第04讲 基本不等式及其应用（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦基本不等式及其应用核心考点，按知识梳理-重难突破-分层集训逻辑架构，涵盖直接法、配凑法等十大考点，通过考情分析明确要求，知识归纳夯实基础，真题训练强化应用，帮助学生系统构建解题框架。 讲义创新采用分层突破策略，如“1”的代入法通过典例拆解定值构造过程，培养数学思维与模型意识，设置基础到真题三级练习，配合方法技巧总结，确保学生高效掌握求最值关键能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第04讲 基本不等式及其应用 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 基本不等式 知识2 基本不等式求最值三类常用解题方法 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接） 考点01 直接法 考点02 配凑法 考点03 二次与二次（一次）的商式（换元法） 方法技巧 一次或二次比一次分式求最值 考点04 “1”的代入法 方法技巧 模型求最值 考点05 双换元法 方法技巧 模型求最值 考点06 条件等式有和有积求最值 方法技巧 条件式和积共存求最值 考点07 消元法求最值 考点08 利用基本不等式求参数值或取值范围 考点09 利用基本不等式解决实际问题 考点10 基本不等式等号不成立，优先对勾函数 方法技巧 对勾函数应用 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 掌握基本不等式结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题。 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 不等式的判断 北京卷T6 北京卷T9 基本不等式求最值 全国Ⅰ卷T18（1） 考情解读 近三年高考中基本不等式很少单独出题，多作为工具融合在函数、解析几何、导数、应用题里考查。分值分散在选择填空与大题，中档题居多，是求范围、最值的必备解题手段。 备考策略 备考首先吃透基本不等式公式与推论，牢牢谨记一正二定三相等三大使用前提，规避取等条件出错。熟练掌握拆拼凑项、1的代换、消元三类核心解题方法，灵活构造和或定值。遇到等号取不到的题型，改用对勾函数单调性解题。该考点常结合函数、解析几何考查最值，日常多综合刷题，强化跨题型灵活运用能力。 知识・归纳梳理 知识1 基本不等式 1．基本不等式 1、如果，那么（当且仅当时取等号“=”）. 2、如果，,则或（当且仅当时取等号“=”）. （1）基本不等式成立的条件：.（2）等号成立的条件，当且仅当时取等号． 注：（1）在利用基本不等式求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件． 其中，“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值，“三相等”是说各项的值相等时，等号成立． （2）多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性． 2．几个重要不等式 1. 2. 3. 4. 5. . 3．最值定理 （1）如果积xy是定值P，那么当且仅当时，x＋y有最小值是.(简记：积定和最小) （2）如果和x＋y是定值P，那么当且仅当时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) 知识2 基本不等式求最值三类常用解题方法 （1）拼凑法：针对原式无法直接满足一正二定三相等的情况，通过拆分项、增补常数的代数变形，凑出乘积或者和为固定值的结构，满足基本不等式使用条件后计算最值。 拆分项举例： （2） 常数代换法（1的代换）：先从已知关系式中提炼定值，把定值整体化为1，再将所求代数式和“1”相乘展开，拆分构造和定、积定形式，最后套用不等式求解。 例：已知，求的最小值. 解析：. （3） 消元法：题干含多个变量时，利用等式条件用一个变量替换其余变量，减少变量个数，化简表达式，凑出定值结构，再利用基本不等式求最值。 重难・核心突破 考点01 直接法 典例1．若正实数满足，则的最大值为__________． 【答案】/ 【详解】因为均为正实数，所以， 当且仅当，时取等号. 典例2．当（   ）时，函数取得最小值． A．1 B．1 C．1 D．2 【答案】C 【详解】依题意，，，当且仅当，即时取等号， 所以当时，函数取得最小值. 【考法预测1】设、为正数，且，则的最大值为______． 【答案】/ 【详解】， ，当且仅当时取等号. ， ，即，解得， 当时，取等号，故的最大值为． 【考法预测2】已知，则的最小值为________. 【答案】 【详解】，. 由于，，则， 当且仅当时取等号. 【考法预测3】已知点满足，则的最小值为（ ） A． B． C．16 D．不存在 【答案】A 【详解】，当且仅当等号成立. 考点02 配凑法 典例1．若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 故选：C. 典例2．已知，则取得最大值时x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 则由基本不等式得，， 当且仅当，即时，等号成立， 故取得最大值时x的值为 故选： 【考法预测1】若，则函数的最小值为_____. 【答案】10 【详解】若，则， 所以函数， 当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为. 【考法预测2】已知，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则， 可得，即， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值为. 故选：C 【考法预测3】已知，则的最大值为__________. 【答案】 【详解】由于，故， ， 当且仅当，即时取到等号，故的最大值为， 故答案为： 考点03 二次与二次（一次）的商式（换元法） 典例1．已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 典例2．函数(）的最大值为______． 【答案】/ 【详解】 ，，当且仅当时取等号， 即函数(）的最大值为． 方法技巧 一次或二次比一次分式求最值 针对的分式函数，通过配凑分子或者替换分母的方式拆分解析式，拆成整式加分式的组合形式，满足定值条件后，利用基本不等式完成最值计算。 【考法预测1】已知，则的最小值为______. 【答案】 【详解】，令，所以， 则， 当且仅当，即，时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 【考法预测2】已知，则的最小值是____． 【答案】2 【详解】因为， 所以， 当且仅当．即时，等号成立． 故答案为：2 考点04 “1”的代入法 典例1．已知，则的最小值为（   ） A．44 B．46 C．48 D．50 【答案】D 【详解】因为， 所以， 当且仅当时，等号成立， 故选：D. 典例2．已知正实数a，b满足，则的最小值为______． 【答案】4 【详解】， ， ， ， ， 当且仅当，即，结合得时等号成立， 的最小值为4． 方法技巧 模型求最值 先从题目给出的已知条件中整理出分母等于1的关系式，再把所求分式整体与该式相乘展开，拆分重组构造出和为定值的结构，再套用基本不等式求解最值。 【考法预测1】已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵， ， 当且仅当，即，时等号成立. 的取值范围是. 【考法预测2】已知，，，，若存在非零实数，使得，则的最小值为 __． 【答案】9 【详解】已知，，， ，即， ，，则， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为9． 【考法预测3】已知，，且，则的最小值为______． 【答案】/ 【详解】已知，，，得， 由基本不等式，得， 当且仅当，即时取等号， 此时满足条件，因此的最小值为. 考点05 双换元法 典例1．已知正实数满足，则的最小值为（     ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】已知，则， ， 当且仅当时，即时取等号，联立 解得，满足 为正实数，等号能够取到，所以最小值为. 典例2．已知正数x，y满足，则的最小值为______. 【答案】 【详解】因为正数x，y满足，所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 方法技巧 模型求最值 遇到两个分式相加的复杂式子，可把两个分式的分母统一当作整体进行换元，简化原式结构，转化为能够使用基本不等式的标准形式后再计算。 【考法预测1】已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，且，所以， 所以， 当且仅当即、时等号成立． 所以的最小值为. 【考法预测2】已知，，，则的最大值为____. 【答案】/ 【详解】令，，所以， 因为，所以，所以， 所以，当且仅当时取等号， 结合，解得，即时，，所以的最大值为. 【考法预测3】已知时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【详解】由可知，易知，且， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 因此的最小值为3. 考点06 条件等式有和有积求最值 典例1．已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，且， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 即，得，因为，所以. 由代入，解得， 因此当，的最小值为. 典例2．已知正实数，满足，则的最大值是__________． 【答案】4 【详解】因为为正实数，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立； 正实数满足，得，代入上述不等式可得：， 令，由得，不等式转化为：，整理得，即， 因为，所以，因此，即，故， 得，当且仅当时等号成立，因此的最大值为4. 方法技巧 条件式和积共存求最值 已知等式中同时出现和与积两种结构：①不含常数时，式子同除以乘积，转化为1的代换题型；②也可灵活配凑不等式，通过解不等式确定目标代数式的取值范围。 【考法预测1】已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】由，得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得， 所以的最小值是. 【考法预测2】已知实数，满足，则的最大值为_____. 【答案】 【详解】令，则， 方程可化为， 整理得，则满足， 解得，所以，即， 所以的最大值为. 【考法预测3】（多选）已知正数满足，则（   ） A． B．的最小值为2 C．的最小值为9 D．的最小值为1 【答案】AC 【详解】， 解得，即，选项A正确； ，即，则，所以的最小值为4，选项B错误； ，则， ， 当且仅当，时等号成立，即，选项C正确； ，当且仅当时成立， 而，则，所以取不到，选项D错误. 考点07 消元法求最值 典例1．已知，，且，则的最小值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】 【详解】（方法一）由，可得， 因为，，所以，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为13． （方法二）由，可得，因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为13． 典例2．设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．9 B．1 C． D．4 【答案】D 【详解】由题意可知，， 所以， 因为，所以，当，即时，等号成立， 此时取最大值为1，， 所以， 当时，上式取得最大值4，所以的最大值为4. 故选：D 【考法预测1】已知，，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】由，则，，，故， 所以， 当且仅当，此时取等号. 【考法预测2】（多选）若，则的值可能是（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】CD 【详解】因为，所以，，， 当时，， 当时，， 结合选项，的值可能为或． 【考法预测3】若，且，则的最小值为_____. 【答案】 【详解】因为，则， 又因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 则，所以的最小值为. 故答案为：. 考点08 利用基本不等式求参数值或取值范围 典例1．若正实数，满足，不等式恒成立，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】由，得，即， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，则，解得， 则的取值范围是. 典例2．当，且满足时，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且满足，， 即，则，即，当且仅当时，等号成立， 又因为恒成立，所以，即， 即，解得. 【考法预测1】若正实数x，y满足，且恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】 【详解】由正实数x，y满足，得， 所以， 当且仅当，即时取等号， 由恒成立，可得， 所以，即，解得， 所以实数a的取值范围为. 【考法预测2】已知函数 ，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】换元转化令，由指数函数性质得，原函数可转化为二次函数： 恒成立等价于对任意恒成立， 分离参数求范围对（）移项得：对任意恒成立， 因此只需， 对有： 当且仅当即时取等号，因此， 即，故的取值范围是. 【考法预测3】已知函数，，若，，使得，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，使得，； （当且仅当时取等号）， 时，的最小值为， ，解得：， 实数的取值范围为. 考点09 利用基本不等式解决实际问题 典例1．某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 【答案】 【详解】， 等号成立时， 故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为万元. 故答案为：； 典例2．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【答案】(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低 (2) 【分析】 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， 因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是. 【考法预测1】如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.    【答案】 【详解】设，，则，所以， 所以 ， ，即，解得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，该休闲场所的总造价最小，最小值为元. 故答案为：. 【考法预测2】某工厂要建造一个无盖的长方体蓄水池，其容积为4800立方米，深为3米.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，设池底长方形的长为米. (1)用含的表达式表示池底长方形的宽以及建造这个蓄水池的总造价（单位：元）； (2)运用基本不等式求当为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【答案】(1) (2)，最小值为297600 【分析】 【详解】（1）设水池底面一边的长度为x米，则另一边的长度为米 ； （2）               ，                              当且仅当，即时，等号成立，y有最小值297600 【考法预测3】物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 【答案】(1)，. (2)仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 【分析】 【详解】（1）由题意设，，其中， 当时，，解得，，解得， 所以，. （2）由（1）知 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 【考法预测4】某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为（）米，原有墙体足够长. (1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围. 【答案】(1)10米 (2) 【分析】 【详解】（1）设甲工程队的总报价为元， 依题意，左、右两面墙的长度均为（）米， 则长方体前面新建墙体的长度为米， 所以， 即， 当且仅当，即时，等号成立. 故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为19200元. （2）由题意可知，， 即对任意的恒成立， 所以，可得，即. ， 当且仅当，即时，取最小值36. 所以，即的取值范围是. 考点10 基本不等式等号不成立，优先对勾函数 典例1．下列式子中最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对A：因为，当时取等号，故A正确； 对B：设，则，根据对勾函数的单调性，函数在上单调递增， 所以，故的最小值不是2，故B错误； 对C：当时，，所以的最小值不是2，故C错误； 对D：因为，故恒成立，故的最小值不是2，故D错误. 故选：A 典例2．函数，则的值域是______． 【答案】 【详解】由题设，令，则， 由对勾函数的性质知，函数在上单调递减，在上单调递增． 又因为，故的值域是， 所以的值域是． 故答案为： 方法技巧 对勾函数应用 函数图像呈对勾形态，当基本不等式取等号的条件无法成立、不能直接用不等式时，借助对勾函数的单调性分析自变量范围，求出函数最值，作为不等式失效的替补解法。 【考法预测1】下列函数中最小值为4的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：，其中. 令，则（）. 函数在上单调递减，因此当时，， 故最小值为5，A错误； 选项B：，的取值范围为且. 所以当，即时，， 当且仅当，即时等号成立； 当，即时，， 当且仅当，即时等号成立； 故无最小值，B错误； 选项C：，当时，， 故最小值为3，C错误； 选项D：因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 故最小值为4，D正确. 故选：D. 【考法预测2】某地方政府为鼓励实体经济发展，拟对本地年产值（单位：万元）的实体小微企业进行奖励，奖励方案为：奖金（单位：万元）随企业年产值的增加而增加，且奖金不低于5万元，同时奖金不超过企业年产值的．若函数，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】依题意单调递增，则，解得， 又依题意可得对恒成立， 故，在恒成立， 所以，解得， 由对勾函数性质可知在区间上单调递增， 所以， 综上，的取值范围为. 【考法预测3】已知函数在上存在最小值，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】已知在上存在最小值, 当时，函数为对勾函数，在处取得最小值， 为使最小值点落在区间内，需，解得， 当时，函数单调递增，在区间内不存在最小值点， 因此实数的取值范围是. 拔高・分层集训 基础演练 1．（2026·上海浦东新·三模）已知、为非零实数，则使不等式成立的一个充分不必要条件是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若，则， ，此时不可能满足. 若，则，令，则 ，所以 当且仅当（即）时取等号. 因此，不等式成立的充要条件是 A.：此时式子，与题目矛盾，排除. B.：这是不等式成立的充要条件，不是“充分不必要条件”，排除. C.：若，则，一定能推出不等式成立（充分性成立）； 但不等式成立只要求，也可以是，不一定是（必要性不成立），所以这是充分不必要条件 D.：此时，式子，与题目矛盾，排除 2．函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最大值为． 3．（2025·26高三下·重庆·阶段检测）设且，且，若，则的最小值是（    ） A．3 B． C．9 D．18 【答案】B 【详解】由换底公式可得 ， 原式化为 ，所以 ， 因为，由基本不等式得， 当且仅当，即时，取等号成立. 所以的最小值是. 4．已知命题: “，”，若命题是真命题，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，不等式可化为， 所以，，等价于， 函数，在单调递减，在单调递增， 又当时，，当时，， 所以， 所以， 故选：A 5．设函数满足等式，则的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，解得， 当时，当且仅当，即时取等号， 所以； 当时，当且仅当，即时取等号， 所以； 综上可得的值域为. 故选：C 6．（多选）已知正数满足，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为4 【答案】AB 【详解】选项A，因为，当且仅当时等号成立，所以. 选项B，因为，所以.当且仅当时等号成立， 选项C，，当且仅当时等号成立， 选项D，，当且仅当时等号成立，解得，与条件矛盾，因此最小值取不到. 7．（多选）设非负实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最小值是4 【答案】ACD 【详解】已知非负实数满足，因此，得，. 选项A.将代入得，开口向下，对称轴为， 最大值，正确. 选项B.将代入得，函数在上单调递减， 最小值在处取得，错误. 选项C..由A知，因此， 等号在时成立，正确. 选项D.. 由基本不等式，因此，等号在时成立，正确. 8．当时，函数的最小值为 ________________ ． 【答案】 【详解】当时，函数， 当且仅当，即x时,等号成立，所以的最小值为. 9．（2026·广西南宁·模拟预测）设为正实数，且，则的最大值为___，的最小值为____． 【答案】 【详解】而为正实数，则，故的最大值为， 当且仅当时，取得最大值． 令，， ， ， 又， ， 当且仅当时，即时取得最小值， 的最小值为． 10．已知，均为正数，若，则最小值为________. 【答案】 【详解】已知，对已知等式变形得. 将上式代入中化简得. 由基本不等式得， 因此，当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 11．（多选）已知实数a，b满足，，，则（   ） A．ab的最大值为1 B．的最小值为 C．的最小值为2 D．的最大值为2 【答案】BC 【详解】A，,，解得， 当且仅当时等号成立，因此最小值为，无最大值. B，因为，则， 所以， 当且仅当时等号成立. C，，则，整理得， 因此， 因为，所以，当且仅当时等号成立. D，根据题设及A分析知，显然的最大值为2说法有误. 12．（2026·上海宝山·三模）已知是实数，不等式． (1)若，求上述关于的不等式的解集． (2)若上述不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）原不等式等价于 或， 又， 或， 则不等式解集为： ； （2）由题设可得恒成立，即， 注意到 ，当且仅当时取等号，从而. 13．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 【答案】(1)长为，宽为时，所用篱笆总长最小． (2)菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． (3)． 【分析】 【详解】（1）由题意得，，所用篱笆总长为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小． （2）由题意得，，菜园面积为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． （3）由题意得，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． 能力进阶 1．（新考法）求 的最大值为______. 【答案】 【详解】因为，（当且仅当时取等号）， 所以(*)，要想此式为定值则分子分母对应系数成比例， 即，解得， 将代入(*)式，得：，（当且仅当时取等号）. 故 的最大值为. 2．（ 2026·江苏常州·三模）已知随机变量，正实数，满足，则的最小值为_________. 【答案】 【详解】因为随机变量 ，正态分布的概率密度曲线关于均值 对称， 因为，根据正态分布的对称性性质得 化简得，所以 所以 根据基本不等式,当且仅当 时，等号成立， 此时结合 ，，得, , 所以，当且仅当, , 等号成立， 所以 的最小值为 . 3．（新角度）（ 2026·陕西商洛·模拟预测）已知函数，正数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．5 C．8 D．9 【答案】D 【详解】因为函数的定义域为，，所以是奇函数； 又，所以， 又，所以在上单调递增，所以，即； 又均为正数，所以， 当且仅当时，即，时等号成立， 故的最小值为9，故D正确. 4．（ 2026·天津河东·二模）“明数理”数学兴趣小组在综合实践过程中为某公司的一款明星科技产品提供涨价方案，经过小组成员分析讨论形成如下四个方案： 方案甲：第一次提价，第二次提价；方案乙：第一次提价，第二次提价； 方案丙：第一次和第二次均提价； 方案丁：第一次提价，第二次降价； 其中，则四个方案中提价最多的方案为（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【详解】设商品原价为， 对于甲：最终价格为； 对于乙：最终价格为； 所以甲、乙方案结果相同， 对于丙：最终价格为； 由均值不等式，，所以方案丙的最终价格高于甲、乙， 对于丁：最终价格为：，该式存在负项，所以明显小于其他方案的结果， 综上，提价最多的是方案丙. 5．（新考法）（2025·26高二下·北京朝阳·期中）设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【详解】由，得， 于是，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 6．（新考法）（ 2026·上海闵行·二模）若平面直角坐标系中的点到轴与轴的距离之和为1，现有以下两个命题： ①存在点到轴与轴的距离之差为1； ②存在点到轴与轴的距离之积为1. 则以下选项正确的是（    ） A．①不正确，②不正确 B．①正确，②正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确 【答案】C 【详解】设，则， 对于①，当时，，故，满足点到轴与轴的距离之差为1，①正确； 对于②，由基本不等式可得，即，故，②错误. 7．已知，则的最小值为（    ） A．8 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】因为，当，即时取等号， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为． 8．（新角度）（ 2025·26高三下·甘肃白银·期中）若均为正数，则的最大值为______. 【答案】 【详解】设，由， 得， 当且仅当时，等号成立， 所以，令，解得， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 9．（新情景）（2025·26高一下·辽宁盘锦·开学考试）记表示中最大的数，已知，则的最小值为______. 【答案】 【详解】由，所以中一个为正，两个为负， 不妨设，所以， 又， 当且仅当即时等号成立， 所以，所以，所以， 所以的最小值为. 10．（ 2026·广西南宁·二模）设，，若不等式恒成立，则实数的最大值为______． 【答案】8 【详解】由. 从而原问题转化为求的最小值. 因为 ， （以上均为当且仅当时取等号）. 所以. 即实数的最大值为8. 真题实战 1．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 2．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 3．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为_________． 【答案】4 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 4．（2024·上海·高考真题）已知，的最小值为______． 【答案】12 【详解】, 当且仅当,即或时,等号成立, 故的最小值为12. 故答案为：12. 5．（2023·上海·高考真题）已知正实数a、b满足，则的最大值为_______________． 【答案】 【详解】， 当且仅当“”，即时取等， 所以的最大值为. 故答案为： 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 基本不等式及其应用 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 基本不等式 知识2 基本不等式求最值三类常用解题方法 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接） 考点01 直接法 考点02 配凑法 考点03 二次与二次（一次）的商式（换元法） 方法技巧 一次或二次比一次分式求最值 考点04 “1”的代入法 方法技巧 模型求最值 考点05 双换元法 方法技巧 模型求最值 考点06 条件等式有和有积求最值 方法技巧 条件式和积共存求最值 考点07 消元法求最值 考点08 利用基本不等式求参数值或取值范围 考点09 利用基本不等式解决实际问题 考点10 基本不等式等号不成立，优先对勾函数 方法技巧 对勾函数应用 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 掌握基本不等式结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题。 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 不等式的判断 北京卷T6 北京卷T9 基本不等式求最值 全国Ⅰ卷T18（1） 考情解读 近三年高考中基本不等式很少单独出题，多作为工具融合在函数、解析几何、导数、应用题里考查。分值分散在选择填空与大题，中档题居多，是求范围、最值的必备解题手段。 备考策略 备考首先吃透基本不等式公式与推论，牢牢谨记一正二定三相等三大使用前提，规避取等条件出错。熟练掌握拆拼凑项、1的代换、消元三类核心解题方法，灵活构造和或定值。遇到等号取不到的题型，改用对勾函数单调性解题。该考点常结合函数、解析几何考查最值，日常多综合刷题，强化跨题型灵活运用能力。 知识・归纳梳理 知识1 基本不等式 1．基本不等式 1、如果，那么（当且仅当时取等号“=”）. 2、如果，,则或（当且仅当时取等号“=”）. （1）基本不等式成立的条件：.（2）等号成立的条件，当且仅当时取等号． 注：（1）在利用基本不等式求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件． 其中，“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值，“三相等”是说各项的值相等时，等号成立． （2）多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性． 2．几个重要不等式 1. 2. 3. 4. 5. . 3．最值定理 （1）如果积xy是定值P，那么当且仅当时，x＋y有最小值是.(简记：积定和最小) （2）如果和x＋y是定值P，那么当且仅当时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) 知识2 基本不等式求最值三类常用解题方法 （1）拼凑法：针对原式无法直接满足一正二定三相等的情况，通过拆分项、增补常数的代数变形，凑出乘积或者和为固定值的结构，满足基本不等式使用条件后计算最值。 拆分项举例： （2） 常数代换法（1的代换）：先从已知关系式中提炼定值，把定值整体化为1，再将所求代数式和“1”相乘展开，拆分构造和定、积定形式，最后套用不等式求解。 例：已知，求的最小值. 解析：. （3） 消元法：题干含多个变量时，利用等式条件用一个变量替换其余变量，减少变量个数，化简表达式，凑出定值结构，再利用基本不等式求最值。 重难・核心突破 考点01 直接法 典例1．若正实数满足，则的最大值为__________． 典例2．当（   ）时，函数取得最小值． A．1 B．1 C．1 D．2 【考法预测1】设、为正数，且，则的最大值为______． 【考法预测2】已知，则的最小值为________. 【考法预测3】已知点满足，则的最小值为（ ） A． B． C．16 D．不存在 考点02 配凑法 典例1．若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 典例2．已知，则取得最大值时x的值为（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】若，则函数的最小值为_____. 【考法预测2】已知，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【考法预测3】已知，则的最大值为__________. 考点03 二次与二次（一次）的商式（换元法） 典例1．已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 典例2．函数(）的最大值为______． 方法技巧 一次或二次比一次分式求最值 针对的分式函数，通过配凑分子或者替换分母的方式拆分解析式，拆成整式加分式的组合形式，满足定值条件后，利用基本不等式完成最值计算。 【考法预测1】已知，则的最小值为______. 【考法预测2】已知，则的最小值是____． 考点04 “1”的代入法 典例1．已知，则的最小值为（   ） A．44 B．46 C．48 D．50 典例2．已知正实数a，b满足，则的最小值为______． 方法技巧 模型求最值 先从题目给出的已知条件中整理出分母等于1的关系式，再把所求分式整体与该式相乘展开，拆分重组构造出和为定值的结构，再套用基本不等式求解最值。 【考法预测1】已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】已知，，，，若存在非零实数，使得，则的最小值为 __． 【考法预测3】已知，，且，则的最小值为______． 考点05 双换元法 典例1．已知正实数满足，则的最小值为（     ） A．1 B． C． D．2 典例2．已知正数x，y满足，则的最小值为______. 方法技巧 模型求最值 遇到两个分式相加的复杂式子，可把两个分式的分母统一当作整体进行换元，简化原式结构，转化为能够使用基本不等式的标准形式后再计算。 【考法预测1】已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【考法预测2】已知，，，则的最大值为____. 【考法预测3】已知时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 考点06 条件等式有和有积求最值 典例1．已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 典例2．已知正实数，满足，则的最大值是__________． 方法技巧 条件式和积共存求最值 已知等式中同时出现和与积两种结构：①不含常数时，式子同除以乘积，转化为1的代换题型；②也可灵活配凑不等式，通过解不等式确定目标代数式的取值范围。 【考法预测1】已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【考法预测2】已知实数，满足，则的最大值为_____. 【考法预测3】（多选）已知正数满足，则（   ） A． B．的最小值为2 C．的最小值为9 D．的最小值为1 考点07 消元法求最值 典例1．已知，，且，则的最小值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 典例2．设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．9 B．1 C． D．4 【考法预测1】已知，，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【考法预测2】（多选）若，则的值可能是（   ） A．0 B． C．2 D． 【考法预测3】若，且，则的最小值为_____. 考点08 利用基本不等式求参数值或取值范围 典例1．若正实数，满足，不等式恒成立，则的取值范围是__________． 典例2．当，且满足时，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【考法预测1】若正实数x，y满足，且恒成立，求实数a的取值范围. 【考法预测2】已知函数 ，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考法预测3】已知函数，，若，，使得，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点09 利用基本不等式解决实际问题 典例1．某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 典例2．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【考法预测1】如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.    【考法预测2】某工厂要建造一个无盖的长方体蓄水池，其容积为4800立方米，深为3米.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，设池底长方形的长为米. (1)用含的表达式表示池底长方形的宽以及建造这个蓄水池的总造价（单位：元）； (2)运用基本不等式求当为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【考法预测3】物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 【考法预测4】某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为（）米，原有墙体足够长. (1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围. 考点10 基本不等式等号不成立，优先对勾函数 典例1．下列式子中最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 典例2．函数，则的值域是______． 方法技巧 对勾函数应用 函数图像呈对勾形态，当基本不等式取等号的条件无法成立、不能直接用不等式时，借助对勾函数的单调性分析自变量范围，求出函数最值，作为不等式失效的替补解法。 【考法预测1】下列函数中最小值为4的是（   ） A． B． C． D． 【考法预测2】某地方政府为鼓励实体经济发展，拟对本地年产值（单位：万元）的实体小微企业进行奖励，奖励方案为：奖金（单位：万元）随企业年产值的增加而增加，且奖金不低于5万元，同时奖金不超过企业年产值的．若函数，则的取值范围为______． 【考法预测3】已知函数在上存在最小值，则实数的取值范围是__________. 拔高・分层集训 基础演练 1．（2026·上海浦东新·三模）已知、为非零实数，则使不等式成立的一个充分不必要条件是（） A． B． C． D． 2．函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·26高三下·重庆·阶段检测）设且，且，若，则的最小值是（    ） A．3 B． C．9 D．18 4．已知命题: “，”，若命题是真命题，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．设函数满足等式，则的值域为（   ） A． B． C． D． 6．（多选）已知正数满足，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为4 7．（多选）设非负实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最小值是4 8．当时，函数的最小值为 ________________ ． 9．（2026·广西南宁·模拟预测）设为正实数，且，则的最大值为___，的最小值为____． 10．已知，均为正数，若，则最小值为________. 11．（多选）已知实数a，b满足，，，则（   ） A．ab的最大值为1 B．的最小值为 C．的最小值为2 D．的最大值为2 12．（2026·上海宝山·三模）已知是实数，不等式． (1)若，求上述关于的不等式的解集． (2)若上述不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 13．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 能力进阶 1．（新考法）求 的最大值为______. 2．（ 2026·江苏常州·三模）已知随机变量，正实数，满足，则的最小值为_________. 3．（新角度）（ 2026·陕西商洛·模拟预测）已知函数，正数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．5 C．8 D．9 4．（ 2026·天津河东·二模）“明数理”数学兴趣小组在综合实践过程中为某公司的一款明星科技产品提供涨价方案，经过小组成员分析讨论形成如下四个方案： 方案甲：第一次提价，第二次提价；方案乙：第一次提价，第二次提价； 方案丙：第一次和第二次均提价； 方案丁：第一次提价，第二次降价； 其中，则四个方案中提价最多的方案为（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．（新考法）（2025·26高二下·北京朝阳·期中）设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 6．（新考法）（ 2026·上海闵行·二模）若平面直角坐标系中的点到轴与轴的距离之和为1，现有以下两个命题： ①存在点到轴与轴的距离之差为1； ②存在点到轴与轴的距离之积为1. 则以下选项正确的是（    ） A．①不正确，②不正确 B．①正确，②正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确 7．已知，则的最小值为（    ） A．8 B． C．4 D． 8．（新角度）（ 2025·26高三下·甘肃白银·期中）若均为正数，则的最大值为______. 9．（新情景）（2025·26高一下·辽宁盘锦·开学考试）记表示中最大的数，已知，则的最小值为______. 10．（ 2026·广西南宁·二模）设，，若不等式恒成立，则实数的最大值为______． 真题实战 1．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为_________． 4．（2024·上海·高考真题）已知，的最小值为______． 5．（2023·上海·高考真题）已知正实数a、b满足，则的最大值为_______________． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $