第4讲 基本不等式及其应用·讲义-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦基本不等式及其应用，覆盖结构识别、条件验证及最值求解等核心考点，知识清单按“基础概念-重要变形-定理应用-模型归纳”逻辑架构，通过考情分析明确命题趋势，方法总结提炼解题技巧，典题精练强化实战应用，助力学生突破综合题中的工具化应用难点。 资料特色在于将基本不等式工具化融入解析几何、导数等主干模块，创新采用“条件验证三步法”和“代数变形四技巧”，结合2024-2026年真题中导函数放缩、正切值最值等实例，培养学生用数学思维分析问题的能力，设置分层练习确保复习效果，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第4讲 基本不等式及其应用· 讲义 一、考情分析 1 二、知识清单 2 1. 基本不等式 2 2. 几个重要的不等式 2 3. 均值定理 3 4. 常见求最值模型 3 三、方法总结 3 考点一：基本不等式的理解与证明 3 考点二：基本不等式求最值 4 考点三：基本不等式的综合应用 5 四、典题精练 5 考点一：基本不等式的理解与证明 5 考点二：基本不等式求最值 7 考点三：基本不等式的综合应用 8 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考查内容 2026 第18题解答题 约4分 间接考查（在解析几何题中利用基本不等式求正切值最小值） 2025 第19题解答题 约4分 间接考查（在导数综合题中利用多元基本不等式放缩求最值） 2024 第18题解答题 约3分 间接考查（在导数题中利用基本不等式求导函数的最小值） 近三年全国一卷中，基本不等式均未以独立试题直接考查，而是作为核心代数变形与放缩工具，自然融入到解析几何、导数等解答题的压轴环节中. 2. 命题角度与特色 核心考点：基本不等式的结构识别、条件验证（一正、二定、三相等）及最值求解. 命题趋势：近三年未直接考查，而是以间接形式高频融入其他主干知识模块.基本不等式已完全工具化，常作为解决复杂综合题（如求面积、斜率、角度的最值，或导函数的最值）的关键步骤. 试题特点：隐蔽性极强.例如2026年第18题，在求出正切值表达式后，需识别出“对勾函数”结构并自然使用基本不等式；2024年第18题，在求导后需利用基本不等式对二次分式结构进行放缩求出最小值.在2025年第19题的另解中，甚至出现了利用五元基本不等式进行高阶放缩的极端考法. 3. 备考策略 · 强调作为基础工具的重要性，建议在复习解析几何、导数等模块时同步强化基本不等式的应用意识. · 熟练掌握凑配法、换元法、“1”的代换等代数变形技巧，确保在综合题中能快速构造出使用基本不等式的条件. · 严格养成检验“等号成立条件”的习惯，避免在解答题关键步骤中因取不到等号而失分. 二、知识清单 1. 基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立.其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数.即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. · 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； · 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号. 【易错提醒】基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.连续使用不等式要注意取等条件必须一致，否则无法同时取到最值. 2. 几个重要的不等式 · . · 基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）. · 特例：；（同号）. · 其他变形： ① （沟通两和与两平方和的不等关系式） ② （沟通两积与两平方和的不等关系式） ③ （沟通两积与两和的不等关系式） ④ 重要不等式串：（）即调和平均值 几何平均值 算数平均值 平方平均值（注意等号成立的条件）. 3. 均值定理 已知. · 如果（定值），则（当且仅当“”时取“”）.即“和为定值，积有最大值”. · 如果（定值），则（当且仅当“”时取“”）.即“积为定值，和有最小值”. 4. 常见求最值模型 · 模型一：（），当且仅当时等号成立. · 模型二：（），当且仅当时等号成立. · 模型三：（），当且仅当时等号成立. · 模型四：（），当且仅当时等号成立. 三、方法总结 考点一：基本不等式的理解与证明 考法1：根据基本不等式判断大小与成立条件 · 处理含不等式的充要条件判断时，举反例是说明不充分或不必要的快捷手段；证明成立则需利用不等式的性质或基本不等式进行严密推导. · 应用基本不等式求最值或判断大小关系时，必须严格检验“一正、二定、三相等”三个条件是否同时满足，切忌盲目套用公式. 考法2：利用几何意义理解基本不等式 · 基本不等式的几何证明常依赖于圆、直角三角形等基本图形. · 通过将代数式赋予几何意义（如线段长、面积等），利用几何图形的固有性质（如斜边大于直角边、半径大于半弦等）可直观得出不等关系结论. 考法3：利用基本不等式证明不等式 · 证明不等式时，若条件为乘积形式，常将其代入目标式中转化为和的形式再进行放缩. · 多次连用基本不等式并相乘或相加时，必须确保各不等式取等号的条件能够同时满足. · 若涉及一次式与平方和的关系，柯西不等式是极其有力的工具，需注意构造对应系数. 考点二：基本不等式求最值 考法4：利用直接法求和与积的最值 · 处理“和积混合”的等式条件时，牢记两个核心转化：一是将替换为求积的范围；二是将替换为求和的范围.转化后解一元二次不等式即可. · 灵活运用基本不等式的各种变形形式（如）是快速判断和求解的关键. 考法5：利用凑配法求最值 · 对于形如的分式求最值，通用做法是令分母为，将分子用表示，分离常数后转化为的形式，最后利用基本不等式求解. · 通过观察分母特征，提取常数构造出和为定值的两项，再利用基本不等式是解决此类题目的标准流程. 考法6：利用“1”的代换求最值 · “乘1法”是解决条件最值问题的经典技巧.当遇到求的最值，或已知求的最值时，均可构造“1”代入展开并应用基本不等式. · 遇到“和等于积”的条件，优先考虑两边同除以积，转化为倒数和为定值的形式，再利用“乘1法”求解. 考法7：利用换元法与消元法求最值 · 消元法是求最值的基本方法之一，将双变量问题转化为单变量问题后，再利用基本不等式求解. · 处理齐次多项式的比值问题，常通过分子分母同除以最高次项转化为单变量问题.若转化后仍较复杂，可寻找整体结构进行二次换元，并结合函数的单调性（如对勾函数）求解最值. 考点三：基本不等式的综合应用 考法8：基本不等式与指对数运算结合求最值 · 基本不等式与指数结合时，利用指数运算法则将和转化为指数上的乘积，如进行转化. · 与对数结合时，利用对数运算法则将和转化为积，再利用基本不等式求真数的最值. · 与三角函数结合时，常利用平方和为1（如）的隐藏条件进行“1”的代换与凑配. 考法9：基本不等式与方程、不等式恒成立结合 · 处理恒成立问题时，常先通过分离参数或判别式法得到参数满足的约束条件，再在此约束下利用基本不等式求最值. · 若涉及不同次幂的乘积，可考虑拆项并使用多元基本不等式（如三元基本不等式）进行放缩构造. 考法10：利用基本不等式解决实际问题 · 在解决实际优化问题时，建立正确的函数模型是第一步，常涉及平均成本、总利润、总造价等模型的构建. · 应用基本不等式求最值时，务必检验等号成立的条件是否符合实际意义（即是否在自变量的取值范围内）.若不在范围内，则需结合函数的单调性在边界处取得最值. 四、典题精练 考点一：基本不等式的理解与证明 考法1：根据基本不等式判断大小与成立条件 例1.（2026·随州·三模）已知，，则“”是“”的（ 　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 考法2：利用几何意义理解基本不等式 例2.数学命题的证明方式有很多种.利用图形证明就是一种方式.现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（ 　　） A. B. C. D. 考法3：利用基本不等式证明不等式 例3.（2024·河南·阶段练习）已知，，为正数，证明： （1）若，则； （2）若，则. 考点二：基本不等式求最值 考法4：利用直接法求和与积的最值 例4.（多选）已知，，且，则下列说法正确的是（ 　　） A. B. C. D. 考法5：利用凑配法求最值 例5.若，则的最小值为＿＿＿＿＿＿. 考法6：利用“1”的代换求最值 例6.（2026·十堰·一模）已知正数满足，则的最小值为（ 　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 考法7：利用换元法与消元法求最值 例7.已知，求的最大值. 考点三：基本不等式的综合应用 考法8：基本不等式与指对数运算结合求最值 例8.（2026·铜陵·一模）（多选）下列说法正确的是（ 　　） A. 若，则函数的最小值为3 B. 若，则的最小值为 C. 函数的最小值为 D. 若，且，则 考法9：基本不等式与方程、不等式恒成立结合 例9.（2026·常德·一模）已知实数，若对任意的，恒成立，则的最大值为（ 　　） A. B. C. D. 考法10：利用基本不等式解决实际问题 例10.（2024·孝感·开学考试）截至2022年12月12日，全国新型冠状病毒的感染人数突破44200000人.疫情严峻，请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题. 【图片】 （1）我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量（单位：）随着时间（单位：）的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，求该新药对病人有疗效的时长大约为多少小时？（精确到0.01，参考数据：，） （2）为了抗击新冠，需要建造隔离房间.如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为平方米（），侧面长为米，且不超过8，房高为4米.房屋正面造价400元/平方米，侧面造价150元/平方米.如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为多少时，总价最低？ 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 基本不等式及其应用· 讲义（解析卷） 一、考情分析 1 二、知识清单 2 1. 基本不等式 2 2. 几个重要的不等式 2 3. 均值定理 2 4. 常见求最值模型 3 三、方法总结 3 考点一：基本不等式的理解与证明 3 考点二：基本不等式求最值 4 考点三：基本不等式的综合应用 4 四、典题精讲 5 考点一：基本不等式的理解与证明 5 考点二：基本不等式求最值 7 考点三：基本不等式的综合应用 9 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考查内容 2026 第18题解答题 约4分 间接考查（在解析几何题中利用基本不等式求正切值最小值） 2025 第19题解答题 约4分 间接考查（在导数综合题中利用多元基本不等式放缩求最值） 2024 第18题解答题 约3分 间接考查（在导数题中利用基本不等式求导函数的最小值） 近三年全国一卷中，基本不等式均未以独立试题直接考查，而是作为核心代数变形与放缩工具，自然融入到解析几何、导数等解答题的压轴环节中. 2. 命题角度与特色 核心考点：基本不等式的结构识别、条件验证（一正、二定、三相等）及最值求解. 命题趋势：近三年未直接考查，而是以间接形式高频融入其他主干知识模块.基本不等式已完全工具化，常作为解决复杂综合题（如求面积、斜率、角度的最值，或导函数的最值）的关键步骤. 试题特点：隐蔽性极强.例如2026年第18题，在求出正切值表达式后，需识别出“对勾函数”结构并自然使用基本不等式；2024年第18题，在求导后需利用基本不等式对二次分式结构进行放缩求出最小值.在2025年第19题的另解中，甚至出现了利用五元基本不等式进行高阶放缩的极端考法. 3. 备考策略 · 强调作为基础工具的重要性，建议在复习解析几何、导数等模块时同步强化基本不等式的应用意识. · 熟练掌握凑配法、换元法、“1”的代换等代数变形技巧，确保在综合题中能快速构造出使用基本不等式的条件. · 严格养成检验“等号成立条件”的习惯，避免在解答题关键步骤中因取不到等号而失分. 二、知识清单 1. 基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立.其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数.即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. · 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； · 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号. 【易错提醒】基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.连续使用不等式要注意取等条件必须一致，否则无法同时取到最值. 2. 几个重要的不等式 · . · 基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）. · 特例：；（同号）. · 其他变形： ① （沟通两和与两平方和的不等关系式） ② （沟通两积与两平方和的不等关系式） ③ （沟通两积与两和的不等关系式） ④ 重要不等式串：（）即调和平均值 几何平均值 算数平均值 平方平均值（注意等号成立的条件）. 3. 均值定理 已知. · 如果（定值），则（当且仅当“”时取“”）.即“和为定值，积有最大值”. · 如果（定值），则（当且仅当“”时取“”）.即“积为定值，和有最小值”. 4. 常见求最值模型 · 模型一：（），当且仅当时等号成立. · 模型二：（），当且仅当时等号成立. · 模型三：（），当且仅当时等号成立. · 模型四：（），当且仅当时等号成立. 三、方法总结 考点一：基本不等式的理解与证明 考法1：根据基本不等式判断大小与成立条件 · 处理含不等式的充要条件判断时，举反例是说明不充分或不必要的快捷手段；证明成立则需利用不等式的性质或基本不等式进行严密推导. · 应用基本不等式求最值或判断大小关系时，必须严格检验“一正、二定、三相等”三个条件是否同时满足，切忌盲目套用公式. 考法2：利用几何意义理解基本不等式 · 基本不等式的几何证明常依赖于圆、直角三角形等基本图形. · 通过将代数式赋予几何意义（如线段长、面积等），利用几何图形的固有性质（如斜边大于直角边、半径大于半弦等）可直观得出不等关系结论. 考法3：利用基本不等式证明不等式 · 证明不等式时，若条件为乘积形式，常将其代入目标式中转化为和的形式再进行放缩. · 多次连用基本不等式并相乘或相加时，必须确保各不等式取等号的条件能够同时满足. · 若涉及一次式与平方和的关系，柯西不等式是极其有力的工具，需注意构造对应系数. 考点二：基本不等式求最值 考法4：利用直接法求和与积的最值 · 处理“和积混合”的等式条件时，牢记两个核心转化：一是将替换为求积的范围；二是将替换为求和的范围.转化后解一元二次不等式即可. · 灵活运用基本不等式的各种变形形式（如）是快速判断和求解的关键. 考法5：利用凑配法求最值 · 对于形如的分式求最值，通用做法是令分母为，将分子用表示，分离常数后转化为的形式，最后利用基本不等式求解. · 通过观察分母特征，提取常数构造出和为定值的两项，再利用基本不等式是解决此类题目的标准流程. 考法6：利用“1”的代换求最值 · “乘1法”是解决条件最值问题的经典技巧.当遇到求的最值，或已知求的最值时，均可构造“1”代入展开并应用基本不等式. · 遇到“和等于积”的条件，优先考虑两边同除以积，转化为倒数和为定值的形式，再利用“乘1法”求解. 考法7：利用换元法与消元法求最值 · 消元法是求最值的基本方法之一，将双变量问题转化为单变量问题后，再利用基本不等式求解. · 处理齐次多项式的比值问题，常通过分子分母同除以最高次项转化为单变量问题.若转化后仍较复杂，可寻找整体结构进行二次换元，并结合函数的单调性（如对勾函数）求解最值. 考点三：基本不等式的综合应用 考法8：基本不等式与指对数运算结合求最值 · 基本不等式与指数结合时，利用指数运算法则将和转化为指数上的乘积，如进行转化. · 与对数结合时，利用对数运算法则将和转化为积，再利用基本不等式求真数的最值. · 与三角函数结合时，常利用平方和为1（如）的隐藏条件进行“1”的代换与凑配. 考法9：基本不等式与方程、不等式恒成立结合 · 处理恒成立问题时，常先通过分离参数或判别式法得到参数满足的约束条件，再在此约束下利用基本不等式求最值. · 若涉及不同次幂的乘积，可考虑拆项并使用多元基本不等式（如三元基本不等式）进行放缩构造. 考法10：利用基本不等式解决实际问题 · 在解决实际优化问题时，建立正确的函数模型是第一步，常涉及平均成本、总利润、总造价等模型的构建. · 应用基本不等式求最值时，务必检验等号成立的条件是否符合实际意义（即是否在自变量的取值范围内）.若不在范围内，则需结合函数的单调性在边界处取得最值. 四、典题精讲 考点一：基本不等式的理解与证明 考法1：根据基本不等式判断大小与成立条件 例1.（2026·随州·三模）已知，，则“”是“”的（ 　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【思路】判断充分必要条件时，可先尝试举反例排除充分性，再通过代数变形结合基本不等式证明必要性. 【解析】利用基本不等式，举反例，应用必要不充分条件定义的判断.∵，，，令，，得，则不成立，∴“”是“”的不充分条件；∵，，，即，得，又∵，∴，∴，∴，∴“”是“”的必要条件；综上，“”是“”的必要不充分条件. 【规律】处理含不等式的充要条件判断时，举反例是说明不充分或不必要的快捷手段；证明成立则需利用不等式的性质或基本不等式进行严密推导. 考法2：利用几何意义理解基本不等式 例2.数学命题的证明方式有很多种.利用图形证明就是一种方式.现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】观察图形中的几何关系，识别出线段为斜边的一半，计算出的长度，进而在直角三角形中利用直角边不大于斜边的性质得出不等关系. 【解析】由图知：，，在中，，∴，即. 【规律】基本不等式的几何证明常依赖于圆、直角三角形等基本图形，通过将代数式赋予几何意义（如线段长、面积等），利用几何图形的固有性质（如斜边大于直角边、半径大于半弦等）直观得出结论. 考法3：利用基本不等式证明不等式 例3.（2024·河南·阶段练习）已知，，为正数，证明： （1）若，则； （2）若，则. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【思路】第一问需将目标不等式左边的倒数项通过已知条件转化为乘积形式，再利用基本不等式放缩；第二问观察到已知条件是一次式，目标是二次式的和，自然联想到利用柯西不等式进行配凑. 【解析】（1） ∵，∴，同理可得，， 将以上三式相加可得： ， 两边同除以2，故， 当且仅当时等号成立. （2） 由柯西不等式可得： ， 即， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，结合即时等号成立. 【规律】证明不等式时，若条件为乘积形式，常将其代入目标式中转化为和的形式再放缩；若涉及一次式与平方和的关系，柯西不等式是极其有力的工具，需注意构造对应系数. 考点二：基本不等式求最值 考法4：利用直接法求和与积的最值 例4.（多选）已知，，且，则下列说法正确的是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】BC 【思路】面对含有和的关系式，核心策略是将双变量转化为单变量.利用可得到关于的一元二次不等式，从而求出的范围；同理，利用可求出的范围，进而解决其他代数式的最值问题. 【解析】对于A：由，得，当且仅当时等号成立， 即，解得，即，故A不正确； 对于B：由，得，当且仅当时等号成立， 即，解得，或（舍去），故B正确； 对于C：， 令，则，即，故C正确； 对于D：， 令，则，即，故D不正确. 【规律】处理“和积混合”的等式条件时，牢记两个核心转化：一是将替换为求积的范围，二是将替换为求和的范围.转化后解一元二次不等式即可. 考法5：利用凑配法求最值 例5.若，则的最小值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】观察目标分式，分子次数高于分母次数，可考虑分离常数.通过配凑分子的形式，使其含有分母的因式，从而化为“对勾函数”的形式，再应用基本不等式. 【解析】由，则.∵，∴，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 【规律】对于形如的分式求最值，通用做法是令分母为，将分子用表示，分离常数后转化为的形式，最后利用基本不等式求解. 考法6：利用“1”的代换求最值 例6.（2026·十堰·一模）已知正数满足，则的最小值为（ 　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【思路】已知条件为“和等于积”，直接求最值较为困难.将其转化为倒数和为1的形式后，将目标式乘以这个“1”，展开后即可构造出互为倒数的两项，从而使用基本不等式. 【解析】∵正数满足，两边同除以则， 可得 ， 当且仅当，即时，等号成立， ∴的最小值为9. 【规律】“乘1法”是解决条件最值问题的经典技巧.当遇到求的最值，或已知求的最值时，均可构造“1”代入展开并应用基本不等式. 考法7：利用换元法与消元法求最值 例7.已知，求的最大值. 【答案】 【思路】面对齐次分式结构，首选策略是分子分母同除以某一项进行降维换元.第一次换元将双变量转化为单变量，通分后再次出现齐次结构，进行第二次换元令，最终转化为关于的对勾函数求最值. 【解析】∵，将原式分子分母同除以得： ， 设，∴原式化为： ， 分子分母同除以得： ， 令，由基本不等式得. 此时， ∴原式， ∵函数在上单调递增， ∴当时，取得最小值， 此时原式取得最大值. 当且仅当，即，也就是时等号成立. 故最大值为. 【规律】处理齐次多项式的比值问题，常通过除以最高次项转化为单变量问题.若转化后仍较复杂，可寻找整体结构进行二次换元，并结合函数的单调性（如对勾函数）求解最值. 考点三：基本不等式的综合应用 考法8：基本不等式与指对数运算结合求最值 例8.（2026·铜陵·一模）（多选）下列说法正确的是（ 　　） A. 若，则函数的最小值为3 B. 若，则的最小值为 C. 函数的最小值为 D. 若，且，则 【答案】BCD 【思路】综合判断各个选项，A选项需注意变量符号，提取负号后使用基本不等式；B选项利用指数运算法则将和转化为指数上的乘积；C选项借助三角恒等式进行“1”的代换；D选项直接应用基本不等式求积的最大值. 【解析】对于A，∵，∴， ∴， 当且仅当，即时，取得最大值，故A错误； 对于B，， 当且仅当即，结合得时，取到最小值为，故B正确； 对于C，， 当且仅当即时取等号，故C正确； 对于D，当，且时，，∴，即， 当且仅当时，取最大值，故D正确. 【规律】基本不等式常作为工具与其他模块结合.与指数结合时，利用转化；与三角结合时，常利用平方和为1的隐藏条件进行凑配.无论何种结合，均需严格检验等号成立的条件. 考法9：基本不等式与方程、不等式恒成立结合 例9.（2026·常德·一模）已知实数，若对任意的，恒成立，则的最大值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】首先将一元二次不等式恒成立问题转化为判别式小于等于0，得到关于的不等式关系.随后，为了求的最大值，利用三元基本不等式对进行放缩，巧妙构造出含有的项. 【解析】∵对任意的，恒成立，∴，即.∵，要求的最大值，只需考虑的情况.由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立.∴，解得.对应选项B. 【规律】处理恒成立问题时，常先通过分离参数或判别式法得到参数满足的约束条件，再在此约束下利用基本不等式求最值.若涉及不同次幂的乘积，可考虑拆项并使用多元基本不等式. 考法10：利用基本不等式解决实际问题 例10.（2024·孝感·开学考试）截至2022年12月12日，全国新型冠状病毒的感染人数突破44200000人.疫情严峻，请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题. 【图片】 （1）我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量（单位：）随着时间（单位：）的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，求该新药对病人有疗效的时长大约为多少小时？（精确到0.01，参考数据：，） （2）为了抗击新冠，需要建造隔离房间.如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为平方米（），侧面长为米，且不超过8，房高为4米.房屋正面造价400元/平方米，侧面造价150元/平方米.如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为多少时，总价最低？ 【答案】（1） （2）当时，；当时， 【思路】第一问是简单的指数不等式求解，两边取对数即可；第二问需先根据几何关系建立总造价关于侧面长的函数模型，随后利用基本不等式求最值.由于存在实际定义域的限制，必须对等号成立的条件是否在定义域内进行分类讨论. 【解析】（1） 由题意得，， 设该药在病人体内的血药含量变为时需要是时间为， 由， 得， 两边取自然对数得， ∴. ∴该新药对病人有疗效的时长大约为. （2） 由题意，底面积为，侧面长为，则正面长为米， 故总造价， 即. 由基本不等式有， 当且仅当，即，时取等号. 故当，即时，在定义域内，此时时总价最低； 当，即时，函数在上单调递减， ∵，∴函数在上单调递减， 可得当时总价最低； 综上，当时，侧面长时总价最低；当时，侧面长时总价最低. 【规律】在解决实际优化问题时，建立正确的函数模型是第一步.应用基本不等式求最值时，务必检验等号成立的条件是否符合实际意义（即是否在自变量的取值范围内）.若不在范围内，则需结合函数的单调性在边界处取得最值. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $