第3章图形的相似易错练习-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第3章图形的相似易错练习-2026-2027学年数学九年级上册北师大版 一．选择题（共10小题） 1．（2026•固镇县一模）若，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2025秋•莲池区期末）如图所示是嘉琪的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在竖格线上．若线段AB＝3.6cm，则线段BC的长为（　　） A．6.4cm B．8cm C．9.6cm D．10.8cm 3．（2025秋•济南期末）如图，若△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB的面积为S1，△OCD的面积为S2，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025秋•龙湖区期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD＝3，DB＝2，则的值是（　　） A． B． C． D． 5．（2025秋•灞桥区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BD，且AE，BD相交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：DC＝（　　） A．3：2 B．2：3 C．3：5 D．2：5 6．（2026•东莞市校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上的一点，且BC＝3ED，EC交对角线BD于点F，S△DEF＝5，则S△BCD为（　　） A．60 B．45 C．18 D．15 7．（2025秋•青龙县期末）如图是一个三层楠竹阶梯花架，它的侧面可以抽象为图2，已知最上层与中间层的垂直距离为BD＝30cm，中间层与最下层的垂直距离为DF＝45cm，BC∥DE∥FG，CE＝50cm，则线段CG的长为（　　） A．75cm B．105cm C．120cm D．125cm 8．（2026•鹿城区校级开学）如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，AB＝2，且AP＞BP，则AP的长为（　　） A． B． C． D． 9．（2026•阜阳校级一模）鹦鹉螺的贝壳呈现出等角螺线，其相邻半径之比是一个常数，展现了自然界精妙的数学规律．如图，已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB的长为8，则AP的长为（　　） A． B． C． D． 10．（2026•北碚区校级一模）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若DO：AD＝2：3，则△ABC与△DEF的面积之比是（　　） A．9：1 B．25：4 C．9：4 D．25：9 二．填空题（共6小题） 11．（2025秋•合肥期末）若，则的值为__________________ ． 12．（2026春•高新区校级期末）已知线段a＝4cm，b＝9cm，则线段a，b的比例中项为_____ cm． 13．（2026秋•南关区校级月考）如图，直线l1∥l2∥l3分别交直线l4，l5于点A，B，C，D，E，F，已知AB＝2，BC＝4，DE＝3，则EF的长是_____ ． 14．（2026•长兴县校级模拟）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为 _____ ． 15．（2026•武威二模）如图，在△ABC和△DEF中，，∠B＝∠E，若AC＝6，则DF的长为___________________ ． 16．（2025秋•深圳校级月考）如图，在△ABC中，D是BC上一点，连接AD，点E在AD上，且DE＝DC，F为AC中点，且∠BEC＝∠AEF，若BC＝2AE，BE＝6，则EF＝____________________ ． 三．解答题（共6小题） 17．（2026•雷州市校级模拟）如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠B＝∠ACD＝90°，AC平分∠BAD． （1）证明：△ABC∽△ACD； （2）若AB＝4，AC＝5，求BC和CD的长． 18．（2025秋•白塔区校级期末）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的DEF）．小南利用“矩”可测量大树AB的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为EF＝0.2m，DE＝0.3m，小南的眼睛到地面的距离DM为1.6m，测得AM＝21m，求树高AB． 19．（2025秋•合肥校级期末）如图，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，1），B（﹣1，1），C（0，3）． （1）在第四象限内画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A′B′C′，且△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2； （2）在（1）的条件下，的值为__________________ ． 20．（2026秋•香坊区校级月考）已知，△ABC中，点D在BC上，连接AD，∠BAD＝∠C． （1）如图1，求证：AB2＝BD•BC； （2）如图2，若∠B＝90°，BD＝2，CD＝6，E为线段AC上一点（不与A、C重合），连接DE，若DE的长为正整数，请直接写出DE的长． 21．（2025秋•闵行区期末）如图，线段AD、BC相交于点E，点F是线段ED的中点，联结AB、BD、CD，分别延长BA、FC交于点G．已知∠BAD＝90°，且． （1）求证：∠ABE＝∠FCD； （2）如果DA平分∠BDC，求证：． 22．（2026•九龙县模拟）【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】 （2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝3，BE＝2，求AD的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF∠BAD．AE＝1，DF＝3，请直接写出菱形ABCD的边长． 第3章图形的相似易错练习-2026-2027学年数学九年级上册北师大版 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2026•固镇县一模）若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵， ∴， 故选：D． 2．（2025秋•莲池区期末）如图所示是嘉琪的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在竖格线上．若线段AB＝3.6cm，则线段BC的长为（　　） A．6.4cm B．8cm C．9.6cm D．10.8cm 【解答】解：如图，如图：过点A作AH⊥CH于点H，交BD于点D， ∵练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等， ∴AB：BC＝AD：DH， ∴3.6：BC＝2：6， ∴BC＝10.8（cm）． 故选：D． 3．（2025秋•济南期末）如图，若△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB的面积为S1，△OCD的面积为S2，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由相似三角形性质可得： ． ，的值无法确定． 故选：C． 4．（2025秋•龙湖区期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD＝3，DB＝2，则的值是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题知， 因为DE∥BC， 所以 又因为AD＝3，DB＝2， 所以． 故选：C． 5．（2025秋•灞桥区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BD，且AE，BD相交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：DC＝（　　） A．3：2 B．2：3 C．3：5 D．2：5 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC＝AB，DC∥AB， ∴△BFA∽△DFE， ∴， ∴， ∵AB＝CD， ∴DE：DC＝2：5， 故选：D． 6．（2026•东莞市校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上的一点，且BC＝3ED，EC交对角线BD于点F，S△DEF＝5，则S△BCD为（　　） A．60 B．45 C．18 D．15 【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠EDF＝∠CBF，∠DEF＝∠BCF ∴△EDF∽△CBF ∵BC＝3ED ∴， ∴S△BCF：S△CDF＝3， ∵S△DEF＝5 ∴S△BCF＝9S△DEF＝9×5＝45， ∴， 故选：A． 7．（2025秋•青龙县期末）如图是一个三层楠竹阶梯花架，它的侧面可以抽象为图2，已知最上层与中间层的垂直距离为BD＝30cm，中间层与最下层的垂直距离为DF＝45cm，BC∥DE∥FG，CE＝50cm，则线段CG的长为（　　） A．75cm B．105cm C．120cm D．125cm 【解答】解：∵BC∥DE∥FG， ∴， ∵BD＝30cm，DF＝45cm，CE＝50cm， ∴， ∴CG＝125cm． 故选：D． 8．（2026•鹿城区校级开学）如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，AB＝2，且AP＞BP，则AP的长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AB＝2，且AP＞BP， ∴APAB21， 故选：A． 9．（2026•阜阳校级一模）鹦鹉螺的贝壳呈现出等角螺线，其相邻半径之比是一个常数，展现了自然界精妙的数学规律．如图，已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB的长为8，则AP的长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题知， 因为已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP）， 所以． 因为AB的长为8， 所以AP． 故选：D． 10．（2026•北碚区校级一模）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若DO：AD＝2：3，则△ABC与△DEF的面积之比是（　　） A．9：1 B．25：4 C．9：4 D．25：9 【解答】解：∵DO：AD＝2：3， ∴DO：AO＝2：5， ∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形， ∴△ABC∽△DE，DE∥AB， ∴△DOE∽△AOB， ∴， ∴△ABC与△DEF的面积之比为25：4， 故选：B． 二．填空题（共6小题） 11．（2025秋•合肥期末）若，则的值为　　 ． 【解答】解：由条件可得， ∴． 故答案为：． 12．（2026春•高新区校级期末）已知线段a＝4cm，b＝9cm，则线段a，b的比例中项为　6　 cm． 【解答】解：设它们的比例中项是x，则x2＝4×9，x＝±6，（线段是正数，负值舍去）， 故答案为：6． 13．（2026秋•南关区校级月考）如图，直线l1∥l2∥l3分别交直线l4，l5于点A，B，C，D，E，F，已知AB＝2，BC＝4，DE＝3，则EF的长是　6　 ． 【解答】解：根据平行线分线段成比例定理可知：， ∵AB＝2，BC＝4，DE＝3， ∴， ∴EF＝6． 故答案为：6． 14．（2026•长兴县校级模拟）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为 　4　 ． 【解答】解：∵AD＝2，BD＝6， ∴AB＝AD+DB＝8， ∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB， ∴△ADC∽△ACB， ∴， ∴AC2＝AB×AD＝16 ∴AC＝4， 故答案为：4． 15．（2026•武威二模）如图，在△ABC和△DEF中，，∠B＝∠E，若AC＝6，则DF的长为　　 ． 【解答】解：在△ABC和△DEF中，，∠B＝∠E， ∴△ABC∽△DEF， ∴， ∴， ∴DF， 故答案为：． 16．（2025秋•深圳校级月考）如图，在△ABC中，D是BC上一点，连接AD，点E在AD上，且DE＝DC，F为AC中点，且∠BEC＝∠AEF，若BC＝2AE，BE＝6，则EF＝　　 ． 【解答】解：如图，过点C作AD的平行线，交EF的延长线于点G， ∵AD∥CG， ∴∠DEC＝∠GCE，∠AEF＝∠G＝∠BEC． ∵DE＝DC， ∴∠DCE＝∠DEC＝∠ECG， ∴△BEC∽△EGC． ∵F为AC中点， ∴AF＝CF， 在△AEF和△CGF中， ， ∴△AEF≌△CGF（AAS）， ∴CG＝AE． 设AE＝x，则CG＝AE＝x，BC＝2x， ∵△BEC∽△EGC， ∴， ∴EC2＝2x2， ∴． ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共6小题） 17．（2026•雷州市校级模拟）如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠B＝∠ACD＝90°，AC平分∠BAD． （1）证明：△ABC∽△ACD； （2）若AB＝4，AC＝5，求BC和CD的长． 【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠CAD， 又∵∠B＝∠ACD＝90°， ∴△ABC∽△ACD； （2）解：∵∠B＝90°，AB＝4，AC＝5， ∴BC3， 由（1）得：△ABC∽△ACD， ∴， 即， 解得：CD． 18．（2025秋•白塔区校级期末）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的DEF）．小南利用“矩”可测量大树AB的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为EF＝0.2m，DE＝0.3m，小南的眼睛到地面的距离DM为1.6m，测得AM＝21m，求树高AB． 【解答】解：根据题意可得：∠DEF＝∠BCD＝90°，∠EDF＝∠CDB， ∴△DEF∽△DCB， ∴， ∵EF＝0.2m，DE＝0.3m，AM＝CD＝21m， ∴， ∴BC＝14m， ∴AB＝AC+BC＝1.6+14＝15.6（m）， 答：树高AB为15.6m． 19．（2025秋•合肥校级期末）如图，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，1），B（﹣1，1），C（0，3）． （1）在第四象限内画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A′B′C′，且△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2； （2）在（1）的条件下，的值为　　 ． 【解答】解：（1）△ABC以点O为位似中心的位似图形△A′B′C′，如图即为所求； （2）由（1）得△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2， ∴的值为， 故答案为：． 20．（2026秋•香坊区校级月考）已知，△ABC中，点D在BC上，连接AD，∠BAD＝∠C． （1）如图1，求证：AB2＝BD•BC； （2）如图2，若∠B＝90°，BD＝2，CD＝6，E为线段AC上一点（不与A、C重合），连接DE，若DE的长为正整数，请直接写出DE的长． 【解答】（1）证明：∵∠B＝∠B，∠BAD＝∠C， ∴△BAD∽△BCA， ∴AB：BC＝BD：AB， ∴AB2＝BD•BC （2）∵AB2＝BD•BC， ∴AB4， ∴AC4， 当DE⊥AC时， ∵∠DCE＝∠ACB， ∴Rt△CDE∽Rt△CAB， ∴DE：AB＝CD：CA， 即DE：4＝6：4， 解得DE， ∵E为线段AC上一点（不与A、C重合）， ∴DE＜6， ∴而DE的长为正整数， ∴DE的长可为3，4，5． 21．（2025秋•闵行区期末）如图，线段AD、BC相交于点E，点F是线段ED的中点，联结AB、BD、CD，分别延长BA、FC交于点G．已知∠BAD＝90°，且． （1）求证：∠ABE＝∠FCD； （2）如果DA平分∠BDC，求证：． 【解答】解：（1）证明：∵，∠AEB＝∠CED， ∴△AEB∽△CEB， ∴∠BCD＝∠BAD＝90°，∠ABE＝∠FDC， ∵点F是ED的中点， ∴CFDE，DFDE， ∴CF＝DF， ∴∠FCD＝∠FDC， ∴∠ABE＝∠FCD； （2）∵DA平分∠BDC， ∴∠ADB＝∠ADC， ∵∠ABE＝∠ADC， ∴∠ABE＝∠ADB， ∵∠BCD＝90°，点F是ED的中点， ∴CFDE，FEDE， ∴CF＝EF，DE＝2CF， ∴∠CEF＝∠ECF， ∵∠BCG＝∠CEF+∠EFC， ∠BED＝∠ECF+∠EFC， ∴∠BCG＝∠BED， ∴△BCG∽△DEB， ∴， ∴． 22．（2026•九龙县模拟）【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】 （2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝3，BE＝2，求AD的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF∠BAD．AE＝1，DF＝3，请直接写出菱形ABCD的边长． 【解答】（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ADC∽△ACB， ∴， ∴AC2＝AD•AB； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠A＝∠C， 又∵∠BFE＝∠A， ∴∠BFE＝∠C， 又∵∠FBE＝∠CBF， ∴△BFE∽△BCF， ∴， ∴BF2＝BE•BC， ∴BC， ∴AD； （3）解：如图3，分别延长EF，DC相交于点G， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥DC， ∵AC∥EF， ∴四边形AEGC为平行四边形， ∴AC＝EG，CG＝AE＝1，∠EAC＝∠G， ∵∠EDF∠BAD， ∴∠EDF＝∠BAC， ∴∠EDF＝∠G， 又∵∠DEF＝∠GED， ∴△EDF∽△EGD， ∴， ∴DE2＝EF•EG， 又∵EG＝AC＝2EF， ∴DE2＝2EF2， ∴DE， 又∵ ∴DGDF＝3， ∴DC＝DG﹣CG＝3． ∴菱形ABCD的边长为3． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $