第五章《二次函数》易错疑难集训（校本作业）-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂教学课件（北师大版·新教材）

宝典训练 配套教学课件 新课标 深圳天骄文化传播有限公司 1 第五章　二次函数 第五章《二次函数》　易错疑难集训 2 －2 0或3 第五章　二次函数 3 C 第五章　二次函数 4 第五章　二次函数 5 5 2 000 第五章　二次函数 6 第五章　二次函数 7 y＝x2－2x－3 第五章　二次函数 8 第五章　二次函数 9 第五章　二次函数 10 第五章　二次函数 11 第五章　二次函数 12 第五章　二次函数 13 1 第五章　二次函数 14 第五章　二次函数 15 第五章　二次函数 16 第五章　二次函数 17 y＝a(x＋1)2－3 (－1，－3) 第五章　二次函数 18 第五章　二次函数 19 第五章　二次函数 20 第五章　二次函数 21 第五章　二次函数 22 第五章　二次函数 23 【易错点1】利用二次函数的定义求待定系数时忽略“a≠0” 1．函数y＝(m－2)xm2－2－2mx＋1的图象是抛物线，则m＝____。 【易错点2】利用二次函数的增减性求待定系数时忽略分类讨论 2．对于二次函数y＝x2－2x＋1，当a－1≤x≤a时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，则a的值为______。 【易错点3】二次函数的图象与系数的关系 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有如下结论：①abc>0；②2a＋b＝0；③3b－2c<0；④am2＋bm≥a＋b(m为任意实数)；⑤方程ax2＋bx＋c＝1的两根之和为1.其中正确结论的个数是( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【易错点4】利用二次函数解决实际问题中最值问题 4．某超市购进甲、乙两种商品，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元，甲商品箱数是乙商品箱数的 eq \f(3,2)倍。 (1)甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？ (2)甲、乙两种商品全部售完后，该超市又购进一批甲商品，在原来每箱盈利额不变的前提下，平均每天可售出100箱。若调整价格，每降价1元，平均每天可多售出20箱，那么当降价__元时，该超市获得的利润最大。最大利润是__________元。 解：(1)设乙商品每箱盈利x元，甲商品每箱盈利(x＋5)元， eq \f(900,x＋5)＝ eq \f(400,x)× eq \f(3,2)，解得x＝10，经检验，x＝10是原方程的根， ∴x＋5＝10＋5＝15。 答：甲商品每箱盈利15元，乙商品每箱盈利10元。 【易错点5】二次函数中线段、周长、面积最值问题 5．如图，抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)，点B(3，0)，与y轴交于点C。 (1)抛物线的表达式为 ___________________； (2)在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标； (3)P是第四象限内抛物线上的动点，求△BPC面积S的最大值及此时P点的坐标． (2)解：如答图1，连接CB交对称轴于点Q， ∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， ∵A、B关于对称轴x＝1对称， ∴AQ＝BQ， ∴AC＋AQ＋CQ＝AC＋CQ＋BQ≥AC＋BC, 当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小， ∵y＝x2－2x－3，∴C(0，－3)， 设直线BC的解析式为y＝kx＋m，把B(3，0)和C(0，－3)代入得， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0＝3k＋m,－3＝m))，解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝1,m＝－3))， ∴直线BC的解析式为y＝x－3， 把x＝1代入y＝x－3，得y＝1－3＝－2， ∴Q(1，－2)； (3)解：如答图2，过点P作PG∥y轴 ，交BC于点G, 连接PC，PB，设点P(t，t2－2t－3)，则G(t，t－3), ∴PG＝t－3－(t2－2t－3)＝－t2＋3t， ∴S＝ eq \f(1,2)×3×(－t2＋3t)＝－ eq \f(3,2)(t－ eq \f(3,2))2＋ eq \f(27,8)， ∴当t＝ eq \f(3,2)时，S的最大值为 eq \f(27,8)， 此时，P点的坐标为( eq \f(3,2)，－ eq \f(15,4))。 【易错点6】二次函数中存在性问题 6．如图，将抛物线y＝x2向右平移a(a>0)个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，且△AOB为等腰直角三角形。 (1)a＝__； (2)在新抛物线上是否存在一点C，使△ABC为等腰直角三角形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。 (2)解：存在，理由如下： 如答图，作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接BC，交抛物线的对称轴于点D，则∠BDA＝∠CDA＝90°，∠OAD＝90°，∠BAD＝∠CAD， ∵△AOB为等腰直角三角形， ∴∠OAB＝45°， ∴∠BAD＝∠CAD＝45°， ∴△ACD、△ABD为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠BAC＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， 由(1)得点B的坐标为(0，1)，对称轴为直线x＝1， ∴点C的坐标为(2，1)， 故在图中的抛物线上存在点C，使△ABC为等腰直角三角形，点C的坐标为(2，1)。 【易错点7】二次函数中的新定义型综合问题 7．新定义：我们把抛物线y＝ax2＋bx＋c(其中ab≠0)与抛物线y＝bx2＋ax＋c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2＋3x＋1的“关联抛物线”为：y＝3x2＋2x＋1.已知抛物线C1：y＝2ax2＋ax＋a－3(a≠0)的“关联抛物线”为C2。 (1)C2的表达式(用含a的式子表示)为：_____________________，顶点坐标为：______________； (2)若a>0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N。 ①当MN＝6a时，求点P的坐标； ②当a－3≤x≤a－1时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值。 解：(2)①设点P的横坐标为m， ∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N， ∴M(m，2am2＋am＋a－3)，N(m，am2＋2am＋a－3)， ∴MN＝|2am2＋am＋a－3－(am2＋2am＋a－3)|＝|am2－am|， ∵MN＝6a，∴ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(am2－am))＝6a， 解得m＝－2或m＝3，∴P(－2，0)或(3，0)。 ②∵C2的解析式为：y＝a(x＋1)2－3， ∴当x＝－1时，y＝－3， 当x＝a－3时，y＝a(a－3＋1)2－3＝a(a－2)2－3， 当x＝a－1时，y＝a(a－1＋1)2－3＝a3－3， 根据题意可知，需要分三种情况讨论， I、当a－3≤－1≤a－1且－1－(a－3)>a－1－(－1)时，即0<a<1， 函数的最大值为a(a－2)2－3；函数的最小值为－3， ∴a(a－2)2－3－(－3)＝2a， 解得a＝2－ eq \r(2)或a＝2＋ eq \r(2) (舍)； Ⅱ、当a－3≤－1≤a－1且－1－(a－3)<a－1－(－1)时，即1<a≤2， 函数的最大值为a3－3；函数的最小值为－3， ∴a3－3－(－3)＝2a， 解得a＝ eq \r(2)或a＝－ eq \r(2)(舍)： Ⅲ、当－1≤a－3<a－1时，a≥2， 函数的最大值为a3－3，函数的最小值为a(a－2)2－3； ∴a3－3－ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a(a－2)2－3))＝2a，解得a＝ eq \f(3,2)(舍)； 综上，a的值为2－ eq \r(2)或 eq \r(2)。 $