专题1.4 基本不等式及其应用（基础讲义）-2027年高考数学一轮复习

【名师基础】　2027年高考数学一轮复习·名师基础系列　基础不牢，地动山摇 专题 1.4 基本不等式及其应用（基础复习讲义） 【新高考专用】 考点要求 1．掌握基本不等式 ，理解等号成立的条件； 2．会用基本不等式求简单函数的最值（和定积最大、积定和最小）； 3．掌握"1"的代换与简单配凑（基础型）； 4．了解基本不等式在实际问题中的简单应用（列函数、求最值）。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 基础层拿分策略 直接求最值（配凑型） 选择题、填空题 卷首 易 和定积最大、积定和最小 选择题、填空题 卷首 易 先看和定还是积定，再套结论 "1"的代换 选择题、填空题 卷首 中 把定值乘进去再展开 实际应用（面积用料） 解答题某一问 中档题 中 设元→列函数→用不等式 命题规律分析 基本不等式是高考求最值的"常规武器"，选择题、填空题直接考，解答题中作为某一问出现，难度中低档。命题规律：直接求最值（配凑型）是主体，"和定积最大、积定和最小"两结论反复用；"1"的代换是经典考法；实际应用（面积、用料）常以中档解答题收尾。陷阱集中在两点：忽视"一正"（负数上用不等式）、忘记检验等号成立条件。基础层目标：记牢"一正、二定、三相等"，背熟两句口诀，拿到最值题的基础分。 考点1 基本不等式 知识点1 基本不等式 基本不等式：如果 ，，那么 ，当且仅当 时等号成立。 （ 叫算术平均数， 叫几何平均数，可结合圆、直角三角形理解） 重要不等式：对任意实数 ，有 ，当且仅当 时等号成立。 使用条件三步检查：①一正—— 均为正数；②二定——和或积为定值；③三相等——验证等号能取到。 【方法技巧】 1．用前先问"正不正"： 时先提取负号，化为正数再用； 2．用后必问"等不等"：解 看解是否在定义域内，不在则取不到最值。 【易错清单】 1． 在 时最大值为 ，不是最小值2； 2．只满足"一正、二定"不检验"三相等"，可能把"下界"误当"最小值"。 知识点2 两个最值结论 和定积最大：若 且 （ 为常数），则 ，当且仅当 时取最大值 。 积定和最小：若 且 （ 为常数），则 ，当且仅当 时取最小值 。 记忆口诀："和定积最大，积定和最小，相等才等号"。 【方法技巧】 1．读题先分类：条件是"和为定值"还是"积为定值"，决定用哪句结论； 2． 是同一结论的另一写法，填空题可直接写。 【易错清单】 1．"和定"求积的最大值，"积定"求和的最小值，方向记反是常见错误； 2．等号成立条件都是 ，求出 的值后代回原条件验证。 知识点3 常见变形与配凑（基础） 配凑型：形如 ，则 ，当且仅当 时取等号。 "1"的代换：已知 ，则 ，当且仅当 时取等号。 换元配凑：形如 ，令 ，化为 。 【方法技巧】 1．"1"的代换关键：乘上定值再展开，展开后用 ； 2．定值不是1时（如 ），最后要除以这个常数才是原式的最值。 【易错清单】 1．忘记除以定值： 时 的最小值是 而不是9； 2．配凑后要检验等号能取到（解方程看是否在定义域内）。 考点2 基本不等式的实际应用（基础） 知识点4 实际问题的解题步骤 第一步：设未知数（通常设矩形的长与宽、圆柱的底面半径与高等）； 第二步：把文字条件翻译成方程（如周长、体积一定），用方程减少未知数； 第三步：列函数式（面积、用料、成本），化成能用基本不等式的形式； 第四步：用基本不等式求最值，代回求未知数，写出答案（带单位）。 【方法技巧】 1．"周长一定求面积最大"用和定积最大，"面积一定求周长最短"用积定和最小； 2．设两个未知数时，先用条件消去一个，只留一个自变量。 【易错清单】 1．答案必须带单位，且符合实际（边长要正数）； 2．列出函数后先写定义域（如 ），再求最值。 【题型1 利用基本不等式求最值（配凑型）】 【例1】已知 ，则 的最小值为（　　） A．1　B．2　C．4　D．不存在 【变式1-1】已知 ，则 的最小值为（　　） A．2　B．4　C．8　D．16 【变式1-2】已知 ，则 的最小值为（　　） A．2　B．　C．4　D．8 【变式1-3】已知 ，则 的最大值为（　　） A．　B．2　C．不存在　D． 【题型2 和定积最大、积定和最小】 【例2】已知 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A．2　B．4　C．8　D．16 【变式2-1】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A．3　B．6　C．9　D．18 【变式2-2】已知 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A．4　B．8　C．16　D．64 【变式2-3】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A．1　B．2　C．4　D．不存在 【题型3 "1"的代换求最值】 【例3】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A．2　B．4　C．8　D．16 【变式3-1】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-2】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-3】已知 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A．1　B．　C．　D．4 【题型4 实际应用（基础）】 【例4】用一段长 的篱笆靠墙围一个矩形菜园（墙足够长，只有三边用篱笆），求这个菜园的最大面积。 【变式4-1】一个直角三角形两直角边之和为 ，求这个三角形面积的最大值。 【变式4-2】用一段长 的篱笆围成一个矩形菜园（不靠墙），求菜园的最大面积。 【变式4-3】用篱笆围一个面积为 的矩形菜园（不靠墙），求所需篱笆的最短长度。 【题型5 基本不等式的易错与综合】 【例5】函数 的最大值为（　　） A．　B．2　C．0　D．不存在 【变式5-1】已知 ，则 的最小值为（　　） A．2　B．3　C．4　D． 【变式5-2】判断下列解法是否正确："已知 ，因为 ，所以 。" A．正确　B．错误，因为 时 　C．错误，因为 　D．无法判断 【变式5-3】已知 ，则 的最小值为（　　） A．2　B．3　C．4　D． 【题型6 基本不等式与恒成立问题】 【例6】若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-1】若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值为（　　） A．3　B．4　C．5　D．6 【变式6-2】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A．8　B．9　C．10　D．12 【变式6-3】已知 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A．1　B．2　C．3　D．4 一、单选题 1．（★）下列不等式成立的是（　　） A．若 ，则 　B．若 ，则 　C．若 ，则 　D．若 ，则 2．（★）已知 ，则 的最小值为（　　） A．2　B．4　C．8　D．16 3．（★）已知 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A．6　B．9　C．12　D．36 4．（★）已知 ，，，则 的最小值为（　　） A．2　B．4　C．8　D．16 5．（★）已知 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A．1　B．2　C．4　D．8 6．（★）函数 的值域为（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★）已知 ，则 的最小值为（　　） A．4　B．8　C．16　D． 8．（★★）若 ，则 的最大值为（　　） A．　B．2　C．不存在　D． 二、多选题 9．（★）下列结论正确的是（　　） A． 时， 的最小值为2　B． 时， 当且仅当 取等号　C． 时， 的最大值为 　D． 时， 的最小值为2 10．（★）已知 ，，，则（　　） A．　B． 的最大值为 　C．　D． 11．（★★）已知 ，，且 ，则（　　） A．　B． 的最大值为4　C．　D． 三、填空题 12．（★）已知 ，则 的最小值为____________。 13．（★）已知 ，，，则 的最小值为____________。 14．（★）用篱笆靠墙围一个矩形菜园（只有三边用篱笆），篱笆总长为 ，则菜园的最大面积为____________。 四、解答题 15．（★）已知 ，，且 。 (1) 求 的最大值； (2) 求 的最小值。 16．（★）一个直角三角形两直角边之和为 。 (1) 求两直角边之和固定时面积的最大值； (2) 求面积最大时斜边的长。 17．（★★）已知 ，求函数 的最小值，并求取得最小值时 的值。 18．（★★）用一段长 的篱笆靠墙围一个矩形菜园（墙足够长，只有三边用篱笆），求这个菜园的最大面积。 19．（★★）已知 ，，且 。 (1) 求 的最小值； (2) 求 的最小值。 【名师基础】　—— 本讲义完 —— 【名师基础】专题1.4 基本不等式及其应用　1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $【名师基础】　2027年高考数学一轮复习·名师基础系列　基础不牢，地动山摇 专题 1.4 基本不等式及其应用（基础复习讲义） 【新高考专用】 考点要求 1．掌握基本不等式 ，理解等号成立的条件； 2．会用基本不等式求简单函数的最值（和定积最大、积定和最小）； 3．掌握"1"的代换与简单配凑（基础型）； 4．了解基本不等式在实际问题中的简单应用（列函数、求最值）。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 基础层拿分策略 直接求最值（配凑型） 选择题、填空题 卷首 易 和定积最大、积定和最小 选择题、填空题 卷首 易 先看和定还是积定，再套结论 "1"的代换 选择题、填空题 卷首 中 把定值乘进去再展开 实际应用（面积用料） 解答题某一问 中档题 中 设元→列函数→用不等式 命题规律分析 基本不等式是高考求最值的"常规武器"，选择题、填空题直接考，解答题中作为某一问出现，难度中低档。命题规律：直接求最值（配凑型）是主体，"和定积最大、积定和最小"两结论反复用；"1"的代换是经典考法；实际应用（面积、用料）常以中档解答题收尾。陷阱集中在两点：忽视"一正"（负数上用不等式）、忘记检验等号成立条件。基础层目标：记牢"一正、二定、三相等"，背熟两句口诀，拿到最值题的基础分。 考点1 基本不等式 知识点1 基本不等式 基本不等式：如果 ，，那么 ，当且仅当 时等号成立。 （ 叫算术平均数， 叫几何平均数，可结合圆、直角三角形理解） 重要不等式：对任意实数 ，有 ，当且仅当 时等号成立。 使用条件三步检查：①一正—— 均为正数；②二定——和或积为定值；③三相等——验证等号能取到。 【方法技巧】 1．用前先问"正不正"： 时先提取负号，化为正数再用； 2．用后必问"等不等"：解 看解是否在定义域内，不在则取不到最值。 【易错清单】 1． 在 时最大值为 ，不是最小值2； 2．只满足"一正、二定"不检验"三相等"，可能把"下界"误当"最小值"。 知识点2 两个最值结论 和定积最大：若 且 （ 为常数），则 ，当且仅当 时取最大值 。 积定和最小：若 且 （ 为常数），则 ，当且仅当 时取最小值 。 记忆口诀："和定积最大，积定和最小，相等才等号"。 【方法技巧】 1．读题先分类：条件是"和为定值"还是"积为定值"，决定用哪句结论； 2． 是同一结论的另一写法，填空题可直接写。 【易错清单】 1．"和定"求积的最大值，"积定"求和的最小值，方向记反是常见错误； 2．等号成立条件都是 ，求出 的值后代回原条件验证。 知识点3 常见变形与配凑（基础） 配凑型：形如 ，则 ，当且仅当 时取等号。 "1"的代换：已知 ，则 ，当且仅当 时取等号。 换元配凑：形如 ，令 ，化为 。 【方法技巧】 1．"1"的代换关键：乘上定值再展开，展开后用 ； 2．定值不是1时（如 ），最后要除以这个常数才是原式的最值。 【易错清单】 1．忘记除以定值： 时 的最小值是 而不是9； 2．配凑后要检验等号能取到（解方程看是否在定义域内）。 考点2 基本不等式的实际应用（基础） 知识点4 实际问题的解题步骤 第一步：设未知数（通常设矩形的长与宽、圆柱的底面半径与高等）； 第二步：把文字条件翻译成方程（如周长、体积一定），用方程减少未知数； 第三步：列函数式（面积、用料、成本），化成能用基本不等式的形式； 第四步：用基本不等式求最值，代回求未知数，写出答案（带单位）。 【方法技巧】 1．"周长一定求面积最大"用和定积最大，"面积一定求周长最短"用积定和最小； 2．设两个未知数时，先用条件消去一个，只留一个自变量。 【易错清单】 1．答案必须带单位，且符合实际（边长要正数）； 2．列出函数后先写定义域（如 ），再求最值。 【题型1 利用基本不等式求最值（配凑型）】 【例1】已知 ，则 的最小值为（　　） A．1　B．2　C．4　D．不存在 【答案】B 【解题思路】直接使用基本不等式，注意检验等号成立条件。 【解答过程】因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立。所以最小值为2。故选B。 【方法点睛】配凑型解题顺序：确认一正 → 套 → 解 检验等号。三步齐全才算完。 【变式1-1】已知 ，则 的最小值为（　　） A．2　B．4　C．8　D．16 【答案】B 【解题思路】。 【解答过程】，当且仅当 ，即 时等号成立。所以最小值为4。故选B。 【变式1-2】已知 ，则 的最小值为（　　） A．2　B．　C．4　D．8 【答案】B 【解题思路】系数2与1相乘再开方。 【解答过程】，当且仅当 ，即 时等号成立。故选B。 【变式1-3】已知 ，则 的最大值为（　　） A．　B．2　C．不存在　D． 【答案】A 【解题思路】"一正"不满足时，先提取负号化为正数。 【解答过程】由 得 ，，即 ，所以 ，当且仅当 时取等号。最大值为 。故选A。 【题型2 和定积最大、积定和最小】 【例2】已知 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A．2　B．4　C．8　D．16 【答案】B 【解题思路】"和定积最大"：。 【解答过程】，当且仅当 时等号成立。所以 的最大值为4。故选B。 【方法点睛】先看条件类型： 定值 → 积有最大； 定值 → 和有最小。记混方向是本题型唯一的失分点。 【变式2-1】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A．3　B．6　C．9　D．18 【答案】B 【解题思路】"积定和最小"：。 【解答过程】，当且仅当 时等号成立。所以 的最小值为6。故选B。 【变式2-2】已知 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A．4　B．8　C．16　D．64 【答案】C 【解题思路】和定积最大：。 【解答过程】，当且仅当 时等号成立。故选C。 【变式2-3】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A．1　B．2　C．4　D．不存在 【答案】B 【解题思路】积定和最小：。 【解答过程】，当且仅当 时等号成立。故选B。 【题型3 "1"的代换求最值】 【例3】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A．2　B．4　C．8　D．16 【答案】B 【解题思路】用 代换分母中的"1"，展开后用基本不等式。 【解答过程】。因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立。所以最小值为4。故选B。 【方法点睛】"1"的代换三步：乘定值 → 展开分组（常数+倒数对）→ 用 。定值不是1时，最后要除以这个定值。 【变式3-1】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】仍用"1"的代换：把 乘进去再展开。 【解答过程】。因为 ，所以 ，当且仅当 （即 ）时等号成立。故选B。 【变式3-2】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】乘上定值2后展开，注意最后除以2。 【解答过程】，当且仅当 （即 ）时等号成立。所以 。故选B。 【变式3-3】已知 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A．1　B．　C．　D．4 【答案】C 【解题思路】展开后用"和定积最大"。 【解答过程】。由 得 ，所以 ，当且仅当 时取等号。故选C。 【题型4 实际应用（基础）】 【例4】用一段长 的篱笆靠墙围一个矩形菜园（墙足够长，只有三边用篱笆），求这个菜园的最大面积。 【答案】最大面积为 【解题思路】设宽为 ，用"长 宽 "表示长，列面积函数后用基本不等式。 【解答过程】设垂直于墙的边长为 ，则平行于墙的边长为 。面积 。因为 ，，所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立。所以最大面积为 。 【方法点睛】应用题四步：设元 → 用条件消元 → 列函数（写定义域）→ 用不等式求最值 → 代回写答案。面积最大问题本质都是"和定积最大"。 【变式4-1】一个直角三角形两直角边之和为 ，求这个三角形面积的最大值。 【答案】最大面积为 【解题思路】设两直角边为 ，由 求 的最大值。 【解答过程】设两直角边为 （），则 ，面积 。由 ，得 ，当且仅当 时等号成立。所以面积最大值为8。 【变式4-2】用一段长 的篱笆围成一个矩形菜园（不靠墙），求菜园的最大面积。 【答案】最大面积为 【解题思路】设一边为 ，则另一边为 ，列面积函数。 【解答过程】设矩形一边长为 ，则另一边长为 。面积 ，当且仅当 时等号成立。所以最大面积为 。 【变式4-3】用篱笆围一个面积为 的矩形菜园（不靠墙），求所需篱笆的最短长度。 【答案】最短长度为 【解题思路】"面积一定"即积定，用"积定和最小"求周长的最小值。 【解答过程】设矩形两边为 ，则 ，篱笆长度 。由 ，得 ，当且仅当 时等号成立。所以所需篱笆的最短长度为 。 【题型5 基本不等式的易错与综合】 【例5】函数 的最大值为（　　） A．　B．2　C．0　D．不存在 【答案】A 【解题思路】 时先提取负号，化为正数后用基本不等式。 【解答过程】令 ，则 。由 得 ，当且仅当 （即 ）时取等号。所以最大值为 。故选A。 【方法点睛】见到 先看定义域： 最小值2， 最大值 ， 时值域为 。 【变式5-1】已知 ，则 的最小值为（　　） A．2　B．3　C．4　D． 【答案】B 【解题思路】换元：令 ，化为 。 【解答过程】令 ，则 ，当且仅当 （即 ）时取等号。所以最小值为3。故选B。 【变式5-2】判断下列解法是否正确："已知 ，因为 ，所以 。" A．正确　B．错误，因为 时 　C．错误，因为 　D．无法判断 【答案】B 【解题思路】基本不等式等号在 即 时成立。 【解答过程】当 时，，等号可以取到，所以结论 ""错误，应为 ""。故选B。 【变式5-3】已知 ，则 的最小值为（　　） A．2　B．3　C．4　D． 【答案】C 【解题思路】换元：令 ，化为 。 【解答过程】令 ，则 ，当且仅当 （即 ）时取等号。所以最小值为4。故选C。 【题型6 基本不等式与恒成立问题】 【例6】若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】恒成立"看最值"：左边的最小值要 。 【解答过程】因为 ，由基本不等式 ，当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 。要使不等式恒成立，只需 。故选B。 【方法点睛】恒成立问题的通用套路： 恒成立 ； 恒成立 。 【变式6-1】若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值为（　　） A．3　B．4　C．5　D．6 【答案】C 【解题思路】先"配凑"成积为定值的形式，再用基本不等式求最小值。 【解答过程】因为 ，所以 ，于是，当且仅当 （即 ）时取等号。所以最小值为 ，， 的最大值为 。故选C。 【变式6-2】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A．8　B．9　C．10　D．12 【答案】B 【解题思路】"1 的代换"：把 乘以 。 【解答过程】因为 ，所以，当且仅当 （即 ，结合 得 ，）时取等号。故选B。 【变式6-3】已知 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A．1　B．2　C．3　D．4 【答案】B 【解题思路】把 看成 ，凑成"和定"形式。 【解答过程】由基本不等式 ，所以 ，当且仅当 （结合 得 ，）时取等号。故 的最大值为 。故选B。 一、单选题 1．（★）下列不等式成立的是（　　） A．若 ，则 　B．若 ，则 　C．若 ，则 　D．若 ，则 【答案】A 【解题思路】基本不等式要求"一正"，且等号可能成立。 【解答过程】A： 时 ，当 时取等号，成立；B： 时 ，不成立；C、D不成立。故选A。 2．（★）已知 ，则 的最小值为（　　） A．2　B．4　C．8　D．16 【答案】B 【解题思路】。 【解答过程】，当 时取等号。故选B。 3．（★）已知 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A．6　B．9　C．12　D．36 【答案】B 【解题思路】和定积最大：。 【解答过程】，当 时取等号。故选B。 4．（★）已知 ，，，则 的最小值为（　　） A．2　B．4　C．8　D．16 【答案】B 【解题思路】积定和最小：。 【解答过程】，当 时取等号。故选B。 5．（★）已知 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A．1　B．2　C．4　D．8 【答案】A 【解题思路】和定积最大。 【解答过程】，当 时取等号。故选A。 6．（★）函数 的值域为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】 时最小值为2，且函数值可以任意大。 【解答过程】 且 时函数值趋于 ，所以值域为 。故选A。 7．（★★）已知 ，则 的最小值为（　　） A．4　B．8　C．16　D． 【答案】B 【解题思路】，。 【解答过程】，当 （即 ）时取等号。故选B。 8．（★★）若 ，则 的最大值为（　　） A．　B．2　C．不存在　D． 【答案】A 【解题思路】 时先取相反数化为正。 【解答过程】，即 ，所以 ，当 时取等号，最大值为 。故选A。 二、多选题 9．（★）下列结论正确的是（　　） A． 时， 的最小值为2　B． 时， 当且仅当 取等号　C． 时， 的最大值为 　D． 时， 的最小值为2 【答案】ABC 【解题思路】逐项检查"一正、二定、三相等"。 【解答过程】A、B正确；C： 时 ，所以 ，最大值为 （ 时取到），正确；D：，最小值为 而非2，错误。故选ABC。 10．（★）已知 ，，，则（　　） A．　B． 的最大值为 　C．　D． 【答案】ABCD 【解题思路】和定积最大，再结合"1"的代换。 【解答过程】由 知A、B正确； 知D正确； 知C正确。故选ABCD。 11．（★★）已知 ，，且 ，则（　　） A．　B． 的最大值为4　C．　D． 【答案】ABCD 【解题思路】和定积最大，再用"1"的代换。 【解答过程】由 知A、B、D正确； 知C正确。故选ABCD。 三、填空题 12．（★）已知 ，则 的最小值为____________。 【答案】6 【解题思路】。 【解答过程】，当 时取等号。 13．（★）已知 ，，，则 的最小值为____________。 【答案】2 【解题思路】"1"的代换。 【解答过程】，又 ，所以 ，当 时取等号。 14．（★）用篱笆靠墙围一个矩形菜园（只有三边用篱笆），篱笆总长为 ，则菜园的最大面积为____________。 【答案】 【解题思路】设宽列面积函数，用基本不等式。 【解答过程】设宽为 ，则长为 ，面积 ，当 时取等号。最大面积为 。 四、解答题 15．（★）已知 ，，且 。 (1) 求 的最大值； (2) 求 的最小值。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 和定积最大；(2) 先用 (1) 的结果：。 【解答过程】(1) ，当 时取等号。 (2) ，当 时取等号。 16．（★）一个直角三角形两直角边之和为 。 (1) 求两直角边之和固定时面积的最大值； (2) 求面积最大时斜边的长。 【答案】(1) 最大面积为 ； (2) 斜边长为 。 【解题思路】(1) 和定积最大求面积；(2) 两直角边相等时用勾股定理求斜边。 【解答过程】(1) 设两直角边为 ，，面积 ，当 时取等号，最大面积为8。 (2) 此时为等腰直角三角形，斜边 。 17．（★★）已知 ，求函数 的最小值，并求取得最小值时 的值。 【答案】最小值为4，此时 【解题思路】直接套配凑型结论，并解等号条件。 【解答过程】。当且仅当 ，即 ，（）时取等号。所以最小值为4，此时 。 18．（★★）用一段长 的篱笆靠墙围一个矩形菜园（墙足够长，只有三边用篱笆），求这个菜园的最大面积。 【答案】最大面积为 【解题思路】设宽为 ，用"长 宽 "表示长，列面积函数。 【解答过程】设垂直于墙的边长为 ，则平行于墙的边长为 。面积 ，当且仅当 时取等号。所以最大面积为 。 19．（★★）已知 ，，且 。 (1) 求 的最小值； (2) 求 的最小值。 【答案】(1) 最小值为 ； (2) 最小值为 。 【解题思路】把条件整体乘进目标式："1"的代换的反向使用。 【解答过程】(1) ，当且仅当 （即 ）时取等号。 (2) 由 得 。由 (1) 知 ，所以 ，当且仅当 时取等号。 【名师基础】　—— 本讲义完 —— 【名师基础】专题1.4 基本不等式及其应用　1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $