若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”，求的取值范围； （3）已知点，. 图形是以为圆心，为半径的⊙. 若线段上存在点，使点为⊙的“关联点”，求出的取值范围. 【答案】（1）；，； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据d的定义和图形的特征即可求解，再依次求解点，，，和图形的最近距离结合关联点定义即可得解； （2）先根据d的定义和图形的特征求出d，再根据题意、直线和图形两者结构和位置特征结合关联点定义分析即可求解； （3）先根据关联点定义求出d，接着根据线段MN和圆T两者结构和位置特征结合点到直线距离分时和时两种情况数形结合并结合d求出两极限的t值即可得解. 【小问1详解】 矩形的对角线长为，这也是矩形中任意两点距离的最大值，所以， 对，矩形中点到它的距离最小为1，不是关联点， 对，矩形中的点到它的距离最小为，是关联点， 对，矩形中点到它的距离最小为，不是关联点， 对，中矩形中点到它的距离最小为，是关联点， 因此是关联点； 【小问2详解】 由已知正方形的边长为2，对角线长为，因此正方形中，， 直线与正方形的对角线平行，由已知，，， 设，当时，或时，到正方形上点的距离的最小值为，为关联点， 当时，或时，到正方形上点的距离的最小值为，为关联点， 当且时，如果在第一象限，则到正方形上点的距离的最小值为， 因此有，即在圆的一段弧上（）， 同理点还在下列三段圆弧上：，，， 直线与图中正方形外围的图形（四段线段与四段圆弧组成）的公共点即为关联点， 当直线与第二象限的一段圆弧相切时，，（舍去）， 同理当直线与第四象限的一段圆弧相切时，， 所以的取值范围是； 【小问3详解】 由题线段所在直线方程为即，圆半径为1，因此， 点到圆上点的距离的最小值为2，则， 当时，令点T到线段所在直线距离为， 令； 当时， 令，令， 如图： 结合图形，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省江都中学、江苏省高邮中学、江苏省仪征中学 2026-2027学年度第一学期高二10月份联合测试数学试卷 命题单位：江苏省高邮中学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 的虚部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 2. “”是“直线：与直线：互相平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 或 4. 下列说法正确的是（ ） A. 在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程表示 B. 方程表示经过的所有直线 C. 直线的倾斜角为 D. 经过两点、的直线方程为 5. 从空中某个角度俯视北京冬奥会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图如图，在平面直角坐标系中，下列直线系方程（其中为参数，）能形成这种效果的是（ ） A. B. C. D. 6. 德国数学家米勒提出了一个经典的几何问题——“米勒问题”，其核心是：“设点，是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大．”其结论是：点为过，两点且和射线相切的圆与射线的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 过动点（）作圆：的两条切线，切点分别为，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆，过轴上的点存在圆的割线，使得，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知直线：，下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线的倾斜角为 B. 若直线在两坐标轴的截距相等，则 C. 直线与直线垂直，则 D. 若直线不过第二象限，则， 10. 已知虚数满足．记，则（ ） A. 为纯虚数 B. C. 若，则一定为纯虚数 D. 11. 已知集合．由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”，则（ ） A. 白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为； B. 在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3； C. 阴影部分的面积为； D. 白色“水滴”图形的面积是． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，复平面内表示复数的点位于第三象限内，则m的取值范围是______. 13. 如图，在长方形中，,,分别是边上的动点，且，则的最小值为______． 14. 已知圆，圆，直线上存在点，过点向圆引两条切线和，切点是和，再过点向圆引两条切线和，切点是和，若，则实数的取值范围为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知圆：． （1）求的取值范围． （2）已知直线：与圆交于，两点，且．求过点的圆切线方程． 16. （1）复数，（），若为纯虚数，求． （2）设和是关于的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，求实数． 17. 直线过点 且与轴、轴正半轴分别交于两点. （1）若直线与的法向量平行，写出直线的方程； （2）求面积的最小值； （3）如图，若，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标. 18. ①圆心C在直线上，圆C过点B (1，5)；②圆C过直线和圆的交点；在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解．已知圆C经过点A(6，0)，且 . （1）求圆C的标准方程； （2）过点P (0，1)的直线与圆C交于M，N两点 ①求弦M N中点Q的轨迹方程； ②求证为定值. 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 19. 在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为.对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，若，两点间的距离有最小值，且最小值恰好为，则称点为图形的“关联点”. （1）如图1，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为，则 .在点，，，中，矩形的“关联点”是 ；(直接在答题卷上写出答案即可，不需要书写过程) （2）如图2，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为. 若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”，求的取值范围； （3）已知点，. 图形是以为圆心，为半径的⊙. 若线段上存在点，使点为⊙的“关联点”，求出的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $