问题解决活动 作内嵌于正方形的正八边形&第一章归纳与提升（PDF部分书稿）-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

4正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 1.B2.A3.A4.B5.36.2 。1 7.证明：：四边形ABCD是正方形，.AB=BC,∠A=∠CBE=90°.∠ABF十 ∠CBG=90°.又：BF⊥CE,∠BGC=90°..∠BCE+∠CBG=90°..∠BCE= (∠BCE=∠ABF, ∠ABF.在△BCE和△ABF中，BC=AB, .△BCE≌△ABF(ASA).∴.CE=BF. C∠CBE=∠A, 8.解：(1)：四边形ABCD是正方形，.AB=BC=CD,∠ABC=∠BCD=90 ÷∠DBC=∠BCA=45:BP=BC,∠BCP=∠BPC=X(180-∠DBC)= 67.5°.∴∠ACP=∠BCP-∠BCA=22.5°.(2)：BC=CD=5,.BD=√BC+CD =5√2.∴.DP=BD-BP=5W2-5. 9.c10.D11.号 12.(1)证明：，四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，AD=CD,∠ADC=90°， CG=FG,∠G=90°.∴.∠ACD=∠GCF=45°..∠ACF=∠ACD+∠GCF=90°.H 是AF的中点，CH=合AR,(2)解：四边形ABCD和四边形CEPG是正方形， ∴.AB=BC=1,EF=CE=3,∠B=∠E=90..AC=√AB+BC=√2，CF= VEF+CE=3V2.∠ACF=90,∴AF=VAC+CF=2V5.∴CH=2AF=5. 13.(1)证明：，四边形ABCD是正方形，.BC=CD,∠BCD=90°.∠DBC=∠BCA =∠ACD=45.:CE平分∠ACD,∠ACE=∠DCE=∠ACD=2.5.∠BCE =∠BCA+∠ACE=67.5..∠BEC=180°-∠BCE-∠DBC=67.5°.∴∠BCE= ∠BEC.∴.BE=BC.∴.△BEC是等腰三角形.(2)解：：四边形ABCD是正方形，∴.BC =CD=AB=1,∠BCD=90°，∠ABD=∠CDB=45°..BD=√BC+CD=√2.，EF ⊥EC,.∠CEF=90°.∴∠BEF=∠CEF-∠BEC=22.5°.∴∠DCE=∠BEF.,BE =BC,∴，BE=CD..△CDE≌△EBF(ASA)..BF=DE=BD-BE=√2-1.∴AF= AB-BF=2-√2. 第2课时正方形的判定 1.A2.AC⊥BD(答案不唯一)3.邻边相等的矩形是正方形 4.证明：四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.,BE=DF,.OB一 BE=OD-DF,即OE=OF..四边形AECF是菱形.OE=OA,.EF=AC.∴.四边 形AECF是正方形. 5.解：答案不唯一，如：(1)AB=AD(2),四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC, OB=OD.:∠OBC=∠OCB,.OB=OC..AC=BD.∴.四边形ABCD是矩形.AB =AD,.四边形ABCD是正方形. 6.(1)证明：，DE∥AB,DF∥AC,.四边形AFDE是平行四边形.，∠BAC=90°， .四边形AFDE是矩形..AD平分∠BAC,.∠BAD=∠CAD.DF∥AC, ∠FDA=∠CAD..∠FDA=∠BAD.AF=DF.四边形AFDE是正方形. (2)解：，四边形AFDE是正方形，∴∠AFD=90°.AF2十DF=AD2.,AF=DF, AD=2V2,∴2DF2=(2√2)2..S四边形AFDE=DF=4. 7.C8.42 9.证明：：四边形ABCD是矩形，.∠BAD=∠CDA=90°.AE平分∠BAD,DE平 分∠ADC,∴∠EAD-合∠BAD=45,∠EDA-号∠ADC=45.∠EAD- ∠EDA.AE=DE.四边形AEDF是平行四边形，.四边形AEDF是菱形. :∠EAD+∠EDA=90°，∠AED=180°-90°=90°.∴.四边形AEDF是正方形. 10.(1)证明：四边形ABCD为正方形，.∠BAE=∠DAE=45°，AB=AD.在△ABE —4 (AB-AD 和△ADE中，∠BAE=∠DAE,∴.△ABE≌△ADE(SAS)..BE=DE.(2)①证明： AE-AE, 过点E作EM⊥BC于点M,EN⊥CD于点N.易得四边形EMCN是矩形.∴.∠MEN =90°.，四边形ABCD为正方形，∴.CE平分∠BCD.∴.EM=EN.,EF⊥DE, ∴∠DEF=90°=∠MEN..∠DEF-∠FEN=∠MEN-∠FEN,即∠DEN= I∠DNE=∠FME, ∠FEM.在△DEN和△FEM中，EN=EM, ∴.△DEN≌△FEM(ASA). ∠DEN=∠FEM, DE=FE.,四边形DEFG是矩形，.矩形DEFG是正方形.②解：3√5 专题特训中点四边形问题【回归教材·通性通法】 1.(1)证明：连接BD.,E,H分别是AB,DA的中点，EH是△ABD的中位线. ∴EH=2BD,EH∥BD.同理，FG=2BD,FG∥BD.EH=FG,EH∥FG.∴四边 形EFGH是平行四边形.(2)正方形(3)106(4)AC=BD(5)证明：连接AC, BD交于点O.,E,F分别为AB,BC的中点，EF是△ABC的中位线..EF∥AC, EF=2AC.同理，得HG∥AC,HG=号AC.∴EF∥HG,EF=HG.四边形EFGH 是平行四边形.AB=AD,BC=CD,.AC是线段BD的垂直平分线.∴.AC⊥BD. ,E,H分别为AB,AD的中点，EH是△ABD的中位线.∴.EH∥BD.EF∥AC, .EF⊥EH,即∠HEF=90°..四边形EFGH是矩形. 【变式题C【拓展练】岛 大单元整合练特殊四边形中的折叠问题【回归教材·落实课标】 相等相等全等 1.D2.75°3.4 4.(1)证明：.四边形ABCD是矩形，.AB=CD,∠B=∠D=90°.由折叠的性质，得 ∠F=∠D=∠B=90°，CF=CD=AB.,'∠AEB=∠CEF,.△ABE≌△CFE(AAS. (2)证明：，△ABE≌△CFE,∴.AE=CE.∴.△AEC是等腰三角形.(3)解：设CE=AE =x.:四边形ABCD是矩形，BC=AD=8.∴.BE=8-x.在Rt△ABE中，BE2十 AB2=AE2,.(8-x)2十42=x2,解得x=5..AE=5. 5.(1)证明：由折叠的性质知∠EAB=∠PAB,∠FAD=∠PAD,∴.2（∠PAB+ ∠PAD)=180°，即∠BAD=∠PAB+∠PAD=90°.同理可得∠ADC=∠ABC=90°. .四边形ABCD是矩形.(2)解：连接AC.由折叠的性质知AE=AP=AF,∴.AF= 合ER.同理可得CG=号GH,:四边形EFGH是菱形，EF=GH,EF/GH,:AF CG,AF∥CG..四边形ACGF是平行四边形..FG=AC.四边形ABCD是矩形， .BC=AD=√6，∠ABC=90°.∴.AC=√AB2+BC=3..FG=3,即菱形纸片EFGH 的边长为3. 专题特训与正方形有关的三种常考模型 1.解：两条路等长，它们的位置关系是互相垂直，理由如下：：四边形ABCD是正方形， .BA=AD=CD,∠BAE=∠D=90°.AE=DF,.△BAE≌△ADF(SAS).∴.BE=AF, ∠ABE=∠DAF.:'∠BAE=∠BAO+∠DAF=90°，∴.∠BAO+∠ABE=90°.∴.∠AOB= 180°-（∠BAO+∠ABE)=90°..AF⊥BE.∴.AF与BE等长，且互相垂直. 【变式题1】4【变式题23√2 2.(1)证明：在AB上截取AM=CE,连接ME.,四边形ABCD是正方形，，AB=BC, ∠ABC=∠BCD=90°.∴∠BAE+∠AEB=90°.：'AM=CE,∴.AB-AM=BC-CE, 即BM=BE..△BEM是等腰直角三角形..∠BME=45°..∠AME=180°- ∠BME=135°.EF⊥AE,.∠AEF=90°..∠AEB+∠CEF=90°..∠BAE= ∠CEF..∠DCG=180°-∠BCD=90°，CF平分∠DCG,∴.∠DCF=∠GCF=45° ∴.∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°.∴.∠AME=∠ECF=135°..△AME≌△ECF (ASA).∴.AE=EF.(2)解：仍然成立，理由如下：延长BA至点H,使AH=CE,连接 HE.,四边形ABCD是正方形，.∠B=90°，AB=BC,AD∥BC..BH=BE,∠HAD 5 =90°，∠DAE=∠AEB.∴.△BEH是等腰直角三角形.∴.∠H=45.,CF平分 ∠DCE,∠ECF=∠DCE=45.∠H=∠BCF=45.∠AEF=90,∠HAD +∠DAE=∠AEF+∠AEB.∴∠HAE=∠CEF..△AEH≌△EFC(ASA).∴AE=EF. 3.解：(1)四边形ABCD为正方形，.∠B=∠ADF=90°，AB=AD..∠ADG=90° =∠B.,DG=BE,∴.△ADG≌△ABE(SAS)..∠DAG=∠BAE,AE=AG ∴.∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-∠EAF=45°，即∠EAF= ∠FAG.,AF=AF,∴.△AFG≌△AFE(SAS)..EF=FG..EF=DF+DG=DF+ BE,即EF=BE+DF.(2)DF=EF+BE.证明如下：在CD上截取GD=BE.同(I)可 证△AEB≌△AGD,∴.EB=DG,AE=AG,∠EAB=∠GAD.又：∠BAG+∠GAD= 90°，·∠EAG=∠EAB+∠BAG=∠GAD+∠BAG=90°.∴.∠FAG=∠EAG ∠EAF=45°.∴∠EAF=∠GAF.AF=AF,∴△EAF≌△GAF(SAS).∴.EF=FG. ∴.DF=FG+DG=EF+BE. 专题特训特殊平行四边形中的定值、最值问题【通性通法·热点】 1.5【变式题】号 【变式题2】解：I):四边形ABCD是菱形，A0=C0=号AC,ACLBD,B0=子BD =8.在R△AB0中，A0=VAB-B0=6,AC=2A0=12.∴S装em=合AC· BD=96.(2)GE十GF的值不发生变化.理由如下：连接AG.由题意，得S△ABD= SAm=SA+Se,即号×96=合×10GE+分X10GR,GE+GF=9.6 1 .GE+GF的值不发生变化. 2.B 3.(1)证明：四边形ABCD是菱形，AD∥BC,∠BAC=号∠BAD=60.∠B 180°-∠BAD=60°.∴△ABC为等边三角形..AB=BC=AC.△AEF为等边三角 形，∴.AE=AF,∠EAF=60°.∴.∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC,即∠BAE= ∠CAF.∴△BAE≌△CAF(SAS).BE=CF.(2)解：四边形AECF的面积不发生变 化.：△BAE2△CAF,∴，.S△ABE=S△ACP..S网边形ABCF=S△ABC十S△ACF=S△AEC十S△ABE =SCc.:△ABC为等边三角形，AB=4,易得S6c=号×4×2万=4瓦， .S四边形ABCF=S△ABc=4V3. 4.255.8 6.5【变式题3√37.3√3【变式题V38.√2【延伸问】1 9.解：取BC的中点E,连接OD,OE,DE.OD≤OE十DE,当O,D,E三点共线时， 点D到点O的距离最大.此时，OD=OE+DE.,∠MON=90°，E是BC的中点，BC= 24,OE=CE=合BC=12.:四边形ABCD是矩形，∠ECD=902.DE= √CD+CE=13.∴.OD的最大值为OE+DE=25. 问题解决活动作内嵌于正方形的正八边形 【观察判断】①③【回顾反思】48 【解决问题】解：菱形ABCD的内接矩形EFGH的三种草图如图所示. A(E D(H) B(F) CG 【拓展探究】解：(1)(2)如图所示 图① 图② 6 第一章归纳与提升 思维导图梳理 相等垂直一半相等互相垂直相等直角相等一半直角相等 直角直角相等相等且互相垂直平分相等互相垂直直角相等 核心考点突破 1.A2.D3.D4.12 5.证明：.四边形ABCD是菱形，.AB=BC..∠CAB=∠ACB.,BE=BF,∴.AE=CF. (AC=CA, 在△ACF和△CAE中，∠ACF=∠CAE,∴.△ACF≌△CAE(SAS.·∠ACE=∠CAF CF-AE, 6.(1)证明：AB∥DC,∴.∠OAB=∠DCA.AC平分∠BAD,.∠OAB=∠DAC ∠DCA=∠DAC..DC=AD=AB.,AB∥DC,.四边形ABCD是平行四边形. ,AD=AB,∴四边形ABCD是菱形.(2)解：：四边形ABCD是菱形，∴.OA=OC,OB =合BD=1,BD1AC.在R△A0B中，AB=5,0B=1,∴0A=VAB-OB=2. CELAB,OA-OC.OE-AC-OA-2. 7.A8.C 9.解：四边形ABCD是矩形，OD=OC=OB=号BD.∴∠BDC=∠OCD=65.∠DOC =180°-∠BDC-∠OCD=50°.BD=2CE,∴.CO=CE..∠E=∠DOC=50°. 10.(1)证明：AB=AC,D是BC的中点，AD⊥BC.∴.∠ADC=90°.：CE∥AD, ∴∠ECD=180°-∠ADC=90°.AE⊥AD,∴∠EAD=90°.∴.四边形ADCE是矩 形.(2)解：D是BC的中点，CD-号BC-3.:四边形ADCE是矩形，AE=CD -3.CE-AD=4.ZAEC-90.AC-ABFCE=5.SoARe-AC EF- AE.CE.EF-ARCE-32.4. AC 11.B12.2√6 13.1)证明：连接ME,MD.:BD⊥CD,M为BC的中点，DM=号BC.同理可得 EM=号BC.EM=DM.:N为DE中点，MN⊥DE.(2)解：BC=12,EM= DM=6.“N为DE的中点，DN=-号DE=3.由(I)得，MN⊥DEMN- VD-DN=3V.∴Same=号DE,MN=号×6X3V3=9E. 14.D15.6 16.(1)证明：四边形ABCD是正方形，∴.∠BAD=90°，AC是∠BAD的平分线. PM⊥AD,PN⊥AB,.PM=PN,∠PMA=∠PNA=90°.∠PMA=∠PNA= ∠BAD=90°.∴.四边形PMAN是矩形.又，PM=PN,四边形PMAN是正方形. (2)解：：四边形PMAN是正方形，.∠APM=∠APN=45.:∠EPA=15°， ÷∠EPM=∠APM-∠EPA=30.EM=2EP=1.PM=VEP-EM=V5, .S正方形MAN=(W3)2=3. 第二章一元二次方程 1认识一元二次方程 第1课时一元二次方程 1.A2.a≠3 3.解：(1)将原方程化为一般形式，得3x2+2x一36=0.二次项系数为3，一次项系数为 2,常数项为一36.(2)将原方程化为一般形式，得x2十5=0.二次项系数为1，一次项系 数为0，常数项为5. 4.B5.x(x+2)=3236.C7.58.(3+x)(4+x)=3×4+30 9.解：(1)设较长的直角边长为x,则较短的直角边长为x一2.根据题意，得x2十(x一 一7 2)2=102.化为一般形式为2x2-4x一96=0.(2)设十位数字为x,则个位数字为6一x. 根据题意，得3x(6-x)=10x十6-x.化为一般形式为3x2-9x十6=0. 第2课时一元二次方程的解及其估算 1.B2.33.14.D5.(1)-1334-0.010.363.33.4(2)33 6.B7.20308.(1)x=1(2)x=-1 9.解：根据题意，可得出的方程为251-之×102=0，利用估算法解得6=0（会去），6 =5.答：物体5s后落到地面. 2一元二次方程的解法 第1课时用配方法求解简单的一元二次方程 1.D2.A3.m>0 4.解：(1)移项，得(x一1)2=81.两边开平方，得x一1=士9，即x一1=9，或x一1=一9. ∴=10，=-8.(2)移项，得16(2-=9.两边同除以16，得(2-xP=最两边 开平方得2-=士是即2-=是或2-=是=号=兴 5.A6.(111(2)3号7.A8.A 9.解：1配方，得2+8x+(受）=-15+（受）》，即(x+4)-1.两边开平方，得x +4=士1，即x+4=1,或x+4=-1.x1=-3,x2=-5.(2)配方，得x2-7x十 (）)=-是+(3）)，即(2-）)=10.两边开平方，得x-名=士而，即x-名 -而，或x-子=-0.-7+2，-7-2四.(3)移项，得2-5x 2 2 -1.配方，得2-5x+(号）广=-1+()），即(x-)'-头两边开平方，得x 昌-士即x吾=牙或昌=-a=+a5厘 2 10.C11.C12.3或-7 13.解：(1移项，得-子（红一2)2=一子两边同乘以-3，得（红一22=是两边开平方， 得一2=士多，即x一2=昌，或x-2=-号∴=子，=分(2)移项，得2+ 2√2x=-1.配方，得x2+2√2x十(W2)2=-1+(W2)2,即(x十√2)2=1.两边开平方，得 x十√2=士1，即x十√2=1，或x十√2=-1..x1=-√2+1，x2=-√2-1.(3)整理，得 2+9x=-14.配方，得2+9x+(号）=-14+（是）”，即(x+号)°-华两边开 平方，得x计号-=士号即x计号=名或x+号-昌=-2，=-7 14.解：(1)53(2)原方程变形，得[(x+2)-4][(x+2)+4]=4,.(x+2)2-42= 4.∴.(x十2)2=20.两边开平方，得x十2=±2√5.x1=-2+2√5，x2=-2-25. 第2课时用配方法求解较复杂的一元二次方程 1.B2.B 3解：(1)两边都除以2，得x2十4x=一 .配方，得2+4+2=-号+2，即(x+2) =子两边开平方，得x+2=士受，周x十2=四，或+2=-四函=-2叶 安四=-2-受(2)河边都除以5，得2+告：号=0移项，得2十号=导 9 配方，得+告+（号）=号+（号）”，即(+号)》”-是两边开平方，得x+号 ±即x+号=或x+号=一日=1=-号， 4.B5.A 6.解：(1)两边都乘以4，得x2一2x-4=0.移项，得x2-2x=4.配方，得x2一2x十12=4 —8— 十12，即(x-1)2=5.两边开平方，得x-1=士√5，即x一1=√5，或x-1=一√5.∴.x1= 1+5,=1-5.(2)整理，得2+3z=1.配方，得2+3x+(名）》'-1+（号）》，即 (叶)广=只两边开平方，得x+号=士四，即x+》=四或x+号 -空=34正=32国 2 2 专题特训配方法的几种常见运用【热点】 1.解：(1)x2-4x+5=x2-4x+22-22+5=(x-2)2+1.(x-2)2≥0，.(x-2)2+1 ≥1..x2-4x+5的最小值为1.(2)-x2-2x+2=-(x2+2x+12-12)+2=-(x十 1)2+3.(x+1)2≥0，.-(x+1)2≤0..-(x+1)2+3≤3..-x2-2x+2的最大 值为3. 2.证明：原式=(4x2-8x十4)+5=4(x2一2x十1)十5=4(x-1)2十5..4(x一1)2≥0， .4(x-1)2十5≥5..代数式4x2-8x十9的值恒为正数. 3.解：a-b=3x2+36-(2x2+10x)=x2-10x+36=(x-5)2+11.(x-5)2≥0， .(x-5)2+11>0.'.a-b>0..a>b. 4.1 5.解：△ABC是等腰三角形.证明如下：，a2-8a十b-6b十c2-6c十34=0，∴.(a2-8a +16)+(b2-6b+9)+(c2-6c+9)=0..∴.(a-4)2+(b-3)2+(c-3)2=0.(a-4)2 ≥0，(b-3)2≥0，(c-3)2≥0，.a-4=0,b-3=0,c-3=0,解得a=4,b=c=3. ∴△ABC是等腰三角形. 6.解：原式=x2-4xy+4y2-y2=(x-2y)2-y2=(x-2y+y)(x-2y-y)=(x- y)(x-3y). 第3课时用公式法求解一元二次方程 1B2.A3.-8-2-32(-2)25二（二0特压3？-日 2×2 4 4.解：(1)将原方程化为一般形式，得2x2十x-3=0.这里a=2,b=1,c=-3.,b2一 4c=1-4X2×(-3)=25>0,x=表历=二5，即五=1，=-是.(2)将 2X2 4 原方程化为一般形式，得5.x2+2x-4=0.这里a=5,b=2,c=-4.6-4ac=22-4 ×5×(-4)=84>0,x=-284=-1±团，即=1I, 2×5 5 5 ，x2= -1@.(3)这里a=3,6=-E,c=-子.8-4ac=(-②2-4X3×(-是)- 5 5>0,x=二（一，②)±5=2±5，即=E+5,x=E5 2×3 6 6 5.B6.A7.C8m>日 9.解：(1)：△=12一4×2×1=一7<0，∴.方程没有实数根.(2)原方程化为一般形式为 9x2一6x十1=0.，△=（一6）2一4×9×1=0，.方程有两个相等的实数根. 10.B【变式题】D11.1 12.解：(1)将原方程化为一般形式，得x2十2x十2=0.这里a=1,b=2,c=2..b2一4ac =22一4×1×2=一4<0，∴.原方程没有实数根.(2)将原方程化为一般形式，得3x2一 11x+9=0.这里a=3,b=-11,c=9.6-4ac=(-11)2-4×3×9=13>0,.x= （-生压-11±√s,即-11+压，4=11-图 2×3 6 6 6 13.解：(1)由题意，得△=(-4)2-4×1×(m+2)≥0，解得m≤2.(2)，m≤2，且m取 最小正整数，.m=1.∴.原方程为x2一4x十3=0，解得x=1,x2=3. 14.(1)证明：△=[一(m+3)]2-4×1X3m=(m-3)2.(m一3)2≥0，即△≥0，，.无论 的值取何实数，该方程总有实数根.(2)解：分两种情况讨论：①当腰长为5时，另一 腰长也为5，则5是方程x2一(m十3)x十3m=0的一个根.把x=5代人，得25-5(m十 3)十3m=0,解得m=5..方程为x2一8x十15=0，解得x1=5,x2=3.此时三角形的三 边长为5,5,3，能构成三角形..三角形的周长为5+5+3=13.②当底边长为5时，两 腰长相等，则△=0，m=3.此时三角形的三边长为5,3,3，能构成三角形..三角形的 9问题解决活动 作内 【定义】若一个正方形内部嵌套一个正八边形， 且正八边形至少有四个顶点分别落在正方形 的四条边上，我们便称这个正八边形内接于该 正方形 【观察判断】下图中可以称为正八边形内接于 正方形的是 ,(填序号) ① ② ③ 【动手操作】尺规作图：小晓用尺规分别作出了 内接于正方形ABCD的两个正八边形 A1B C D EFG H A2 B2 C2 D2E2 F2G2 H2, 作图痕迹如图所示 【折纸探究】用一张正方形纸片，能否通过折叠 得到一个正八边形？小明给出了如下步骤，请 你按照这个步骤试试，看最后折出的纸是否是 正八边形： 把字线 基甜立起三角斑均接沿虚线完 球曲容线： 正方形形后展开同样法处剪开 对角线拼 新叠 后展用 鹋线： 新痕重叠 【回顾反思】无论是尺规作图还是折纸方法，都 利用了图形的轴对称性： 正方形有条对称轴，正八边形有 条对 称轴.这种对称性是实现“内接”与“正多边形” 构造的关键 【类比迁移】当一个矩形的四个顶点在已知菱 形的边上时，我们称这个矩形为菱形的内接 矩形 21数学九年级上册北师大版 嵌于正方形的正八边形 【提出问题】菱形的内接矩形有哪些不同情形？ 【解决问题】小伟与小玲分别给出了回答，张老 师听完后指出：该表述不够严谨，此类问题还 存在一种特殊形式一顶点重合式.请根据对 话画出相应草图， 矩形的两组对边分别平行于 菱形的对角线 矩形顶，点在菱形边上，对边 不与对角线平行 【思考】已知菱形ABCD,请在草稿纸上用尺规 作出它的内接矩形EFGH;动手试试吧！ 【拓展探究】如图，已知菱形ABCD,请仅用无 刻度直尺按照下面要求作图： (1)如图①，E,F分别为AB,BC的中点，作出 它的内接矩形EFGH;(保留作图痕迹) (2)如图②，E为边AB上一点，作出它的内接 矩形EFGH.(保留作图痕迹) 图① 图② 第一章归纳与提升 思维导图梳理 菱形、矩形、正方形都具有一般平行四边形的所有性质 共性 菱形、矩形、正方形都是轴对称图形 性质一四条边 ,对角线互相 面积一底×高或两条对角线长的乘积的 菱形 有一组邻边 或对角线 的平行四边形是菱形 特殊平行 判定 四边 的四边形是菱形 四个角都是 ,对角线 性质 形 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的 矩形 有一个角是 或对角线 的平行四边形是矩形 判定 有三个角是 的四边形是矩形 性质一四个角都是 ,四条边 ,对角线 正方形 有一组邻边 或对角线 的矩形是正方形 判定 有一个角是 或对角线 的菱形是正方形 核心考点突破 考点个菱形的性质与判定 1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交 于点O,则下列结论不一定成立的是( A.AC=BD B.AD=BC (第3题图) (第4题图) C.OA=OC D.AC⊥BD 4.如图，在正方形网格（边长为1)中，格点四边 形ABCD是菱形，则此四边形ABCD的面 积为 5.如图，在菱形ABCD中，AC是对角线，分别 (第1题图) (第2题图) 延长AB,CB到点E,F,BE=BF,连接CE, 2.如图，□ABCD的对角线AC,BD交于点O, AF.求证：∠ACE=∠CAF. 则下列条件不能证明口ABCD是菱形的是 A.∠BAC=∠BCA B.∠ABD=∠CBD C.OA2+OB2=AD2 D.AD2+OA2=OD2 3.如图，在菱形ABCD中，AC,BD交于点O, 点E在AD边上，连接OE.如果OA=OE, ∠ABC=50°，那么∠OEA的度数为( A.50° B.55° C.60° D.65° 第一章特殊平行四边形 22 6.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC,AB= AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分 ∠BAD,过点C作CE⊥AB,交AB的延长 线于点E,连接OE (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若AB=√5，BD=2,求OE的长. 考点2矩形的性质与判定 7.(东营中考)如图，O是△ABC边AC的中 点，连接BO并延长至点D,使OD=BO,添 加下列选项中的一个条件，不能判定四边形 ABCD为矩形的是 ( A.AB=BC B.∠ABC=90° C.∠ABD=∠ACDD.OB=OC (第7题图) (第8题图) 8.如图，在矩形ABCD中，E为BA延长线上 一点，F为CE的中点，以点B为圆心，BF 长为半径的圆弧过AD与CE的交点G,连 23数学九年级上册北师大版 接BG.若AB=4,CE=10,则AG的长为 () A.2 B.2.5C.3 D.3.5 9.如图，在矩形ABCD中，AC,BD相交于点 O,延长BD至点E,连接CE,且BD=2CE. 若∠BDC=65°，求∠E的度数. 10.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中 点，CE∥AD,AE⊥AD,EF⊥AC于点F (1)求证：四边形ADCE是矩形； (2)若AD=4,BC=6,求EF的长 考点3直角三角形斜边上的中线 11.(德阳中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，将△ABC沿CB方向向右平移至 △EGF处，使EF恰好过边AB的中点D, 连接CD.若CD=1,则GE的长为() A.3 B.2 C.1 D. （第11题图) (第12题图) 12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，通过 尺规作图得到的直线MN分别交AB,AC 于点D,E,连接CD.若CE=}AE=2,则 CD的长为 13.如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D,CE1 AB于点E,M,N分别是BC,DE的中点. (1)求证：MN⊥DE; (2)若BC=12,DE=6,求△MDE的面积， 考点④正方形的性质与判定 14.下列条件中，不能判定一个平行四边形是 正方形的是 () A.对角线相等且互相垂直 B.一组邻边相等且有一个角是直角 C.对角线相等且一组邻边相等 D.对角线互相平分且有一个角是直角 15.(教材P22习题T8变式) 如图，O为正方形ABCD 的对角线AC的中点， △ACE为等边三角形.若B AB=2,则OE的长为 16.如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC 上一点，过点P分别作PM⊥AD于点M, PN⊥AB于点N,E是AM上一点，且 ∠EPA=15°. (1)求证：四边形PMAN是正方形； (2)若EP=2,求正方形PMAN的面积. 提示 请完成易精章测（二）汇第一章] 第-章特殊平行四边形24