第1章 1.3 等式性质与不等式性质（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

第一章集合、常用逻辑用语、不等式 跟踪训练 C.若命题“3x∈R,x2+(a-1)x十1<0”的否定是 1.已知命题p:Hx∈R,e+e≥2，命题q:3x∈ 假命题，则实数a的取值范围是（一1,3） (0,10)Wx(10-x)>5,则 D.yx∈R.2a+ar-<0”是真命题，则-3≤ A.命题p与g均为真命题 a≤0 B.命题p与g均为真命题 解析：AD[对于A,“Hx∈R,3x2-2≥0”的否定 C.命题力与q均为真命题 是“3x∈R,3.x2-2<0”,故A正确； D.命题p与q均为真命题 对于B,log3(2x+1)>2,即1og3(2x+1)>log9, 解得x>4, 解析：B[Hx∈R,e>0,ex>0,则e十er≥ 因为x>4→x>3所以“x>3”是“10g3(2x+1)>2” 2/e·e=2,当且仅当x=0时取等号，故力为真 的必要不充分条件，故B错误； 命题； 对于C,命题的否定是假命题，则命题“]x∈R,x 当x∈(0,10)时wx10-≤+10-1=5，当且 +(a-1)x+1<0”是真命题，即△=(a-1)2-4>0, 2 解得a>3或a<-1,故C错误； 仅当x=5时取等号，故g为假命题，q为真命 题，所以命题力与一g均为真命题，B正确.] 对于D,因为“yx∈k,2ax十ax-号<0”是真命 2.[多选]以下说法正确的是 题，即2ar+a-是<0，对yx∈R位成主，当a=0 A.“Vx∈R,3x2-2≥0”的否定是“]x∈R,3x2 2<0” 时，命题成立；当a≠0时，0C0 解得一3 △=a2+3a≤0 B.“x>3”是“1og3(2x十1)>2”的充分不必要条件 ≤a<0,综上可得，-3≤a≤0，故D正确.] §1.3等式性质与不等式性质 ★[考试要求] 1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用. 复盘>必备知识 学生用书P7 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 性质4可乘性：a>b,c>0→ac>bc, a>b,c<0→ac<bci 1.两个实数比较大小的方法 性质5同向可加性：a>b,c>d→a十c>b十d: 「a-b>0台a≥b, 性质6同向同正可乘性：a>b>0,c>d>0→ 作差法{a-b=0白a=b,(a,b∈R) ac>bd>0; a-b<0台a<b. 性质7 同正可乘方性：a>b>0→a">b(n∈N, 2.等式的性质 n≥2). 性质1对称性：如果a=b,那么b=a; 知识拓展用活 性质2传递性：如果a=b,b=c,那么a=c; 1.倒数性质 性质3可加（减）性：如果a=b,那么a土c=b士c； 若ab>0,则a>b1<1 性质4可乘性：如果a=b,那么ac=bc; 性质5可除性：如果a=b,c≠0，那么a=b 若a0,则a>6>君 C 2.分数性质 3.不等式的性质 若a>b>0,m>0,则 性质1对称性：a>b台b≤a; (1)真分数性质：<士m,>二m(6-m>0): aa十m'aa-m 性质2传递性：a>b,b>c→a>c; 性质3可加性：a>b台a+c>b+c; (2)假分数性质：号>8：分<号识（6-m>0. 。9 高考总复习数学 自主诊断查验 3.[多选]设a,b,c,d∈R且a>b,c>d,则下列命题 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“/”或“X”) 不正确的是 ( (1)两个实数a,b之间，有且只有a>b,a=b,a<b三 A.acbd B.a-c>b-d 种关系中的一种 (/) C.a+c>b+d D.> (2)若号>1，则a>b. (×) 解析：ABD[根据a>b,c>d,不妨设a=1,b=0, (3)同向不等式具有可加性和可乘性， (×) c=一1，d=-2,则ac=-1<bd=0,A不正确；同 (4)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母. 理4三-号<0=0，D不正确：因为c>d,由不等 () d 2.设a∈R,下列各式成立的是 式的性质得一c<一d,根据不等式的同向可加性得 A.a2≥2a+1 B.a2>2a-1 B不正确，C正确.] C.4a2-a≥3a-1 D.a2-3a>a-4 4.若实数a,b满足0<a<2,0<b<1,则a-b的取值 解析：C[A.a2-(2a+1)=a2-2a-1=(a-1)2-2, 范围是 无法判断；B.a2-(2a-1)=(a-1)2≥0，不成立；C.4a 解析：0<b<1,.-1<-b<0, -a-(3a-1)=(2a-1)2≥0，成立；D.a2-3a-(a-4) 0<a<2,.-1<a-b<2. =a2-4a+4=(a-2)2≥0，不成立.] 答案：(-1,2) 跃升>关键能力 学生用书P8 核心考点分类突破 题型1〔 比较两个数（式）的大小 [解析] 因为实数m,n,p满足m=4e,n=5e,p 18 [例1](1)[多选]下列不等式中正确的是 ( e2, A.x2-2x>-3(x∈R) 则m>0,n>0,p>0, B.a3+b3≥a2b+ab2(a,b∈R) C.a2+b2>2(a-b-1) 所以加=4e_4 5e5 ·e<1, n D8号w>a>0,m>0) 所以m<n; [解析]对选项A,x2-2.x+3=(x-1)2+2≥2 又m-4e_2 p-18-9 ·e导>1，所以m>p. >0,x2-2x>-3,故A正确； e 对选项B,a3十b3-a2b-ab2=a2(a-b)十b2(b-a) 所以p<m<n. =(a-b)(a2-b)=(a-b)2(a+b). [答案]A :(a-b)2≥0，a+b的符号不定，所以a3+b3与 规律方法 a2b十ab2的大小不定，故B错误； 比较大小的常用方法 对选项C,a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论. (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小 ≥0，.a2十b2≥2(a-b-1),故C错误； 关系；④得出结论. 对选项D,用作差比较：a十m-4=m(b一a) b十mb一b(b+m) (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小。… 跟踪训练 b>a>0,m>0,.士>0，.4<4十m,故 b(6-+m) 1.已知P=a2+b2+ D正确. 言+c,Q=2a+2b,则( [答案]AD A.P≤Q B.P=Q C.P>Q D.P,Q的大小无法确定 2)若实数m,p满足m=4en=5e,力=9，则 解析：C [p-Q=(a2+B+之+c2)-(2a+2b)= ( A.p<m<n B.p<n<m a-1+-D+-2≥0 C.m<p<n D.n<p<m 故P-Q≥0，所以P≥Q.] ·10 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 2.若a=b2,则a与6的大小关系是 规律方法 (用“>”连接) 解决此类题目常用的三种方法： (1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式 解析：方法一（作商法）：因为α= 3>0-20 的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提 所以号-×品三一-器=09>1，所以 条件； (2)利用特殊值法排除错误答案； a>b. (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质 方法二（作差法）：a一b=1n3-山2= 3 2 6(21m3- 不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函 3n2)=吉a9-la8)>0,即>6. 数、幂函数等函数的单调性来比较. 跟踪训练 答案：a>b 1.如果a,b,c,d∈R,则正确的是 题型2〔 不等式的基本性质 [例2](1)已知a<b<0,c<d<0,则下列不等式错 A.若a>b,则2<2 误的是 B.若a>b,则ac2>bc2 A.a+c<b+d B.ac-bd C.若a>b,c<d,则a-c>b-d c4> D.a2>ab-b2 D.若a>b,c>d,则ac>bd 解析：C[因为a,b,c,d∈R,所以 [解析]因为a<b<0,c<d<0,所以a十c<b十d, 故选项A正确；因为-a>-b>0,-c>-d>0,所 对于A,不妨令a=1,b=-1,则有a>b,但2=2 以ac>bd,故选项B正确：因为-c>-d>0,-1 a >-2=号故A错送：对于B,令(=0，期送有。>6， >0,所以d<￡，故选项C错误；因为一4>一b 但ac2=bc2=0,故B错误；对于C,因为c<d,所以 >0,所以a2>ab,ab>b,所以a2>ab>b,故选项 -c>-d, D正确. 又a>b,所以两式相加得a一c>b-d,故C正确； [答案]C 对于D,不妨令a=c=1,b=d=-1,则有a>b,c>d, (2)[多选]已知a>b>0,则下列不等式正确的是 但ac=bd=1,故D错误.] ( 2.[多选]若a>b>0,c>d>0,则 B年>中 b A.a>ab A>号 C.a+b+In(ab)>2 Da-合>h-若 B.a(a+c)>b(b+d) a [解析]对A,因为a>b>0,故a>ab,故A正确； 对Ba>6>01+<1+方，即0<< a a a十16十1B正确； b 解析：BCD[对于A,取a=4,b=2,c=2,d=1,则 对C令a=1,6=。a+6+ina6)=1+日+in日 a=2=2,A错误；对B,由a>b>0,c>d>0,则 e a+c>b+d, 1<2,C错误； 则有a(a十c)>b(b十d),故B正确； 对D,易得y=x-1(x>0)为增函数，且a>b>0, 对C,由a>b>0,c>d>0,则ac>bd, 故a->b-方，故D正确 千等价于十士 a +12+1 [答案]ABD 等价于台>名，等价于ac>d,即C正确， ·11· 高考总复习数学 对D,由a>b>0,c>d>0,则什d_+c+d-c [解析]为简便起见，复用A,B,C,D表示A,B,C,D b+c b十c 四个同学的年龄，则A>0,B>0,C>0,D>0. 1+c b+c' 则：A+C=B+D①，C+D>A+B②，B>A+D③. ①+②得C>B,①十③得C>2D,②+③得C> +-1+牛←等价 a+c a+c b+ca+c 2A,由于A>0,D>0,故由③得B>A,B>D, 于-c<d-c 由①得C-B=D-A,:C>B,.C-B>0,∴.D b+c a+c A>0,.D>A. 由d-c<0,即等价于6十>十季价于a十c>6 1 综上C>B>D>A. [答案]D 十c,即a>b,故D正确.] 规律方法 题型3 不等式性质的综合应用 利用不等式的性质求代数式的取值范围时应注意： [例3](1)[多选]下列说法中正确的是 (1)必须严格运用不等式的性质； A.若c>0,ac>bc,则a>b (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的 B.若-2<a<4,1<b<3,则-8<a-2b<2 取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体 C.若a>b>0,m<0,则m< 与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次 性”不等关系的运算求解范围 D.若-2<a+b<4,1<b-2a<3,则-9<a-2b 日跟踪训练 <0 1.[多选]已知2<x<3,2<y<3,则 [解析]对于A,因为ac>bc,不等式两边同除以c A.6<2x+y<9 B.2<2.x-y<3 (c>0),可得a>b,故A正确； C.-1<x-y<1 D.4<xy<9 对于B,因为1<b<3,所以-6<-2b<-2,又-2 解析：ACD[由已知得，4<2x<6,-2>-y>-3, <a<4,所以-8<a一2b<2,故B正确： 对于A,由4<2x<6和2<y<3,得到6<2x十y< 对于C.闾为a>6>0,所以0<日行又m<0:所 9,A正确；对于B,由4<2x<6和-3<-y<-2, 得到1<2x一y<4,故B错误；对于C,由2<x<3, 以2>公故C不正确： 一3<-y<-2,得到-1<x-y<1,C正确；对于 对于D,令a-2b=x(a十b)+y(b-2a)=(x-2y)a D,由2<x<3,2<y<3,得到4<xy<9,D正确.] +(x+y)b, 2.手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占 则/F-2y=1 比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常 所以a-2b=-(a十 (x+y=-2 解得1 y=-1 在(0,1)之间.设计师将某手机的屏幕面积和整机 b)-(b-2a), 面积同时增加相同的数量，升级为一款新的手机外 因为-2<a十b<4,所以-4<-(a十b)<2, 观，则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化 ( 因为1<b-2a<3,所以-3<-(b-2a)<-1, 所以一7<a-2b<1,故D不正确. A.“屏占比”不变 B.“屏占比”变小 C.“屏占比”变大 D.变化不确定 [答案]AB 解析：C[设原来手机屏幕面积为b,整机面积为a, (2)A,B,C,D四名学生的年龄关系如下：A,C的 年龄之和与B,D的年龄之和相同，C,D的年龄之 则屏占比为b(>b),设手机的屏幕面积和整机面积 和大于A,B的年龄之和，B的年龄大于A,D的年 同时增加相同的数量为(m>0),升级后屏占比为 龄之和，则A,B,C,D的年龄关系是 ( b+m a>bbtm b=abtam-ab-om A.B>C>A>D B.B>C>D>A a-m a十ma a(a-m) C.C>B>A>D D.C>B>D>A a一bm>0,即该手机“屏占比”和升级前比变大.] a(a-m) ·12