精品解析：吉林长春市博硕学校2026-2027学年八年级上学期10月学情自测数学试题

长春博硕学校2026－2027学年度上学期八年级第一次大练习 数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各数，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图标中，不是由全等形组合成的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于“”，下列说法不正确的是（ ） A. 它是一个无理数 B. 它可以用数轴上的一个点表示 C. 它可以表示面积为19的正方形的边长 D. 它不是实数 4. 如图，已知，若用 “”判定和全等，则需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（　　） A. 0没有算术平方根 B. 的立方根是2 C. 的平方根是 D. 4的平方根是 6. 如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是，当淇淇从水平位置垂直上升时，嘉嘉离地面的高度是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，和分别是的中线和角平分线，和相交于点，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 8. 如图，是等边三角形，动点D从点B出发，沿方向运动到终点A，以为边向上作等边，连接．在整个运动过程中，阴影部分面积大小的变化情况是（　　） A. 一直减小 B. 一直不变 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 比较大小：2________．（填“>”、“<”或“=”） 10. 命题“如果x2=4，那么x=2”是__________命题（填“真”或“假”）． 11. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为_____cm． 12. 如图，，，连接，交于点E．若，，则________． 13. 如图，的面积为，垂直的平分线于，则的面积为______． 14. 如图，的两个外角的平分线相交于点，过点作，分别交，于点．下列四个结论： ①是等腰三角形； ②； ③点在的平分线上； ④． 其中正确结论的是___________（填序号）． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 求下列各式中x的值． （1）； （2）． 17. 已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，求的值． 18. 如图，且，．求证：． 19. 为响应眉山市委市政府创建“全国卫生城市”的工作，某乡镇拟在两个村庄、与两条公路、附近修建一个垃圾中转站，要求垃圾中转站到两条公路、的距离相等，到两个村庄、的距离也相等并且运送距离和最短，那么点应选在何处？请在图中用尺规作图作出点的位置（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 20. 如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （1）计算：______；______； （2）若，则满足题意的的所有整数值为______； （3）如图，数轴上表示和的对应点分别为点，，点是的中点，点为原点，设点表示的数为，试求的值． 22. 按要求解答下列问题： 【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ． A．；B．；C．；D． （2）求得的取值范围是 ． A．；B．；C．；D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，．求证：． 23. 【问题初探】 如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，若，，求的面积． 24. 如图①，在中，，，，在中，，，边与重合，边在上，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为，、分别与交于点、．设运动时间为，解答下列问题： （1）当垂直平分时，求的值； （2）当为何值时，点在的平分线上？ （3）当点为的中点时，求的值； （4）连接，在运动过程中，是否存在某一时刻，使为等腰三角形，若存在请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春博硕学校2026－2027学年度上学期八年级第一次大练习 数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各数，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的识别，解题的关键是掌握无理数的定义． 利用无理数的定义逐项进行判断即可，即无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数之比． 【详解】解：A.该选项是有理数，不符合题意； B. 该选项是无理数，符合题意； C. 该选项是有理数，不符合题意； D. 该选项是有理数，不符合题意； 故选：B． 2. 下列图标中，不是由全等形组合成的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等图形的概念分析即可． 本题考查了全等图形，熟练掌握能够完全重合的两个图形是全等图形是解题的关键． 【详解】解：A、该图像是由四个全等的图形构成，故该选项不符合题意； B、该图像是由五个全等的图形构成，故该选项不符合题意； C、该图像不是由全等图形构成，故该选项符合题意； D、该图像是由两个全等的图形构成，故该选项不符合题意； 故选：C． 3. 关于“”，下列说法不正确的是（ ） A. 它是一个无理数 B. 它可以用数轴上的一个点表示 C. 它可以表示面积为19的正方形的边长 D. 它不是实数 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据无理数的定义、数轴的意义、正方形面积公式，实数的分类判断即可． 【详解】解：A、是一个无理数，说法正确，故此选项不合题意； B、可以用数轴上的一个点来表示，说法正确，故此选项不合题意； C、可以表示面积为19的正方形的边长，利用正方形的面积公式可以验证此说法正确，故选项C不合题意； D. 是一个无理数，自然也是实数，说法不正确，故此选项符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义、数轴的意义，正方形面积公式，实数的分类，掌握相关概念是解题的关键． 4. 如图，已知，若用 “”判定和全等，则需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，能熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．根据垂直定义得出，根据图形可知是公共直角边，根据直角三角形全等的判定得出需要添加的条件是斜边相等． 【详解】解：， ， ， ， 则需要添加的条件是， 故选：． 5. 下列说法正确的是（　　） A. 0没有算术平方根 B. 的立方根是2 C. 的平方根是 D. 4的平方根是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查算术平方根、平方根和立方根的概念． 根据定义逐项判断即可． 【详解】解：0的算术平方根是0，A错误； ，的立方根是，不是2，B错误； 负数没有实数平方根，没有平方根，C错误； 且，4的平方根是，D正确； 故选：D． 6. 如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是，当淇淇从水平位置垂直上升时，嘉嘉离地面的高度是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点O作地面于点G，则，证明，得出，即可推出结果． 【详解】解：如图，过点O作地面于点G，则， 由题意可知，，，， ∴， ∴， ∴嘉嘉离地面的高度是， 故选：D． 7. 如图，在中，，和分别是的中线和角平分线，和相交于点，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理，先根据等腰三角形性质及三角形内角和定理求出，再根据和分别是的中线和角平分线得，然后再根据三角形外角性质得，由此即可得出答案． 【详解】解：在中，， ， 和分别是的中线和角平分线， ， 是的外角， ． 故选：A． 8. 如图，是等边三角形，动点D从点B出发，沿方向运动到终点A，以为边向上作等边，连接．在整个运动过程中，阴影部分面积大小的变化情况是（　　） A. 一直减小 B. 一直不变 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可证，由此可得阴影部分的面积为等边三角形的面积． 【详解】解：∵、是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， ∴阴影部分面积的变化情况是一直不变 ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 比较大小：2________．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】> 【解析】 【分析】本题可利用无理数的大小估算，根据，从而比较实数的大小． 【详解】解：∵，， ∴． 10. 命题“如果x2=4，那么x=2”是__________命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【解析】 【分析】直接两边开平方求得x的值即可确定是真命题还是假命题； 【详解】∵如果x2＝4，那么x＝±2， ∴命题“如果x2＝4，那么x＝2”是假命题， 故答案为假． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够确定x的值，属于基础题，难度不大． 11. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为_____cm． 【答案】21． 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC和AC=2AE=8cm，根据三角形的周长公式计算即可求解． 【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA＝DC，AC＝2AE＝8cm， ∵△ABD的周长＝AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13cm， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝21cm， 故答案为21． 【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 12. 如图，，，连接，交于点E．若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定、等边三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据垂直平分线的判定可知是的垂直平分线，则有，再证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 13. 如图，的面积为，垂直的平分线于，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于，根据垂直的平分线于，即可求出，又知和等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明的面积． 【详解】解：如图，延长交于点， 是的角平分线， ， 又，， ， ， 和等底同高， ， ． 14. 如图，的两个外角的平分线相交于点，过点作，分别交，于点．下列四个结论： ①是等腰三角形； ②； ③点在的平分线上； ④． 其中正确结论的是___________（填序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、角平分线定义与性质、中位线定理等知识， 连接， 由平行线的性质得出，由角平分线定义得出，推出，得出，①正确；只有为的中位线时，才能，②不一定正确；由角平分线的性质得出点到边、、的距离相等，即点到两边的距离相等，得出点在的平分线上，即是的角平分线，③正确．由角平分线定义得出，由平行线性质得出，推出，由等腰三角形的性质得出，证出，即，④正确． 【详解】解：连接，如图所示： ， ， ， ， ， 是等腰三角形，故①正确； ， 只有为的中点时，即为的中位线时，才能，②不一定正确； 的两个外角的平分线相交于点P， 点P到边的距离相等，即点P到两边的距离相等， 点P在的平分线上，故③正确， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， 即，故④正确； 综上所述正确的有：①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 16. 求下列各式中x的值． （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题关键； （1）先求，再根据平方根定义得，解方程即可； （2）利用立方根定义求得，然后解方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， 即或， 解得或． 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， 解得：. 17. 已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】利用正数的两个平方根互为相反数的性质列方程求出a，再代入计算得到x的值． 【详解】解：正数的两个不同的平方根分别是和， 解得． 其中一个平方根为． ． 18. 如图，且，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【详解】略 19. 为响应眉山市委市政府创建“全国卫生城市”的工作，某乡镇拟在两个村庄、与两条公路、附近修建一个垃圾中转站，要求垃圾中转站到两条公路、的距离相等，到两个村庄、的距离也相等并且运送距离和最短，那么点应选在何处？请在图中用尺规作图作出点的位置（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 【答案】 解：如图所示，点即为中转站． 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的作图以及性质，解答本题的关键是熟练掌握线段垂直平分线和角平分线的作图以及性质． 根据线段垂直平分线和角平分线的性质即可画出中转站的位置． 【详解】略 20. 如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）4． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键． （1）利用角平分线的性质定理即可证明； （2）证明，得，由即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 21. 对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （1）计算：______；______； （2）若，则满足题意的的所有整数值为______； （3）如图，数轴上表示和的对应点分别为点，，点是的中点，点为原点，设点表示的数为，试求的值． 【答案】（1）； （2），，，， （3） 【解析】 【分析】（1）先估算和的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义可知，可得满足题意的的正整数值； （3）根据数轴上两点的距离得到点表示的数，代入求出的值，再根据题中新定义得到结果． 【小问1详解】 解：∵，， ∴根据根整数的定义得；； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴满足题意的的所有整数值为，，，，； 【小问3详解】 解：根据题意得 ， ∴， ∴ ， ∴． 22. 按要求解答下列问题： 【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ． A．；B．；C．；D． （2）求得的取值范围是 ． A．；B．；C．；D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，．求证：． 【答案】（1）B （2）C （3）证明：如图所示，延长到点，使得，连接 ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用即可证明； （2）根据三角形三边的关系得到，据此求解即可； （3），延长到点，使得，连接，证明，得到，；再证明，即可得到． 【小问1详解】 解：∵是边上的中线， ∴， 又∵，， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， 在中，由三角形三边的关系可得， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 23. 【问题初探】 如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，若，，求的面积． 【答案】 （1）证明：在中， ． 又 在和中， ， ∴ （2）， 证明： 在和中， ∴， ∴， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）过E作于M，的延长线于N．利用全等三角形的判定和性质得出，得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1） 略 （2） 略 （3）解：如图，过点作于点，作，交的延长线于点， ． 与（1）同理可得 ∵ ∴． 24. 如图①，在中，，，，在中，，，边与重合，边在上，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为，、分别与交于点、．设运动时间为，解答下列问题： （1）当垂直平分时，求的值； （2）当为何值时，点在的平分线上？ （3）当点为的中点时，求的值； （4）连接，在运动过程中，是否存在某一时刻，使为等腰三角形，若存在请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） （4）存在，或或 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线定义建立方程求解运动时间； （2）根据角平分线性质，通过全等三角形得到线段相等关系，进而建立关于的方程求解； （3）利用平移性质得到平行线，结合中点与垂直平分线的关系，推导出线段相等，再利用等腰三角形性质建立方程求解； （4）对为等腰三角形的三种情况（、、）分别讨论，结合几何性质和线段长度关系，求出对应的值． 【小问1详解】 解：运动秒后，，， 垂直平分时，， 即， 解得：； 【小问2详解】 解：如图，连接， 点在的平分线上， ， 在和中， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，连接， 由平移的性质可得， ，即， ， 点为的中点， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ； 【小问4详解】 解：当时，过点作于点， 在图①中，， ， ， 由平移的性质得， ， 在和中， ， ， 点和点重合， ，， ， ； 当时，； 当时，则点在的垂直平分线上， 同理可得，， ， 综上所述，的值为或或9． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $