精品解析：北京市清华大学附属中学朝阳学校、望京学校2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

2026—2027学年第一学期月考试卷 高一数学 （清华附中朝阳学校 望京学校） 2026年10月 一、单选题（每小题5分，共50分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，，且，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知命题“，”为假命题，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若不等式的解集是，则的值为（ ） A. B. C. 10 D. 14 7. 设实数，满足，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知集合，试判断之间满足的关系是（ ） A. B. C. D.  9. 已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 10. 数集，其中，若，且，求（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题（每小题5分，共30分） 11. 已知集合，且，则________． 12. 集合可以用列举法表示为__________. 13. 已知正数满足，则的最大值是______，的最小值是______． 14. 已知集合，，若，求实数的取值范围是______. 15. 不等式在上恒成立，则m的取值范围是______． 16. 已知不等式（）的解集是． ① ②若不等式的解集为，则 ③若不等式的解集为，则 ④若不等式的解集为，且，则 其中正确结论的序号是__________． 三、解答题（5道大题，共70分） 17. 已知：集合，． （1）若，求，，； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 18. 设函数． （1）若关于x的不等式的解集为，求实数a，b的值； （2）若不等式对于任意实数x都恒成立，求a的取值范围； （3）解关于x的不等式：． 19. 物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． （1）求出与的解析式． （2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 20. 已知二次函数（，）． （1）已知，设、是关于的方程的两根，且，求实数的值； （2）已知满足，且关于的方程的两实数根分别在区间，内，求实数的取值范围． （3）当时，若对任意的实数，有恒成立，求实数的取值范围． 21. 已知集合，其中．若的子集满足，则称具有性质．的所有具有性质的子集的个数记为． （1）当时，写出的所有具有性质的子集； （2）当时，若，且，证明：数对和中至少有一对中的两数奇偶性相同； （3）当时，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期月考试卷 高一数学 （清华附中朝阳学校 望京学校） 2026年10月 一、单选题（每小题5分，共50分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次不等式解法化简集合，再由绝对值不等式的解法化简集合，再由交集运算得出答案. 【详解】， 或， 或. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】命题“”是存在量词命题， 其否定为全称量词命题，是：. 3. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过举特例可判断选项正误；对于C，由题设结合作差法可判断选项正误；对于D，先去掉绝对值，再由作差法可判断选项正误. 【详解】对于A，取，则，故A错误； 对于B，取，则，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，， 又，则，故D正确． 4. 若，，且，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质进行逐项判断即可. 【详解】因为，所以同号. 对于A：当时，，此时， 不等式左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，A错误； 对于B：当时，，即， 此时，所以B错误； 对于C：当时，，此时， 不等式左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，C错误； 对于D：因为同号，所以， 根据基本不等式的性质可得，D正确. 故选：D. 5. 已知命题“，”为假命题，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据命题的否定为真命题，然后分，讨论，根据一元二次不等式恒成立求解. 【详解】命题为假命题，即命题为真命题， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则且，即； 综上可知，. 故选：C. 6. 若不等式的解集是，则的值为（ ） A. B. C. 10 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】由含参一元二次不等式解集及根与系数关系列方程求参数，即可得答案. 【详解】由题设，可得，故. 故选：B 7. 设实数，满足，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别通过基本不等式判断必要性、举反例判断充分性，即可确定两个条件的逻辑关系 【详解】设条件，条件。 已知，由基本不等式可得（当且仅当时等号成立）， 若，则，即成立，故必要性成立； 取，满足，且，但， 即存在满足的情况不满足，即不成立，故充分性不成立. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 8. 已知集合，试判断之间满足的关系是（ ） A. B. C. D.  【答案】A 【解析】 【分析】先化简三个集合，再根据集合中元素的关系即可得解. 【详解】， ， ， 当时，比较，与， 可知与表示的数完全相同，∴， 只相当于中当为偶数时的情形，∴. 综上可知. 故选：A 9. 已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据充分不必要条件的定义，可知区间是区间的真子集， 则有且等号不能同时成立，解得. 故实数的取值范围是. 10. 数集，其中，若，且，求（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知，结合集合描述推得，进而有求得，即可求. 【详解】由题设，又且， 若，则，，， 此时中不存在元素，不合题设； 若，则，，， 此时中存在一个大于的元素，不合题设； 所以，则，，， 所以，可得且且， 所以，则. 故选：D 二、填空题（每小题5分，共30分） 11. 已知集合，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由，可得或，然后分情况求出的值，再利用集合中的元素的互异性判断即可 【详解】由，可得或， 由，解得，经过验证，不满足条件，舍去. 由，解得或，经过验证：不满足条件，舍去. ∴. 故答案为：. 12. 集合可以用列举法表示为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，逐项验证，结合集合的表示方法，即可求解. 【详解】当时，可得，不符合题意； 当时，可得，符合题意； 当时，可得，不符合题意； 当时，可得，符合题意； 当时，可得，符合题意； 当时，显然不成立， 当时，可得，不符合题意， 所以集合可以表示为集合. 故答案为：. 13. 已知正数满足，则的最大值是______，的最小值是______． 【答案】 ①. ##0.5 ②. 【解析】 【分析】由基本不等式直接进行求解，得到，再变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正数满足，由基本不等式得， 即，解得，当且仅当，即时，等号成立， ，故，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：， 14. 已知集合，，若，求实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】确定，然后由，分类讨论集合中元素可得解. 【详解】由已知，且， 由， （1）当，即时，由解得，不满足； （2）当时，①由，即时，则，满足； ②当，则，此时，不满足； ③当时，由知，则，解得， 综上，的取值范围是. 15. 不等式在上恒成立，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】结合函数图象列关系式求解. 【详解】设，则在恒成立， 因为函数开口向上，若与轴无交点，则方程无实根， 所以，解得； 若与轴有交点，若在恒成立， 则，解得， 综上可知，, 所以的取值范围是. 故答案为：. 16. 已知不等式（）的解集是． ① ②若不等式的解集为，则 ③若不等式的解集为，则 ④若不等式的解集为，且，则 其中正确结论的序号是__________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据不等式解集特征，得出二次式判别式等于0，再利用韦达定理对四个命题逐一推导验证；求解两根之差时，注意使用根与系数的关系公式进行计算. 【详解】已知不等式（）的解集是，说明对应的二次函数开口向上，且图像与轴仅有一个公共点，即判别式. 由判别式，直接可得，①正确； 不等式变形为，由解集得方程的两根分别为，. 由韦达定理得，解得.结合①中的，得，所以，②正确； 不等式对应方程，由韦达定理得两根之积. 由和，得，③错误； 不等式对应方程，由解集得方程的两根分别为，. 由韦达定理得，，结合①中的，得， 因为，所以，④正确. 三、解答题（5道大题，共70分） 17. 已知：集合，． （1）若，求，，； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或，，.； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）把代入，利用补集、交集和并集定义直接求解. （2）利用集合的包含关系建立不等式求解. （3）利用交集的结果，按和分类求解. 【小问1详解】 当时，，而， 所以或，，. 【小问2详解】 因为，所以，故，解得， 所以实数的取值范围为． 【小问3详解】 当时，，解得，满足，故； 当时，由，得或，解得或， 所以实数的取值范围为． 18. 设函数． （1）若关于x的不等式的解集为，求实数a，b的值； （2）若不等式对于任意实数x都恒成立，求a的取值范围； （3）解关于x的不等式：． 【答案】（1） （2） （3） 若，不等式解集为，若，不等式解集为， 若，不等式解集为，若，不等式解集为， 若，不等式解集为. 【解析】 【分析】（1）利用三个“二次”关系，待定系数计算即可； （2）利用二次不等式恒成立问题的解法计算即可； （3）含参分类讨论结合一元二次不等式的解法计算即可. 【小问1详解】 由题意可知：是方程的两个根， 所以，解得：； 【小问2详解】 由题意可知，即， 若，显然，与前提不符； 所以，整理得， 解得：； 【小问3详解】 由可得， 若，不等式化为，即； 若，解不等式得； 若，解不等式得或； 若，解不等式得； 若，解不等式得或； 综上所述：若，则不等式解集为，若，则不等式解集为， 若，不等式解集为，若，不等式解集为， 若，则不等式解集为. 19. 物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． （1）求出与的解析式． （2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 【答案】（1），. （2）仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 【解析】 【分析】（1）由题意设，，其中，根据题目数据代入求出即可得到答案； （2）利用基本不等式即可求出答案. 【小问1详解】 由题意设，，其中， 当时，，解得，，解得， 所以，. 【小问2详解】 由（1）知 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 20. 已知二次函数（，）． （1）已知，设、是关于的方程的两根，且，求实数的值； （2）已知满足，且关于的方程的两实数根分别在区间，内，求实数的取值范围． （3）当时，若对任意的实数，有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助根与系数关系化简代数式求出参数，再利用判别式检验实根存在性，完成参数取舍； （2）先利用条件消去参数，构造新二次函数，根据二次函数图象特征，结合两根所在区间，列出区间端点函数值满足的不等关系，解不等式组求得参数取值范围； （3）代入参数得到不等式，利用分离参数法，换元转化为二次函数在给定区间求最大值，进而求出参数取值范围. 【小问1详解】 因为，所以。 因为、是关于的方程的两根，所以由韦达定理得，. 因为，所以，所以. 当时，，方程有两根，满足条件； 当时，，此时无实根，舍去. 所以. 【小问2详解】 因为，所以，所以， 所以，令， 因为的两根在区间，内，所以，解得， 则的取值范围是． 【小问3详解】 当时，函数. 由，整理得，对任意的实数恒成立. 因为，所以，不等式两边同除以，得. 令，则，可得对任意的恒成立. 令，， 因为，对称轴为，可知在内单调递增， 所以当时，，可得， 所以实数的取值范围为． 21. 已知集合，其中．若的子集满足，则称具有性质．的所有具有性质的子集的个数记为． （1）当时，写出的所有具有性质的子集； （2）当时，若，且，证明：数对和中至少有一对中的两数奇偶性相同； （3）当时，求的最大值． 【答案】（1）、 （2） 当时，． 所以或． 假设数对和中的两数均奇偶性不同，则和均为奇数． 因为，为偶数，所以，且． 又，故，，，， 所以不具有性质． 又，所以一定具有性质． 结合，，，， ，． 所以，与已知矛盾． 所以数对和中至少有一对中的两数奇偶性相同． （3）16 【解析】 【分析】（1）直接计算，枚举法 （2）利用进行奇偶数分析，利用反证法证明. （3）通过条件，对下标进行约束.，用组合极值思想组合构造. 【小问1详解】 ，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨设． 若具有性质，则． 不妨设，则，所以． 故，． 对任意的，有，． 所以确定时，满足条件的的个数至多为． 所以． 当时，． 所以的最大值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $