精品解析：河南省郑州学森实验学校2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

2026—2027学年高二上学期第一次月考 高二年级数学试题卷 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读试题卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角是（　　） A. B. C. D. 2. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线的倾斜角为 B. 当时， C. 若，则 D. 直线的纵截距为a 3. 直线：，：，若，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 或1 4. 已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（ ） A. B. C. 9 D. 4 8. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，分别为线段上的动点（不包括端点），且满足，则线段的长度的取值范围为（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9. 已知直线，则（ ） A. 过定点 B. 当时，与直线垂直 C. 当时，与直线平行 D. 当时，在两坐标轴上的截距相等 10. 已知空间向量 ，则下列结论正确的是（ ） A. 与 共面 B. C. 在上的投影向量为 D. 与夹角的余弦值为 11. 如图，在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，点为线段上的一点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 直线与所成角的余弦值为 C. 平面与平面夹角的余弦值为 D. 点到直线的距离的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知空间向量，，且，则________ 13. 一条光线从点射出，与轴相交于点 ，经轴反射，求反射光线所在的直线方程_____. 14. 已知边长为4的菱形中，，为边的中点，将沿对角线翻折，在翻折过程中，记直线与所成的角为.当平面平面时，___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．） 15. 在平行六面体中，，，，E为与的交点． （1）用向量，，表示； （2）求线段的长； （3）求异面直线与所成的角． 16. 已知向量. （1）求； （2）求与的夹角； （3）若与垂直，求实数t的值． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，点E，F分别为线段和的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求直线与直线间的距离. 18. 已知直线． （1）证明：直线过定点； （2）若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； （3）若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，． （1）证明：平面平面； （2）求三棱锥的体积； （3）在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年高二上学期第一次月考 高二年级数学试题卷 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读试题卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则 ，则. 故选：D． 2. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线的倾斜角为 B. 当时， C. 若，则 D. 直线的纵截距为a 【答案】D 【解析】 【分析】由直线的方程得斜率，从而求得倾斜角可判断A；根据直线垂直或平行的条件求得参数值可判断B和C；求出的纵截距后可判断D. 【详解】对于A，当时，直线，斜率， 则倾斜角为，故A错误； 对于B，等价于，解得，故B错误； 对于C，若，则，即， 解得，故C错误； 对于D，，当时， 所以直线 的纵截距为，故D正确. 故选：D. 3. 直线：，：，若，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 或1 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线垂直的公式求解即可. 【详解】因为：，：垂直， 所以， 解得或， 将，代入方程，均满足题意， 所以当或时，. 故选：. 4. 已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】讨论截距是否为0，设直线方程，结合点在直线上求参数，即可得. 【详解】当直线经过原点时，满足题意，设直线的方程为，代入得， 此时直线的方程； 当直线的截距都不为0时，设直线的方程为， 则有，解得，，此时直线的方程为. 综上，所求直线的方程为或. 故选：D. 5. 已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，求出的斜率，数形结合可求得直线的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围. 【详解】如图所示，直线的斜率，直线的斜率． 由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率， 因此直线的倾斜角的取值范围是． 故选：A. 6. 在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和直线的方向向量即可由点到直线向量法距离公式直接计算求解. 【详解】由题意，平面，， 因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系： 则，，，，， 直线​的方向向量， ， 点到直线的距离. 7. 已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（ ） A. B. C. 9 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】因为四点共面，则有， 由共面条件可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选A. 8. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，分别为线段上的动点（不包括端点），且满足，则线段的长度的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先建立空间直角坐标系，分别求出与，利用，求出，用坐标表示出，转化为关于的一元二次方程即可求解. 【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设，，其中，， 则，， ∵，∴，得 ∵，∴， 由空间中两点之间的距离公式， 得， 当时，，当趋近于时，趋近于， 结合二次函数的性质可得，线段的长度的取值范围为. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9. 已知直线，则（ ） A. 过定点 B. 当时，与直线垂直 C. 当时，与直线平行 D. 当时，在两坐标轴上的截距相等 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合题意直接求出定点判断A，利用两直线垂直的性质判断B，利用两直线平行的性质判断C，求出直线的截距判断D即可. 【详解】对于A，令，解得，则过定点，故A正确， 对于B，当时，得到，可得， 得到与直线垂直，故B正确， 对于C，当时，得到， 而，，则与直线平行，故C正确， 对于D，当时，得到，令，解得， 令，解得，可得在两坐标轴上的截距不相等，故D错误. 故选：ABC 10. 已知空间向量 ，则下列结论正确的是（ ） A. 与 共面 B. C. 在上的投影向量为 D. 与夹角的余弦值为 【答案】AD 【解析】 【分析】我们可以利用平面向量的基本定理判断选项A；然后利用向量的坐标运算计算其他选项即可. 【详解】假设与共面，则有解，即有解， 解得 ，故选项A正确； ，所以，故选项B错误； 在上的投影向量为，故选项C错误； ，故选项D正确； 故选：AD 11. 如图，在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，点为线段上的一点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 直线与所成角的余弦值为 C. 平面与平面夹角的余弦值为 D. 点到直线的距离的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据面面垂直、异面直线成角、面面角和点线距离的向量求法依次判断各个选项即可. 【详解】以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 则，，，，，，，，； 对于A，，，， ，，，， 又，平面，平面， 平面，平面平面，A正确； 对于B，，，， 即直线与所成角的余弦值为，B错误； 对于C，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 平面，平面的一个法向量为， ， 平面与平面所成角的余弦值为，C正确； 对于D，，设，则， ，又， ， 到直线的距离， 当时，， 即点到直线距离的最小值为，D错误. 故选：AC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知空间向量，，且，则________ 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示及模长公式计算即可. 【详解】由已知可得，所以，， 所以. 故答案为：. 13. 一条光线从点射出，与轴相交于点 ，经轴反射，求反射光线所在的直线方程_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据入射光线与反射光线所在直线的斜率关系，即可求反射光线所在直线的斜率，再代入点斜式直线方程，即可求解. 【详解】由条可知入射光线和反射光线所在直线的斜率互为相反数， 入射光线的斜率，所以反射光线所在直线的斜率为，且过点， 所以反射光线所在的直线方程为，即. 故答案为： 14. 已知边长为4的菱形中，，为边的中点，将沿对角线翻折，在翻折过程中，记直线与所成的角为.当平面平面时，___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，取的中点，可求得，，再根据菱形的性质和面面垂直的性质得出平面，进而，从而建立空间直角坐标系，求得，再利用空间向量的夹角公式求出异面直线与所成的角的余弦值，最后利用同角三角函数关系即可求出. 【详解】解：由题可知，边长为4的菱形中，，取的中点， 则为等边三角形，，， 则，又平面平面，平面， 平面，故， 则分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图， ， ， ， 而直线与所成的角，，故， ， . 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．） 15. 在平行六面体中，，，，E为与的交点． （1）用向量，，表示； （2）求线段的长； （3）求异面直线与所成的角． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合题意根据向量加法的三角形法则和平行四边形法则即可求解； （2）由（1）的结论，结合向量的数量积公式及模长定义进行运算即可. （3）利用向量的减法运算及数量积公式运算即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 即. 【小问2详解】 由（1）得 ， 所以线段的长为. 【小问3详解】 ， 所以异面直线与所成的角为. 16. 已知向量. （1）求； （2）求与的夹角； （3）若与垂直，求实数t的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 因为， 所以,  所以； 【小问2详解】 因为， 所以， 所以， ​，， 设与的夹角为， 则， 又，得； 【小问3详解】 因为， 所以，， 因为与垂直，所以， 故，解得. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，点E，F分别为线段和的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求直线与直线间的距离. 【答案】（1）证明：（方法一）连接，如图所示： 因为，且四边形为矩形， 所以， 又因为，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （方法二）因为，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示空间直角坐标系： 可得，，，， ，，，， 平面的一个法向量为， ，， ∵平面. ∴平面. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）（方法一）连接，由中位线的定义可得，由线面平行的判定定理即可得证；（方法二）以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，利用空间向量法证明即可； （2）利用空间向量法求解即可； （3）利用空间向量法，转化为求点E到直线的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）的方法二可知： ，，. 设平面的一个法向量为， 则， 取，可得，， 所以， 设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（1）的方法二可知： ，，， ，∴. 则直线与直线间的距离转化为点E到直线的距离， . 所以直线与直线间的距离为. 18. 已知直线． （1）证明：直线过定点； （2）若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； （3）若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】（1）因为直线， 即，由，得， 所以直线恒过定点． （2）或 （3）的最小值为16，此时直线的方程为 【解析】 【分析】（1）将的方程变形为，进而可得定点； （2）分、两种情况结合截距的定义及题设求解即可； （3）结合（2）可得，，进而根据基本不等式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由， 当时，，即，显然不满足题意； 当时，令，得；令，得， 由于直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则，解得或， 则直线的方程为或. 综上所述，直线的方程为或. 【小问3详解】 由（2）及题意知，， 且直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 由，解得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为16，此时直线的方程为，即. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，． （1）证明：平面平面； （2）求三棱锥的体积； （3）在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1）设中点，连接， ，，，所以， 因为，所以有，则， 因为，为中点，所以， 因为平面平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2） （3）在棱上存在点，为上靠近的三等分点. 【解析】 【分析】(1) 依托面面垂直性质得到高线，结合勾股逆定理证，证明垂直平面内两条相交直线，使用面面垂直判定定理完成证明； (2) 利用等体积转换，作为三棱锥的高，求出底面三角形面积后代入锥体体积公式直接计算； (3)建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，设，分别求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式列出方程，求得即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，平面，因为，所以， 则. 【小问3详解】 在棱上存在点，使得平面与平面的夹角为30°，为上靠近的三等分点.，证明如下： 由（1）得平面，因为平面，则， 过作的平行线，则以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图， 由题意得，则, 因，则，故， 则， 设，由题可知， ， 设平面法向量为， 则，令，则，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，， 因为平面与平面的夹角为30°， 所以， 化简得，即，又，则， 所以为上靠近的三等分点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $