四川省射洪中学校2024-2025学年高三上学期一模考试数学试题

射洪中学高2022级高三一模考试 数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将答题卡交回。 第I卷 选择题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1.命题：“”的否定为（    ） A. B. C. D. 2.已知向量，若满足，则（    ） A. B.2 C. D.4 3.已知，，则（    ） A.3 B. C. D. 4.已知，则下列结论不正确的是（    ） A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 5.如图是函数的部分图象，则的解析式为（    ） A. B. C. D. 6.已知函数，且，则的大小关系（    ） A. B. C. D. 7.近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（    ） A.1.25 B.2.25 C.1.75 D.2.55 8.已知函数是定义在且上的偶函数,当时,.若函数,则满足不等式的实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9.某科技企业为了对一种新研制的专利产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价（元） 40 50 60 70 80 90 销量（件） 50 44 43 35 28 由表中数据，求得经验回归方程为，则下列说法正确的是（    ） A.产品的销量与单价成负相关 B. C.若单价为50元时，估计其销量为44件 D.为了获得最大的销售额（销售额单价销量，单价应定为70元或80元 10.已知正数满足，则下列说法一定正确的是（    ） A. B. C. D. 11.已知函数，的定义域均为，为的导函数，且，，若为奇函数，则（    ） A. B. C. D. 第II卷 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知函数是幂函数且图象与轴无交点，则的值为 . 13.函数在，上的最小值为，最大值为1，则的最大值为 . 14.定义：对于函数和数列，若，则称数列具有“函数性质”.已知二次函数图象的最低点为，且，若数列具有“函数性质”，且首项为1的数列满足，记的前项和为，则数列的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知集合，函数的定义域为. (1)若集合，求集合； (2)在(1)条件下，若，求； (3)在(1)条件下，若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围. ▲ 16.（15分）已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. ▲ 17.（15分）2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，得到如下列联表： 年龄 周平均锻炼时长 合计 周平均锻炼时间少于4小时 周平均锻炼时间不少于4小时 50岁以下 40 60 100 50岁以上（含50） 25 75 100 合计 65 135 200 (1)试根据的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？ (2)现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为，求的分布列和数学期望. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式及数据：，其中. ▲ 18.（17分）已知（且）是上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)若关于的方程在区间内只有一个解，求的取值集合； (3)设，记，是否存在正整数，使不得式对一切均成立？若存在，求出所有的值， ▲ 19.（17分）设函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求a的值； (2)当时恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：. ▲ 高三数学 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$数学试题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A c B c A D B D AB ACD 题号 11 12 13 14 答案 ABD 2 2+2W2 511 2 C=30°×15 7.【详解】根据题意由C=1”1可得 两式相除可得30x5=1,即可得 C=40'×8 40"x8 两边同时取对数可得g 3)” 3 8 41 即可得ng子g 即n g8-g15_3g2-(g3+1-lg2)4g2-lg3-14x03-0477-L、225.故选：B Ig3-1g4 Ig3-21g 2 lg3-2lg20.477-2×0.3 8.【详解】当x>0时，f(x)=log2x,即函数在(0，+∞)为增函数，所以f(x-1)在(L,+∞)为增函数， 令()=2+2=2r+)令：=2，所以0)=+》，由对勾函数的单调性可知0在(2+)为增函数 所以a(-2+)在+)为增函数，由题可知函数g()=八x-)+2+2关于x=1对称。 且当x>1时.g树为增函数而由不等式g(2a-)>号可得，&2a->).从而a-1p3- 2a-1≠1 得实数a的取值范围是(-o,0)U(2,+o).故选：D 二、多项选择题 10.【详解】由a>0,b>0,a+2b=2b得：+=1：对于A,a+2b≥2V2ab(当且仅当=2b,即a=2, a 2h b=1时取等号)，.2ab≥2√2ab,解得：ab≥2（当且仅当a=2,b=1时取等号），A正确： 2h a 2 2 B错误： 对于C,a+2b=(a+2b =2+22+2 2b a 02b4(当且仅当0=，即a=2,b=1时取等号). C正确： 对于D,:a2+4b2≥4ab(当且仅当a=2b,即a=2,b=1时取等号)， 由A知：ah22(当且仅当a=2,b=1时取等号)，.a2+4b2≥8（当且仅当a=2,b=1时取等号），D正确. 故选：ACD. 11.【详解】已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,因为f(x)+g'(x)=1,f(x)-g'(4-x)=3, 可得g'(x)+g'(4-x)=-2,又因为g(x)为奇函数，则g(x)=-g(-x),可得g'(x)=g'(-),即g(x)为偶函数， 则g'(x)+g'(x-4)=-2,即g'(x+4)+g'(x)=-2,可得g'(x+8)+g'(x+4)=-2,所以g(x)=g(x+8),可知g(x) 的周期为8对于选项A:因为g'（(x)+g'(4-x)=-2,f(x)+g'(x)=1 令x=2,则g(2)+g'(2)=-2,f(2)+g(2)=1,可得g'(2)=-1,f(2)=2,故A正确： 对于选项B:因为g'(x)+g'(4-x)=-2,令x=0,可得g'(0)+g'(4)=-2,故B正确： 对于选项C:因为g'(x)+g(4-x)=-2,且g'(x)为偶函数，则g(-x)+g(4+x)=-2, 令x=-1,可得g'(1)+g'(3)=-2,又因为f(x)+g'(x)=1,令x=-1,3,则f(-1)+g(-1)=1,f(3)+g(3)=1, 可得f(-1)+f(3)+g(-1)+g'(3)=2,可得f(-1)+f(3)=4,但由题设条件无法推出f(-1)=∫(-3)，故C错误： 对于选项D:因为g(x)的周期为8，故g(-4)=g(4),故D正确：故选：ABD 三、填空题 13.解：函数f(x)=x0x-2),当x≥0时，f(x)=x2-2x,当x<0时，f(x)=-2x-x2, 作出y=f(x)的图象，由图象可得x>0时，X2-2x=1,解得x=1+√2： x<0时，-2x-x2=-1,解得x=-1-V5, 即有f(x)在[-1-√2,1+②]内的最大值为1，最小值为-1， n-m的最大值为1+√5-(-1-5)=2+2迈. 14.【详解】由二次函数最低点为(0，-4)可知：f(x)=ax2-4(a>0), 又f(x+1)-f(x)=a(x+1-4-ar2+4=a(2x+1)=2x+l,所以a=1, 则/()=x2-4由题意得a=n(x+2)-n(x-2)=1n2,又由(-)/(G)+∫(x)=0, 得（化）2x+-4=0,因为-2>0，所以无40即=44， 22x,又 x4+2=+2. 2x. 6-2化，-2月，则a克2h5+2 4-2=色-2，所以+2c+2y xn+1-2 -2即01=2a, 故{a}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以a,=2-,Sn=2”-1. 令c=5经小-侣-5小2-少，则6-6=(a-2-分放当n≤8时，c<6…当n29时，c>c 故=6=故答案为： 2 15.【详解】(1)解：由函数y=log(x2-3x-10)的定义域为B,可得x2-3x-10>0, 即(x+2(x-5)>0,解得x<-2或x>5,所以集合B={xx<-2或x>5,所以CB=C={x2≤x≤5} (2)当a=3时，集合A={x|4≤x≤7}，C=x-2≤x≤5}，所以AUC={x-2≤x≤7}. (3)若“x∈A”是“x∈C”的充分不必要条件，所以A是C的真子集， 当a+1>2a+1时，即a<0时，此时A=☑，满足A是C的真子集： 2a+1≥a+1 当A≠⑦时，则满足2a+1≤5且不能同时取等号，解得0≤a≤2，综上，实数a的取值范用为(-∞，2]. a+12-2 2 16.【详解】(1)根据题意，数列{a}满足a1=an+3,即an1-an=3, 所以根据题意，数列{a}为以3为公差的等差数列， 又a=4,则a=42-d=4-3=1, 所以an=1+3(n-1)=3n-2: (2)根据题意，么=1 aa 所以数列{也}的前n项和为： s-4》(引- 17.【详解】(1)零假设H。:周平均锻炼时长与年龄无关联 由2×2列联表中的数据，可得x2_20040x75-25x60 100×100×65×135 ≈5.128>xs=3.841,· 根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H不成立， 即认为周平均锻炼时长与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05. 所以50岁以下和50岁以上（含50）周平均锻炼时长有差异. (2)抽取的5人中，周平均假炼时长少于4小时的有5×0=2人，不少于4小时的有5×60=3人， 100 100 所以X所有可能的取值为1,2,3， 所P心=)答言Px=等-Px=小答 X 2 所以随机变量X的分布列为： 3 3 1 10 5 10 随机变量X的数学期望E(X)=1×3+2×2+3x-? 10 5 105 18.【详解】(1)解：因为函数f(x)=a+ka(a>0且a≠1)是R上的奇函数，则f(-x)+f(x)=0, 即f(-x)+f(x)=aka'+a'+ka*=+k)'+a上0，.k+1=0,可得k=-1,即f(x)=a-a, 又因为10-=a日骨整理得30--3=0：因为0>0且01，解得a=3.因北，付=3- (2)解：因为函数y=3、y=-3均为R上的增函数，故函数f(x)=3-3为R上的增函数， 由f9-4-1+f1-3-2）=0可得f(9-x-=f3-2-1), 可得9m2--1=3m-2-1,即3224r=3-2,则2mx2-4x=x-2,即2mx2-(m+4)x+2=0, 所以，关于x的方程2mr2-(m+4)x+2=0在x∈[0，时只有一解.因为22-(m+4)x+2=(mr-2)2x-1) 当m=0时，则有2-4=0，解得x=子合乎想意： 当m≠0时，由2mr-m+4r+2=低-2)r-0,可得写=房，号 由题意可得2-或2<0或2>1，解得m=4或m<0或0<m<2.综上所述，实数m的取值范围是(-x,2U4. m2 3 (3)解：g-f-》13片-3+1，所以，g+g0-x)3片-3产+332=2 ro-e(》-(s0周=2a-. 所以，F(n)=n-1,由f(2x)2F(n)f(x),即32-322(n-1)3-3), 当x=0时，则不等式3-3“≥(n-1)-3)对任意的n∈N恒成立. 当x∈(0，时，由32-3≥(n-1)0*-3）可得n-1≤3+3， 由基本不等式可得3+3≥2N33=2,当且仅当x=0时，等号成立， 因为x∈(0，，故3+3>2，∴n-1≤2，解得n≤3.综上所述，符合条件的正整数n的值为：1或2或3. 19.【详解】(1)f(x)=nx+1-2ar,由题意曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程为x+y-1=0, 则f'(0)=1-2a=-1,解得a=1: (2)f(x)=xInx-a(x-1),x>1,f(x)=Inx+1-2ax,)=Inx+1-2ax (x>1),()=1-2a, 当2a≤0，即a≤0时，'(x)>0,u(x)即f'(x)是(1，+o)上的增函数，因此(x)>f'0)=-2a>0, f(x)是增函数，所以f(x)>f)=0,不合题意，舍去： 当2a≥1即a≥号时，M()<0,u)即f(x)是(1，+o)上的减函数，所以f()<f0=1-2a≤0， 所以f(x)是(，+∞)上的减函数，从而f(x)<f)=0恒成立， 当0<2a<1即0<a<2时，2a >1, 又“0=1-2a>0,所以xL,)时，()>0恒成立，即>0恒成立，此时)在（，2云上递增，因此 f(x)>f)=0,与题意不合，舍去， 综上a22 （3)由(2)知x>1时，hr<-0,即<1，从而2h近<1， x2-1 x-1 所以血r<1 所以hx<2F-x-, x-1 此不等式中分别令x=2,3,,n得 2w5-.<2w5-.,g<2w-可. 1 将这n-1个不等式相加得2nk<2-2aeN)。 k-1