专题06 高一上期中真题百练通关（压轴60题21类考点专练）（期中专项训练·冲刺版）高一数学上学期人教A版

专题06 高一上期中真题百练通关（压轴60题21类考点专练） 题型1 元素与集合的关系求参数问题 题型12函数的单调性及其应用（重点） 题型2 集合的包含关系求参数问题 题型13函数的奇偶性及其应用（重点） 题型3 集合运算结果求参数问题（重点） 题型14函数的周期性及其应用 题型4 集合新定义问题（难点） 题型15函数的对称性及其应用 题型5 由充分条件或必要条件求参数问题（常考点） 题型16函数性质的综合应用（难点） 题型6 不等式的性质综合应用 题型17抽象函数的性质 题型7 基本不等式求最值及其变形（难点） 题型18指对幂函数的性质及其应用 题型8 基本不等式的实际应用问题（重点） 题型19函数与方程 题型9 解含参的二次不等式 题型20函数模型及其应用 题型10 一元二次不等式中的恒（能）成立问题（重点） 题型21 函数新定义问题（难点） 题型11 函数的概念及其表示 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 元素与集合的关系求参数问题（共2小题） 1．（25-26高一上·陕西渭南·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C． D． 2．（25-26高一上·北京东城·期中）含有三个实数的集合，若且，求的值（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．2 题型二 集合的包含关系求参数问题（共2小题） 3．（25-26高一上·四川成都·期中）已知全集，集合，. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 4．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知全集，集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 题型三 集合运算结果求参数问题（共2小题） 5．（25-26高一上·四川遂宁·期中）已知集合. (1)求集合A； (2)若集合，求实数k的取值范围. 6．（25-26高一上·山东济宁·期中）设全集为，集合，． (1)分别求，； (2)已知，若，求实数的取值范围． 题型四 集合新定义问题（共3小题） 7．（25-26高一上·陕西西安·期中）若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则可能的取值为（     ） A．0 B． C． D．1 8．（25-26高一上·云南昭通·期末）集合为进入高中数学的第一章节，在高中数学数学知识中占据一定的地位.已知集合为非空数集，我们根据数学知识和定义，规定如下， (1)若集合，直接写出集合（请写出计算过程）； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 9．（25-26高一上·福建厦门·期中）有限集中元素均为正整数，设中的元素.当，都存在，使得，则称中的元素是“完全可拆”；当，则称中的元素是“完全不可拆”. (1)判断集合且中的元素是“完全可拆”或“完全不可拆”，并说明理由； (2)若，且中的元素“完全可拆”，求的最小值； (3)若为奇数，且中的元素“完全不可拆”，求的最大值（用表示）. 题型五 由充分条件或必要条件求参数问题（共3小题） 10．（25-26高一上·河南·期中）已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若是的充分条件，求实数的取值范围． 11．（25-26高一上·河北石家庄·期中）已知：，，：或. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题p是真命题，且q是p的必要不充分条件，求实数t的取值范围. 12．（25-26高一上·海南三亚·期中）已知集合. (1)若，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 题型六 不等式的性质综合应用（共3小题） 13．（25-26高一上·河南南阳·期中）对于实数，，，正确的命题是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 14．（25-26高一上·广东佛山·期中）根据生活经验，若杯中盛有克糖水，其中含有克糖.再向杯中添加克糖（假设完全溶解），则糖水变甜了. (1)请将上述生活经验用一个不等式表示出来，并加以证明； (2)设，，是一个三角形的三边长，若，求正整数的最小值. 15．（25-26高一上·山东青岛·期中）已知. (1)求，的取值范围； (2)若将条件变为“”，求的范围. 题型七 基本不等式求最值及其变形（共3小题） 16．（25-26高一上·贵州贵阳·期中）若是正实数且满足，则以下选项中正确的有（ ） A． B． C． D． 17．（25-26高一上·上海松江·期中）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础，两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一，通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题.例如此题：已知，为正实数，且，则的最小值为__________.其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题， (1)已知，，均为正实数，且，求的最小值； (2)已知，，且，求的最小值以及此时实数，的值； (3)某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少？”时，给出如下解法：令，则化为. 原式，当且仅当，即，即，时，等号成立. 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，，，则的最大值是多少？ 18．（25-26高一上·吉林松原·期中）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础.两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一.通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题.例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为_____. 其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题. (1)已知a，b，c为正实数，且，求证：； (2)已知，，且，则的最小值是多少? (3)某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少?”时，给出如下解法： 令，则化为. 原式 当且仅当，即，即，时，等号成立. 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，，且，则的最小值是多少? 题型八 基本不等式的实际应用问题（共3小题） 19．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知矩形的周长为8cm，设．    (1)矩形绕AB旋转形成一个圆柱，求圆柱侧面积的最大值； (2)若，把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点P． ①用x表示PC； ②求的最大面积及相应x的值． 20．（25-26高一上·云南昆明·期中）Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多人的精神寄托．现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产千件需另投入万元．其中与之间的关系为：．通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量的（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润． 21．（25-26高一上·湖北十堰·期中）居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设AD长为.    (1)现沿着休闲场所边界铺设灯带，总长度为64m，求花岗岩地坪面积z的最大值； (2)若十字形地域面积为，设总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式，当x为何值时S最小，并求出这个最小值. 题型九 解含参的二次不等式（共3小题） 22．（25-26高一上·四川成都·期中）讨论关于的不等式的解集 23．（25-26高一上·河北唐山·期中）解关于的不等式． 24．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）已知函数，. (1)若不等式的解集为，求的值； (2)求关于的不等式的解集. 题型十 一元二次不等式中的恒（能）成立问题（共3小题） 25．（25-26高一上·山西大同·期中）已知函数． (1)当时，解不等式； (2)解不等式； (3)若恒成立，求的值． 26．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)，不等式恒成立，求实数的取值范围． 27．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数 (1)若对任意恒成立，求实数的取值范围. (2)若存在，使得成立，求此时实数的取值范围. 题型十一 函数的概念及其表示（共3小题） 28．（25-26高一上·福建泉州·期中）下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域是 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 29．（25-26高一上·福建福州·期中）已知函数满足，则（ ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D． 30．（25-26高一上·广东深圳·期中）下列命题中，正确的有（   ） A．函数与函数表示同一函数 B．函数的值域为 C．若函数，则 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 题型十二 函数的单调性及其应用（共3小题） 31．（25-26高一上·天津河东·期中）函数，若对于，都有成立，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 32．（25-26高一上·江西南昌·期中）函数的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 33．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，且，. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义法证明； (3)若，求实数的取值范围. 题型十三 函数的奇偶性及其应用（共3小题） 34．（25-26高一上·河北石家庄·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 35．（25-26高一上·宁夏银川·期中）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 36．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明． (3)求解关于的不等式． 题型十四 函数的周期性及其应用（共3小题） 37．（25-26高一上·浙江绍兴·期中）已知奇函数对任意，都有，且，则（   ） A． B．2 C． D．4 38．（25-26高一下·江苏常州·期中）若函数的定义域为，且为奇函数，，则______． 39．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数的定义域为，且，，则______. 题型十五 函数的对称性及其应用（共3小题） 40．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数的定义域为，对，满足，且有为奇函数，，那么的解集是（   ） A． B． C． D． 41．（25-26高一上·广西贺州·期中）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心为_______. 42．（25-26高一上·云南曲靖·期中）设函数的最大值为，最小值为，则____． 题型十六 函数性质的综合应用（共3小题） 43．（25-26高一上·四川成都·期中）函数对，，且为奇函数，则下列说法不正确的是（   ） A． B．的图象关于中心对称 C． D．若时，则 44．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，，则（ ） A．1 B．0 C． D． 45．（25-26高一下·广东江门·期中）已知函数是定义域为的奇函数，满足，且当时，，则（   ） A．函数的周期为4 B．函数在上单调递增 C．关于x的方程有且仅有2个不同的实根 D．当时， 题型十七 抽象函数的性质（共3小题） 46．（25-26高一上·四川宜宾·期中）已知函数的定义域为，且，为偶函数，则（ ） A． B．为偶函数 C． D． 47．（25-26高一上·山东日照·期中）设，定义在R上的函数满足，且，，则（   ） A． B． C．为偶函数 D． 48．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知定义在上的函数，对任意实数，都满足，且当时，． (1)求的值，并判断函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在上的单调性； (3)定义：若对任意的，且，都有，则称函数为上凸函数，试证明：函数是上的上凸函数． 题型十八 指对幂函数的性质及其应用（共3小题） 49．（25-26高一上·广东汕头·期中）已知函数，，则下列结论正确的是（    ） A．函数的零点为 B．若有四个零点，则的取值范围为 C．不等式的解集为 D．若方程的所有实根之和为4，则实数的取值范围是. 50．（25-26高一上·广东揭阳·期中）关于函数，下列结论中正确的是（   ） A．当时，是上的增函数 B．当时，的值域为 C．若的定义域为，则 D．当时，是偶函数 51．（25-26高一下·浙江衢州·期中）已知函数，函数. (1)若，判断函数的奇偶性并证明； (2)是否存在实数，使得函数在区间上单调，且此时的取值范围是.若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由； (3)若关于的方程在区间上只有一解，求实数的取值范围. 题型十九 函数与方程（共3小题） 52．（25-26高一上·山东济南·期中）已知，若关于x的方程有两个不等实根，，则（   ） A．的取值范围是 B． C． D． 53．（25-26高一上·浙江宁波·期中）已知函数，若关于x的方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，，，，则（   ） A． B． C． D． 54．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数有两个零点 B．若函数有四个零点，则 C．若关于的方程有四个不等实根，则 D．若关于的方程有8个不等实根，则 题型二十 函数模型及其应用（共3小题） 55．（25-26高一上·湖南益阳·期中）某工厂生产一批总量为个的零件，有两种方案可供选择：①生产总时长为小时，一半时间以每小时个零件的速度生产，一半时间以每小时个零件的速度生产；②生产总时长为小时，一半数量的零件以每小时个零件的速度生产，一半数量的零件以每小时个零件的速度生产；则下列说法正确的是（    ） A． B． C．采用方案①效率更高 D．无论生产零件总数（总数大于）为多少，效率更高的方案都相同 56．（25-26高一上·广西南宁·期中）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：周）的关系为（a为常数），则下列说法中正确的是（    ） A．时，浮萍面积不会超过 B．浮萍每周的面积与上周面积之比为定值 C．浮萍每周增加的面积都相等 D．若浮萍面积为，，时所对应的时间分别是，，，则 57．（25-26高一上·安徽合肥·期中）当一束光通过一个吸光物质（通常为溶液）时，溶质吸收了光能，光的强度减弱；吸光度就是用来衡量光被吸收程度的一个物理量，其影响因素有溶剂、浓度、温度．分析物浓度越高，穿过材料的光子被吸收的机会就越大．吸光度的测量简便高效，因此被广泛应用于液体和气体的光谱测量技术，集成至工业测试系统，还可以用于科研分析．其中透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例．在实际生产和生活中，通常用吸光度和透光率来衡量物体材料的透光性能，著名的朗伯—比尔定律表明了两者之间的等量关系为，其中，是吸光度，为透光率，为入射光强度，为透射光强度，某化学有机高分子材料研究所测得了如下表不同有机高分子材料的透光率： 有机高分子材料 塑料 纤维 薄膜 0.6 0.7 0.8 设塑料、纤维、薄膜的吸光度分别为，则（    ） A． B． C． D． 题型二十一 函数新定义问题（共3小题） 58．（25-26高一上·江西南昌·期中）对于定义在区间上的函数，定义：，． (1)已知，，，，试写出、、的表达式； (2)若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知，函数是上的“阶收缩函数”，求的取值范围． 59．（25-26高一上·福建泉州·期中）对于函数，若存在，使得，则称为函数的”不动点”;若存在，使得，则称为函数的”稳定点”.记函数的”不动点”和”稳定点”的集合分别为A和B，即 (1)若函数，求A和B； (2)请探究集合A和B的关系，并证明你的结论； (3)若，且，求实数的取值范围. 60．（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质. (1)分别判断函数与是否具有性质，并说明理由； (2)已知为二次函数，且具有性质，判断的奇偶性； (3)已知为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围. $专题06 高一上期中真题百练通关（压轴60题21类考点专练） 题型1 元素与集合的关系求参数问题 题型12函数的单调性及其应用（重点） 题型2 集合的包含关系求参数问题 题型13函数的奇偶性及其应用（重点） 题型3 集合运算结果求参数问题（重点） 题型14函数的周期性及其应用 题型4 集合新定义问题（难点） 题型15函数的对称性及其应用 题型5 由充分条件或必要条件求参数问题（常考点） 题型16函数性质的综合应用（难点） 题型6 不等式的性质综合应用 题型17抽象函数的性质 题型7 基本不等式求最值及其变形（难点） 题型18指对幂函数的性质及其应用 题型8 基本不等式的实际应用问题（重点） 题型19函数与方程 题型9 解含参的二次不等式 题型20函数模型及其应用 题型10 一元二次不等式中的恒（能）成立问题（重点） 题型21 函数新定义问题（难点） 题型11 函数的概念及其表示 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 元素与集合的关系求参数问题（共2小题） 1．（25-26高一上·陕西渭南·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【详解】由题意，是集合的元素，则或， 得 或. 当时，且，集合中出现重复元素，故舍去； 当时，，，集合，符合题意. 综上，. 2．（25-26高一上·北京东城·期中）含有三个实数的集合，若且，求的值（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．2 【答案】A 【详解】对于，由题意得， 若，则，解得，此时， 而，可得或， 当时，不符合互异性，排除， 当，解得（舍去）或，此时，符合题意， 得到. 题型二 集合的包含关系求参数问题（共2小题） 3．（25-26高一上·四川成都·期中）已知全集，集合，. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）代入得到集合，故得到，由指数的运算解得集合，由集合的交并补运算得到； （2）根据分类讨论，列不等式解得的范围. 【详解】（1）当时，，故或. 集合. 所以或. （2）当时， ，满足； 当时，由， 则 或 . 解得或， 所以的取值范围是. 综上，的取值范围为. 4．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知全集，集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式求得集合，由此求得. （2）先求得集合，根据列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）∵时，， ， 全集，∴或, ∴． （2）∵，∴， ∵，， ∵，∴， 解得或， 故实数的取值范围. 题型三 集合运算结果求参数问题（共2小题） 5．（25-26高一上·四川遂宁·期中）已知集合. (1)求集合A； (2)若集合，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的值域即可求解； （2）解一元二次不等式，再根据补集交集运算求解即可. 【详解】（1），所以. （2），所以， ， 即，又因为， 所以，所以， 因为，所以. 6．（25-26高一上·山东济宁·期中）设全集为，集合，． (1)分别求，； (2)已知，若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，或或 (2)或 【分析】（1）解分式不等式与一元二次不等式得集合，根据集合的交并补运算即可求出，； （2）由可得，讨论，时，列不等式得实数的取值范围． 【详解】（1）不等式，解得，则， 不等式，解得，则， 所以， 则或，所以或或； （2）因为，所以， 当时，，则， 当时，若，则，解得， 综上，实数的取值范围为或． 题型四 集合新定义问题（共3小题） 7．（25-26高一上·陕西西安·期中）若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则可能的取值为（     ） A．0 B． C． D．1 【答案】AC 【详解】如果两个集合构成“鲸吞”，可得或， 又中元素满足，故，故不成立； 当时，可得，满足； 当时，由，可得， 若，则，可得，不满足， 若，则，可得，不满足； 如果两个集合构成“蚕食”， 则两个集合有公共元素，故或， 当，解得，经检验符合题意； 当，解得，经检验符合题意. 8．（25-26高一上·云南昭通·期末）集合为进入高中数学的第一章节，在高中数学数学知识中占据一定的地位.已知集合为非空数集，我们根据数学知识和定义，规定如下， (1)若集合，直接写出集合（请写出计算过程）； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 【答案】(1)， (2) 由于集合，且， 所以中也只包含四个元素，即， 于是，剩下的， 由于 所以， 注意到，于是； (3)1348 【分析】（1）根据集合的定义，即可求解； （2）首先写出集合，再根据，推理集合中元素的对应关系，即可证明； （3）根据，，以及，再由不等式的关系得到的取值范围，即可证明. 【详解】（1）根据题意，由,则，； （2）略 （3）设满足题意，其中， 则， ， ， ， ， 中最小的元素为，最大的元素为， ， ， ， 实际上当时满足题意， 证明如下： 设， 则， 依题意有，即， 故的最小值为，于是当时，中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合中元素的个数的最大值是． 9．（25-26高一上·福建厦门·期中）有限集中元素均为正整数，设中的元素.当，都存在，使得，则称中的元素是“完全可拆”；当，则称中的元素是“完全不可拆”. (1)判断集合且中的元素是“完全可拆”或“完全不可拆”，并说明理由； (2)若，且中的元素“完全可拆”，求的最小值； (3)若为奇数，且中的元素“完全不可拆”，求的最大值（用表示）. 【答案】(1)中的元素是“完全可拆”；中的元素是“完全不可拆” (2)9 (3) 【分析】（1）利用“完全可拆”定义将中除外的元素进行“分拆”可得；由“完全不可拆”定义证明集合中任意的两个不同元素之和都不是的元素即可得； （2）根据“完全可拆”定义得中元素，需满足条件，找到满足条件的含有个元素的集合，再证明时不满足条件； （3）先证明预备结论“对任意，若，则”，由此推得中元素最多个，再找到满足题意的含有个元素的集合即可. 【详解】（1）集合， 因为， 满足定义，所以中的元素是“完全可拆”； 集合且， 设任意，则，其中，且，， 则， 故中的元素是“完全不可拆”. （2）由题意，，则，， 又中的元素是“完全可拆”， 可知，都存在，使得， 则，（） 且，由中元素均为正整数，. 所以，，. ①当时，， 由， . 所以中的元素是“完全可拆”，此时，； ②下面证明，不符合题意. 若，即集合满足，且中的元素是“完全可拆”，. 由上已知，，. 故由，可知，故； 依此类推，可知. 因为， 若，则，故不可能. 若，则，则，所以； 若， 若，则，故不可能. 若，则，，所以， 同理，由，； 又因为为奇数，故也不成立，即不存在满足题意的. 故不存在这样的集合满足， 故. 同理依次可得，若，均不存在这样的集合，满足. 综上所述，的最小值为. （3）由题意，中的元素，则，. 中元素均为正整数，则，又为奇数，即. ①先证明：若集合中的元素“完全不可拆”，为奇数，则. 预备结论：集合中的元素“完全不可拆”，对任意， 若，则.下面用反证法证明该结论成立. 证明：假设， 因为为奇数，所以，即. 由中的元素是“完全不可拆”，则当， 因为，，且， 所以，这与矛盾. 故假设错误，所以若，则，得证. ①先证明：若集合中的元素“完全不可拆”，，则. 由上所证结论可知，将（为奇数，且）这个自然数分组： ， 前组数中每组至多1个是集合的元素， 又，故集合中至多个元素. 即若，则，得证. ②给出集合，即， 集合满足，且. 下面证明中的元素“完全不可拆”. 证明：，，且， 则， ，故中的元素“完全不可拆”. 综上所述，的最大值为. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于探究集合中元素之间的关联，如第（2）问中探究相邻元素间的关系，，；再如第（3）问中探究每组中两元素的“排斥”规律，即任意，若，则. 题型五 由充分条件或必要条件求参数问题（共3小题） 10．（25-26高一上·河南·期中）已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再利用列不等式组求出的取值范围； （2）先分析命题得出，再分和两种情况讨论得出的取值范围． 【详解】（1）或，， 又， ，解得． 实数a的取值范围是． （2）是的充分条件，， 当时，需满足，无实数解； 当时，需满足，解得， ，或，或，解得或． 实数a的取值范围为． 11．（25-26高一上·河北石家庄·期中）已知：，，：或. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题p是真命题，且q是p的必要不充分条件，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2) . 【分析】（1）先求，分和两种情况讨论，即可求解； （2）先求命题p为真命题时，的范围，再由q是p的必要不充分条件即可求解. 【详解】（1）：，， ∵是真命题，∴当时，显然成立； 当时，，∴. 综上所述，实数的取值范围是； （2）若为真命题，则当时，则，显然不成立； 当时，，解得或. ∴p为真命题时，或. ∵q是p的必要不充分条件，∴，且， ∴且，即， ∴实数的取值范围是 . 12．（25-26高一上·海南三亚·期中）已知集合. (1)若，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，确定集合，再求. （2）问题转化为根据求的取值范围. 【详解】（1）若，则，所以或. 所以. （2）因为是的充分条件，所以， 所以解得， 即的取值范围是. 题型六 不等式的性质综合应用（共3小题） 13．（25-26高一上·河南南阳·期中）对于实数，，，正确的命题是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 【答案】ABD 【分析】利用作差法，作商法和特值法依次判断选项即可. 【详解】对选项A，因为，所以，， 所以，故A正确； 对选项B，，，所以， 因为，所以，即，故B正确； 对选项C，令，，满足，不满足，.故C错误； 对选项D，因为，， 所以，故D正确. 故选：ABD 14．（25-26高一上·广东佛山·期中）根据生活经验，若杯中盛有克糖水，其中含有克糖.再向杯中添加克糖（假设完全溶解），则糖水变甜了. (1)请将上述生活经验用一个不等式表示出来，并加以证明； (2)设，，是一个三角形的三边长，若，求正整数的最小值. 【答案】(1)（其中，）， 下面给予证明：， 因为，，，，所以，故. (2)2 【分析】（1）根据题意列出不等式，通过作差法证明不等式成立； （2）由（1）得到，，.三个不等式相加，得到不等式左边的范围，再结合特殊值得到正整数的最小值. 【详解】（1）略 （2）由（1）得：，，， 三个不等式相加，得 ，故. 又当时，故. 所以正整数的最小值为2. 15．（25-26高一上·山东青岛·期中）已知. (1)求，的取值范围； (2)若将条件变为“”，求的范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用不等式的性质和齐次化可求的取值范围； （2）利用待定系数法结合不等式的性质可求的范围. 【详解】（1）因为，所以，所以； 因为，所以，∴，，即 所以， （2）令，所以， 所以，则，所以. 因为，所以， 所以. 题型七 基本不等式求最值及其变形（共3小题） 16．（25-26高一上·贵州贵阳·期中）若是正实数且满足，则以下选项中正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】选项 A： 因为是正实数且满足， 所以由基本不等式得： ， 当且仅当 ，即 ，结合 ，得 时取等. 因此，选项 A正确； 选项 B： 因为是正实数，所以由基本不等式得：，当且仅当 时取等. 但 且 ，所以 ，因此 （因为 ）. 因此，选项 B正确； 选项 C： ， 由是正实数且满足得：， 因此：，即 ，与选项 C中 的 不等号 相反. 因此，选项 C错误； 选项 D： 利用 ，即 ，代入：， 因为是正实数且满足，所以由基本不等式得：，当且仅当，即时取等号. 故，因此，选项 D正确. 17．（25-26高一上·上海松江·期中）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础，两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一，通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题.例如此题：已知，为正实数，且，则的最小值为__________.其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题， (1)已知，，均为正实数，且，求的最小值； (2)已知，，且，求的最小值以及此时实数，的值； (3)某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少？”时，给出如下解法：令，则化为. 原式，当且仅当，即，即，时，等号成立. 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，，，则的最大值是多少？ 【答案】(1)7 (2)；， (3) 【分析】（1）通过1的代换得到，结合基本不等式即可求解； （2）将化为，再应用基本不等式求最小值； （3）将化为，再应用换元法及基本不等式求最大值. 【详解】（1）， 当且仅当时取等号， 所以最小值为7； （2）， 当且仅当，即，时，等号成立， 则的最小值是 （3）， 令，原式，令， 原式， 当且仅当，即，时，等号成立． 所以的最大值为 18．（25-26高一上·吉林松原·期中）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础.两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一.通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题.例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为_____. 其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题. (1)已知a，b，c为正实数，且，求证：； (2)已知，，且，则的最小值是多少? (3)某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少?”时，给出如下解法： 令，则化为. 原式 当且仅当，即，即，时，等号成立. 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，，且，则的最小值是多少? 【答案】(1) 已知a，b，c为正实数，，则 ， 当且仅当，即时，等号成立，得证. (2) (3) 【分析】（1）将化为，再应用基本不等式即可证结论； （2）将化为，再应用基本不等式求最小值； （3）令，将原式转化为关于和的表达式，再利用和基本不等式求解. 【详解】（1）略 （2）已知，，则 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 则的最小值是. （3）已知，，令，则化为. 原式 ， 当且仅当，即，即， 时等号成立. 题型八 基本不等式的实际应用问题（共3小题） 19．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知矩形的周长为8cm，设．    (1)矩形绕AB旋转形成一个圆柱，求圆柱侧面积的最大值； (2)若，把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点P． ①用x表示PC； ②求的最大面积及相应x的值． 【答案】(1) (2)①，；②时，△ADP的面积最大，最大面积为． 【分析】（1）根据题意得到旋转形成的圆柱的侧面积为，再利用基本不等式求解即可. （2）①设，根据得到，再利用勾股定理求解即可； ②，得到，再利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）∵矩形的周长为8，，∴，． 而旋转形成的圆柱的侧面积为． 当且仅当，即时等号成立． ∴圆柱侧面积的最大值为． （2）①设，则． ，，， ，． 在中，由勾股定理得，即， 解得，即，； ②由①得， 所以的面积为，， ∴． 当且仅当，即时，的面积最大，最大面积为． 20．（25-26高一上·云南昆明·期中）Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多人的精神寄托．现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产千件需另投入万元．其中与之间的关系为：．通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量的（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润． 【答案】(1)； (2)年产量为42千件，最大年利润为115万元. 【分析】（1）根据题目条件，进而求出的表达式． （2）由（1）按与分段利用二次函数的性质及基本不等式求出最大值，再比较大小即得． 【详解】（1）依题意，. （2）由（1） 当时，， 则当时，取得最大值60万元； 当时，， 当且仅当时，即时取得等号， 此时取得最大值，且最大值为115万元， 所以当年产量为42千件时，该厂所获年利润最大，最大年利润115万元． 21．（25-26高一上·湖北十堰·期中）居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设AD长为.    (1)现沿着休闲场所边界铺设灯带，总长度为64m，求花岗岩地坪面积z的最大值； (2)若十字形地域面积为，设总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式，当x为何值时S最小，并求出这个最小值. 【答案】(1) (2),，（元） 【分析】（1）根据基本不等式即可求解， （2）根据题意列出造价的表达式，即可利用基本不等式求解最值得解. 【详解】（1）设，灯带长度即 花岗岩地坪面积 ，，， ，, 当且仅当时取等, 综上，面积最大值为 （2）两个相同的矩形构成的面积为，，, 且（） ，矩形面积为，正方形面积为 ； ， 当且仅当，即时，（元） 故当，即时，总造价最小 题型九 解含参的二次不等式（共3小题） 22．（25-26高一上·四川成都·期中）讨论关于的不等式的解集 【答案】1.当时，不等式化为. （1）当时，不等式解集为：； （2）当时，不等式解集为：； 2.当时，不等式化为：. （1）当时，不等式解集为; （2）当时，不等式解集为; 3.当时，设不等式对应方程两根. （1）当时，，不等式解集为：或； （2）当时，，不等式解集为：； 4.当时，不等式对应方程的根为. （1）当时，不等式解集为：或； （2）当时，不等式解集为：； 5.当时，不等式对应方程无解. （1）当时，不等式解集为：R； （2）当时，不等式解集为：. 【解析】略 23．（25-26高一上·河北唐山·期中）解关于的不等式． 【答案】当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【分析】根据实数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质分类讨论进行求解即可. 【详解】由已知，得，： 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式等价于， 若，解得，或； 若，解得， 若，解得，或； 当时，不等式等价于，解得. 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 24．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）已知函数，. (1)若不等式的解集为，求的值； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2) 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集确定方程的根，然后列方程组求解即可； （2）按照、和分类讨论，利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以的两个实数根为，， 故，即，解得. （2）因为. 当时，不等式的解为或； 当时，不等式化为，不等式的解集为全体实数； 当时，不等式的解为或. 综上所述，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 题型十 一元二次不等式中的恒（能）成立问题（共3小题） 25．（25-26高一上·山西大同·期中）已知函数． (1)当时，解不等式； (2)解不等式； (3)若恒成立，求的值． 【答案】(1) (2) 当时，不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. (3) 【分析】（1）由一元二次不等式的求法即可求解； （2）通过，，，，分类讨论即可； （3）通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，可得， 即， 解得或， 即解集为； （2）由不等式 若，不等式即为，解得； 若，不等式可化为， 此时方程的两根分别为， 当时，即，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3）恒成立， 当时，不等式为，得，不符合题意； 当时，恒成立，需满足： 解得：， 综上的值为. 26．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，无解； 当时，解集为； (2) (3) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，对参数进行分类讨论，进而求出结果； （2）根据二次不等式恒成立的条件，进行参变分离，进而求出参数的取值范围； （3）根据任意恒成立的条件，对函数进行变形，对新参数进行讨论，求出函数最小值，列出不等式，进而求出结果. 【详解】（1）由题意可知，当时，，解得； 当时，令，即，解得或. 当时，，则，解得； 当时，，则，无解； 当时，即，则，解得， 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，无解； 当时，解集为； （2）由题意得，即， 当时，可知，可得， 因为，所以， 即，不等式恒成立，等价于，恒成立； 可知时，，所以，即实数的取值范围为； （3）由题意得，即，化简得， 可知，不等式恒成立，等价于，不等式恒成立； 当时，不等式不成立，不符合题意； 当时，，不等式恒成立， 令，则在上单调递减， 即得恒成立，解得， 当时，，不等式恒成立， 在上单调递增，即，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 27．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数 (1)若对任意恒成立，求实数的取值范围. (2)若存在，使得成立，求此时实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分、、三种情况讨论，结合二次函数的性质求出参数的取值范围； （2）参变分离可得存在使得成立，结合的范围求出的最大值，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）因为对任意恒成立，即对任意恒成立， 令，则对任意恒成立， ①当， 则对任意恒成立，即满足题意；                 ②当时，函数的图象为抛物线，开口向上， 所以对任意不恒成立，所以不满足题意；                             ③当时，函数的图象为抛物线，开口向下， 要使得对任意恒成立，则，解得.                      综上由①②③可得的取值范围为. （2）不等式，即， 因为，所以， 因为存在，使得成立， 即存在，使得成立， 当时，，得， 当时，有最大值，则有， 即实数的取值范围为. 题型十一 函数的概念及其表示（共3小题） 28．（25-26高一上·福建泉州·期中）下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域是 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 【答案】AD 【分析】结合函数的性质依次判断选项即可． 【详解】对于A，由题意可得，解得，所以函数的定义域是，A选项正确； 对于B，的定义域为，的定义域为，不是同一个函数，B选项不正确； 对于C，因为，所以，即函数的值域为，C选项不正确； 对于D，由可得， 所以由可得，D选项正确. 29．（25-26高一上·福建福州·期中）已知函数满足，则（ ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D． 【答案】BCD 【分析】对于A，由配凑法或整体换元法可得解析式；对于B，由A分析可得解析式，据此可得值域；对于C，由复合函数定义域求法可得答案；对于D，由A分析可得，据此可得答案. 【详解】对于A，法一：依题意，， 则，故A错误； 法二：设，则，且，则， 所以则，故A错误； 对于B，当时，，当且仅当时取等号， 因此的值域为，故B正确； 对于C，在中，令，解得， 因此的定义域为，故C正确； 对于D，，因此，故D正确． 30．（25-26高一上·广东深圳·期中）下列命题中，正确的有（   ） A．函数与函数表示同一函数 B．函数的值域为 C．若函数，则 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BC 【分析】A选项，考查相等函数的判断，注意函数三要素；B选项，为根式型求函数值域，用到换元法求值域，注意定义域范围；C选项，为换元法求解析式题型，注意新元的范围；D选项，抽象函数的定义域问题，注意区分范围. 【详解】对于A，函数的定义域要求且，即； 函数的定义域要求，即，两者定义域不同，故不表示同一函数，A错误； 对于B，设，则，代入函数得：，这是开口向下的二次函数， 对称轴为，最大值为：，当时，，故值域为，B正确； 对于C，设，则，，代入得：， 故，C正确； 对于D，因为函数的定义域为，所以需满足且， 解得且，即，定义域为，D错误. 故答案为：BC 题型十二 函数的单调性及其应用（共3小题） 31．（25-26高一上·天津河东·期中）函数，若对于，都有成立，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设条件可以得到函数在上单调递减，再分别根据一次函数单调性、二次函数单调性、分段点处的函数值约束列不等式，求解得到的取值范围. 【详解】由，都有成立，得函数在上单调递减. 当时，为一次函数，则，解得； 当时，为开口向上的二次函数，对称轴为，则，解得. 由函数在上单调递减，得分段点处左段函数值不小于右段函数值， 即，解得. 综上所述，，则实数的取值范围为. 32．（25-26高一上·江西南昌·期中）函数的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数的单调性即可求解. 【详解】由题意得，，即，解得或，函数的定义域为， 令，则的对称轴为， 在上单调递减，在上单调递增， 又是增函数， 在上单调递减，在上单调递增. 故选：. 33．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，且，. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义法证明； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)在上的单调递增，证明： 在内任取，且， 则 ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上的单调递增. (3) 【分析】（1）将函数值代入，即可求得a，b的值，即可得解析式. （2）利用定义法，取值、作差、整理、定号、得结论，按照步骤整理分析，即可得证. （3）根据函数的解析式，结合定义域，分析可得时，，当时，，利用定义法，证明在上的单调性，分别讨论都在内、都在内和一个在内，一个在内，三种情况，根据函数的性质，分析求解，即可得答案. 【详解】（1）由题意，解得， 所以. （2）略 （3）由（1）得，定义域为， 当时，，则，所以， 当时，，则，所以， 在内任取，且， 则， 由（2）得， 所以在上的单调递增. 因为， 所以当都在内，则，无解； 当都在内，则，解得； 当一个在内，一个在内， 则，解得. 综上，实数的取值范围 题型十三 函数的奇偶性及其应用（共3小题） 34．（25-26高一上·河北石家庄·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，代入，利用奇函数即可求解. 【详解】设，则， 又是奇函数， ． 故选：C． 35．（25-26高一上·宁夏银川·期中）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用偶函数及减函数的性质求解不等式. 【详解】定义在上的偶函数，且当时，单调递减， 则不等式， 则，即，解得， 所以所求不等式的解集为. 故选：D 36．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明． (3)求解关于的不等式． 【答案】(1) (2) 由（1）可得，此时为奇函数，满足题意. 函数在区间上单调递增，证明如下： 任取，且， 则 因为，所以， 所以，即， 因此函数在区间上单调递增. (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质，结合，列方程求解即可； （2）先得函数的解析式，再根据单调性的定义证明即可； （3）根据函数的奇偶性化简不等式，再利用单调性求解即可. 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数， 可知，即，则. 由，解得， 则， ，函数是定义在上的奇函数满足题意， 所以； （2）略 （3）由题意，函数是定义在上的奇函数， 则由，得， 即， 又函数是定义在区间上的单调递增函数， 所以，解得. 则关于的不等式的解集为. 题型十四 函数的周期性及其应用（共3小题） 37．（25-26高一上·浙江绍兴·期中）已知奇函数对任意，都有，且，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】根据题意可推导函数周期为，结合为奇函数，则即可求解． 【详解】，， 则， 故函数周期为， ． 故选：A． 38．（25-26高一下·江苏常州·期中）若函数的定义域为，且为奇函数，，则______． 【答案】 【分析】令，利用函数的奇偶性，运用换元法得出是周期为4的周期函数，再根据奇函数，得出，结合已知条件求出，最后利用函数的周期性求解． 【详解】令，则为奇函数，故， 即，故， 令，则， 又， 则， 故，即， 则，故是周期为4的周期函数； 由为奇函数，则， 故，解得， 由得， ， 故． 39．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数的定义域为，且，，则______. 【答案】 【分析】令，得到，进而确定函数周期，即可求解. 【详解】令，则， 因为，所以， 令，则，得， 令，则， 所以，则， 所以 所以，故，即， 是以6为周期的周期函数， 所以. 故答案为：． 题型十五 函数的对称性及其应用（共3小题） 40．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数的定义域为，对，满足，且有为奇函数，，那么的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由得到函数的单调性，再由为奇函数得到函数的对称性，然后由单调性和对称性解抽象函数不等式可得. 【详解】因为对，满足，即同号， 所以由单调性的定义可得在上为单调递增函数， 又为奇函数，则，即，即图象关于点对称，且， 所以在上也单调递增，则在R上单调递增， 因为，由对称性可得， 所以， 所以，解得. 故选：A. 41．（25-26高一上·广西贺州·期中）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心为_______. 【答案】 【分析】根据所给的结论和奇函数的性质，可求函数的对称中心. 【详解】设， 因为函数为奇函数， 所以恒成立， 所以 即恒成立. 所以. 所以函数图象的对称中心为. 故答案为： 42．（25-26高一上·云南曲靖·期中）设函数的最大值为，最小值为，则____． 【答案】 【分析】利用分离常数项整理函数得，结合函数的奇偶性，即可得解. 【详解】， 设， 因为，所以为奇函数， 设的最大值为，则最小值为， 则， 所以. 故答案为：. 题型十六 函数性质的综合应用（共3小题） 43．（25-26高一上·四川成都·期中）函数对，，且为奇函数，则下列说法不正确的是（   ） A． B．的图象关于中心对称 C． D．若时，则 【答案】C 【分析】对A：奇偶性得，然后根据已知条件通过赋值进行求解；对B：通过奇偶性及函数周期即可判断；对C：通过函数周期可得，再利用计算即可得；对D：利用赋值计算即可得. 【详解】对A：由为奇函数，则，则， 又，则，即有， 则，则有，故，故A正确； 对B：由，则周期为，又， 则，故的图象关于中心对称，故B正确； 对C：，又， 则，故，故C错误； 对D：由，则，即，故D正确. 故选：C. 44．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，，则（ ） A．1 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件，可求得函数关于轴对称，关于中心对称，周期为4，再根据函数的对称性和周期性，即可求解. 【详解】因为为偶函数，为奇函数， 所以，， 所以函数关于轴对称，关于中心对称， 所以，， 所以，令，则，即， 所以，令，则，所以的周期为4， 又，，所以，所以， 又函数关于轴对称，关于中心对称， 所以，， 又的周期为4，所以，，， 所以函数一个周期内的函数值为，，，， 所以， 所以 ，所以. 45．（25-26高一下·广东江门·期中）已知函数是定义域为的奇函数，满足，且当时，，则（   ） A．函数的周期为4 B．函数在上单调递增 C．关于x的方程有且仅有2个不同的实根 D．当时， 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，求出函数的周期判断A；利用周期及对称性确定单调性判断B；求出方程的根判断C；利用对称性求出解析式判断D. 【详解】对于A，由上的奇函数满足，得， 则，，因此函数的周期为4，A正确； 对于C，当时，，由是奇函数，则当时，单调递增， ，因此函数在上单调递增，， 由，得函数的图象关于直线对称，则在上单调递减，， 而函数的周期为4，则在上值域为， 当或时，，于是方程在上无解， 当时，由，得无解； 当时，，，由，得，解得； 当时，，由，得，解得； 显然函数的图象关于直线对称，当时，，， 由，得，于是，而此方程在上无解， 因此方程在各有一个解，C正确； 对于B，由选项C知，在上单调递减，由，得， 又周期为4，因此函数在上单调递减，B错误； 对于D，当时，，，D正确. 题型十七 抽象函数的性质（共3小题） 46．（25-26高一上·四川宜宾·期中）已知函数的定义域为，且，为偶函数，则（ ） A． B．为偶函数 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据赋值法，抽象函数的奇偶性，对称性和周期性，逐一对各选项判断即可． 【详解】对于A，对于，取，可得，则，故A正确； 对于B，对于，取，可得， 因不恒为0，则，即为奇函数，故B错误； 对于C，因为为偶函数，所以，可得，故， 由B项得，所以，则，两式相减，得， 即6是的一个周期，故，再将替换为可得，故C正确； 对于D，由，可得，则，故D正确. 47．（25-26高一上·山东日照·期中）设，定义在R上的函数满足，且，，则（   ） A． B． C．为偶函数 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，令，，又，即可求得，即可判断； 对于B，令，再由，，即可得，即可判断； 对于C，令，可得，从而为奇函数，即可判断； 对于D，可推得，即的周期为，则，即可判断． 【详解】对于A，令，，得， 因为，所以，故A正确； 对于B，令，代入可得， 因为，，所以， 从而，故B正确； 对于C，令，代入得， 又因为对，恒成立且不恒为0， 所以，从而得为奇函数， 又不恒等于0，故C错误； 对于D，因为，所以， 所以为的周期， 所以，故D正确． 故选：ABD． 48．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知定义在上的函数，对任意实数，都满足，且当时，． (1)求的值，并判断函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在上的单调性； (3)定义：若对任意的，且，都有，则称函数为上凸函数，试证明：函数是上的上凸函数． 【答案】(1)，非奇非偶函数； (2)证明： 对任意的，且， 令，则， 由知， 所以. 又当时，所以，即，所以， 所以函数在上单调递增. (3)证明： 因为， 所以要证，即证， 由（2）知函数在上单调递增， 所以即证，根据基本不等式知，该不等式恒成立， 所以函数是上的上凸函数． 【分析】（1）令可得的值，根据的定义域即可判断其奇偶性；（2）由当时，可联想到利用换元法求解；（3）根据（2）中的单调性，将已知不等式转化为自变量之间的不等关系，分析法证明. 【详解】（1）因为， 令可得，解得. 因为是定义在上的函数，而不关于原点对称， 所以是非奇非偶函数. （2）略； （3）略. 题型十八 指对幂函数的性质及其应用（共3小题） 49．（25-26高一上·广东汕头·期中）已知函数，，则下列结论正确的是（    ） A．函数的零点为 B．若有四个零点，则的取值范围为 C．不等式的解集为 D．若方程的所有实根之和为4，则实数的取值范围是. 【答案】BCD 【分析】根据零点定义计算判断A，根据分段函数图象数形结合判断B，分，两种情况计算不等式判断C，分类讨论函数零点判断D. 【详解】A．因为，所以，所以函数的零点为，所以A错误； B．函数，， 若有四个零点，则与有四个交点，由的图象知，B正确； C.，当，所以， 当，，即得，所以，所以C正确； D．令，的对称轴为， 则实根的个数即为函数与函数图象交点个数， 当时，函数与函数的图象有1个交点，且交点横坐标大于1， 即，函数与函数有2个交点，且2个交点关于对称， 则方程有两根，且两根和为2，不符合题意； 当时，函数与函数的图象有2个交点，， 时，可得或， 时，，可得，，， 即函数与函数的图象有5个交点， 则方程有5个根，且5个根的和为5，不符合题意； 当时，函数与函数的图象有2个交点， 即函数与函数的图象有2个交点，分别为， 即，或，， 当时，函数与函数无交点，不符合题意； 当时，函数与函数有4个交点，且关于对称，所以4个交点横坐标之和为4， 则方程有4个根，且4个根之和为4，符合题意， 综上，实数的取值范围是，D正确  . 50．（25-26高一上·广东揭阳·期中）关于函数，下列结论中正确的是（   ） A．当时，是上的增函数 B．当时，的值域为 C．若的定义域为，则 D．当时，是偶函数 【答案】AC 【分析】根据得复合函数的单调性可判断Ａ；根据指数函数的性质及不等式性质可求得函数的值域，判断Ｂ；根据指数函数的性质及基本不等式可判断Ｃ；偶函数的定义可判断Ｄ. 【详解】令，则.. 对于Ａ，当时，函数. 因为函数在Ｒ上单调递增，且恒成立，函数在上单调递增， 所以函数是上的增函数. 所以选项Ａ正确. 对于Ｂ，当时，令，则. 所以. ，当且仅当，即时，等号成立. 因为，所以等号不成立，且在上单调递增，所以，所以. 所以的值域为，所以选项Ｂ错误. 对于Ｃ，若的定义域为，则恒成立，即. 因为，所以，所以选项Ｃ正确. 对于Ｄ，当时，函数， ，即的定义域为. ， 所以函数不是偶函数，所以选项Ｄ错误. 故选：AC. 51．（25-26高一下·浙江衢州·期中）已知函数，函数. (1)若，判断函数的奇偶性并证明； (2)是否存在实数，使得函数在区间上单调，且此时的取值范围是.若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由； (3)若关于的方程在区间上只有一解，求实数的取值范围. 【答案】(1) 当时，为上的偶函数.理由如下： 当时，， ，为上的偶函数. (2)存在，或 (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义证明即可； （2）作出的草图，根据单调性分区间讨论即可； （3）转化为在区间上只有一解，分离参数后求函数的值域即可得解. 【详解】（1）略 （2）可作在上的草图. ①当，则在上单调递减， ∴， 两式相除整理得， 与相矛盾. ②当，则在上单调递增， ∴，可以理解为在上有2个不同实根. 令，， ，，， 要使有两个不等实根，则. ③当，则在上单调递减， ∴， 两式相除整理得， ，，， 此时 综上所述：或. （3）， 关于的方程在区间上只有一解， 可转化为在区间上只有一解， 即在区间上只有一解， 当时，，所以 ， 另一方面，还需在区间上恒成立. 恒成立，. 综上所述：a的取值范围为. 题型十九 函数与方程（共3小题） 52．（25-26高一上·山东济南·期中）已知，若关于x的方程有两个不等实根，，则（   ） A．的取值范围是 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】令，则关于的方程有两个不等实根、，从而可得或 ，则可得与有关不等式组，即可得A；由、，则，，结合的范围 可得B；结合B中所得，对平方并计算可得C、D. 【详解】令，则关于的方程有两个不等正实根、； 对A：有，即或，则， 解得，故的取值范围是，故A错误； 对B：由、，则，， 故， 由，则，故， 故，故B正确； 对C、D：， 由B知，，故，又， 故，故，，故C、D正确； 故选：BCD. 53．（25-26高一上·浙江宁波·期中）已知函数，若关于x的方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，探求出函数的性质，作出函数图象，令，,利用 二次函数根与系数的关系解决即可. 【详解】令，则， 当时，，在单调递减，， 在单调递增，； 当时，，在单调递减，， 在单调递增，，作出的图象如下： 若关于x的方程有四个不同的实数解，结合图像可知，在只有一个解， 记， ①当有两个零点时，则一个零点为负数，另一个零点在， 由题意，有，解得； ②当有且仅有一个零点时，，即或时，需要才行，无解， 所以综上①②，a的取值范围是，故D正确. 因为，由得，所以，故B正确； 又，根据韦达定理可知中， ，， 所以，故C错误，A正确. 故选：ABD 【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答. 54．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数有两个零点 B．若函数有四个零点，则 C．若关于的方程有四个不等实根，则 D．若关于的方程有8个不等实根，则 【答案】CD 【分析】A选项，画出的图象，在同一坐标系内作出的图象，可看出两函数图象有3个交点，A错误； B选项，数形结合得到，B错误； C选项，可看出四个实根有两个根关于对称，另外两个根关于对称，从而得到，C正确； D选项，令，则要有2个不相等的实数根，， 得到两根之和，两根之积，化简得到，结合，求出，结合，求出. 【详解】A选项，当时，单调递增， 当时，单调递减， 画出的图象，可以看出关于对称， 当时，取得最小值为1， 在同一坐标系内作出的图象，可看出两函数图象有3个交点， 所以函数有3个零点，A错误； 数形结合可得：函数有四个零点，则，B错误； 由上图可知：若关于的方程有四个不等实根， 不妨设 其中关于对称，关于对称，则， 所以，C正确； D选项，令，则要有2个不相等的实数根，， 且，， ， 因为，所以， 由，解得：， 综上：， 若关于的方程有8个不等实根，则，D正确. 题型二十 函数模型及其应用（共3小题） 55．（25-26高一上·湖南益阳·期中）某工厂生产一批总量为个的零件，有两种方案可供选择：①生产总时长为小时，一半时间以每小时个零件的速度生产，一半时间以每小时个零件的速度生产；②生产总时长为小时，一半数量的零件以每小时个零件的速度生产，一半数量的零件以每小时个零件的速度生产；则下列说法正确的是（    ） A． B． C．采用方案①效率更高 D．无论生产零件总数（总数大于）为多少，效率更高的方案都相同 【答案】ACD 【分析】根据方案① 可得出关于的等式，求出其值，可判断A选项；根据方案② 求出，可判断B选项；比较、的大小，可判断C选项；求出两个方案的平均生产速度，比较大小可判断D选项. 【详解】由方案① ， ，解得 ，故A正确； ，故B错误； 因为，所以采用方案① 效率更高，故C正确； 方案① 的平均生产速度为 个每小时，方案② 设总零件数为， 所以两部分的时间分别为，， 平均生产速度为 个每小时， 故方案② 平均速度低于方案① ，所以无论生产零件总数为多少，效率更高的都是方案① ，故D正确. 56．（25-26高一上·广西南宁·期中）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：周）的关系为（a为常数），则下列说法中正确的是（    ） A．时，浮萍面积不会超过 B．浮萍每周的面积与上周面积之比为定值 C．浮萍每周增加的面积都相等 D．若浮萍面积为，，时所对应的时间分别是，，，则 【答案】ABD 【分析】先根据已知条件结合图像求出函数解析式，再利用函数的性质分析判断各选项． 【详解】时，， ，即，， 时，，浮萍面积不会超过，故A正确； 当时，浮萍每周的面积与上周面积之比为，为定值2，故B正确； 浮萍每周增加面积，每周增加面积随着的变化而变化，不是定值，故C错误； ，，，故D正确． 故选：ABD． 57．（25-26高一上·安徽合肥·期中）当一束光通过一个吸光物质（通常为溶液）时，溶质吸收了光能，光的强度减弱；吸光度就是用来衡量光被吸收程度的一个物理量，其影响因素有溶剂、浓度、温度．分析物浓度越高，穿过材料的光子被吸收的机会就越大．吸光度的测量简便高效，因此被广泛应用于液体和气体的光谱测量技术，集成至工业测试系统，还可以用于科研分析．其中透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例．在实际生产和生活中，通常用吸光度和透光率来衡量物体材料的透光性能，著名的朗伯—比尔定律表明了两者之间的等量关系为，其中，是吸光度，为透光率，为入射光强度，为透射光强度，某化学有机高分子材料研究所测得了如下表不同有机高分子材料的透光率： 有机高分子材料 塑料 纤维 薄膜 0.6 0.7 0.8 设塑料、纤维、薄膜的吸光度分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据题意计算出，结合对数式的运算法则和对数函数的单调性，即可依次判断各选项. 【详解】由题意可知：，，， 对A，，而在定义域内单调递增，且， 所以，即，所以，故A正确； 对B，， 因为，所以，即，所以，故B错误； 对C，， 因为，所以，即，所以，故C正确； 对D，，， ， ， ， 所以，则有， 又，则，故D错误. 故选：AC 题型二十一 函数新定义问题（共3小题） 58．（25-26高一上·江西南昌·期中）对于定义在区间上的函数，定义：，． (1)已知，，，，试写出、、的表达式； (2)若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知，函数是上的“阶收缩函数”，求的取值范围． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）根据题意，利用函数的单调性即可求解； （2）根据题意，结合在上的单调性和值域，分、、三种情况讨论即可求解. 【详解】（1）根据定义：，， ①，在区间上单调递减， 其最大值为，故，， ②，是单调递增函数， 因此在区间上的最大值为，故，， ③，是开口向上的二次函数， 对称轴为，在上单调递减，在上单调递增． 当时，在上单调递减，最小值为； 当时，在上的最小值为； 故． （2）当时，函数在上单调递减， 则 ，， 由题意，对于任意的 恒成立， 即对于任意的恒成立，符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，， 当时，，即，恒成立，符合题意； 当时，，即，恒成立，符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，， 由题意，当 时，，即，恒成立，符合题意； 当时，，即，不恒成立，不符合题意； 当 时，，即，不恒成立，不符合题意； 综上所述，的取值范围为. 59．（25-26高一上·福建泉州·期中）对于函数，若存在，使得，则称为函数的”不动点”;若存在，使得，则称为函数的”稳定点”.记函数的”不动点”和”稳定点”的集合分别为A和B，即 (1)若函数，求A和B； (2)请探究集合A和B的关系，并证明你的结论； (3)若，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)，； (2)，证明如下： 法一：由题意，不动点为与的交点横坐标，稳定点为与的交点横坐标， 若与有交点，则横纵坐标相等，则，所以. 法二：，则有，因此，所以， 所以. (3) 【分析】（1）根据不动点、稳定点定义，分别求解方程与，得到集合. （2）依据集合包含定义，任取代入复合函数推导出，证得. （3）先由得到的上限，再将因式分解，结合限制另一二次方程无额外根，分类讨论求出下限，合并区间得取值范围. 【详解】（1）令，可得，故； 令，可得，故. （2）略 （3）由，则： 令，即有实根， 当时，，则符合题设； 当时，，可得. 令，即有实根， 所以， 因为，则无实根，或有与相同的实根， 当无实根，有且， 可得且； 当与有公共实根时， 由可得，即， 所以，则， 代入得：，可得. 综上，. 60．（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质. (1)分别判断函数与是否具有性质，并说明理由； (2)已知为二次函数，且具有性质，判断的奇偶性； (3)已知为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围. 【答案】(1)具有性质，不具有性质，理由： 对任意，得，所以具有性质； 对任意，得. 当时，，所以不具有性质 (2)偶函数 (3) 【分析】（1）根据定义判定即可； （2）设函数解析式，根据定义分类讨论计算，再利用函数的奇偶性定义判定即可； （3）利用对数的运算法则结合定义得出恒成立，根据对数函数的单调性变形得，再分类讨论与1的关系解不等式计算即可. 【详解】（1）略 （2）设二次函数满足性质，则对任意， 满足. 当时，，此时可以为任何实数； 当时，恒成立， 易知恒成立，所以， 又，故. 综上所述，函数具有性质时，，此时， 即为偶函数. （3）由于，函数的定义域为， 易得， 若函数具有性质，则对于任意实数x， 有， 即，即， 由于函数在上单调递增，得， 即， 当时，，由，得， 得，得， 由题意得恒成立，所以，即， 当时，恒成立，适合题意 当时，， 由题意得，即， 综上：的取值范围是. $