四川省泸县第一中学2025-2026学年高三上学期一诊模拟考试数学试题（三）

**基本信息** 立足数学核心素养，融合抗体药物研发、校园足球等真实情境，梯度设计覆盖函数、数列、统计等主干知识，适配一模综合能力检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数、集合、充分条件、二项式定理、数列、统计方差|基础概念与运算结合，如第6题分层抽样方差计算| |多选|3/18|三角函数、统计命题、函数切线|选项分层，如第10题综合考查正态分布与百分位数| |填空|3/15|向量、导数极值、不等式恒成立|第14题不等式转化与函数单调性结合| |解答|5/77|解三角形、导数切线与面积、数列证明、统计回归、比赛概率|18题以抗体药物研发为情境考回归分析，19题足球比赛概率问题体现应用意识，16题导数与曲线切线结合考查数学思维|

泸县一中高2023级2025年秋期一诊模拟考试数学试题（三） 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 复数z满足，（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 设全集，，，则等于（ ） A. B. C. D. 3.“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. 24 D. 48 5.在等差数列中，，若其前项和为，且，那么当取最大值时，的值为（ ） A. B. C. D. 6.为调查某校高一及高二学生每天学习的时间，现采用按比例分配的分层随机抽样，抽取高一学生200人，其每天学习时间均值为7.3小时，方差为，抽取高二学生300人，其每天学习时间均值为6.8小时，方差为1.9，则估计该校学生每天学习时间的方差为（ ） A. 1 B. 3 C.2 D. 4 7.已知函数的部分图象如图，则曲线与的交点个数为（   ） A．5 B．7 C．9 D．11 8. 已知等比数列满足：，.数列满足，其前项和为，若恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知角的始边为轴的非负半轴，终边过点，则（ ） A. B. C. D. 10.下列命题中正确的是（     ） A．已知随机变量，则 B．数据2，3，4，5，6的第60百分位数是4.5 C．若事件A与B互斥，且，，则 D．样本数据，，…，的平均数为，方差为，则，，…，的平均数为，方差为 11.已知函数，，若，的图象与直线分别切于点，，与直线分别切于点C，D，且，相交于点，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分） 12. 在中，D为AC边的中点，E为AB上一点，交于一点F，且，若，，则实数的值为 ． 13. 已知函数在处有极小值，则的值为____________. 14.已知不等式对恒成立，则实数m的最小值为__________. 四、解答题（共 77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本小题13分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求角C； (2)若CD是角C的平分线，AD=2，DB=，求CD的长. 16.（本小题15分）已知斜率为1的直线与曲线相切. (1)求直线的方程; (2)若直线分别交曲线和于M，N两点，求的面积的最大值.（其中0为坐标原点） 17.（本小题15分）已知数列和，，，. (1)求证:数列是等比数列； (2)求:数列的前项和. 18.（本小题17分）抗体药物的研发是生物技术制药领域的一个重要组成部分，抗体药物的摄入量与体内抗体数量的关系成为研究抗体药物的一个重要方面.某研究团队收集了10组抗体药物的摄入量与体内抗体数量的数据，并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值，抗体药物摄入量为x（单位：），体内抗体数量为y（单位：）. 29.2 12 16 34.4 (1) 根据经验，我们选择作为体内抗体数量y关于抗体药物摄入量x的回归方程，将两边取对数，得，可以看出与具有线性相关关系，试根据参考数据建立关于的回归方程，并预测抗体药物摄入量为时，体内抗体数量的值； (设) (2)经技术改造后，该抗体药物的有效率p大幅提高，经试验统计得p服从正态分布，那这种抗体药物的有效率p超过0.54的概率约为多少？(精确到0.1） 附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，； ②若随机变量，则有，，； ③取. 19.（本小题17分）在高中校园足球比赛中，组委会计划采用单淘汰制进行比赛，即每支球队负一次即被淘汰出局．现有8支球队随机编号到对阵位置，所有球队在任何一场比赛中获胜的概率均为．已知甲、乙两队参赛．    (1)求甲队获得冠军的概率； (2)求甲、乙在第轮（其中）相遇的概率； (3)为使得甲、乙两队在比赛过程中相遇的概率小于0.001，组委会计划增加球队支数到支，对阵图和上图类似，求的最小值． 试卷第1页，共3页 2023级一诊模拟考试（三）数学试题 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B B C B D C B A BCD BCD BC 12./0.5 13. 1 14 . 11.【详解】由题意得，，所以，即，由，整理得，且，A错误； 把，，代入，整理得，B正确； 分别作出与的图象如下： 两图象有2个交点，所以图象上的切点有2个，即与的公切线有2条． 因为，的图象关于直线对称，所以点关于直线的对称点为，，，，C正确； 因为直线，关于直线对称，则点就是直线与直线的交点， 直线的方程为，与联立得， 所以，所以， 由且可得， 设，则，所以，所以，D错误． 14.【解析】可变为， 再变形可得，，设，原不等式等价于 ，因为，所以函数在上单调递减，在 上单调递增，而，，当时，，所以由可得，，因为，所以． 设，，所以函数在上递增，在上递减，所以，即．当时，不等式在恒成立；当时，，无论是否存在，使得在上恒成立，都可判断实数m的最小值为． 15.解　(1)即a2+b2-c2=-ab，由余弦定理知cos C==-， 又C∈(0，π)，所以C=............（6分） (2)因为CD是角C的平分线，AD=2，DB=，由角平分线定理知==2，即b=2a， 又由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos∠ACB，即=a2+4a2+2a2，解得a=3，所以b=6， 又S△ABC=S△ACD+S△BCD，即absin∠ACB=b·CD·sin +a·CD·sin ，即18=9CD，所以CD=2.（7分） 16.【解析】（1）设切点为，因为，所以切线的斜率，解得， 此时，即切点为，所以切线的方程为，即 （2）因为分别交曲线和于点M，N， 所以.因为，则，所以. 此时的面积， ，令，得， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减 所以当时，有最大值且. 17【解析】（1）由，，得， 整理得，而， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列 ............7分 （2）由（1）知，∴， ∴， 设，则， 两式相减得， 从而∴.............15分 18.（1）将两边取对数，得， 设，，则回归方程变为，.............4分 由表中数据可知，，， 所以，， 所以，即， 故y关于x的回归方程为， .............8分 当时，. .............9分 （2）因为z服从正态分布，其中，， .............12分 所以， 所以， 故这种抗体药物的有效率z超过0.54的概率约为. .............15分 19.【详解】（1）设甲队获得冠军为事件A，甲如果想获得冠军，每轮比赛都要获胜， 则. ..........5分 （2）设甲乙第一轮相遇概率为，甲乙第二轮相遇概率为，甲乙第三轮相遇概率为， 设甲的位置固定，若乙要与甲在第一轮相遇只能在同一组， 所以甲乙在第一轮相遇的概率， ..........7分 甲乙要在第二轮相遇，则甲乙在同一个半区，但不在同一组的概率为， 同时甲乙在第一轮都要获胜，则...........9分 甲乙要在第三轮相遇，则甲乙不在同一个半区的概率为， 同时甲乙在第一､二轮都要获胜，则..........11分 综上，第1轮相遇的概率为，第2轮相遇的概率为，第3轮相遇概率为. （3）解法一：记比赛的轮次为事件，甲乙在比赛过程中相遇的事件为， 要使甲乙能在第轮相遇，则甲乙必须得在同一个区内的不同半区，概率为， 同时甲乙在前轮都要获胜， 所以. 所以甲乙相遇的概率为. 要使得甲乙相遇的概率小于0.001，即，即， 又因为为整数，所以最小的值为11 ..........17分 解法二：设支球队参赛，甲乙相遇的概率为，则当时，甲乙一定相遇，此时. 当支球队参赛，甲乙相遇的概率为. 考虑将个选手分成上下两个区，每区名选手，这时有2种情况， 情形一：乙和甲在同一区，此时甲乙相遇的概率为， 情形二：乙和甲不在同一区，两人相遇必须都进入决赛，即前轮比赛均获胜. 所以， 于是，， 累加得，所以. 要使得甲乙相遇的概率小于0.001，即，即 又因为为整数，所以，所以最小的值为11. ..........17分 ( 6 ) 学科网（北京）股份有限公司 $