精品解析：辽宁鞍山市海城市第二中学2026-2027学年上学期八年数学限时作业

八年级数学学科作业限时验收 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 一木工师傅有两根长分别为，的木条，他要找第三根木条，将它们钉成一个三角形框架，以下4根木条，他选择的木条长度合适的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图， ，且，，则等于（　　） A. B. C. D. 3. 如图，小敏做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点、画一条射线，就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在和中，点A、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，平分交于点D，在上截取，则周长为（　　） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 6. 如图，，将纸片的一角折叠，使点落在外，若，则的度数为（ ）度． A. 95 B. 100 C. 105 D. 120 7. 如图，AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝7，BD＝2，则DE的长是（　　） A. 7 B. 5 C. 3 D. 2 8. 如图，在中，，M，N，K分别是上的点，且，.若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，则上中线的取值范围为（ ） A. B. C. D. 无法确定 10. 如图，在中，P，Q分别是，上的点，作，，垂足分别为M，N，若，，则下列结论： ①平分；②；③；④，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，在中，点D、E分别在、边上，，连接、，，若，则________． 12. 已知非直角三角形中，，高与所在直线交于点，则的度数是______． 13. 如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点．若，，则的长为___． 14. 如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数为_____． 15. 如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，作于点E，若，，的面积为13，则的长为 __________ 三、解答题 16. 如图，已知，分别是的高和中线，，，，．试求： （1）的长； （2）和的周长差． 17. 如图，经测量，在的南偏西方向，在的南偏东方向，为正北方向．若，求的度数． 18. 如图，在中，点在边的延长线上，过点作射线，点是射线上一个定点． （1）用尺规完成以下基本作图：在射线上方作，与的延长线交于点．（保留作图痕迹，不写过程和结论） （2）在（1）问条件下，若，求证： 19. 如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF. (1)求证：AD平分∠BAC. (2)已知AC＝14，BE＝2，求AB的长. 20. 综合与实践 图1是某社区生态景观区的平面示意图．景观区建有一个四叶草形的生态水池及一座雕塑，水池内建有观景台，在观景台上安装了一盏广角灯（点D），，是两条通往观景台的步行道．嘉嘉从该社区了解到，为了凸显景观的层次感和立体感，达到理想的光影效果，要求．于是他利用身边仅有的一个卷尺根据现场条件进行测量，所得数据如表所示： 所测量的数据 长度/m 嘉嘉将示意图抽象成如图2所示的几何图形，连接． （1）判断该广角灯的位置是否符合要求，并说明理由． （2）若，，，求该广角灯的照射角（）的度数． 21. 如图，已知线段米，于点，米，于，点从点向运动，每秒走米，点从点向运动，每秒走米，、同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，求的值． 22. 如果两个角的差等于，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”．例如，，，则和互为“伙伴角”，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”． （1）已知和互为“伙伴角”，，且和互补，求的度数； （2）在中，，是角平分线． ①如图，过点作的垂线，垂足为，、相交于点．若与互为“伙伴角”，求的度数． ②如图，过点作的平行线，射线平分，且与射线交于点．若与互为“伙伴角”，求的度数． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． （1）求点，坐标； （2）如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点的坐标； （3）如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学学科作业限时验收 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 一木工师傅有两根长分别为，的木条，他要找第三根木条，将它们钉成一个三角形框架，以下4根木条，他选择的木条长度合适的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形三边关系求出第三边的取值范围，再结合选项得到正确答案． 【详解】解：设第三根木条的长度为， 在三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴， ∴， 观察选项可知，只有选项B在该范围内． 2. 如图， ，且，，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可求，再由，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 3. 如图，小敏做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点、画一条射线，就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过已知条件找出与的三组对应边相等，利用SSS证明两个三角形全等，得到对应角相等，从而说明射线是角平分线，判断原理． 【详解】解： ， ， 平分． 因此此角平分仪的画图原理是． 4. 如图，在和中，点A、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、和的对边分别是和，符合，不能判定，故A符合题意； B、由推出，而，，由判定，故B不符合题意； C、，而，，由判定，故C不符合题意； D、，而，，由判定，故D不符合题意． 5. 如图，在中，，平分交于点D，在上截取，则周长为（　　） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明．利用已知条件证明，得到，从而，即可求得的周长． 【详解】解：是的平分线， 在和中， ， ， ， ， 的周长． 故选：B． 6. 如图，，将纸片的一角折叠，使点落在外，若，则的度数为（ ）度． A. 95 B. 100 C. 105 D. 120 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理得到，由折叠的性质可得，，则，据此求出，进而求出，最后根据平角的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7. 如图，AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝7，BD＝2，则DE的长是（　　） A. 7 B. 5 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】首先由AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，判断出Rt△AEC≌Rt△CDB，又由AE＝7，BD＝2，得出CE=BD=2，AE=CD=7，进而得出DE=CD-CE=7-2=5. 【详解】解：∵AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D， ∴Rt△AEC≌Rt△CDB 又∵AE＝7，BD＝2， ∴CE=BD=2，AE=CD=7， DE=CD-CE=7-2=5. 【点睛】此题主要考查直角三角形的全等判定，熟练运用即可得解. 8. 如图，在中，，M，N，K分别是上的点，且，.若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用，三角形的外角的性质，证明，得到，根据三角形的外角的性质求出，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图，在中，，，则上中线的取值范围为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一． 延长至E，使，连接．根据证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：延长至E，使，连接 ∵是上中线， ∴， ∵， ∴， ∴． 在中，， ∵，， ∴ 即， ∴ ∴． 故选C． 10. 如图，在中，P，Q分别是，上的点，作，，垂足分别为M，N，若，，则下列结论： ①平分；②；③；④，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据，，可以判定平分，，继而判定，，结合，得到，判定，却无法判定． 【详解】因为，，，， 所以平分，， 所以，， 因为， 所以， 所以， 却无法判定， 故①②③正确，④错误． 故选C． 【点睛】本题考查了角的平分线的判定定理，直角三角形的全等判定和性质，平行线的判定，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，在中，点D、E分别在、边上，，连接、，，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用证明得到，再根据邻补角互补求出的度数即可得到答案． 【详解】解；∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 12. 已知非直角三角形中，，高与所在直线交于点，则的度数是______． 【答案】或 【解析】 【分析】分为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论，结合高的定义得到直角，再利用内角和定理计算的度数． 【详解】解：由题意得，、是的高，因此； ①当为锐角三角形时，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴； ②当为钝角三角形时，如图所示： ∵是高，在中，，， ∴， ∴， ∵是高，， ∴在中，； 综上，的度数是或． 13. 如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点．若，，则的长为___． 【答案】8 【解析】 【分析】证明，得到，，然后利用垂直平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 14. 如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数为_____． 【答案】20°． 【解析】 【分析】延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，在△ABF和△PCF中根据三角形的内角和定理可得∠P+∠PCF=∠A+∠ABF，再根据三角形的外角性质得到∠P+∠PBE=∠PCD－∠D，再根据PB、PC是角平分线即可推出2∠P=∠A－∠D，问题即得解决． 【详解】解：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，如图， ∵∠A+∠ABF+∠AFB=∠P+∠PCF+∠PFC=180°，∠AFB=∠PFC， ∴∠P+∠PCF=∠A+∠ABF， ∵∠P+∠PBE=∠PED，∠PED=∠PCD－∠D， ∴∠P+∠PBE=∠PCD－∠D， ∴2∠P+∠PCF+∠PBE=∠A－∠D+∠ABF+∠PCD， ∵PB、PC是角平分线， ∴∠PCF=∠PCD，∠ABF=∠PBE， ∴2∠P=∠A－∠D， ∵∠A=50°，∠D=10°， ∴∠P=20°． 故答案为：20°． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质和角平分线的定义等知识，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键． 15. 如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，作于点E，若，，的面积为13，则的长为 __________ 【答案】 5 【解析】 【分析】根据尺规作图痕迹可知平分，过点作于点，利用角平分线的性质可得，再根据列方程求解； 【详解】解：过点作于点， 由作图痕迹可知，平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 三、解答题 16. 如图，已知，分别是的高和中线，，，，．试求： （1）的长； （2）和的周长差． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据三角形面积公式可得，依此可求的长； （2）利用等量代换得到的周长的周长． 【小问1详解】 解： ，是边上的高， ， ， 即的长度为； 【小问2详解】 解：为边上的中线， ， 的周长的周长， 即和的周长的差是． 【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高．以及三角形的中线的性质．熟练掌握求三角形面积的公式和周长的等量代换是解题的关键. 17. 如图，经测量，在的南偏西方向，在的南偏东方向，为正北方向．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，，，则，，结合，可得，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由题意得，，， ，， ， ， ． 18. 如图，在中，点在边的延长线上，过点作射线，点是射线上一个定点． （1）用尺规完成以下基本作图：在射线上方作，与的延长线交于点．（保留作图痕迹，不写过程和结论） （2）在（1）问条件下，若，求证： 【答案】（1） 如图，即为所求作的角； （2） 证明：（已知） 在和中 【解析】 【分析】本题考查的是作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，掌握基本作图是解本题的关键； （1）作即可； （2）根据得出，进而证明，得出即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF. (1)求证：AD平分∠BAC. (2)已知AC＝14，BE＝2，求AB的长. 【答案】 (1)证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E＝∠DFC＝90°， ∴BD＝CD，BE＝CF， ∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)， ∴DE＝DF， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD平分∠BAC； (2)AB=10. 【解析】 【分析】(1)求出∠E＝∠DFC＝90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE＝DF，根据角平分线性质得出即可； (2)根据全等三角形的性质得出AE＝AF，由线段的和差关系求出答案. 【详解】(1)略 (2)∵DE＝DF，AD＝AD， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL) ∴AE＝AF， ∵AB＝AE﹣BE＝AF﹣BE＝AC﹣CF﹣BE， ∴AB＝14﹣2﹣2＝10. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等． 20. 综合与实践 图1是某社区生态景观区的平面示意图．景观区建有一个四叶草形的生态水池及一座雕塑，水池内建有观景台，在观景台上安装了一盏广角灯（点D），，是两条通往观景台的步行道．嘉嘉从该社区了解到，为了凸显景观的层次感和立体感，达到理想的光影效果，要求．于是他利用身边仅有的一个卷尺根据现场条件进行测量，所得数据如表所示： 所测量的数据 长度/m 嘉嘉将示意图抽象成如图2所示的几何图形，连接． （1）判断该广角灯的位置是否符合要求，并说明理由． （2）若，，，求该广角灯的照射角（）的度数． 【答案】（1） 该广角灯的位置符合要求，理由如下： ，， ． ，， ． 又， ， ， ∴该广角灯的位置符合要求． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用证明是解题的关键． （1）利用证明，再根据全等三角形的性质即可解答； （2）由全等三角形的性质可得、，易得，进而得到，再结合即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （2）由（1）可知，， ，． ， ， ∴，即． ， ， ∴该广角灯的照射角（）的度数为． 21. 如图，已知线段米，于点，米，于，点从点向运动，每秒走米，点从点向运动，每秒走米，、同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分类讨论：当时，，；当时，，；由全等三角形性质计算的值是否符合题意，即可求解． 【详解】解：由题意得，米，米， 米， 当时，，， ， 解得， 此时，不符合题意，舍去； 当时，，， ， 解得， 此时，符合题意； 综上所述，与全等，的值为． 22. 如果两个角的差等于，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”．例如，，，则和互为“伙伴角”，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”． （1）已知和互为“伙伴角”，，且和互补，求的度数； （2）在中，，是角平分线． ①如图，过点作的垂线，垂足为，、相交于点．若与互为“伙伴角”，求的度数． ②如图，过点作的平行线，射线平分，且与射线交于点．若与互为“伙伴角”，求的度数． 【答案】（1） （2）①或；②或 【解析】 【分析】（1）根据“伙伴角”定义列出两角差的等式，再结合互补的条件联立二元一次方程组，求解的度数； （2）①利用三角形内角和定理，结合角平分线表示相关角；再根据伙伴角定义分两种情况列方程求出，回代计算； ②设，利用平行线性质、角平分线表示与，由伙伴角定义得到的两种情况；结合三角形内角和定理分别列方程求解，得到度数． 【小问1详解】 解：和互为“伙伴角”，， ， 和互补， ， 联立得：， 解得：； 【小问2详解】 解：①， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， 与互为“伙伴角”， 或， 或， 或， 或； ②设， ，， ， 平分， ， ，， ， 平分， ， 与互为“伙伴角”， 或， 当时， ， ， 解得：； 当时， ， ， 解得：， 综上所述，或． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． （1）求点，坐标； （2）如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点的坐标； （3）如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 【答案】（1）， （2）或 （3） ①证明：如图2，延长、，相交于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②的大小不变，为定值 【解析】 【分析】（1）由绝对值和偶次方的非负性质得，，则，，进而得点，坐标； （2）分两种情况，①点C在第一象限时，②点C在第四象限时，过点C作轴于点G，过点A作于点F，证，得，，即可解决问题； （3）①延长、，相交于点F，证，得，再证，得，则，即可得出结论； ②过点C作于点M，于点N，证，得，则是的角平分线，即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 解：解：分两种情况： ①如图1，点C在第一象限时，过点C作轴于点G，过点A作于点F， ∴，，， ∴， ∵等腰直角， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为； ②如图1-1，点C在第四象限时，过点C作轴于点G，过点A作于点F， 同①得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或； 【小问3详解】 解：①略 ②解：的大小不变，为定值，理由如下： 如图3，过点C作于点M，于点N， 则， ∵， ∴， 由①可知，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∴， 即的大小不变，为定值． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、绝对值和偶次方的非负性质、角平分线的判定、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $