专题1.3等式性质与不等式性质（基础复习讲义）-2027年高考数学一轮复习

【名师基础】　2027年高考数学一轮复习·名师基础系列　基础不牢，地动山摇 专题 1.3 等式性质与不等式性质（基础复习讲义） 【新高考专用】 考点要求 1．掌握等式的性质，能利用等式性质进行简单的恒等变形与解方程； 2．掌握不等式的性质，能利用不等式性质判断不等式是否成立、比较大小； 3．理解作差法比较大小的原理与步骤； 4．能利用不等式性质推导简单代数式的取值范围（基础：同向可加、同向可乘型）。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 基础层拿分策略 比较大小 选择题、填空题 卷首、中档题 易 作差→变形→定号三步 不等式性质判断 选择题 卷首 易 举反例排除，注意乘除变号 求代数式的范围 选择题、填空题 卷首 中 同向可加，最大加最大 简单不等式的证明 解答题某一问 中档题 中 作差法是万能入口 命题规律分析 本专题是代数变形的"地基"：等式性质服务于解方程，不等式性质是比较大小、求范围、证明最简单不等式的工具。高考中很少单独命题，但融在函数、导数、解析几何的每一步运算里，也是基本不等式、恒成立问题的直接前置。命题规律：以"判断不等式是否成立"和"求范围"为主，陷阱集中在"乘除变号"与"相减相除无性质"。基础层目标：性质条件记牢，作差法三步不走样，求范围只走"一定成立"的变形。 考点1 等式性质与不等式性质 知识点1 等式的性质 对称性：若 ，则 ；传递性：若 ，，则 。 可加性：若 ，则 （移项的依据）。 可乘性：若 ，则 ；若 ，，则 ，。 可除性：若 ，，则 。 【方法技巧】 1．解方程时"移项"用的是可加性，"系数化1"用的是可除性，做到步步有依据； 2．等式两边可以同时加减乘除同一个数（除时不为0），结果仍相等。 【易错清单】 1．等式两边除以的数不能为0； 2．由 得 是错的，应得 。 知识点2 不等式的性质 对称性（倒序）：若 ，则 ；传递性：若 ，，则 。 可加性：若 ，则 （同加同减一个数，方向不变）。 可乘性：若 ，，则 ；若 ，，则 （乘负数要变号）。 同向可加：若 ，，则 。 同向正数可乘：若 ，，则 。 乘方（开方）：若 ，则 ，。 【方法技巧】 1．判断不等式是否成立：能直接推的用性质，不能推的举反例； 2．负数、零、相反数是三大反例来源，先试这三个； 3．乘方开方保序有前提：同为非负。 【易错清单】 1．两条不等式不能相减、不能相除（由 、 推不出 ）； 2．同乘一个"符号不明"的数时不能确定方向； 3． 两边取倒数要变号，且分母不能为0。 知识点3 比较大小——作差法 作差法步骤：①作差：；②变形：通分、因式分解、配方，化成易判断符号的形式；③定号：判断差的正负；④结论：差为正则 ，为0则 ，为负则 。 配方是定号利器：，符号一眼看出。 【方法技巧】 1．见到平方式先配方，见到乘积因式先分解； 2．差的正负需要讨论时，按"零点"分段（如差为 ，按 分段）。 【易错清单】 1．变形不到"能定号"的形式不要写结论； 2．结论要写完整：大于、小于、大于等于（等于的情况别丢）。 知识点4 利用不等式性质求取值范围（基础） 同向可加（减）：已知 ，，则 ，。 线性组合：已知 ，，则 （其中 ；系数为负时不等号反向）。 同向正数可乘：若 ，，则 。 【方法技巧】 1．求范围口诀："最大加最大得最大，最小减最大得最小"； 2．检查等号能否同时成立，成立才能取到端点值。 【易错清单】 1．不能把两个范围相除求范围； 2．系数为负时不等号要反向，别忘记。 【题型1 等式性质的应用】 【例1】下列运用等式性质的变形中，正确的是（　　） A．由 ，得 　B．由 ，得 　C．由 ，得 　D．由 ，得 【答案】B 【解题思路】逐项检查变形所用的等式性质（两边同加、同乘、同除）是否正确。 【解答过程】A：两边应同乘2，得 ，错误；B：两边同加2，得 ，正确；C：两边应同除以2，得 ，错误；D：应得 ，错误。故选B。 【方法点睛】等式变形"同加同减同乘同除（不为0）"，每一步都能说出用的哪条性质，就不会错。 【变式1-1】已知 ，，则下列各式一定成立的是（　　） A．　B．　C．　D．以上都成立 【答案】D 【解题思路】等式两边可以同时加、减、乘同一个数，除以同一个不为0的数，结果仍相等。 【解答过程】由等式的可乘性、可除性、可加性知A、B、C均成立。故选D。 【变式1-2】下列运用等式性质的变形中，不正确的是（　　） A．由 ，得 　B．由 ，得 　C．由 ，得 　D．由 ，得 【答案】D 【解题思路】找"不正确"的一项，逐项验算。 【解答过程】A两边加3，正确；B两边乘3，正确；C两边除以2，正确；D应得 ，不正确。故选D。 【变式1-3】已知 ，则下列结论：① ；② ；③ ；④ 。其中正确的有（　　） A．1个　B．2个　C．3个　D．4个 【答案】D 【解题思路】等式性质+相等实数平方仍相等。 【解答过程】①②③分别由可加性、可乘性、可除性得到；④由 两边相乘得 。4个结论都正确。故选D。 【题型2 作差法比较大小】 【例2】比较 与 的大小。 【答案】，当且仅当 时取等号 【解题思路】作差、变形（配方）、定号、结论。 【解答过程】作差：。因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号。 【方法点睛】作差法四步：作差→变形→定号→结论。见到二次式优先配方，完全平方式非负是最好用的定号结论。 【变式2-1】比较 与 的大小。 【答案】 【解题思路】先展开再作差，注意符号判断。 【解答过程】作差：，所以 。 【变式2-2】比较 与 的大小。 【答案】 【解题思路】作差后合并同类项即可定号。 【解答过程】作差：。因为 ，所以 ，故 。 【变式2-3】已知 ，比较 与 的大小。 【答案】 【解题思路】作差后因式分解，判断每个因式的符号。 【解答过程】作差：。由 得 ；由 得 。所以 ，即 。 【题型3 不等式性质的应用（判断是否成立）】 【例3】若 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】用"举反例"排除错误选项：负数、零都要试。 【解答过程】A：取 ，有 ，不成立；B：当 时 ，不成立；C：由 两边同乘 （负数，变号），得 ，一定成立；D：取 ，则 ，不成立。故选C。 【方法点睛】"一定成立"题的标准动作：逐个举反例。负数、零、相反数是三大反例来源，剩下举不出反例的，就是答案。 【变式3-1】若 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】正数条件下乘方保序；取倒数变序；同加减方向不变。 【解答过程】A： 符号未知，不成立；B：应为 ，不成立；C：可加性，成立；D：应为 ，不成立。故选C。 【变式3-2】若 ，则下列不等式恒成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】同减一个数方向不变；同乘负数方向改变。 【解答过程】A由可加性成立；B应为 ；C符号未知时不成立；D取 不成立。故选A。 【变式3-3】若 ，则下列不等式成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】在 内取 代入检验最快。 【解答过程】取 ：，A错；，B对；，C错；，D错。故选B。 【题型4 利用不等式性质求取值范围】 【例4】已知 ，，求 、 的取值范围。 【答案】； 【解题思路】同向可加（减）：最大加最大得最大，最小减最大得最小。 【解答过程】：最小 ，最大 ，范围为 。 ：最小 ，最大 ，范围为 。 【方法点睛】求范围两步：加减用"同向可加"，最大加最大、最小减最大；线性组合按系数正负分别取端点，最后检验等号能否同时成立。 【变式4-1】已知 ，，求 与 的取值范围。 【答案】； 【解题思路】同向可加（减）与线性组合，注意"最小减最大、最大减最小"。 【解答过程】：最小 ，最大 ，范围为 。 ：最小 ，最大 ，范围为 。 【变式4-2】已知 ，，求 的取值范围。 【答案】 【解题思路】系数为负的项，取范围时"反着来"：减的数越大结果越小。 【解答过程】最小： 取最小、 取最大，；最大： 取最大、 取最小，。范围为 。 【变式4-3】已知 ，，求 的取值范围。 【答案】 【解题思路】线性组合，系数均为正，分别取端点。 【解答过程】最小：；最大：。范围为 。 【题型5 简单不等式的证明（基础）】 【例5】求证：。 【答案】证明见详解 【解题思路】作差、配方、利用平方非负。 【解答过程】证明：，所以 ，当且仅当 时等号成立。 【方法点睛】证明不等式优先作差：作差→变形（配方/因式分解）→定号→得证。这是最基本、最通用的入口，遇到证明题先想它。 【变式5-1】已知 ，，求证：。 【答案】证明见详解 【解题思路】直接用同向可加性质。 【解答过程】证明：由 ，，根据同向可加的性质，得 。 【变式5-2】已知 ，求证：。 【答案】证明见详解 【解题思路】作差、通分、判断分子分母符号。 【解答过程】证明：。由 得 ；由 得 。所以 ，即 。 【变式5-3】已知 ，，求证：（提示：用本题知识范围内的方法）。 【答案】证明见详解 【解题思路】作差后与完全平方联系：。 【解答过程】证明：，所以 ，当且仅当 时等号成立。（此式即下讲"基本不等式"） 【题型6 不等式性质的综合应用】 【例6】已知 ，，则下列不等式一定成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】逐项检验：乘除负数要变号，加减不受影响。 【解答过程】A、B 中因为 ，不等式两边同乘（同除） 要变号，所以 、，均错；C 由 两边同加 得 ，正确；D 中 、， 与 的大小无法确定（如 ， 时 ）。故选C。 【方法点睛】看到"乘（除）一个字母"先问它的符号：负数要变号。这是不等式性质里最高频的陷阱。 【变式6-1】已知 ，则下列不等式正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】两个负数比较，先看绝对值，再逐个验证。 【解答过程】由 知 。A：，错；B：两个负数取倒数，分母绝对值大的反而大，，错；C：函数 在 上单调递增，由 得 ，正确；D：，错。故选C。 【变式6-2】已知 ，，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把 化成 ，再同向相加。 【解答过程】由 两边同乘 得 。又 ，同向不等式相加得 。故选A。 【变式6-3】已知 ，，且 ，则下列关系正确的是（　　） A．　B．　C．　D．大小关系无法确定 【答案】A 【解题思路】作差后因式分解，判断符号。 【解答过程】作差：。因为 ，；又 ，，，所以差大于 ，即 。故选A。 一、单选题 1．（★）下列不等式一定成立的是（　　） A．若 ，则 　B．若 ，则 　C．若 ，则 　D．若 ，则 【答案】C 【解题思路】举反例排除；负数变号是唯一确定成立的。 【解答过程】A取 不成立；B取 不成立；C两边同乘 变号，成立；D取 不成立。故选C。 2．（★）已知 ，则下列不等式成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】正数范围内乘方、开方保序；倒数、相反数变序。 【解答过程】A、D应变向，B应变向，只有C成立。故选C。 3．（★）已知 ，则下列不等式成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】两个负数：绝对值大的反而小；取倒数后保序反向。 【解答过程】由 得 ，所以 ，A、B错误；，所以 ，D错误；取倒数得 ，C正确。故选C。 4．（★）若 ，则下列不等式恒成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】"恒成立"要对范围内每一个 都成立，举一个反例即可排除。 【解答过程】A：取 ，，不成立；B：任意实数的平方非负，恒成立；C：取 ，，不恒成立；D：取 ，不成立。故选B。 5．（★）若 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】同减一个数方向不变；同乘负数方向改变。 【解答过程】A由可加性成立；B应为 ；C取 不成立；D取 不成立。故选A。 6．（★）已知 ，则（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】正数范围内乘方、开方保序。 【解答过程】A应变向，B应变向，D应变向，只有C成立。故选C。 7．（★★）若 ，则下列不等式成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】在 内取 代入检验最快。 【解答过程】取 ：，A错；，B对；，C错；，D错。故选B。 8．（★★）已知 ，，则下列不等式一定成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】同向可加确定成立；相减、相乘、相除都不能确定。 【解答过程】B由同向可加成立；A、C、D均无此性质，举反例即可否定。故选B。 二、多选题 9．（★）已知 ，，则（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】AB 【解题思路】同向可加确定成立；相减、相乘都不能确定。 【解答过程】A同向可加，成立；B两边同加 可化为 ，成立；C同向相减无此性质，取 ：，不成立；D符号不确定，取负数即反例。故选AB。 10．（★）若 ，则（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ABCD 【解题思路】正数范围内：乘方、开方保序，倒数变序。 【解答过程】A、C、D由正数乘方开方保序成立；B取倒数后大小反向，成立。故选ABCD。 11．（★★）若 ，则（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ABC 【解题思路】同加减方向不变，同乘正数方向不变，同乘负数方向改变。 【解答过程】A、B、C均正确；D符号未知时不成立（取 即反例）。故选ABC。 三、填空题 12．（★）比较大小： ____________ （填""""或""）。 【答案】 【解题思路】作差配方。 【解答过程】，所以 。 13．（★）已知 ，，则 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】最小减最大，最大减最小。 【解答过程】最小 ，最大 ，范围为 。 14．（★）用不等式性质填空：若 ，则 ____________ ； ____________ 。 【答案】； 【解题思路】同减一个数方向不变；同乘负数方向改变。 【解答过程】由可加性得 ；由可乘性（乘 ）得 。 四、解答题 15．（★）已知 ，。 (1) 求 与 的取值范围； (2) 求 的取值范围。 【答案】(1) ，； (2) 。 【解题思路】同向可加（减）与线性组合，"最大减最小、最小减最大"。 【解答过程】(1) ：最小 ，最大 ，范围为 ；：最小 ，最大 ，范围为 。 (2) ：最小 ，最大 ，范围为 。 16．（★）用作差法比较大小： (1) 比较 与 的大小； (2) 比较 与 的大小。 【答案】(1) 当 时前者大， 时相等， 时前者小； (2) 。 【解题思路】作差、化简、定号、结论；需要讨论时按零点分段。 【解答过程】(1) 作差：。当 时差为正，前者大； 时相等； 时差为负，前者小。 (2) 作差：，所以 。 17．（★）已知 ，。 (1) 求 与 的取值范围； (2) 求 的取值范围。 【答案】(1) ，； (2) 。 【解题思路】同向可加（减）与线性组合。 【解答过程】(1) ：最小 ，最大 ；：最小 ，最大 。 (2) ：最小 ，最大 。 18．（★★）用作差法比较大小： (1) 比较 与 的大小； (2) 已知 ，比较 与 的大小。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】作差后定号；含参时判断每个因式的符号。 【解答过程】(1) 作差：，前者大。 (2) 作差：，，，乘积大于0，所以 。 19．（★★）求证： (1) ； (2) 已知 ，求证 。 【答案】证明见详解 【解题思路】均用作差法：(1) 配方；(2) 通分判断符号。 【解答过程】(1) 证明：，所以 ，当且仅当 时等号成立。 (2) 证明：。由 得 ；由 得 。所以 ，即 。 【名师基础】　—— 本讲义完 —— 【名师基础】专题1.3 等式性质与不等式性质　1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $【名师基础】　2027年高考数学一轮复习·名师基础系列　基础不牢，地动山摇 专题 1.3 等式性质与不等式性质（基础复习讲义） 【新高考专用】 考点要求 1．掌握等式的性质，能利用等式性质进行简单的恒等变形与解方程； 2．掌握不等式的性质，能利用不等式性质判断不等式是否成立、比较大小； 3．理解作差法比较大小的原理与步骤； 4．能利用不等式性质推导简单代数式的取值范围（基础：同向可加、同向可乘型）。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 基础层拿分策略 比较大小 选择题、填空题 卷首、中档题 易 作差→变形→定号三步 不等式性质判断 选择题 卷首 易 举反例排除，注意乘除变号 求代数式的范围 选择题、填空题 卷首 中 同向可加，最大加最大 简单不等式的证明 解答题某一问 中档题 中 作差法是万能入口 命题规律分析 本专题是代数变形的"地基"：等式性质服务于解方程，不等式性质是比较大小、求范围、证明最简单不等式的工具。高考中很少单独命题，但融在函数、导数、解析几何的每一步运算里，也是基本不等式、恒成立问题的直接前置。命题规律：以"判断不等式是否成立"和"求范围"为主，陷阱集中在"乘除变号"与"相减相除无性质"。基础层目标：性质条件记牢，作差法三步不走样，求范围只走"一定成立"的变形。 考点1 等式性质与不等式性质 知识点1 等式的性质 对称性：若 ，则 ；传递性：若 ，，则 。 可加性：若 ，则 （移项的依据）。 可乘性：若 ，则 ；若 ，，则 ，。 可除性：若 ，，则 。 【方法技巧】 1．解方程时"移项"用的是可加性，"系数化1"用的是可除性，做到步步有依据； 2．等式两边可以同时加减乘除同一个数（除时不为0），结果仍相等。 【易错清单】 1．等式两边除以的数不能为0； 2．由 得 是错的，应得 。 知识点2 不等式的性质 对称性（倒序）：若 ，则 ；传递性：若 ，，则 。 可加性：若 ，则 （同加同减一个数，方向不变）。 可乘性：若 ，，则 ；若 ，，则 （乘负数要变号）。 同向可加：若 ，，则 。 同向正数可乘：若 ，，则 。 乘方（开方）：若 ，则 ，。 【方法技巧】 1．判断不等式是否成立：能直接推的用性质，不能推的举反例； 2．负数、零、相反数是三大反例来源，先试这三个； 3．乘方开方保序有前提：同为非负。 【易错清单】 1．两条不等式不能相减、不能相除（由 、 推不出 ）； 2．同乘一个"符号不明"的数时不能确定方向； 3． 两边取倒数要变号，且分母不能为0。 知识点3 比较大小——作差法 作差法步骤：①作差：；②变形：通分、因式分解、配方，化成易判断符号的形式；③定号：判断差的正负；④结论：差为正则 ，为0则 ，为负则 。 配方是定号利器：，符号一眼看出。 【方法技巧】 1．见到平方式先配方，见到乘积因式先分解； 2．差的正负需要讨论时，按"零点"分段（如差为 ，按 分段）。 【易错清单】 1．变形不到"能定号"的形式不要写结论； 2．结论要写完整：大于、小于、大于等于（等于的情况别丢）。 知识点4 利用不等式性质求取值范围（基础） 同向可加（减）：已知 ，，则 ，。 线性组合：已知 ，，则 （其中 ；系数为负时不等号反向）。 同向正数可乘：若 ，，则 。 【方法技巧】 1．求范围口诀："最大加最大得最大，最小减最大得最小"； 2．检查等号能否同时成立，成立才能取到端点值。 【易错清单】 1．不能把两个范围相除求范围； 2．系数为负时不等号要反向，别忘记。 【题型1 等式性质的应用】 【例1】下列运用等式性质的变形中，正确的是（　　） A．由 ，得 　B．由 ，得 　C．由 ，得 　D．由 ，得 【变式1-1】已知 ，，则下列各式一定成立的是（　　） A．　B．　C．　D．以上都成立 【变式1-2】下列运用等式性质的变形中，不正确的是（　　） A．由 ，得 　B．由 ，得 　C．由 ，得 　D．由 ，得 【变式1-3】已知 ，则下列结论：① ；② ；③ ；④ 。其中正确的有（　　） A．1个　B．2个　C．3个　D．4个 【题型2 作差法比较大小】 【例2】比较 与 的大小。 【变式2-1】比较 与 的大小。 【变式2-2】比较 与 的大小。 【变式2-3】已知 ，比较 与 的大小。 【题型3 不等式性质的应用（判断是否成立）】 【例3】若 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-1】若 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-2】若 ，则下列不等式恒成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-3】若 ，则下列不等式成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 利用不等式性质求取值范围】 【例4】已知 ，，求 、 的取值范围。 【变式4-1】已知 ，，求 与 的取值范围。 【变式4-2】已知 ，，求 的取值范围。 【变式4-3】已知 ，，求 的取值范围。 【题型5 简单不等式的证明（基础）】 【例5】求证：。 【变式5-1】已知 ，，求证：。 【变式5-2】已知 ，求证：。 【变式5-3】已知 ，，求证：（提示：用本题知识范围内的方法）。 【题型6 不等式性质的综合应用】 【例6】已知 ，，则下列不等式一定成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-1】已知 ，则下列不等式正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-2】已知 ，，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-3】已知 ，，且 ，则下列关系正确的是（　　） A．　B．　C．　D．大小关系无法确定 一、单选题 1．（★）下列不等式一定成立的是（　　） A．若 ，则 　B．若 ，则 　C．若 ，则 　D．若 ，则 2．（★）已知 ，则下列不等式成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 3．（★）已知 ，则下列不等式成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 4．（★）若 ，则下列不等式恒成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 5．（★）若 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 6．（★）已知 ，则（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★）若 ，则下列不等式成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★）已知 ，，则下列不等式一定成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★）已知 ，，则（　　） A．　B．　C．　D． 10．（★）若 ，则（　　） A．　B．　C．　D． 11．（★★）若 ，则（　　） A．　B．　C．　D． 三、填空题 12．（★）比较大小： ____________ （填""""或""）。 13．（★）已知 ，，则 的取值范围是____________。 14．（★）用不等式性质填空：若 ，则 ____________ ； ____________ 。 四、解答题 15．（★）已知 ，。 (1) 求 与 的取值范围； (2) 求 的取值范围。 16．（★）用作差法比较大小： (1) 比较 与 的大小； (2) 比较 与 的大小。 17．（★）已知 ，。 (1) 求 与 的取值范围； (2) 求 的取值范围。 18．（★★）用作差法比较大小： (1) 比较 与 的大小； (2) 已知 ，比较 与 的大小。 19．（★★）求证： (1) ； (2) 已知 ，求证 。 【名师基础】　—— 本讲义完 —— 【名师基础】专题1.3 等式性质与不等式性质　1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $