期中复习压轴专题02 解答题分类训练（9种类型55道）（压轴题专项训练，安徽专用）数学新教材沪科版八年级上册

期中复习压轴专题02 解答题分类训练 （新沪科版八年级，9种类型55道） 范围：第一章—第三章 知识点一 平面内点的坐标 1．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）已知：点在第二象限，且点到轴、轴的距离相等．求的值及点的坐标． 2．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）已知点，分别根据下列条件求出点P的坐标． (1)点P在x轴上； (2)点Q的坐标为，直线轴． 3．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）已知平面直角坐标系中有一点． (1)存在点，当平行于轴时，求点的坐标； (2)若点在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为8，求点的坐标． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点在轴上，求此时点的坐标； (2)若点到轴的距离与到轴的距离相等，求点的坐标． 5．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点” (1)点的“长距”为______； (2)若的长距为7，且点在第三象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 6．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)当点在轴上时，求点的坐标； (2)已知直线平行于轴，且，求的长． (3)试判断点是否可能在第二象限，并说明理由． 知识点二 图形在坐标系中的平移 7．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）在平面直角坐标系中，点均在格点上，的位置如图所示，将向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度得到． (1)画出，并写出它的顶点坐标． (2)求的面积． 8．（26-27八年级上·安徽·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形中，点的坐标是，点的标是，点的坐标是．将三角形平移后得到三角形，其中点的对应点的坐标为． (1)分别写出点和点的坐标： ， ； (2)在坐标系中画出三角形． 9．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）在如图所示的直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，， (1)把向右平移2个单位长度得到，请在图中画出平移后的； (2)若点，求的面积． 10．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图在平面直角坐标系中，已知点，． (1)画出向下平移2个单位，再向左平移3个单位后所得的图形，并写出A、B、O后的对应点、、的坐标； (2)求两次平移过程中共扫过的面积． 11．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，线段的两个端点的坐标分别为，． (1)将线段先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到对应的线段，请在所给的网格中画出线段； (2)分别连接，，则的面积为________个平方单位； (3)若平移线段，使端点A与原点O重合，得到对应线段，经过这次平移，线段上任意一点在线段上的对应点的坐标为________．（用含m，n的式子表示） 12．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，是由经过平移得到的，点，，的对应点分别为，，，且这六个点都在格点上，解答下列问题： (1)分别写出点和点的坐标，并说明是由经过怎样的平移得到的； (2)若点是内一点，它随按（）中方式平移后得到的对应点为，求和的值； (3)连接，则______． 知识点三 点坐标规律探索 13．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点出发，按向上、向右、向下、向右…的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：（______，______），（______，______），（______，______）； (2)写出点的坐标（为正整数）； (3)指出蚂蚁从点到点的移动方向． 14．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点出发，按图中顺序运动，即，…，按这样的运动规律，完成下列任务：    (1)点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)在动点A的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出，，，之间满足的数量关系为______，，，，之间满足的数量关系为______． 15．（24-25八年级上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动1个单位长度.其行走路线如图所示．    (1)填写下列各点的坐标：（_____，_____），（_____，_____），（_____，_____）； (2)写出点的坐标； (3)指出蚂蚁从点到点的移动方向． 16．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成；已知变换过程中各点坐标分别为，，，，，，，． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将变换成，则的坐标为______，的坐标为______，的面积为______． (2)按以上规律将进行n次变换得到，则的坐标为______，的坐标为______； (3)的面积为______ 17．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，设一点自处向上运动个单位长度至，然后向左运动个单位长度至处，再向下运动个单位长度至处，再向右运动个单位长度至处，再向上运动个单位长度至处，，如此继续运动下去，设（为正整数）． (1)_____； (2)_____；_____； (3)求的值． 知识点四 待定系数法求解析式 + 两直线交点求不等式的解集 （必考基础压轴） 18．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数经过，两点，与一次函数交于点，一次函数与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 19．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与直线相交于点． (1)求的值； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 20．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)结合图象，求不等式的解集． 21．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）定义：一次函数（且）和一次函数互为“逆反函数”，如和互为“逆反函数”．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B两点． (1)请直接写出一次函数的“逆反函数”的解析式为______；点在“逆反函数”的函数图象上，则的值是______； (2)若一次函数的图象上一点又是它的“逆反函数”的函数图象上的点，求出点坐标并写出不等式组的解集． 22．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与轴分别交于点、． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 知识点五 一次函数动点 + 存在性问题 （期中高频压轴） 23．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，直线与x轴正半轴交于点，与轴交于点，直线与轴负半轴交于点，与轴交于点，且． (1)分别求出与的表达式； (2)已知是直线上的一个动点，是否存在点恰好使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 24．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个数图象相交于点． (1)求出点的坐标； (2)结合图象，直接写出时的取值范围； (3)连接，直线上是否存在一点，使，若存在，求点的坐标． 25．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，如图①，第二象限内有一点，过点B作线段垂直于x轴，垂足为A，实数a、b满足．，将线段向右平移使点A和点D重合得到线段，连接与y轴相交于点M，动点P从A点出发，沿折线运动，运动到点C停止运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒． (1)求点C的坐标； (2)如图②，y轴上有一点，在点P沿折线运动过程中是否存在t值，使三角形的面积为2？若存在，求出t的值，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 26．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点A、，点、均在函数图象上． (1)判断点是否在直线上，并说明理由； (2)当时，求的取值范围； (3)在轴上是否存在点，使得的面积为3？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 27．（2024八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣5，0），B（5，0），D（2，7），连接AD交y轴于C点． （1）求C点的坐标； （2）动点P从B点出发以每秒1个单位的速度沿BA方向运动，同时动点Q从C点出发也以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴方向运动（当P点运动到A点时，两点都停止运动）．设从出发起运动了x秒．                   ①请用含x的代数式分别表示P，Q两点的坐标； ②当x＝2时，y轴上是否存在一点E，使得△AQE的面积与△APQ的面积相等？若存在，求E的坐标；若不存在，说明理由． 知识点六 一次函数实际应用压轴（行程/方案/利润，文字应用题压轴） 28．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价150元，售价200元；乙种服装每件进价130元，售价160元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，商场获利y元． (1)求y与x之间的函数关系式，并求自变量x的取值范围； (2)若购进100件服装的总费用不超过14400元，求最大利润为多少元？ 29．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）某企业举行十周年庆典活动，准备给每位员工定制一套某品牌西装和领带，市场上，该品牌西装每套定价600元，领带每条定价80元，在比价过程中，甲乙两家企业分别提供了如下优惠方案．甲：买一套西装送一条领带，乙：西装和领带均打九折付款．现该企业需要定制西装20套，领带x条． (1)请分别写出甲，乙两家企业的方案各自所需费用y（元）关于x的函数关系式． (2)请通过计算说明，若只能选择一家企业方案，按照哪种方案购买更合算？ 30．（24-25八年级上·安徽池州·期中）某市出租车计费方法如图所示，表示行驶里程，（元）表示车费，请根据图象回答下列问题： (1)当时，求关于的函数解析式； (2)若某乘客有一次乘出租车的车费为元，求这位乘客乘车的里程． 31．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）国庆节期间，某水果公司组织20辆汽车装运A、B、C三种水果共120吨去外地销售，要求20辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每种水果的车辆都不少于3辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： A B C 每辆汽车载货量（吨） 7 6 5 每吨水果获利（元） 1200 1800 1500 (1)设装运A水果的车辆为x辆，装B水果的车辆为y辆，求y与x之间的函数关系式，并求出车辆安排共有几种方案． (2)用w来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出w的最大值． 32．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）某体育器材专卖店购进甲、乙两种品牌排球共80个，其进价与售价情况如表： 品牌 甲 乙 进价（元/个） 60 56 售价（元/个） 80 72 设购进甲品牌排球个，销售完这80个排球所获得的总利润是元． (1)求与的函数关系式；（不需要写出的取值范围） (2)该体育器材专卖店出售这批排球是否能获得利润1408元？如果不能，说明理由；如果能，求甲、乙两种品牌排球分别售出多少个； (3)若该体育器材专卖店购进甲品牌排球的数量不超过乙品牌排球数量的一半，如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 33．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）某儿童服装店准备到批发市场购买A，B两种品牌的儿童内衣．已知B品牌的进货单价是A品牌进货单价的3倍，该儿童服装店购买B品牌的数量y（件）与A品牌的数量x（件）之间的关系满足一次函数，部分数据如下表所示． x/件 … 50 60 100 … y/件 … 250 240 200 … 当购买的A，B品牌的儿童内衣中，A品牌内衣为100件时，购买这两种品牌儿童内衣共需7000元． (1)求y与x之间的函数表达式． (2)求A，B两种品牌的儿童内衣进货单价． (3)若该儿童服装店每销售1件A品牌儿童内衣可获利4元，每销售1件B品牌儿童内衣可获利9元．根据销售需求，该儿童服装店决定用不超过5400元购买A，B两种品牌的儿童内衣，该儿童服装店购买A，B两种品牌内衣各多少件才能使利润最大？最大利润为多少元？ 知识点七 角度模型综合计算（八字、燕尾、双角平分线模型，期中几何压轴主力） 34．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，点E，F分别在边和上，连接，将沿着直线折叠，使得点A与点重合，连接，，平分，平分． (1)若，求的度数： (2)若，，求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 35．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，已知在中，与的平分线交于点P． (1)当时，求的度数； (2)当时，求的度数． 36．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）在中，点B，C分别是，上一点，和的角平分线交于点 (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，和的角平分线交于点Q，直接写出和之间的数量关系______． 37．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图1，在中，，是边上的高线，是的平分线． (1)若，，求的度数； (2)根据（1）的计算结果，猜想与和之间的等量关系（直接写出结论，不需要证明）； (3)如图2，若是钝角，上述猜想的结论是否仍然成立？并说明理由． 38．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）沪科版（数学）（八年级上册）第页第题求五角星形五个角的度数和（如图1）．我们求得．爱动脑筋的小聪借助几何画板将图1进行调整，得到图2、图3、图4三个图形，请你帮助小聪解决下列问题： (1)根据图2，直接写出，，，，满足的关系式___________； (2)如图3，点在上，求证：； (3)如图4，点在上方，请问（2）中的结论是否还成立，如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你的结论，并进行证明． 39．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，，，分别是的高线，角平分线和中线， (1)下列结论：①，②，③，④与互余，其中正确的是________（只填序号）． (2)若，，求的度数． (3)若，直接写出与之间的数量关系． 40．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为“对顶三角形”．根据三角形内角和定理可知“对顶三角形”有如下性质∶．    (1)性质理解：如图1，在“对顶三角形”与中，若，则 ； (2)性质应用∶ ①如图2，则 ； ②如图3，在中，分别平分和，若，比大，求的度数； (3)拓展提高：如图4，是的角平分线，和的平分线和相交于点P，设，求的度数（用含α的式子表示）． 41．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）【新知探究】 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，求证：； 【问题探究】 （2）如图2，、分别平分，，若，求的度数； 【拓展提升】 （3）如图3，直线平分的外角，平分的外角，请猜想的数量关系，并说明理由． 42．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）在中，和分别是和的角平分线，和交于点O． (1)如图1，若，，求的度数； (2)连接并延长交于点F，已知，． （i）如图2，求的度数（用含，的式子表示）； （ii）如图3，过点O作于点G，试判断和度数的大小关系，并加以说明． 43．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，点在上，过点作，交于点．平分，交的平分线于点，与相交于点，过点作交的延长线于点． (1)若，，则_____，_____． (2)若，当的度数发生变化时，，的度数是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，求，的度数（用含的代数式表示）． (3)若，试猜想与之间的数量关系，并证明． 44．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）平面内，四条线段、、、首尾顺次相连，与相交于点O． (1)如图1，若，，和的角平分线交于点M，求的度数； (2)如图2，若，，，，求的度数； (3)如图3，若，，，，试用含n、x、y的代数式表示的度数． 知识点八 三角形角度探究 + 命题证明（文字命题、举反例压轴） 45．（2024八年级上·安徽滁州·期中）补充完成下列证明过程，并填上推理的依据． 已知：如图，．求证：． 证明：延长交于点，则 ．（             ） 又∵， ∴_______，（等量代换） ∴．（                   ）    46．（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）如图，已知：是的一个外角．    (1)请从①，②平分，③中任选两个当条件，第三个当结论构成一个真命题． 条件：________________________________________________ 结论：________________________________________________ (2)证明你所构建的命题是真命题． 47．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）填写下面证明过程中的推理依据： 已知：如图，，平分，平分．求证： 证明：∵（       ） ∴（        ） ∵平分，平分（       ） ∴，（         ） ．（      ） ∴．（        ） 48．（24-25八年级上·安徽六安·期中）（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 49．（2025八年级上·安徽合肥·期末）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，分别结合图探索这两个角的关系． (1)如图1，，，∠1与∠2的关系是______； 证明： (2)如图2，，，则∠1与∠2的关系是______； 证明： (3)经过探索，综合上述，我们可以得一个真命题是______． 知识点九 三角形三边关系 + 分类讨论压轴 50．（25-26八年级上·安徽亳州·期中）已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 51．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）已知a，b，c分别是的三边长． (1)若，，c为奇数，试说明：为等腰三角形． (2)化简：． 52．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）已知的三边长分别为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c为偶数，求的周长； (2)化简：． 53．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知a，b，c是的三边长． (1)若a，b，c满足，则的形状是______； (2)化简：． 54．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知，，是的三边长，，，设三角形的周长是． (1)直接写出及的取值范围． (2)若是小于的偶数． ① 求的长． ② 判断的形状． 55．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是 ； (2)若的周长为30，则的周长为 ； (3)在中，若边上的高为6，求边上的高. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习压轴专题02 解答题分类训练 （新沪科版八年级，9种类型55道） 范围：第一章—第三章 知识点一 平面内点的坐标 1．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）已知：点在第二象限，且点到轴、轴的距离相等．求的值及点的坐标． 【答案】的值为，点的坐标为 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、已知点所在的象限求参数、求一元一次不等式的解集、求点到坐标轴的距离 【分析】根据点到坐标轴的距离相等列出方程，根据点所在象限的符号特征列出不等式，求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限，且点到轴、轴的距离相等， ∴， 解得：， ∴点的坐标为， ∴的值为，点的坐标为． 【点睛】本题考查点到坐标轴的距离，点所在象限，一元一次不等式、一元一次方程的应用．解题的关键是掌握：①点到轴的距离为这点纵坐标的绝对值，即；点到轴的距离为这点横坐标的绝对值，即；②各象限内点坐标的符号特征：第一象限：；第二象限：；第三象限：；第四象限：． 2．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）已知点，分别根据下列条件求出点P的坐标． (1)点P在x轴上； (2)点Q的坐标为，直线轴． 【答案】(1)点P的坐标为 (2) 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】此题主要考查了坐标与图形性质，根据坐标的特征得出关于的方程． （1）利用x轴上点的坐标性质是纵坐标为0，进而得出的值，即可得出答案； （2）利用平行于y轴直线的性质，横坐标相等，进而得出的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：，解得， ∴点P的坐标为． （2）∵点Q的坐标为，直线轴， ∴，解得， 故，则． 3．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）已知平面直角坐标系中有一点． (1)存在点，当平行于轴时，求点的坐标； (2)若点在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为8，求点的坐标． 【答案】(1)的坐标为 (2)的坐标为 【知识点】已知点所在的象限求参数、写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查直角坐标系中点的特征，解一元一次方程，绝对值的运算，熟练掌握直角坐标系中点的特征是解题的关键， （1）根据平行于轴，得到，解方程即可得到答案； （2）点在第一象限，得到，再根据点到两坐标轴的距离之和为8，可得到，去绝对值可得，解方程得到的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵轴， ∴， ∴， ∴的坐标为 （2）解：∵点在第一象限， ∴， ∵点到两坐标轴的距离之和为8， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标为． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点在轴上，求此时点的坐标； (2)若点到轴的距离与到轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了写出直角坐标系中点的坐标，求点到坐标轴的距离，其他问题(一元一次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据点在轴上，列出关于的方程求解，再求出点的坐标； （2）根据点到轴的距离与到轴的距离相等，列出关于的方程求解，再求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵点在轴上，， ∴， ∴， ∴， ∴此时点的坐标为； （2）∵点到轴的距离与到轴的距离相等，， ∴， 当时， 解得：， ∴，， ∴点的坐标为； 当时， 解得：， ∴ ， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 5．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点” (1)点的“长距”为______； (2)若的长距为7，且点在第三象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】(1)6 (2) 点D是“角平分线点”，理由如下： ∵点的长距为7，且点C在第三象限内， ∴，解得：， ∴， ∴点D的坐标为， ∴点D到x轴、y轴的距离都是3， ∴点D是“角平分线点”． 【知识点】已知点所在的象限求参数、求点到坐标轴的距离 【分析】本题主要考查了新定义“长距”和“角平分线点”、点到坐标轴的距离等知识点，理解新定义是解题关键． （1）根据“长距”的定义求解即可； （2）根据“长距”的定义确定，进而可知点D的坐标，然后判断是否为“角平分线点”即可． 【详解】（1）解：∵， ∴根据“长距”的定义，可得点的“长距”为6． 故答案为：6． （2）略 6．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)当点在轴上时，求点的坐标； (2)已知直线平行于轴，且，求的长． (3)试判断点是否可能在第二象限，并说明理由． 【答案】(1)点的坐标为 (2)18 (3) 不可能； 理由：若点在第二象限， 则， 不等式组无解， 点不可能在第二象限． 【知识点】已知点所在的象限求参数、求不等式组的解集 【分析】本题考查坐标与图形，解一元一次不等式组，掌握坐标平面内点的坐标特征是解题的关键． （1）根据题意得出，求出，即可得出答案； （2）根据题意得出，求出，即可得出答案； （3）根据题意列出不等式组，再求解即可． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得， ， 点的坐标为； （2）直线平行于轴， ， 解得， ， ； （3）略 知识点二 图形在坐标系中的平移 7．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）在平面直角坐标系中，点均在格点上，的位置如图所示，将向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度得到． (1)画出，并写出它的顶点坐标． (2)求的面积． 【答案】(1) 如图，即为所求； ，，， (2)4 【知识点】利用网格求三角形面积、平移(作图)、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查坐标与图形变换——平移，点的坐标，以及利用网格计算三角形的面积，掌握平移的特点是解题的关键． （1）将三个顶点分别向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得出对应点，顺次连接即可；根据点在坐标系中的位置可直接得出坐标； （2）利用割补法计算面积． 【详解】（1）解：由图可得，，，， （2）． 8．（26-27八年级上·安徽·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形中，点的坐标是，点的标是，点的坐标是．将三角形平移后得到三角形，其中点的对应点的坐标为． (1)分别写出点和点的坐标： ， ； (2)在坐标系中画出三角形． 【答案】(1)， (2)如下图，即为所求． 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式、平移(作图)、已知图形的平移，求点的坐标 【分析】（1）根据点A平移前后的坐标得出平移方式，进而可求出点和点的坐标． （2）利用平移方式画出平移后的三角形即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标是，点的坐标为 ∴点向右移动5个单位长度，向下移动3个单位长度，可得到， ∴向右移动5个单位长度，向下移动3个单位长度得到， 又∵，， ∴，． （2）略 9．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）在如图所示的直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，， (1)把向右平移2个单位长度得到，请在图中画出平移后的； (2)若点，求的面积． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2)的面积为 【知识点】利用网格求三角形面积、平移(作图)、由平移方式确定点的坐标 【分析】题目主要考查三角形的平移，利用网格求三角形面积，熟练掌握基本的作图方法是解题关键． （1）找出，，的对应点，，，然后连接各点即可； （2）找出格点，然后利用割补法求三角形面积即可． 【详解】（1）解：（1）略 （2）解：如下图所示： 由图可得：的面积为：． 10．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图在平面直角坐标系中，已知点，． (1)画出向下平移2个单位，再向左平移3个单位后所得的图形，并写出A、B、O后的对应点、、的坐标； (2)求两次平移过程中共扫过的面积． 【答案】(1) 如图所示： 、、 (2) 【知识点】利用平移的性质求解、平移(作图)、已知图形的平移，求点的坐标 【分析】本题考查了利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格结构找出平移后A、B、O的对应点、、的位置，然后顺次连接即可；根据图形写出点、、的坐标即可； （2）分向上平移和向左平移两个部分，利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：向下平移2个单位扫过的面积为， 接着向左平移3个单位扫过的面积为， 所以平移过程中扫过的面积一共为． 11．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，线段的两个端点的坐标分别为，． (1)将线段先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到对应的线段，请在所给的网格中画出线段； (2)分别连接，，则的面积为________个平方单位； (3)若平移线段，使端点A与原点O重合，得到对应线段，经过这次平移，线段上任意一点在线段上的对应点的坐标为________．（用含m，n的式子表示） 【答案】(1) 如图所示，线段即为所求； (2) (3) 【知识点】利用网格求三角形面积、平移(作图)、由平移方式确定点的坐标、已知图形的平移，求点的坐标 【分析】本题考查了平移作图，利用网格求三角形的面积，根据平移求点的坐标，理解平移的规律是解题的关键． （1）先画出点分别先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位的对应点，再连接即可； （2）用外接正方形的面积减去以三边为斜边的直角三角形面积即可； （3）根据平移的规律：线段先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，求点的对应点的坐标． 【详解】（1）略 （2）面积， 故答案为：； （3）平移线段使得点A与点O重合， 线段向下平移3个单位长度，向右平移1个单位长度， ， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，是由经过平移得到的，点，，的对应点分别为，，，且这六个点都在格点上，解答下列问题： (1)分别写出点和点的坐标，并说明是由经过怎样的平移得到的； (2)若点是内一点，它随按（）中方式平移后得到的对应点为，求和的值； (3)连接，则______． 【答案】(1)点和点，是由经过向下平移个单位，再向左平移个单位得到的； (2)的值为，的值为； (3)． 【知识点】利用平移的性质求解、已知点平移前后的坐标，判断平移方式、两直线平行内错角相等、已知图形的平移，求点的坐标 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——平移，熟知图形平移的性质是解题的关键． （）根据所给平面直角坐标系及点和点的位置即可求解； （）根据平移的性质即可求解； （3）根据平移的性质得出，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：由平面直角坐标系可得，点和点， ∵，， ∴是由经过向下平移个单位，再向左平移个单位得到的； （2）解：由（）得是由经过向下平移个单位，再向左平移个单位得到的， ∵点是内一点，它随按（）中方式平移后得到的对应点为， ∴，， ∴，， ∴的值为，的值为； （3）解：如图，连接， 由平移性质可得，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 知识点三 点坐标规律探索 13．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点出发，按向上、向右、向下、向右…的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：（______，______），（______，______），（______，______）； (2)写出点的坐标（为正整数）； (3)指出蚂蚁从点到点的移动方向． 【答案】(1)；；； (2)点的坐标为； (3)向右． 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了规律型-点的坐标，找到规律是解题的关键． （1）由题意和图得出（为整数）在轴上，横坐标为，纵坐标为；在轴上，横坐标为，纵坐标为；与的横坐标相同为，纵坐标为，即可求解； （2）根据（1）可得出答案； （3）由，知道蚂蚁从点到点的移动方向与点到的移动方向一致，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意和图可知，， ∴（为整数）在轴上，横坐标为，纵坐标为， 在轴上，横坐标为，纵坐标为， 与的横坐标相同为，纵坐标为， ∴， 当时，即的横坐标相同为，纵坐标为， ∴， 故答案为：；；； （2）解：由（1）可知，点的坐标为； （3）解：∵， ∴蚂蚁从点到点的移动方向与点到的移动方向一致为：向右． 14．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点出发，按图中顺序运动，即，…，按这样的运动规律，完成下列任务：    (1)点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)在动点A的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出，，，之间满足的数量关系为______，，，，之间满足的数量关系为______． 【答案】(1)       (2)   【知识点】点坐标规律探索、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了点坐标的规律，分别归纳出点的横、纵坐标的变化规律成为解题的关键． （1）观察点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环，据此求解即可； （2）根据（1）中的规律求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环， ∵，，，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：      ． （2）解：∵ ∴点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环， ∴；， ∴  ． 故答案为：  ． 15．（24-25八年级上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动1个单位长度.其行走路线如图所示．    (1)填写下列各点的坐标：（_____，_____），（_____，_____），（_____，_____）； (2)写出点的坐标； (3)指出蚂蚁从点到点的移动方向． 【答案】(1)2，0；5，1；7，0 (2) (3)蚂蚁从点到点的移动方向是向下 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的找规律问题，熟练掌握平面直角坐标系中坐标的特征是解题的关键． （1）观察图形可知，，，都在轴上，求出，，的长度，然后写出坐标即可； （2）根据题意可得规律观察可知，每四次运动为一个循环，每个循环中，横坐标增加2，纵坐标为1，1，0，0，依次出现，再由，可得的纵坐标为0，横坐标为。据此可得答案； （3）由可知从点到点的移动方向与从点到点的移动方向一致，据此可得答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，，都在轴上 ∵小蚂蚁每次移动1个单位， ∴，，，， ∴，，， 故答案为：2，0；5，1；7，0 （2）解：观察可知，每四次运动为一个循环，每个循环中，横坐标增加2，纵坐标为1，1，0，0，依次出现， ∵， ∴的纵坐标为0，横坐标为， ∴ （3）解：∵， ∴从点到点的移动方向与从点到点的移动方向一致，为向下． 16．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成；已知变换过程中各点坐标分别为，，，，，，，． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将变换成，则的坐标为______，的坐标为______，的面积为______． (2)按以上规律将进行n次变换得到，则的坐标为______，的坐标为______； (3)的面积为______ 【答案】(1)，，48 (2)， (3) 【知识点】点坐标规律探索 【分析】此题考查了坐标规律的探索，解题的关键是根据已知点的坐标，总结出点的坐标规律． （1）根据、、的坐标求出的坐标即可，根据、、的坐标求出的坐标即可； （2）根据前几个点的坐标，总结出规律分别求出、的坐标即可； （3）根据三角形面积公式以及、的坐标，求解即可． 【详解】（1）解：、、． 的横坐标为：，纵坐标为：3． 故点的坐标为：． 又、、． 的横坐标为：，纵坐标为：0． 故点的坐标为：． 的面积为 故答案为：，，48； （2）解：由、、，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3． 故的坐标为：， 由、、，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0． 故的坐标为：； 故答案为：，； （3）解：的坐标为：，的坐标为：， 的面积为． 故答案为：． 17．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，设一点自处向上运动个单位长度至，然后向左运动个单位长度至处，再向下运动个单位长度至处，再向右运动个单位长度至处，再向上运动个单位长度至处，，如此继续运动下去，设（为正整数）． (1)_____； (2)_____；_____； (3)求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】点坐标规律探索、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】（）根据平移方式得出点的坐标，进而即可求解； （）根据平移方式得出点的坐标，即可求解； （）由即可求解； 本题考查了点的坐标规律变化问题，根据题意找出点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，，，， ∴，，，， ∴， 故答案为：； （2）解：由平移规律可知，把向左运动个单位长度至处，再向下运动个单位长度至处，再向右运动个单位长度至处，再向上运动个单位长度至处， ∴，，，， ∴，， 故答案为：，； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 知识点四 待定系数法求解析式 + 两直线交点求不等式的解集 （必考基础压轴） 18．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数经过，两点，与一次函数交于点，一次函数与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、求一次函数解析式 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，图象法解不等式组． （1）直接将A、B坐标代入，求解即可； （2）分别求出C、D的横坐标，再根据图象求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数经过，两点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：当时，， ∴， 令，可得， ∴C点横坐标为2， 由图象可知：当时，． 19．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与直线相交于点． (1)求的值； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、求一次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点问题，一次函数与不等式，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）把代入可求出的值，进而得到点的坐标，再把点的坐标代入可求出m的值； （2）结合函数图象，找出直线在直线的下方（含交点）所对应的自变量的范围即可； 【详解】（1）解：把代入，得 ， ∴, ∴， 把代入，得 ， ∴， （2）解：由函数图象可得，当时，， ∴不等式的解集为； 20．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)结合图象，求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、求一次函数解析式、正比例函数的性质 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）将代入可得，则，再用待定系数法求直线的表达式即可； （2）根据点B坐标，结合函数图象即可求得答案． 【详解】（1）解：过点， 解得：， ， 直线过点，， ，解得： 直线的表达式为； （2）解：结合图象可知，的解集为， 即的解集为， 由（1）可知， 的解集为． 21．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）定义：一次函数（且）和一次函数互为“逆反函数”，如和互为“逆反函数”．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B两点． (1)请直接写出一次函数的“逆反函数”的解析式为______；点在“逆反函数”的函数图象上，则的值是______； (2)若一次函数的图象上一点又是它的“逆反函数”的函数图象上的点，求出点坐标并写出不等式组的解集． 【答案】(1)，； (2)；． 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、已知直线与坐标轴交点求方程的解、求一次函数解析式 【分析】本题考查的是一次函数新定义，熟练掌握新定义，一次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）由新定义求出直线的表达式，代入即可求解； （2）根据题意可得点D是两个函数的交点，联立解析式，可得点D的坐标，再观察图象，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数的“逆反函数”的解析式为； ∵点在“逆反函数”的函数图象上， ∴，解得：； 故答案为：，； （2）解：∵一次函数的图象上一点又是它的“逆反函数”的函数图象上的点， ∴点D是两个函数的交点， 联立解析式：， 解得：， 即点， 观察图象得：当时，直线在直线的上方，且在x轴的下方， ∴不等式组的解集为． 22．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与轴分别交于点、． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题主要考查了一次函数解析式的求法，一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，解题的关键是求一次函数与坐标轴的交点． （1）把点分别代入函数和，求出a、b的值即可； （2）根据（1）中两个函数的解析式得出A、B两点的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论； （3）直接观察函数图象即可得出结论． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， ， 将点代入，得， 解得， ； （2）在中，令，得， 解得， ， 在中，令，得， 解得， ； （3）由函数图象可知：当时，，当时，， 所以当时，． 知识点五 一次函数动点 + 存在性问题 （期中高频压轴） 23．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，直线与x轴正半轴交于点，与轴交于点，直线与轴负半轴交于点，与轴交于点，且． (1)分别求出与的表达式； (2)已知是直线上的一个动点，是否存在点恰好使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，直线： (2)点的坐标为或 【知识点】求直线围成的图形面积、求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法求一次函数表达式、直线构成的三角形面积等知识，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由题意，将代入直线：求解即可得到；进而得到直线与轴交点，再由待定系数法求直线表达式即可得到答案； （2）由（1）知，、、，在平面直角坐标系中表示出，由建立方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：直线：与直线：交于点， 点在直线：上， 则； ， 直线：与x轴正半轴交于点， 当时，，解得，即， ， ，即， 直线：过点、， ，解得， 直线：； （2）解：由（1）知，、、， ， 则， 即， ， 则，解得， 是直线：上， 当时，，即； 当时，，即； 综上所述，点的坐标为或． 24．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个数图象相交于点． (1)求出点的坐标； (2)结合图象，直接写出时的取值范围； (3)连接，直线上是否存在一点，使，若存在，求点的坐标． 【答案】(1) (2)当时， (3)点坐标为或 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解、一次函数与几何综合 【分析】（1）把分别代入两个解析式，联立两个解析式，解方程组即可； （2）观察图象直接判断即可； （3）根据求出点的纵坐标，代入解析式即可． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得，； 把代入得，， 解得，； 联立方程组得，， 解得，， 点坐标为：； （2）解：根据图象可知，在点或点的左侧时，， ∴当时，； （3）解：由（1），． ， ， 设点坐标为， ， ， ， 当时，， ∴， ∴点坐标为； 当时，， ∴， ∴点坐标为； 综上，点坐标为或． 25．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，如图①，第二象限内有一点，过点B作线段垂直于x轴，垂足为A，实数a、b满足．，将线段向右平移使点A和点D重合得到线段，连接与y轴相交于点M，动点P从A点出发，沿折线运动，运动到点C停止运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒． (1)求点C的坐标； (2)如图②，y轴上有一点，在点P沿折线运动过程中是否存在t值，使三角形的面积为2？若存在，求出t的值，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当时，；当时， 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、坐标系中的动点问题（不含函数）、几何问题(一元一次方程的应用)、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查了算术平方根与绝对值的非负性，平移性质，一元一次方程的实际应用，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据算术平方根与绝对值的非负性求出点B坐标，再结合平移性质进行求解，即可得到点C的坐标； （2）根据题意分以下两种情况讨论：当点P在线段上运动时，当点P在线段上运动时，再结合建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：， ， 解得， 点， ， 根据平移的性质可知：，，C，B两点的纵坐标相同，纵坐标都为3， ∵垂直x轴， ∴垂直x轴， ∴C，D两点的横坐标相同，横坐标都是4， 点C的坐标为； （2）解：存在， 根据题意分以下两种情况讨论： 当点P在线段上运动时，点P的坐标为，则，如图， ∵，， ∴， ∵，点， ∴， 解得， ∴； 当点P在线段上运动时，点P的坐标为，即，如图， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，点， ∴， 解得， ∴， ∴此时． 综上所述，当时，；当时，． 26．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点A、，点、均在函数图象上． (1)判断点是否在直线上，并说明理由； (2)当时，求的取值范围； (3)在轴上是否存在点，使得的面积为3？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) ，在直线上，理由如下： 在中， 令得， ，在直线上； (2) (3)存在，点P的坐标为或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、一次函数与几何综合 【分析】（1）在中，令得，即知，在直线上； （2）在中，令得，得，令得，得，然后问题可求解； （3）求出，的坐标，由的面积为3，可得，从而可得的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：在中， 令得， 解得， 令得， 解得， 当时，的取值范围是； （3）解：存在点P， 理由：由（1）知：点，由（2）知：点， 设点P的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得， 综上所述，点P的坐标为或. 【点睛】本题考查一次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是掌握函数图象上的点坐标满足函数解析式． 27．（2024八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣5，0），B（5，0），D（2，7），连接AD交y轴于C点． （1）求C点的坐标； （2）动点P从B点出发以每秒1个单位的速度沿BA方向运动，同时动点Q从C点出发也以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴方向运动（当P点运动到A点时，两点都停止运动）．设从出发起运动了x秒．                   ①请用含x的代数式分别表示P，Q两点的坐标； ②当x＝2时，y轴上是否存在一点E，使得△AQE的面积与△APQ的面积相等？若存在，求E的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）C（0，5）；（2）①P（5﹣x，0），Q（0，5+x）；②存在，点E的坐标为：（0，18.2）或（0，﹣4.2），理由见解析 【知识点】坐标与图形 【分析】（1）作DE⊥x轴，根据点的坐标求出AE、DE、AO，根据等腰直角三角形的性质解答即可； （2）①根据题意、结合图形解答； ②分E在y轴的正半轴和E在y轴的负半轴两种情况，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）作DE⊥x轴， ∵A（﹣5，0），D（2，7）， ∴AE＝DE＝7，AO＝5， ∵△CAO，△DAE为直角三角形， ∴∠CAO＝45°， ∴△CAO是等腰直角三角形， ∴CO＝AO＝5， ∴C（0，5）； （2）①P（5﹣x，0），Q（0，5+x）； ②存在．设E的坐标为（0，y） 当x＝2时，△APQ＝（5+3）×7÷2＝28， 情况一：E在y轴的正半轴 （y﹣7）×5÷2＝28 y＝18.2 ∴E（0，18.2） 情况二：E在y轴的负半轴 （7﹣y）×5÷2＝28 y＝﹣4.2 ∴E（0，﹣4.2） 则点E的坐标为：（0，18.2）或（0，﹣4.2）． 【点睛】本题考查的是坐标与图形特征、直角三角形的性质，根据点的坐标确定线段的长度、掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键，解答时，注意分情况讨论思想的灵活运用． 知识点六 一次函数实际应用压轴（行程/方案/利润，文字应用题压轴） 28．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价150元，售价200元；乙种服装每件进价130元，售价160元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，商场获利y元． (1)求y与x之间的函数关系式，并求自变量x的取值范围； (2)若购进100件服装的总费用不超过14400元，求最大利润为多少元？ 【答案】(1)， (2)最大利润为4400元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，写出函数关系式、掌握一元一次不等式的解法及一次函数的增减性是解题的关键． （1）根据商场获利（甲种服装每件售价甲种服装每件进价）甲种服装购进数量（乙种服装每件售价乙种服装每件进价）乙种服装购进数量解答即可； （2）根据题意列出一元一次不等式，求出的取值范围，再结合一次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：由题意可知， ， 其中甲种服装不少于60件，两种服装共100件，那么； 答：，； （2）解：根据题意，可知 那么， ∵， ∴， ，， 随的增大而增大， 时，取得最大值，最大值为元， 答：最大利润为4400元． 29．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）某企业举行十周年庆典活动，准备给每位员工定制一套某品牌西装和领带，市场上，该品牌西装每套定价600元，领带每条定价80元，在比价过程中，甲乙两家企业分别提供了如下优惠方案．甲：买一套西装送一条领带，乙：西装和领带均打九折付款．现该企业需要定制西装20套，领带x条． (1)请分别写出甲，乙两家企业的方案各自所需费用y（元）关于x的函数关系式． (2)请通过计算说明，若只能选择一家企业方案，按照哪种方案购买更合算？ 【答案】(1)甲企业方案所需费用y关于x的函数关系式为：； 乙企业方案所需费用y关于x的函数关系式为：； (2)综上所述，当时，两种所需费用一样；当时，乙企业方案所需费用购买更合算；当时，甲企业方案所需费用购买更合算． 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、函数解析式、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要查了列函数关系式，一元一次不等式的应用，根据题意，列出函数关系式是解题的关键． （1）根据两种方案分别列出函数关系式，即可求解； （2）分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：甲企业方案所需费用y关于x的函数关系式为： ； 乙企业方案所需费用y关于x的函数关系式为： ； （2）解：当，即时，两家企业方案所需费用一样； 当，即时，乙企业方案所需费用购买更合算； 当，即时，甲企业方案所需费用购买更合算； 综上所述，当时，两种所需费用一样；当时，乙企业方案所需费用购买更合算；当时，甲企业方案所需费用购买更合算． 30．（24-25八年级上·安徽池州·期中）某市出租车计费方法如图所示，表示行驶里程，（元）表示车费，请根据图象回答下列问题： (1)当时，求关于的函数解析式； (2)若某乘客有一次乘出租车的车费为元，求这位乘客乘车的里程． 【答案】(1)() (2) 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时理解函数图象是重点，求出函数的解析式是关键． （1）设当时，y与x的函数关系式为，运用待定系数法就可以求出结论； （2）将代入（1）的解析式就可以求出x的值． 【详解】（1）解：当时，设 把和分别代入，得解得 ∴； （2）解：令，即，解得 答：这位乘客乘车的里程为． 31．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）国庆节期间，某水果公司组织20辆汽车装运A、B、C三种水果共120吨去外地销售，要求20辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每种水果的车辆都不少于3辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： A B C 每辆汽车载货量（吨） 7 6 5 每吨水果获利（元） 1200 1800 1500 (1)设装运A水果的车辆为x辆，装B水果的车辆为y辆，求y与x之间的函数关系式，并求出车辆安排共有几种方案． (2)用w来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出w的最大值． 【答案】(1)，共有6种方案 (2)装运A水果的车辆为3辆，装运B水果的车辆为14辆，装运C水果的车辆为3辆时，此次销售获利最大，最大利润为198900元 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，理清题目中的数量关系是解题的关键； （1）设装运A水果的车辆为x辆，装运B水果的车辆为y辆，则运C水果的车辆 辆，根据表格可列出等量关系式化简得，根据x为正整数，可得共有6种方案； （2）由利润=车辆数每车水果获利，可得w与x的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可； 【详解】（1）设装运A水果的车辆为x辆，装运B水果的车辆为y辆，则运C水果的车辆为辆． ； 由题意得： ， 解得： ， ∵x为正整数， 故共有6种方案； （2）， 即， ， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w有最大值198900元， ∴装运A水果的车辆为3辆，装运B水果的车辆为14辆，装运C水果的车辆为3辆时，此次销售获利最大，最大利润为198900元． 32．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）某体育器材专卖店购进甲、乙两种品牌排球共80个，其进价与售价情况如表： 品牌 甲 乙 进价（元/个） 60 56 售价（元/个） 80 72 设购进甲品牌排球个，销售完这80个排球所获得的总利润是元． (1)求与的函数关系式；（不需要写出的取值范围） (2)该体育器材专卖店出售这批排球是否能获得利润1408元？如果不能，说明理由；如果能，求甲、乙两种品牌排球分别售出多少个； (3)若该体育器材专卖店购进甲品牌排球的数量不超过乙品牌排球数量的一半，如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)能获得利润1408元，甲品牌排球售出32个，乙品牌排球售出48个 (3)购进甲品牌排球26个，购进乙品牌排球54个时，该文具店获得利润最大，最大利润为1384元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解决本题的关键是根据一次函数的性质求最大利润． （1）设购进甲品牌排球个，则购进乙品牌排球个，根据总利润与单件利润之间的关系，可得y与x的函数关系式； （2）当时，得到关于x的一元一次方程，求出x的值判断即可； （3）根据购进甲品牌排球的数量不超过乙品牌排球数量的一半，可得不等式求出x的取值范围，然后利用一次函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：∵设购进甲品牌排球个，则购进乙品牌排球个， ∴， 与的函数关系式为； （2）解：当时，得， 解得， ∴（个） ∴该体育器材专卖店出售这批排球能获得利润1408元，甲品牌排球售出32个，乙品牌排球售出48个； （3）解：该体育器材专卖店购进甲品牌排球的数量不超过乙品牌排球数量的一半， ． ． 在中，， ∴随的增大而增大， 为整数， 当时，获得利润最大，最大利润为1384元． ∴（个） ∴购进甲品牌排球26个，购进乙品牌排球54个时，该文具店获得利润最大，最大利润为1384元． 33．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）某儿童服装店准备到批发市场购买A，B两种品牌的儿童内衣．已知B品牌的进货单价是A品牌进货单价的3倍，该儿童服装店购买B品牌的数量y（件）与A品牌的数量x（件）之间的关系满足一次函数，部分数据如下表所示． x/件 … 50 60 100 … y/件 … 250 240 200 … 当购买的A，B品牌的儿童内衣中，A品牌内衣为100件时，购买这两种品牌儿童内衣共需7000元． (1)求y与x之间的函数表达式． (2)求A，B两种品牌的儿童内衣进货单价． (3)若该儿童服装店每销售1件A品牌儿童内衣可获利4元，每销售1件B品牌儿童内衣可获利9元．根据销售需求，该儿童服装店决定用不超过5400元购买A，B两种品牌的儿童内衣，该儿童服装店购买A，B两种品牌内衣各多少件才能使利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)A品牌进货单价为10元，B品牌进货单价为30元 (3)购买A品牌内衣180件，B品牌内衣120件时利润最大，最大利润为1800元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查一次函数及其应用，一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，正确理解题意并求得一次函数解析式是关键； （1）设y与 x之间的一次函数为，利用待定系数法即可求解； （2）由（1）所求可求得购买B品牌内衣的数量，根据：购买这两种品牌儿童内衣共需7000元建立方程即可求解； （3）设利润为元，则，再根据题意得，利用一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设购买B品牌的数量y（件）与A品牌的数量x（件）之间的一次函数为， 由表格知，当时，；当时，； 则， 解得：， ∴， 答：y与x之间的函数表达式为； （2）解：∵， ∴当时，； 设A品牌进货单价为a元，则B品牌进货单价为元， 由题意得：， 解得：， 则（元）， 答：A品牌进货单价为10元，则B品牌进货单价为元； （3）解：设利润为元，则， 由题意得：， 即， 解得：， 对于，， ∴当时，函数值随自变量的增大而减小， ∴当时，取得最大值，且最大值为：， 此时（件）， 答：购买A品牌内衣180件，B品牌内衣120件时利润最大，最大利润为1800元． 知识点七 角度模型综合计算（八字、燕尾、双角平分线模型，期中几何压轴主力） 34．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，点E，F分别在边和上，连接，将沿着直线折叠，使得点A与点重合，连接，，平分，平分． (1)若，求的度数： (2)若，，求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查折叠的性质，三角形内角和定理和角平分线定义等知识，熟练掌握疏导他对于空间解答本题的关键． （1）由三角形内角和定理求出，由角平分线定义得，再由三角形内角和定理可求出； （2）设，则，求出根据可得结论． 【详解】（1）解：如图， ，且 又平分，平分， ∴ ∴ ； （2）解：设，则， 由折叠得， ∴ ∴ 而 ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 35．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，已知在中，与的平分线交于点P． (1)当时，求的度数； (2)当时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的定义的综合应用，本题解法多样，熟知三角形的内角和定理是解答此题的关键． （1）先根据三角形内角和定理，求出的度数，再由角平分线的定义得出的度数，最后由三角形内角和定理，即可求出的度数； （2）先根据三角形内角和定理，求出，再由角平分线的定义得出，最后由三角形内角和定理，即可求出的度数 【详解】（1）解：∵中，， ∴， ∴，分别为与的平分线， ∴， ∴． （2）解：∵中，， ∴， ∴，分别为与的平分线， ∴， ∴． 36．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）在中，点B，C分别是，上一点，和的角平分线交于点 (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，和的角平分线交于点Q，直接写出和之间的数量关系______． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】角平分线的有关计算、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据三角形内角和求出，再根据角平分线的定义得到，，继而利用三角形内角和代入计算即可； 根据角平分线的定义得到，，再利用三角形内角和得出，结合，代入求解即可； 根据角平分线的定义得到，，，，继而推出，再利用四边形内角和计算即可得出关系． 【详解】， ， 和的角平分线交于点P， ，， ； 和的角平分线交于点P， ，， ， ， ， ， 解得：， ； 和的角平分线交于点P， ，， 和的角平分线交于点Q， ，， ， ， 同理：， 故答案为：． 37．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图1，在中，，是边上的高线，是的平分线． (1)若，，求的度数； (2)根据（1）的计算结果，猜想与和之间的等量关系（直接写出结论，不需要证明）； (3)如图2，若是钝角，上述猜想的结论是否仍然成立？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)成立 【知识点】角平分线的有关计算、与三角形的高有关的计算问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质以及三角形高线的性质，解题的关键是利用这些性质求出相关角的度数，进而找出角之间的关系． （1）先根据三角形内角和定理求出，再利用角平分线性质求出，根据直角三角形性质求出，最后得出． （2）根据（1）的计算结果进行归纳猜想． （3）同样先求出相关角的度数，再验证猜想是否成立． 【详解】（1）在中，已知，则， 是的平分线， ． 是边上的高线， ， 在中， ， ； （2）猜想：，证明如下： ，， ∴； （3）当是钝角时，上述猜想成立， 设． 根据三角形内角和定理，， 是的平分线， 是边上的高线， ， 在中， 所以当是钝角时，上述猜想仍然成立． 38．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）沪科版（数学）（八年级上册）第页第题求五角星形五个角的度数和（如图1）．我们求得．爱动脑筋的小聪借助几何画板将图1进行调整，得到图2、图3、图4三个图形，请你帮助小聪解决下列问题： (1)根据图2，直接写出，，，，满足的关系式___________； (2)如图3，点在上，求证：； (3)如图4，点在上方，请问（2）中的结论是否还成立，如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你的结论，并进行证明． 【答案】(1) (2) 证明：如图， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． (3) 解：成立，理由如下： 如图，过点作交于点，交于点， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形的内角和的知识，解题的关键是掌握三角形的内角和为，平角的性质，平行线的性质，进行解答，即可． （1）连接，设，交于点，根据三角形的内角和，则，得到，根据，等量代换，即可； （2）根据三角形的内角和，则，，可得，根据，等量代换，即可； （3）如图，过点作交于点，交于点，根据平行线的性质，则，，根据三角形的内角和，则，，得到，根据平角的性质，则，等量代换，即可． 【详解】（1）解：如图，连接，设，交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）略 39．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，，，分别是的高线，角平分线和中线， (1)下列结论：①，②，③，④与互余，其中正确的是________（只填序号）． (2)若，，求的度数． (3)若，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)②③④ (2) (3) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、高线、中线的性质以及三角形的内角和定理，熟悉相关性质是解题的关键． （1）依据分别是三角形的高线，角平分线及中线，即可得出 ， ，，据此分别判断各选项即可； （2）先根据三角形的内角和求出，然后分别求出和，再利用角的和差计算即可； （3）根据题意可以用和表示出和，从而可以得到与的关系． 【详解】（1）解：∵，，分别是的高线，角平分线，中线， ∴ ， ，， 而不一定成立，故①不正确，②正确； ∴， ∴，即与互余，④正确； ∴，, ∴，③正确； 综上所述，正确的是：②③④， 故答案为：②③④； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ， ∴； （3）解：， 理由：在中，，分别是的高和角平分线， ，，， ． 40．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为“对顶三角形”．根据三角形内角和定理可知“对顶三角形”有如下性质∶．    (1)性质理解：如图1，在“对顶三角形”与中，若，则 ； (2)性质应用∶ ①如图2，则 ； ②如图3，在中，分别平分和，若，比大，求的度数； (3)拓展提高：如图4，是的角平分线，和的平分线和相交于点P，设，求的度数（用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2)①② (3) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题综合考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，掌握整体思想是解题关键． （1）求出即可求解； （2）①连接，可得，据此即可求解；②求出即可求解； （3）根据、、即可求解； 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵， ∴ 故答案为： （2）解：①连接，如图所示：    则 ∴ 故答案为： ②∵， ∴ ∵分别平分和， ∴ ∵ ∴ ∵ 由①②可得： （3）解：∵， ∴ ∵是的角平分线， ∴ ∵和的平分线和相交于点P， ∴ ∵ ∴得： ∴ 41．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）【新知探究】 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，求证：； 【问题探究】 （2）如图2，、分别平分，，若，求的度数； 【拓展提升】 （3）如图3，直线平分的外角，平分的外角，请猜想的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1）证明：在中，，则， 在中，，则， ∵， ∴； （2）； （3），理由如下： 如图3， 由（1）得， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵平分的外角，平分的外角， ∴， ∴． 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、等式的性质1 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，应用等式的性质进行推理等知识﹒ （1）根据三角形内角和定理得到，，根据即可证明； （2）由（1）得：，进而得到，根据角平分线定义得到，即可得到，从而求出； （3）由（1）得，根据，得到，，从而得到，结合即可得到． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得：， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）略 42．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）在中，和分别是和的角平分线，和交于点O． (1)如图1，若，，求的度数； (2)连接并延长交于点F，已知，． （i）如图2，求的度数（用含，的式子表示）； （ii）如图3，过点O作于点G，试判断和度数的大小关系，并加以说明． 【答案】(1) (2)（ⅰ）； （ⅱ），理由如下： 由（ⅰ）可知：，， ∴． ∵， ∴． 由（1）知， ∴． ∴． 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的内角和为180度，以及角平分线的定义． （1）先根据三角形的内角和求出，根据角平分线的定义得出．最后根据，即可解答； （2）（ⅰ）先根据三角形的内角和求出．结合角平分线的定义推出平分，则，即可解答； （ⅱ）由（ⅰ）可知：，，则，由（1）知，则，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵BE是的平分线， ∴． ∴． （2）解：（ⅰ）在中，． ∵和分别是和的角平分线， ∴平分． ∴． ∴． （ⅱ）略 43．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，点在上，过点作，交于点．平分，交的平分线于点，与相交于点，过点作交的延长线于点． (1)若，，则_____，_____． (2)若，当的度数发生变化时，，的度数是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，求，的度数（用含的代数式表示）． (3)若，试猜想与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)114；24 (2)， (3) 解：，证明如下： 依题意，设，， 在中， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即． ∴． 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，准确识图，理解角平分线定义，熟练掌握平行线的性质，灵活运用三角形的内角和定理进行计算是解决问题的关键． （1）先求出，根据角平分线的定义及平行线的性质得，，然后根据三角形的内角和定理可得出的度数；根据，进而可得出的度数； （2）根据角平分线的定义及平行线的性质得，根据三角形内角和定理得，则，进而可得出的度数；然后根据可得出的度数； （3）先理解题意，设，，在中，，因为平分，得，根据，得，又因为，所以，即，整理得，即可作答． 【详解】（1）解： 在中，，， ， 平分， ， ， ，， 平分， ， 在中，； ， ∵， ， 在中，； 故答案为：，； （2）解：、均不发生变化，，，理由如下： ， ，， 平分，平分， ，， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ∵ ∴， 在中，； （3）略 44．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）平面内，四条线段、、、首尾顺次相连，与相交于点O． (1)如图1，若，，和的角平分线交于点M，求的度数； (2)如图2，若，，，，求的度数； (3)如图3，若，，，，试用含n、x、y的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、对顶角相等，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，，由三角形内角和定理结合对顶角相等得出，同理可得，由可得，代入计算即可得解； （2）由三角形内角和定理结合对顶角相等得出，，同理可得，由可得，代入计算即可得解； （3）由三角形内角和定理结合对顶角相等得出，，同理可得，由可得，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵和的角平分线交于点M， ∴，， ∵，，， ∴， 同理可得：， 由可得：， ∴， ∵，， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， 同理可得：， 由可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， 同理可得：， 由可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 知识点八 三角形角度探究 + 命题证明（文字命题、举反例压轴） 45．（2024八年级上·安徽滁州·期中）补充完成下列证明过程，并填上推理的依据． 已知：如图，．求证：． 证明：延长交于点，则 ．（             ） 又∵， ∴_______，（等量代换） ∴．（                   ）    【答案】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；；内错角相等，两直线平行 【知识点】写出一个命题的已知、求证及证明过程、内错角相等两直线平行、三角形的外角的定义及性质 【分析】第一个空是三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，第二个空根据等量代换得出，第三个空是平行线的判定． 【详解】解：延长交于点，则 ．（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 又∵， ∴，（等量代换） ∴．（内错角相等，两直线平行） 【点睛】本题考查推理与证明，解题的关键是掌握推理与证明过程中理由的书写，平行线的性质和三角形外角的定理． 46．（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）如图，已知：是的一个外角．    (1)请从①，②平分，③中任选两个当条件，第三个当结论构成一个真命题． 条件：________________________________________________ 结论：________________________________________________ (2)证明你所构建的命题是真命题． 【答案】(1)①②，③ (2) 已知：是的一个外角，，平分， 求证：． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 即选择①②当条件，③为结论，构成真命题． 【知识点】同位角相等两直线平行、等边对等角、三角形的外角的定义及性质、写出命题的题设与结论 【分析】（1）选择①②当条件，③为结论，即可（答案不唯一）； （2）根据等边对等角可得，根据三角形的外角性质可得，根据角平分线的定义可得，推得，根据平行线的判定即可证明． 【详解】（1）解：选择①②当条件，③为结论； 故答案为：①②，③． （2）略 【点睛】本题考查了真命题，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的外角性质，等边对等角等，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 47．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）填写下面证明过程中的推理依据： 已知：如图，，平分，平分．求证： 证明：∵（       ） ∴（        ） ∵平分，平分（       ） ∴，（         ） ．（      ） ∴．（        ） 【答案】已知；两直线平行，内错角相等；已知；角平分线的定义；角平分线的定义；等量代换 【知识点】三角形角平分线的定义、已知证明过程填写理论依据、两直线平行内错角相等 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义证明即可． 【详解】略 48．（24-25八年级上·安徽六安·期中）（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）；；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行 【知识点】根据平行线判定与性质证明、判断是否为互逆命题 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （1）根据平行线的性质，可得 ，根据角平分线的定义，可得 ，再根据平行线的判定，即可得出 ； （2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】解：（1）∵ 分别平分 和 （已知）， （角平分线的定义）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）， （等式的性质）， （内错角相等，两直线平行）， 故答案为： ；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行； （2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 49．（2025八年级上·安徽合肥·期末）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，分别结合图探索这两个角的关系． (1)如图1，，，∠1与∠2的关系是______； 证明： (2)如图2，，，则∠1与∠2的关系是______； 证明： (3)经过探索，综合上述，我们可以得一个真命题是______． 【答案】(1) ∠1=∠2，证明： 如图1： ∵， ∴∠1=∠3， ∵， ∴∠3=∠2， ∴∠1=∠2； (2) ∠2+∠1=180°，证明： 如图2： ∵， ∴∠1=∠4， ∵， ∴∠2+∠4=180°， ∴∠2+∠1=180°； 故答案为：∠2+∠1=180°； (3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 【知识点】举例说明假（真）命题、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】（1）根据平行线性质可得答案； （2）根据平行线性质，可得答案； （3）由（1）（2）可得一个角的两边平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（1）（2）可得： 一个角的两边平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补． 故答案为：一个角的两边平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用． 知识点九 三角形三边关系 + 分类讨论压轴 50．（25-26八年级上·安徽亳州·期中）已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算、确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，熟练掌握三角形三边关系和绝对值的化简是解题的关键． （1）直接根据三角形的三边关系求解即可； （2）由三角形三边关系定理得到：，则，再化简绝对值，然后运用整式的加减运算法则化简即可． 【详解】（1）解：， ，即． （2）解：∵的三边长为， ， 原式 ． 51．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）已知a，b，c分别是的三边长． (1)若，，c为奇数，试说明：为等腰三角形． (2)化简：． 【答案】(1) 解：∵，， ∴，即， ∵，c为奇数， ∴， ∴为等腰三角形； (2) 【知识点】等腰三角形的定义、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，整式的加减运算，熟练掌握三角形的三边关系，是解题的关键： （1）根据三角形的三边关系结合第三边c为奇数，求出c的值进行判断即可； （2）根据三角形的三边关系结合绝对值的意义，化简即可． 【详解】（1）略 （2）∵，，， ∴原式 ． 52．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）已知的三边长分别为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c为偶数，求的周长； (2)化简：． 【答案】(1)的周长为9 (2) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算、确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，绝对值的化简，整式的加减混合运算，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边是解题的关键． （1）先根据三角形的三边关系得出的取值范围，再由为偶数即可得出的值，进而可得出答案； （2）根据三角形的三边关系得出，，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：，， ，即． 又为偶数， ． ． （2），， ，． ． 53．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知a，b，c是的三边长． (1)若a，b，c满足，则的形状是______； (2)化简：． 【答案】(1)等边三角形 (2) 【知识点】有理数的乘方运算、绝对值非负性、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了绝对值的非负性，三角形的三边关系． （1）利用非负数的性质，绝对值和平方项的和为零，则每个部分为零，得出边长相等，从而判断三角形形状． （2）根据三角形三边关系，判断各绝对值内的符号，再去绝对值化简． 【详解】（1）解：∵ 且 ，且 ∴ 且 ∴ 且 ∴ ∴ 是等边三角形 （2）解：∵ 是 的三边长 ∴，，，且 ，， ∴，故 ，故 ，故 原式 ． 54．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知，，是的三边长，，，设三角形的周长是． (1)直接写出及的取值范围． (2)若是小于的偶数． ① 求的长． ② 判断的形状． 【答案】(1) (2)；等腰三角形 【知识点】等腰三角形的定义、确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形三边关系的应用． ()根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进而得出的取值范围，进而得出答案； ()①根据偶数的定义，以及的取值范围即可求解； ②利用等腰三角形的判定方法得出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 故周长的范围为． （2）①∵且周长为小于的偶数， ∴， 当时，，，． ②∵，，则， ∴为等腰三角形． 55．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是 ； (2)若的周长为30，则的周长为 ； (3)在中，若边上的高为6，求边上的高． 【答案】(1) (2)28 (3)边上的高为 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、确定第三边的取值范围、根据三角形中线求长度、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形的角平分线、中线，和高，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． （1）直接根据三角形三边关系进行解答即可； （2）将的周长转换为即可得出答案； （3）设边上的高为h，根据三角形面积公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵，的周长为30， ∴， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴， 故答案为：28． （3）解：设边上的高为h， 则， 解得， ∴边上的高为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $