精品解析：四川省射洪中学校2027届高三上学期第一次模拟数学试题

射洪中学高2024级高三上期第一次模拟 数学试题 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由知，所以. 因为，其中满足的元素是和，所以. 2. 设向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以是的充要条件. 3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数平移变换原则直接判断即可. 【详解】， 只需将的图象向右平移个单位长度即可. 故选：B. 4. 已知点在角的终边上，将的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则＝（ ） A. － B. － C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，再根据诱导公式可求出结果. 【详解】依题意得，又，所以. 5. 甲袋中有1个白球和1个红球，乙袋中也有1个白球和1个红球.先从甲袋中任取1个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球.则从乙袋中取出的是2个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】从甲袋中取出球放入乙袋中的情况数为，之后从乙袋中取出两个球的情况数为， 只有从甲袋中取出一个红球放入乙袋中，才可以从乙袋中取出两个红球， 因此从乙袋中取出两个球均为红球的情况数为1， 故根据古典概型的计算公式. 6. 已知直线是函数图象的一条切线，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，切线的斜率为2， 设切点为， 由，得，则，即， 则切点为，代入，得，即. 7. 某校对“学生性别与喜欢某款社交软件是否有关”作了一次调查，结果显示喜欢该软件的学生人数是不喜欢该软件的，喜欢该软件的学生中男生占比为，不喜欢该软件的学生中男生占比为.若有99%的把握认为是否喜欢该软件与性别有关，则参与调查的男生至少有（ ） 参考公式：. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A. 12人 B. 18人 C. 24人 D. 30人 【答案】B 【解析】 【分析】由有99%的把握认为是否喜欢该软件与性别有关可得，列方程求男生人数的范围，结合条件确定男生人数的最小值. 【详解】设喜欢该软件的有人，则不喜欢的有人，总人数，列联表为： 喜欢 不喜欢 合计 男 女 合计 于是，所以， 若有99%的把握认为是否喜欢该软件与性别有关，则，即， 又表中数据须为整数，故的最小值为9， 此时男生的人数为18，即参与调查的男生至少有18人. 8. 已知函数的定义域为，，且，，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数周期性得到函数周期为6，然后利用周期性对已知条件进行化简，找到不等式关系，最后得到，再判断选项即可. 【详解】∵， ∴①，将换成可得 ②，将②式代入到①式， 化简得，将换成，则， 再将换成可得， 即函数的周期为6，∴，， ，∵，， ∴，⑴，又∵， ，⑵，依次回代可以得到 ，同理可得， ∵，⑶，联立⑴⑵⑶得到 ，解得， 又∵，故C正确，D错误， ，∴可能大于0， 也可能不大于0，AB错误. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要求的，选不全得2分，选错得0分． 9. 关于平面向量，下列命题错误的有（    ） A. 若，则存在，使得 B. 若是等边三角形，则，的夹角为 C. D. 若，则与的夹角θ是钝角 【答案】ABD 【解析】 【详解】A选项：若时，此时，但不存在使得，故A错误； B选项：等边三角形中，与起点平移重合后的夹角为，故B错误； C选项：向量三角不等式当且仅当同向时取等号，故C正确； D选项：当，则与的夹角θ可能是钝角或者，故D错误. 10. 某果园收获苹果的果实横径 (单位：)服从正态分布，且，.从收获的苹果中随机抽取100个，记其中果实横径在区间的个数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由正态分布的对称性求得对称轴，再求得，然后由二项分布的期望和方差分别求得. 【详解】因为， 所以， 由正态分布的对称性可知，即， 所以，A错误，B正确， 所以，所以，C错误， ，D正确. 11. 已知，满足，则a，b，c的大小关系可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】引入中间变量将原等式转化为、和，随后通过对赋不同的正数值来验证选项即可. 【详解】令，因为恒成立，所以， 则有， 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，即恒成立， 即，即， 令，则有，进而有， 令，因为.所以，即，即，进而， 因此，即恒成立，排除D选项， 取，， 此时，即，B选项正确， 取，， ，，，所以，进而有，A选项正确， 取，， 由上知，所以，即，进而，故C正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，含项的系数是______. 【答案】160 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】由， 由，可得． 在的展开式中，含项的系数是. 故答案为：160 13. 已知向量、满足，且在方向上的数量投影为，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影得到， ，确定，计算得到答案. 【详解】在方向上的数量投影为，故， 又因为，其中， 所以 ，（ ）， ，故的最小值为8. 14. 已知函数，若，则的单调增区间是______；若有两个零点，则的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一问代入，先求定义域，求导，解即可求出单调增区间；第二问先求定义域，求导找到唯一极大值点，函数有两个零点等价于极大值大于0，构造新函数研究单调性，解不等式即可求出参数的取值范围 【详解】第一空：当时，，， 则，令，解得， 因此，的单调增区间为； 第二空：由题意得，即，显然， 若，则，此时由复合函数单调性满足同增异减可知， 在定义域内单调递减，不可能有两个零点，所以不合要求； 则，则，令，则，即， 所以， 令，则，再令， 因为，则，所以在上单调递增， 其中，故时，，时，， 所以在处取最小值， 当时，，当时，， 所以当时，与有两个交点，所以的取值范围为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求在区间上的单调递减区间； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方法1：利用二倍角公式及两角和的正弦公式得.法①：由得，利用正弦函数性质求得单调递减区间.法②：利用正弦函数性质求得总的单调递减区间，结合即可求解. 方法2：利用二倍角公式及两角差的余弦公式得. 法①：由得，利用余弦函数性质求得单调递减区间.法②：利用余弦函数性质求得总的单调递减区间，结合即可求解. （2）方法1：结合已知得，然后利用二倍角公式及弦的齐次式计算求解即可. 方法2：利用同角三角函数关系及二倍角公式求解即可. 方法3：联立解得或，代入二倍角公式求得. 【小问1详解】 方法1： . 法①：因为，所以. 令，解得，所以在上的单调递减区间为. 法②：令，，解得，. 又，所以，即在上的单调递减区间为. 方法2： . 法①：因为，所以. 令，解得，即在上的单调递减区间为. 法②：令，，解得，. 又，所以，即在上的单调递减区间为. 【小问2详解】 因为， 又，所以. 方法1：若，则，与矛盾， 所以，故. 所以. 方法2：将代入，解得. 所以. 方法3：由解得或， 当，时，； 当，时，. 综上，. 16. 设函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围． 【答案】（1）当时，在和单调递增，在单调递减； 当时，在R上单调递增； 当时，在和单调递增，在单调递减． （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，分类讨论，判断导数正负，即可得出结论； （2）结合（1）中分类讨论的结果，可确定函数极值点，进而列出相应不等式，求得答案. 【小问1详解】 定义域为R，， 令，解得或， ①当时， 当时，，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增； ②当时，则在R上单调递增； ③当时， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增； 综上，当时，在和单调递增，在单调递减； 当时，在R上单调递增； 当时，在和单调递增，在单调递减． 【小问2详解】 由（1）知时，在和单调递增，在单调递减， 所以为的极小值点，此时的极小值为， 所以，解得； 时，在R上单调递增，显然无极值点，不合题意； 时，在和单调递增，在单调递减， 所以为的极小值点，此时的极小值为，不合题意； 综上，，即的取值范围是. 17. 在锐角中，角所对的边分别为．向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，为边的中点，求线段的长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行得，用正弦定理边化角，化简得，结合锐角三角形，即可求出角； （2）由中线向量公式得，结合余弦定理，得，再用正弦定理表示，由锐角条件求其范围，即得范围. 【小问1详解】 因为，所以． 在中，由正弦定理得：， 展开得：，即． 因为，得．又，故． 【小问2详解】 因为点是边的中点，由向量中线公式：， 两边平方得：，即． 因为，，由余弦定理得：， 则，故． 所以． 因为，所以，即． 因为是锐角三角形，所以有，则． 又， 则 ． 由，得，故， 所以，， 故的长的取值范围为． 18. 某同学进行连续投篮练习，累计投中次后结束练习.设该同学每次投中的概率均为，记结束练习时投篮的总次数为. （1）求； （2）已知. ①若，求当为何值时，最大； ②若为常数，记函数，求的极大值点. 【答案】（1） （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）由题意可得第次投中且前次中有次投中，从而得，求解即可； （2）①由题意求得，从而得＝，分别令，，，求解后即可判断； ②求得，利用导数求解即可. 【小问1详解】 表示结束练习时投篮的总次数为， 表明第次投中且前次中有次投中， 所以. 【小问2详解】 ① 所以＝. 令，解得； 令，解得； 令，解得. 所以 所以，当或时，最大. ②， 则， 设， 则 令，得； 令，得. 所以在上递增，在上递减. 所以，的极大值点为. 19. 设，，函数，． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，若方程有两个实数根，且，证明：； （3）讨论方程解的个数，并说明理由． 【答案】（1） （2）证明：当时，函数的定义域为， 方程，令函数， 则是方程的两个实根，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 当从大于0的方向趋近于0时，，而，又直线 与函数图象的两个交点横坐标为，则， 令函数， 求导得，函数在上单调递增， 则，即，因此，又， 于是，又，且函数在上单调递减， 则，所以. （3）单调增函数与其反函数的图象若有交点，则该交点必在直线上， 令单调递增函数与其反函数的图象有交点，则，且， 假设，若，由是单调递增函数，得，则，矛盾； 若，由是单调递增函数，得，则，矛盾，因此假设错误，， 当时，是增函数，函数与互为反函数， 若函数与的图象有交点，则该交点必在直线上， 因此方程解的个数等价于方程的根的个数， 令，求导得，当时，； 当时，，函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 而当从大于0的方向趋近于0时，；当时，， 因此当，即时，函数有2个零点，方程有2个解； 当，即时，函数有1个零点，方程有1个解； 当，即时，函数没有零点，方程有0个解； 当时，若，则，即，因此方程在上无解， 当时，方程，令函数， 求导得， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 当从大于0的方向趋近于0或从小于1的方向趋近于1时，， 当，即时，，则，函数在上单调递减， 而当从大于0的方向趋近于0时， ，当从小于1的方向趋近于1时，， 因此函数在上存在唯一零点，即方程有1个解； 当，即时，存在，，使得， 当或时，，，函数在上单调递减， 当时，，，函数在上单调递增， 由，得， 则， 同理，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 又，因此， ，则函数在上有3个零点，即方程有3个解， 所以当时，方程解的个数为3； 当或时，方程解的个数为1； 当时，方程解的个数为2； 当时，方程解的个数为0. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）变形方程并构造函数，利用导数确定的范围，再利用极值点偏移推理证明不等式. （3）按分类，在时，由反函数的性质并利用导数确定方程解的情况；在时，利用导数确定方程解的情况. 【小问1详解】 当时，，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 射洪中学高2024级高三上期第一次模拟 数学试题 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 4. 已知点在角的终边上，将的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则＝（ ） A. － B. － C. D. 5. 甲袋中有1个白球和1个红球，乙袋中也有1个白球和1个红球.先从甲袋中任取1个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球.则从乙袋中取出的是2个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线是函数图象的一条切线，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 某校对“学生性别与喜欢某款社交软件是否有关”作了一次调查，结果显示喜欢该软件的学生人数是不喜欢该软件的，喜欢该软件的学生中男生占比为，不喜欢该软件的学生中男生占比为.若有99%的把握认为是否喜欢该软件与性别有关，则参与调查的男生至少有（ ） 参考公式：. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A. 12人 B. 18人 C. 24人 D. 30人 8. 已知函数的定义域为，，且，，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要求的，选不全得2分，选错得0分． 9. 关于平面向量，下列命题错误的有（    ） A. 若，则存在，使得 B. 若是等边三角形，则，的夹角为 C. D. 若，则与的夹角θ是钝角 10. 某果园收获苹果的果实横径 (单位：)服从正态分布，且，.从收获的苹果中随机抽取100个，记其中果实横径在区间的个数为，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，满足，则a，b，c的大小关系可能是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，含项的系数是______. 13. 已知向量、满足，且在方向上的数量投影为，则的最小值为__________． 14. 已知函数，若，则的单调增区间是______；若有两个零点，则的取值范围是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求在区间上的单调递减区间； （2）若，求的值. 16. 设函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围． 17. 在锐角中，角所对的边分别为．向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，为边的中点，求线段的长的取值范围． 18. 某同学进行连续投篮练习，累计投中次后结束练习.设该同学每次投中的概率均为，记结束练习时投篮的总次数为. （1）求； （2）已知. ①若，求当为何值时，最大； ②若为常数，记函数，求的极大值点. 19. 设，，函数，． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，若方程有两个实数根，且，证明：； （3）讨论方程解的个数，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $