2026-2027学年上海市 沪教版(五四制)九年级上册 期中数学 新考纲押题卷（A卷）

( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ________ 班级： ________ 考号： ________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 绝密★启用前 2026-2027学年上海市 沪教版(五四制)九年级上册 期中数学 新考纲押题卷（A卷） 考试范围：二次函数&相似三角形；考试时间：100分钟；满分：150分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）下列函数中，属于二次函数的是（　　） A．y＝2x﹣3 B．y＝（x+1）2﹣x2 C．y＝7x﹣2x2 D． 2．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列各式中成立的是（　　） A．a＞0 B．c＜0 C．b＜0 D．a+b+c＝0 3．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为（﹣6，2），（﹣2，8），以点O为位似中心，在原点的另一侧按1：2的相似比将△OAB缩小，则点B的对应点B′的坐标是（　　） A．（1，﹣4） B．（﹣1，4） C．（2，﹣4） D．（﹣2，4） 4．（4分）观察下列表格，则一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个近似解a所在的范围是（　　） x 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 x2﹣x ﹣0.24 ﹣0.09 0.24 0.75 1.44 2.3 A．0.9＜a＜1.2 B．1.2＜a＜1.5 C．1.5＜a＜1.8 D．1.8＜a＜2.1 5．（4分）已知点A（﹣2，m）、B（2，m）、C（4，m+1）在同一个函数的图象上，这个函数图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．（4分）如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC的延长线上，DF⊥DE，DE与对角线AC交于点I，EF与对角线AC交于点G，与边DC交于点H．则下列结论不一定成立的是（　　） A．△DFH∽△GAE B．△ADE∽△DCA C．△DAI∽△GEI D．△DFH∽△GCH 第Ⅱ卷（非选择题） 请点击修改第Ⅱ卷的文字说明 评卷人 得 分 二．填空题（共11小题，满分44分，每小题4分） 7．（4分）当m________ 时，函数y＝（m2﹣1）x2+（m+1）x+3是二次函数． 8．（4分）函数是函数的图象向_____ 平移_____ 个单位长度而得到的． 9．（4分）如果，那么的值为__________________ ． 10．（4分）如果两个相似三角形对应角平分线之比为1：4，其中较小的三角形面积为2，那么另一个三角形的面积为 _______ ． 11．（4分）已知A（﹣1，y1）、B（4，y2）是抛物线y＝x2﹣2x+c上的两点，那么y1_____ y2（填“＞”、“＝”或“＜”）． 12．（4分）如图，对于下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠C＝∠5；④∠A+∠ADC＝180°．其中一定能得到AD∥BC的条件是（填序号）_______ ． 13．（4分）如图，在▱ABCD中，F在BC的延长线上，，那么___________________ ． 14．（4分）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，4），B（1，1）．则不等式ax2≤bx+c的解集是___________ ． 15．（4分）如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A、B的对应点分别是C、D），若物体AB的高为5cm，小孔O到地面距离OE为2cm，对实像CD的高度为___________________ cm． 16．（4分）如图，小明推铅球，已知铅球运行时离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为，如果小明铅球出手的高度为1.5米，成绩为6米，那么可以推断铅球在运行中的高度最高大约为_____ 米． 17．（4分）我们将宽和长之比为（约为0.618）的矩形称为“黄金矩形”，它可以通过折纸获得．如图1所示，将长方形纸片第一次沿MC折叠，使点N和点B重合，展开后再将纸片沿AG对折叠，使点M和点B重合；如图2所示，展开后联结AB，再将纸片第三次沿AF折叠，使得AB落在长方形纸片的边上且点B落在点D处，再次展开，过点D作MB的垂线，垂足为点E．请在阅读理解的基础上写出图中的“黄金矩形”：__________________ ． 评卷人 得 分 三．解答题（共7小题，满分82分） 18．（10分）已知，求k的值． 19．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … ﹣4 ﹣2 ﹣1 0 2 3 … y … m ﹣3 ﹣4 ﹣3 5 12 … （1）m的值为_____ ； （2）求二次函数解析式． 20．（12分）在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（﹣2，﹣1），B（﹣1，﹣3），△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为 ____________ ． （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1； （3）△OAB的内部一点M的坐标为（a，b），直接写出点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标为 ____________ ． 21．（12分）如图，熏笼是放在炭盆上的竹罩笼，是古代一种烘烤和取暖的用具．将熏笼开口朝下放在水平桌面上，其截面为抛物线形，如图2，测得熏笼的跨度为80厘米，高度为32厘米，小明以熏笼的左边缘为原点，水平线为x轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）现有一批长8厘米，高6厘米的熏炉套盒要放进熏笼内一起运输，当把熏炉套盒完全放在正中间进行叠放时，这一列最多能叠放几个套盒？ 22．（12分）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且BD＝BE，∠CAD＝∠ABE． （1）求证：△ABD∽△CBA； （2）若AD是△ABC的中线，求的值． 23．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c，其对称轴交x轴于点A，将点A向右平移1个单位得到点B，点C与点B的横坐标相同，且点C的纵坐标为2a，则C点是抛物线的“派生点”，直线AC称为该抛物线的“派生直线”． （1）若抛物线的解析式为y＝2x2﹣c（c为常数），求其派生直线的表达式； （2）已知抛物线的派生点为点C，抛物线与其派生直线y＝2x﹣6的公共点为P（1，m），点Q（7，n）为其派生直线上一点，求的值，并判断点Q是否在该抛物线上． 24．（14分）如图，在△ABC中，，BC＝6，∠C＝45°，点E在边AB上且AE＝2BE，点D是边BC上的动点，以D为直角顶点，DE为腰在其右侧作等腰直角三角形DEF，射线EF与边AC交于点P． （1）当EF∥BC，时，求△DEF的面积； （2）当点F落在△ABC内部（不含边界）时，求BD的取值范围； （3）联结CF，如果△DFC是直角三角形，请直接写出DP的长． 试卷第2页，总2页 试卷第1页，总1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上海市 沪教版(五四制)九年级上册 期中数学 新考纲押题卷（A卷） 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C D A C B B 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）下列函数中，属于二次函数的是（　　） A．y＝2x﹣3 B．y＝（x+1）2﹣x2 C．y＝7x﹣2x2 D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义，形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数是二次函数，逐一判断各选项即可． 【解答】解：A．x的最高次数为1，不是二次函数，不符合题意； B．化简后是y＝2x+1，x的最高次数为1，不是二次函数，不符合题意； C．符合y＝ax2+bx+c（a≠0）形式，是二次函数，符合题意； D．含分式，不是二次函数，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 2．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列各式中成立的是（　　） A．a＞0 B．c＜0 C．b＜0 D．a+b+c＝0 【答案】D 【分析】根据抛物线图象的开口方向，对称轴，与x轴的交点，与y轴的交点逐一判断各选项，即可得到结果． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向下， ∴a＜0， 故A选项不符合题意； ∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象与y轴的正半轴相交， ∴c＞0， 故B选项不符合题意； ∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴0， ∴b＞0， 故C选项不符合题意； ∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0）， ∴当x＝1时，y＝0， 即a+b+c＝0， 故D选项符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 3．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为（﹣6，2），（﹣2，8），以点O为位似中心，在原点的另一侧按1：2的相似比将△OAB缩小，则点B的对应点B′的坐标是（　　） A．（1，﹣4） B．（﹣1，4） C．（2，﹣4） D．（﹣2，4） 【答案】A 【分析】利用以原点为位似中心的对应点的坐标规律，把B点的横纵坐标都乘以即可得到点B的对应点B′的坐标． 【解答】解：∵以点O为位似中心，在原点的另一侧按1：2的相似比将△OAB缩小， ∴点B（﹣2，8）的对应点B′的坐标是（1，﹣4）． 故选：A． 【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 4．（4分）观察下列表格，则一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个近似解a所在的范围是（　　） x 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 x2﹣x ﹣0.24 ﹣0.09 0.24 0.75 1.44 2.3 A．0.9＜a＜1.2 B．1.2＜a＜1.5 C．1.5＜a＜1.8 D．1.8＜a＜2.1 【答案】C 【分析】利用表中数据可判断方程解的范围为1.5＜x＜1.8，然后对各选项进行判断． 【解答】解：因为x＝1.5时，x2﹣x＝0.75， x＝1.8时，x2﹣x＝1.44， 所以1.5＜a＜1.8． 故选：C． 【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 5．（4分）已知点A（﹣2，m）、B（2，m）、C（4，m+1）在同一个函数的图象上，这个函数图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点A（﹣2，m）、B（2，m）、C（4，m+1）在同一个函数图象上，可得A与B关于y轴对称，当x＞0时，y随x的增大而增大，继而求得答案． 【解答】解：∵点A（﹣2，m）、B（2，m）， ∴A与B关于y轴对称，故A，C不符合题意； ∵B（2，m）、C（4，m+1）， ∴当x＞0时，y随x的增大而增大，故B符合题意，D不符合题意． 故选：B． 【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键． 6．（4分）如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC的延长线上，DF⊥DE，DE与对角线AC交于点I，EF与对角线AC交于点G，与边DC交于点H．则下列结论不一定成立的是（　　） A．△DFH∽△GAE B．△ADE∽△DCA C．△DAI∽△GEI D．△DFH∽△GCH 【答案】B 【分析】利用相似三角形的判定与性质并根据已知条件逐一分析各选项的三角形是否相似即可． 【解答】解：在矩形ABCD中，AD∥BF，AB∥CD，∠BAD＝∠ADC＝∠B＝∠DCF＝90°， ∵∠EDF＝90°， ∴∠ADE+∠EDH＝∠EDH+∠CDF， ∴∠ADE＝∠CDF， ∴△ADE∽△CDF， ∴， ∴tan∠ACD＝tan∠EFD， ∴∠ACD＝∠EFD， ∵∠CHG＝∠DHF， ∴△DFH∽△GCH，故D项成立， ∴∠CGF＝∠CDF， ∵∠CGF＝∠AGE， ∴∠ADE＝∠AGE， ∴△DAI∽△GEI，故C项成立， ∵∠AEG＝∠DHF，∠CDF＝∠AGE， ∴△DFH∽△GAE，故A项成立， ∴不一定成立的是△ADE∽△DCA， 故选：B． 【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形两锐角互余及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 二．填空题（共11小题，满分44分，每小题4分） 7．（4分）当m　≠±1　 时，函数y＝（m2﹣1）x2+（m+1）x+3是二次函数． 【答案】≠±1． 【分析】一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，据此即可求得答案． 【解答】解：若函数y＝（m2﹣1）x2+（m+1）x+3是二次函数， 则m2﹣1≠0， 解得：m≠±1， 故答案为：≠±1． 【点评】本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 8．（4分）函数是函数的图象向　上　 平移　1　 个单位长度而得到的． 【答案】上，1． 【分析】根据平移中解析式的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减，可得出答案． 【解答】解：根据抛物线的平移规律：yx2向上平移1个单位，得到yx2+1， 答案：上，1． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 9．（4分）如果，那么的值为　　 ． 【答案】． 【分析】设a＝3k，b＝2k，代入原式即可． 【解答】解：设a＝3k，b＝2k， 则原式 ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查比例的性质，熟练掌握设参法是解题的关键． 10．（4分）如果两个相似三角形对应角平分线之比为1：4，其中较小的三角形面积为2，那么另一个三角形的面积为 　32　 ． 【答案】32． 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方． 【解答】解：∵两个相似三角形对应角平分线之比为1：4， ∴两个三角形的相似比为1：4， ∴两个三角形的面积比为1：16， ∵较小的三角形面积为2， ∴大三角形的面积，32． 故答案为：32． 【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方． 11．（4分）已知A（﹣1，y1）、B（4，y2）是抛物线y＝x2﹣2x+c上的两点，那么y1　＜　 y2（填“＞”、“＝”或“＜”）． 【答案】＜． 【分析】根据所给二次函数解析式，得出抛物线的对称轴为直线x＝1且开口向上，再结合二次函数的性质即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+c， 所以抛物线的对称轴为直线x＝1且开口向上． 因为A（﹣1，y1）、B（4，y2）在该抛物线上， 则1﹣（﹣1）＝2，4﹣1＝3，且2＜3， 所以y1＜y2． 故答案为：＜． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 12．（4分）如图，对于下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠C＝∠5；④∠A+∠ADC＝180°．其中一定能得到AD∥BC的条件是（填序号）　②③　 ． 【答案】②③． 【分析】根据平行线的判定定理解答即可． 【解答】解：①∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）； ②∵∠3＝∠4， ∴AD∥BC； ③∵∠C＝∠5， ∴AD∥BC； ④∵∠A+∠ADC＝180°， ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）； 综上分析可知，一定能得到AD∥BC的条件有②③， 故答案为：②③． 【点评】本题考查了平行线的判定定理，关键是平行线判定定理的熟练掌握． 13．（4分）如图，在▱ABCD中，F在BC的延长线上，，那么　　 ． 【答案】． 【分析】过点O作BC的平行线，交CD于点G，证明△EOG∽△EFC，得到；证明△OGD∽△BCD，得到，则，据此可得答案． 【解答】解：如图，，过点O作OG∥BC，交CD于点G， ∴△EOG∽△EFC， ∴． 在▱ABCD中，对角线交于点O， ∴． ∵OG与BC平行， ∴△OGD∽△BCD， ∴， ∴， ∵BF＝BC+CF， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键． 14．（4分）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，4），B（1，1）．则不等式ax2≤bx+c的解集是　﹣3≤x≤1　 ． 【答案】﹣3≤x≤1． 【分析】由图象可得出答案． 【解答】解：由图象可得，不等式ax2≤bx+c的解集是﹣3≤x≤1． 故答案为：﹣3≤x≤1． 【点评】本题考查二次函数与不等式（组），解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 15．（4分）如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A、B的对应点分别是C、D），若物体AB的高为5cm，小孔O到地面距离OE为2cm，对实像CD的高度为　　 cm． 【答案】． 【分析】易证明△COE∽△CAB，△BOE∽△BDC，从而得到，，两式相加并变形可得，把AB＝5cm，OE＝2cm，代入计算即可． 【解答】解：∵DC⊥BC，AB⊥BC，OE⊥BC， ∴OE∥AB∥DC， ∴△BOE∽△BDC，△COE∽△CAB， ∴，， ∴，即， ∴， ∵AB＝5cm，OE＝2cm， ∴，解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质． 16．（4分）如图，小明推铅球，已知铅球运行时离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为，如果小明铅球出手的高度为1.5米，成绩为6米，那么可以推断铅球在运行中的高度最高大约为　2　 米． 【答案】2． 【分析】先求出函数解析式，再化为顶点式求出函数的最值即可得出最高点离地面的距离． 【解答】解：根据题意得：点A坐标为（0，1.5），点C坐标为（6，0）， 把A，C坐标代入yx2+bx+c得： ， 解得， ∴yx2+0.5x+1.5（x2﹣4x）+1.5（x﹣2）2+2， ∴球在运行中的高度最高大约为2米， 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确记忆最值公式是解题关键． 17．（4分）我们将宽和长之比为（约为0.618）的矩形称为“黄金矩形”，它可以通过折纸获得．如图1所示，将长方形纸片第一次沿MC折叠，使点N和点B重合，展开后再将纸片沿AG对折叠，使点M和点B重合；如图2所示，展开后联结AB，再将纸片第三次沿AF折叠，使得AB落在长方形纸片的边上且点B落在点D处，再次展开，过点D作MB的垂线，垂足为点E．请在阅读理解的基础上写出图中的“黄金矩形”：　矩形BCDE，矩形MNDE ． 【答案】矩形BCDE，矩形MNDE． 【分析】由折叠可得四边形MNCB为正方形，MG＝BG，设MG＝BG＝NA＝AC＝1，则MN＝NC＝2，由勾股定理可得AB，第三次折叠可得AD＝AB，从而CD1，进而可得，，故可得答案． 【解答】解：由第一次沿MC折叠可知四边形MNCB为正方形， 再将纸片沿AG对折叠，则可知MG＝BG， 设MG＝BG＝NA＝AC＝1，则MN＝NC＝2， 联结AB，则AB， 再将纸片第三次沿AF折叠，AB落在长方形纸片的边上且点B落在点D处， ∴AD＝AB， ∴CD＝AD﹣AC1， ∴，， 即图中的“黄金矩形”为矩形BCDE，矩形MNDE， 故答案为：矩形BCDE，矩形MNDE． 【点评】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，黄金分割，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题关键． 三．解答题（共7小题，满分82分） 18．（10分）已知，求k的值． 【答案】或﹣2． 【分析】讨论：当a+b+c+d≠0时，根据等比性质得到k，再化简分式得到k；当a+b+c+d＝0，则b+c+d＝﹣a，所以k，约分得到k＝﹣2． 【解答】解：当a+b+c+d≠0时， ∵k， ∴k， 即k， ∴k； 当a+b+c+d＝0， ∴b+c+d＝﹣a， ∴k， 解得k＝﹣2， 综上所述，k的值为或﹣2． 【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． 19．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … ﹣4 ﹣2 ﹣1 0 2 3 … y … m ﹣3 ﹣4 ﹣3 5 12 … （1）m的值为　5　 ； （2）求二次函数解析式． 【答案】（1）5； （2）y＝x2+2x﹣3． 【分析】（1）由二次函数图象上点的坐标（﹣2，﹣3）和（0，﹣3），利用二次函数的性质可得出二次函数图象的对称轴，进而可得出m的值； （2）根据对称轴求得顶点坐标，设抛物线的顶点式，根据待定系数法即可求得． 【解答】解：（1）∵当x＝﹣2时，y＝﹣3；当x＝0时，y＝﹣3， ∴二次函数图象的对称轴为直线x＝﹣1， ∴（2，5）的对称点是（﹣4，5）， ∴m＝5， 故答案为：5； （2）∵当x＝﹣2时，y＝﹣3；当x＝0时，y＝﹣3， ∴二次函数图象的对称轴为直线x＝﹣1， ∴顶点为（﹣1，﹣4）， 设二次函数的解析式为y＝a（x+1）2﹣4， 把（0，﹣3）代入得﹣3＝a﹣4， ∴a＝1， ∴y＝（x+1）2﹣4， ∴二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣3． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用二次函数的性质找出二次函数图象的对称轴；（2）根据点的坐标，找出二次函数图象顶点坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式． 20．（12分）在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（﹣2，﹣1），B（﹣1，﹣3），△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为 　（﹣5，﹣1）　 ． （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1； （3）△OAB的内部一点M的坐标为（a，b），直接写出点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标为 　（2a，2b）　 ． 【答案】（1）（﹣5，﹣1）； （2）见解答； （3）（2a，2b）． 【分析】（1）分别延长A1A、B1B、O1O，它们的交点为P点，再写出P点坐标； （2）把A、B点的横纵坐标都乘以2得到A2、B2点的坐标，然后描点即可； （3）利用（2）中对应点的坐标变换规律求解． 【解答】解：（1）如图，点P为所作，P点坐标为（﹣5，﹣1）； 故答案为：（﹣5，﹣1）； （2）如图，△OA2B2为所作； （3）点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标为（2a，2b）． 故答案为：（2a，2b）． 【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 21．（12分）如图，熏笼是放在炭盆上的竹罩笼，是古代一种烘烤和取暖的用具．将熏笼开口朝下放在水平桌面上，其截面为抛物线形，如图2，测得熏笼的跨度为80厘米，高度为32厘米，小明以熏笼的左边缘为原点，水平线为x轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）现有一批长8厘米，高6厘米的熏炉套盒要放进熏笼内一起运输，当把熏炉套盒完全放在正中间进行叠放时，这一列最多能叠放几个套盒？ 【答案】（1）； （2）这一列最多能叠放5个套盒． 【分析】（1）根据题意得到抛物线的顶点为（40，32），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣40）2+32，经过原点（0，0），即可求出，得到抛物线的解析式； （2）由题意得熏炉套盒最左侧在x轴的横坐标为x＝36，将x＝36代入，可解得y＝31.68厘米，即可求出答案． 【解答】解：（1）∵熏笼的跨度为80厘米，高度为32厘米， ∴可知抛物线的顶点为（40，32）， 设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣40）2+32， 根据图象可知抛物线经过原点（0，0）， ∴a（0﹣40）2+32＝0， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）由题意得：熏炉套盒最左侧在x轴的横坐标为x＝40﹣8÷2＝36，将x＝36代入， 可解得：y＝31.68， ∵31.68÷6＝5.28（厘米）， ∴这一列最多能叠放5个套盒． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质．正确进行计算是解题关键． 22．（12分）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且BD＝BE，∠CAD＝∠ABE． （1）求证：△ABD∽△CBA； （2）若AD是△ABC的中线，求的值． 【答案】（1）∵BD＝BE， ∴∠ADB＝∠BED， ∵∠CAD＝∠ABE， ∴∠BAD＝∠BED﹣∠ABE＝∠ADB﹣∠CAD， ∵∠C＝∠ADB﹣∠CAD， ∴∠BAD＝∠C， ∵∠ABD＝∠CBA， ∴△ABD∽△CBA． （2）的值是． 【分析】（1）由BD＝BE，得∠ADB＝∠BED，因为∠CAD＝∠ABE，所以∠BAD＝∠BED﹣∠ABE＝∠ADB﹣∠CAD＝∠C，而∠ABD＝∠CBA，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABD∽△CBA． （2）由AD是△ABC的中线，得BC＝2BD，由相似三角形的性质得，则AB2＝BC•BD＝2BD2，所以ABBD，求得． 【解答】（1）证明：∵BD＝BE， ∴∠ADB＝∠BED， ∵∠CAD＝∠ABE， ∴∠BAD＝∠BED﹣∠ABE＝∠ADB﹣∠CAD， ∵∠C＝∠ADB﹣∠CAD， ∴∠BAD＝∠C， ∵∠ABD＝∠CBA， ∴△ABD∽△CBA． （2）解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CDBC， ∴BC＝2BD， ∵△ABD∽△CBA， ∴， ∴AB2＝BC•BD＝2BD2， ∴ABBD或ABBD（不符合题意，舍去）， ∴， ∴的值是． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、相似三角形的判定与性质等知识，推导出∠BAD＝∠C，进而证明△ABD∽△CBA是解题的关键． 23．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c，其对称轴交x轴于点A，将点A向右平移1个单位得到点B，点C与点B的横坐标相同，且点C的纵坐标为2a，则C点是抛物线的“派生点”，直线AC称为该抛物线的“派生直线”． （1）若抛物线的解析式为y＝2x2﹣c（c为常数），求其派生直线的表达式； （2）已知抛物线的派生点为点C，抛物线与其派生直线y＝2x﹣6的公共点为P（1，m），点Q（7，n）为其派生直线上一点，求的值，并判断点Q是否在该抛物线上． 【答案】（1）y＝4x； （2）1．Q（7，8）在抛物线上． 【分析】（1）易得对称轴，可得点A、B、C坐标，即可得解； （2）易得P（1，﹣4），Q（7，8），设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，则A（，0），B（1，0），C（1，2a），根据直线AC解析式为y＝2x﹣6，可得a＝1，b＝﹣6，将点P代入可得c＝1，进而求出C点坐标，可得CP、CQ，即可得解． 【解答】解：（1）∵抛物线的解析式为y＝2x2﹣c， ∴对称轴为直线x＝0，即y轴，a＝2， ∴A（0，0）， ∴B（1，0）， ∵2a＝4， ∴C（1，4）， 设直线AC的表达式为y＝kx+b， 将A（0，0），C（1，4）代入得， ， 解得， ∴直线AC的表达式为y＝4x，即其派生直线的表达式为y＝4x； （2）将点P、Q代入直线y＝2x﹣6得，m＝﹣4，n＝8， ∴P（1，﹣4），Q（7，8）， 设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c， 则A（，0），B（1，0），C（1，2a）， 由题可知直线AC解析式为y＝2x﹣6， 则， 解得或（舍）， ∵点P在抛物线上， ∴a+b+c＝﹣4，即1﹣6+c＝﹣4， 解得c＝1， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+1， 当x＝7时，y＝8， ∴Q（7，8）在抛物线上， ∵a＝1，b＝﹣6， ∴C（4，2）， ∴CP3，CQ3， ∴1． 【点评】本题主要考查了二次函数与一次函数综合等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 24．（14分）如图，在△ABC中，，BC＝6，∠C＝45°，点E在边AB上且AE＝2BE，点D是边BC上的动点，以D为直角顶点，DE为腰在其右侧作等腰直角三角形DEF，射线EF与边AC交于点P． （1）当EF∥BC，时，求△DEF的面积； （2）当点F落在△ABC内部（不含边界）时，求BD的取值范围； （3）联结CF，如果△DFC是直角三角形，请直接写出DP的长． 【答案】（1）； （2）BD； （3）DP的长为或． 【分析】（1）易证DE∥AC，利用相似比求出DE，即可得解； （2）过A作AL⊥BC于点L，过E作EM⊥BC于点M，易得EM，BM，再根据题意找出临界值，当点P与点C重合时和点F、P重合时，构造三垂直全等，建立方程求解即可； （3）分两种情况讨论，∠DFC＝90°或∠DCF＝90°，结合（2）中三垂直全等思路求解即可． 【解答】解：（1）∵△DEF是等腰直角三角形， ∴∠DEF＝∠DFE＝45°， ∵EF∥BC， ∴∠BDE＝∠DEF＝45°， ∵∠C＝45°， ∴∠BDE＝∠C， ∴DE∥AC， ∴， ∴DEAC， ∴S△DEF； （2）如图，过A作AL⊥BC于点L，过E作EM⊥BC于点M， 则AL＝CL＝AC•sin45°＝4， ∴BL＝BC﹣CL＝2， ∵EM∥AL， ∴， ∴BMBL，EMAL； ∵射线EF与边AC交于点P，且点F在△ABC内部， ∴找出临界值即可， 当点P与点C重合时，如图，过E作EG⊥BC于点G，过F作FH⊥BC于点H， 则∠EGD＝∠EDF＝∠FHD＝90°， ∴∠EDG＝∠DFH＝90°﹣∠FDH， ∵DE＝DF， ∴△DEG≌△FDH（AAS）， ∴EG＝DH，设DG＝FH＝a， 则CH＝BC﹣BG﹣DG﹣DH＝4﹣a，CG＝BC﹣BG， ∵FH∥EG， ∴△CFH∽△CEG， ∴，即， 解得a， ∴BD＝BG+DG； 当点F、P重合时， 同理可得EG＝DH，设DG＝FH＝a， 则CH＝BC﹣BG﹣DG﹣DH＝4﹣a， ∵∠C＝45°， ∴FH＝CH，即a＝4﹣a， 解得a＝2， ∴BD＝BG+DG2； 综上，BD； （3）当∠DFC＝90°时，此时DF⊥BC，点E在BD上，明显不合题意； 当∠DFC＝90°时，如图， 此时DE∥CF， ∴∠EDB＝∠FCD， 同（2）可知EG＝DH，设DG＝FH＝a， ∴CH＝4﹣a， ∵tan∠EDB＝tan∠FCD， ∴，即， 整理得3a2+4a﹣16＝0， 解得a， ∴CD＝BC﹣BG﹣DG， ∵∠DFP＝135°，∠C＝45°， ∴∠DFP+∠C＝180°， ∴点D、F、P、C四点共圆， ∴∠DPC＝∠DFC＝90°， ∵∠C＝45°， ∴DP＝CD•sin45°； 当∠DCF＝90°时，如图， 此时同理可得EG＝CD， ∴DG＝CF＝BC﹣CD﹣BG＝4， 在Rt△CDF中，DF， ∵∠DFE＝∠C＝45°， ∴点D、F、P、C四点共圆， ∴∠DPF+∠DCF＝180°， ∴∠DPF＝90°， ∴DP＝DF•sin45°； 综上，DP的长为或． 【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角比等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 试卷第1页，总1页 试卷第1页，总1页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年上海市沪教版（五四制九年级上册 期中数学新考纲押题卷(A卷)答题卡 试卷类型：A 条码粘贴处 姓名： 班级： (正面朝上贴在此虚线框内) 缺考标记 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚 考生禁止填涂 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 能由监考老师 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 负责用黑色字 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 迹的签字笔填 6、填涂样例正确■]错误【-][√][ 准考证号 一. 选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）（请用2B铅笔 填涂) 1.[A][B][C][D] 3.[A]B][C][D] 5.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 4.[A]B][C][D] 6.[A][B]IC][D] 二. 填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）（请在各试题 的答题区内作答) 试卷第1页，总5页 7. 8 9 10. y 13. 14. 15. g 18 三.解答题（共7小题，满分82分）（请在各试题的答题区内作 答) 19.答： 20.答： 试卷第2页，总5页 -1--J-- A 小 B -----}- 1-- 21.答： y 0 80 图1 图2 22.答： E ⊙ D 试卷第3页，总5页 23.答： 24.答： E E B (备用图) (备用图) 试卷第4页，总5页 试卷第5页，总5页 绝密★启用前 2026-2027学年上海市 沪教版(五四制)九年级上册 期中数学 新考纲押题卷（A卷） 考试范围：二次函数&相似三角形；考试时间：100分钟；满分：150分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）下列函数中，属于二次函数的是（　　） A．y＝2x﹣3 B．y＝（x+1）2﹣x2 C．y＝7x﹣2x2 D． 2．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列各式中成立的是（　　） A．a＞0 B．c＜0 C．b＜0 D．a+b+c＝0 3．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为（﹣6，2），（﹣2，8），以点O为位似中心，在原点的另一侧按1：2的相似比将△OAB缩小，则点B的对应点B′的坐标是（　　） A．（1，﹣4） B．（﹣1，4） C．（2，﹣4） D．（﹣2，4） 4．（4分）观察下列表格，则一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个近似解a所在的范围是（　　） x 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 x2﹣x ﹣0.24 ﹣0.09 0.24 0.75 1.44 2.3 A．0.9＜a＜1.2 B．1.2＜a＜1.5 C．1.5＜a＜1.8 D．1.8＜a＜2.1 5．（4分）已知点A（﹣2，m）、B（2，m）、C（4，m+1）在同一个函数的图象上，这个函数图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．（4分）如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC的延长线上，DF⊥DE，DE与对角线AC交于点I，EF与对角线AC交于点G，与边DC交于点H．则下列结论不一定成立的是（　　） A．△DFH∽△GAE B．△ADE∽△DCA C．△DAI∽△GEI D．△DFH∽△GCH 第Ⅱ卷（非选择题） 请点击修改第Ⅱ卷的文字说明 评卷人 得 分 二．填空题（共11小题，满分44分，每小题4分） 7．（4分）当m________ 时，函数y＝（m2﹣1）x2+（m+1）x+3是二次函数． 8．（4分）函数是函数的图象向_____ 平移_____ 个单位长度而得到的． 9．（4分）如果，那么的值为__________________ ． 10．（4分）如果两个相似三角形对应角平分线之比为1：4，其中较小的三角形面积为2，那么另一个三角形的面积为 _______ ． 11．（4分）已知A（﹣1，y1）、B（4，y2）是抛物线y＝x2﹣2x+c上的两点，那么y1_____ y2（填“＞”、“＝”或“＜”）． 12．（4分）如图，对于下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠C＝∠5；④∠A+∠ADC＝180°．其中一定能得到AD∥BC的条件是（填序号）_______ ． 13．（4分）如图，在▱ABCD中，F在BC的延长线上，，那么___________________ ． 14．（4分）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，4），B（1，1）．则不等式ax2≤bx+c的解集是___________ ． 15．（4分）如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A、B的对应点分别是C、D），若物体AB的高为5cm，小孔O到地面距离OE为2cm，对实像CD的高度为___________________ cm． 16．（4分）如图，小明推铅球，已知铅球运行时离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为，如果小明铅球出手的高度为1.5米，成绩为6米，那么可以推断铅球在运行中的高度最高大约为_____ 米． 17．（4分）我们将宽和长之比为（约为0.618）的矩形称为“黄金矩形”，它可以通过折纸获得．如图1所示，将长方形纸片第一次沿MC折叠，使点N和点B重合，展开后再将纸片沿AG对折叠，使点M和点B重合；如图2所示，展开后联结AB，再将纸片第三次沿AF折叠，使得AB落在长方形纸片的边上且点B落在点D处，再次展开，过点D作MB的垂线，垂足为点E．请在阅读理解的基础上写出图中的“黄金矩形”：__________________ ． 评卷人 得 分 三．解答题（共7小题，满分82分） 18．（10分）已知，求k的值． 19．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … ﹣4 ﹣2 ﹣1 0 2 3 … y … m ﹣3 ﹣4 ﹣3 5 12 … （1）m的值为_____ ； （2）求二次函数解析式． 20．（12分）在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（﹣2，﹣1），B（﹣1，﹣3），△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为 ____________ ． （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1； （3）△OAB的内部一点M的坐标为（a，b），直接写出点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标为 ____________ ． 21．（12分）如图，熏笼是放在炭盆上的竹罩笼，是古代一种烘烤和取暖的用具．将熏笼开口朝下放在水平桌面上，其截面为抛物线形，如图2，测得熏笼的跨度为80厘米，高度为32厘米，小明以熏笼的左边缘为原点，水平线为x轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）现有一批长8厘米，高6厘米的熏炉套盒要放进熏笼内一起运输，当把熏炉套盒完全放在正中间进行叠放时，这一列最多能叠放几个套盒？ 22．（12分）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且BD＝BE，∠CAD＝∠ABE． （1）求证：△ABD∽△CBA； （2）若AD是△ABC的中线，求的值． 23．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c，其对称轴交x轴于点A，将点A向右平移1个单位得到点B，点C与点B的横坐标相同，且点C的纵坐标为2a，则C点是抛物线的“派生点”，直线AC称为该抛物线的“派生直线”． （1）若抛物线的解析式为y＝2x2﹣c（c为常数），求其派生直线的表达式； （2）已知抛物线的派生点为点C，抛物线与其派生直线y＝2x﹣6的公共点为P（1，m），点Q（7，n）为其派生直线上一点，求的值，并判断点Q是否在该抛物线上． 24．（14分）如图，在△ABC中，，BC＝6，∠C＝45°，点E在边AB上且AE＝2BE，点D是边BC上的动点，以D为直角顶点，DE为腰在其右侧作等腰直角三角形DEF，射线EF与边AC交于点P． （1）当EF∥BC，时，求△DEF的面积； （2）当点F落在△ABC内部（不含边界）时，求BD的取值范围； （3）联结CF，如果△DFC是直角三角形，请直接写出DP的长． 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上海市 沪教版(五四制)九年级上册 期中数学 新考纲押题卷（A卷）答题卡 条 码 粘 贴 处 （正面朝上贴在此虚线框内） 试卷类型：A 姓名：______________班级：______________ 准考证号 缺考标记 考生禁止填涂缺考标记！只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 6、填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×] 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）（请用2B铅笔填涂） 1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）（请在各试题的答题区内作答） 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 三．解答题（共7小题，满分82分）（请在各试题的答题区内作答） 19.答： 20.答： 21.答： 22.答： 23.答： 24.答： 25.答： 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $