第一章 第9课时 问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形（校本作业）-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂教学课件（北师大版·新教材）

宝典训练 配套教学课件 新课标 深圳天骄文化传播有限公司 1 第一章　特殊平行四边形 第9课时　☆问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 2 第一章　特殊平行四边形 3 第一章　特殊平行四边形 4 四边相等的四边形为菱形或对角线垂直且互相平分的四边形 为菱形 第一章　特殊平行四边形 5 第一章　特殊平行四边形 6 第一章　特殊平行四边形 7 1∶3或3∶1 第一章　特殊平行四边形 8 第一章　特殊平行四边形 9 第一章　特殊平行四边形 10 第一章　特殊平行四边形 11 第一章　特殊平行四边形 12 135 第一章　特殊平行四边形 13 第一章　特殊平行四边形 14 第一章　特殊平行四边形 15 第一章　特殊平行四边形 16 一、阅读：顶点在矩形边上的菱形叫作矩形的内接菱形。八(1)班的宣传小组A，B，C三名同学在布置班级文化时，他们需要从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形。 A说：我会折，横对折后再竖对折，剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形。 B说：我会画，作一组对边上两点连线的垂直平分线，然后连线也可以得到菱形。 C说：我会叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形，则这个四边形也是菱形(两两相交：一个矩形的两条长边与另一个矩形的两条长边都相交)。 (一)操作与画图 1．在图1中画出折、剪、展所得的最大内接菱形，它是菱形的依据是_____________________________________________________ ________________。 2．在图2中用尺规作出所得的最大内接菱形(保留作图痕迹，不要求写作法)。 3．在图3中画出重叠后的最大内接菱形，并画出另一矩形的摆放位置。 (二)证明与计算 1．标上必要的字母，证明图2中操作得到的四边形是菱形。 2．已知矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，结合图1，图2，图3，计算此矩形内接菱形的面积最大值是__。 eq \f(75,2) (三)拓展与应用 若矩形ABCD的最大内接菱形的面积是矩形面积的 eq \f(5,9)，则AB∶AD＝______________。 解：(一)操作与画图 1．如答图1，故答案为：四边相等的四边形为菱形或对角线垂直且互相平分的四边形为菱形。 2．连接AC，再作AC的垂直平分线分别与AD，BC交于E，F，连接AF，CE，则四边形AFCE是所求作的菱形。作图如答图2。 3．如答图3所示，让矩形的两条对角线互相重合，重叠部分(四边形AECF)是所求作的菱形。 (二)证明与计算 1．证明：如答图2，对角线AC，EF相交于点O。 ∵ABCD是矩形，∴AD∥BC∴∠OAE＝∠OCF， ∵EF是AC的垂直平分线，∴OA＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°， ∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF，∴四边形AFCE为平行四边形。 又∵AC⊥EF，∴平行四边形AFCE为菱形。 二、阅读： 传统建筑中的数学——正方形内嵌正八边形探究 【素材一】 中国古建筑的藻井、窗棂中常出现正方形内嵌套正八边形的精美图案。数学上定义：若一个正八边形至少有四个顶点分别落在正方形的四条边上，则称这个正八边形为该正方形的内嵌正八边形。正八边形的每个内角都相等，且为 135°。 【素材二】 在正方形中作内嵌正八边形，通常会在正方形的四个角各截去一个全等的等腰直角三角形。若正方形的边长为a，截去的等腰直角三角形的直角边长为x，则剩下的线段长度恰好等于正八边形的边长，满足等量关系： eq \r(2)x＝a－2x。 【任务一】 阅读理解与计算 1.直接写出正八边形的一个内角的度数：______°。 2.若正方形边长a＝2＋ eq \r(2)，请利用素材二中的等量关系 eq \r(2)x＝a－2x，求截去的等腰直角三角形的直角边长x的值。 【任务二】 实践探究与反思 1.请写出用尺规在正方形内作内嵌正八边形的主要步骤。 2.结合本次项目学习，从作图方法、数学思想、活动经验中任选一个角度，写出你的回顾反思。 解：任务一： 1．135 2．把a＝2＋ eq \r(2)代入 eq \r(2)x＝a－2x， 得 eq \r(2)x＝2＋ eq \r(2)－2x， eq \r(2)x＋2x＝2＋ eq \r(2)， x(2＋ eq \r(2))＝2＋ eq \r(2)， ∴x＝1。 任务二 1．①作正方形及对角线，确定对称中心；②在正方形四条边上分别截取等长线段；③顺次连接四条边上的八个截取点，得到内嵌正八边形。 2．示例：①利用对称思想可以简化作图；②图形探究要遵循“理解—计划—操作—反思”的流程；③实际问题可转化为方程解决，体现数形结合思想。 $