第三章·图形的相似·期中复习·培优讲义 ·2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第三章·图形的相似·期中复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解成比例线段与黄金分割，掌握比例的基本性质 · 掌握平行线分线段成比例定理及其推论 · 掌握相似三角形的判定方法与性质，能综合运用 · 理解相似多边形的性质，掌握位似图形及坐标变换 · 会用相似知识解决测量、小孔成像等实际应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.成比例线段与黄金分割 成比例线段：四条线段a、b、c、d满足a:b=c:d（即=）时称成比例线段 比例的性质：若=，则ad=bc（外项积等于内项积） 黄金分割：点C把线段AB分成AC、BC两段，若AC2=AB·BC（较长段与全长之比为），则点C为黄金分割点 概念辨析例题：线段AB=10cm，点C是AB的黄金分割点（AC>BC），求AC的长 答案：AC=5( 解析：黄金分割较长段与全长之比为，故AC=10×=5(。 ☆ 2.平行线分线段成比例 平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 概念辨析例题：在△ABC中，DE∥BC，D、E分别在AB、AC上，AD=3，DB=2，求AE:EC 答案：AE:EC=AD:DB=3:2 解析：由DE∥BC，平行线分线段成比例得AE:EC=AD:DB=3:2。 ☆ 3.相似三角形的判定与性质 判定一：两角分别相等的两个三角形相似（两角对应相等） 判定二：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 判定三：三边成比例的两个三角形相似 性质：对应角相等、对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 概念辨析例题：△ABC∽△DEF，相似比为2:3，△ABC的面积为16，求△DEF的面积 答案：△DEF的面积为36 解析：面积比等于相似比的平方，设△DEF面积为S，则16:S=(2:3)2=4:9，解得S=36。 ☆ 4.相似多边形与位似图形 相似多边形：对应角相等、对应边成比例的两个多边形 位似图形：对应顶点的连线都经过同一点（位似中心）的相似图形，位似比等于相似比 坐标系中的位似：以原点为位似中心，位似比为k时，对应点坐标为(x,y)或(-x,-y)的k倍 概念辨析例题：在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于原点位似，位似比为2，点A(1,2)，求点A'的坐标 答案：A'(2,4)或A'(-2,-4) 解析：以原点为位似中心、位似比为k时，对应点坐标为原来坐标的k倍；当k=2时A'(2,4)，反向延长时A'(-2,-4)。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 成比例线段 =（即a:b=c:d） 单位要统一 黄金分割 AC2=AB·BC，较长段=×全长 较长段与全长之比 平行线分线段 对应线段成比例 被平行线所截的线段 相似三角形判定 两角相等/两边成比例夹角相等/三边成比例 对应关系不能错位 相似三角形性质 周长比=相似比，面积比=相似比2 面积比是相似比的平方 位似图形 对应点连线交于位似中心 位似比即相似比 相似多边形 对应角相等、对应边成比例 边数相同的多边形 ⚠️ 核心考点 【考点1】黄金分割与成比例线段（第1-12题） · 成比例线段先统一单位，再按比例性质交叉相乘验证 · 黄金分割题抓住较长段与全长之比为 · 比例求值常用设k法：设每一份为k再代入计算 1．（25-26八年级下·重庆·期末）若点P是线段的黄金分割点，且，，则的长度为（     ） A． B． C． D．3 2．（2026·山东济南·二模）大自然是美的设计师，即使是一片树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点为的黄金分割点，如果的长度为，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山西运城·期中）我们在学习书法的初期需要经历临摹阶段，黄金格是一种临摹时的习字格．如图，正方形是黄金习字格的边框，正方形内四条线段为黄金分割线，其端点都在边框上，且均为各边框的黄金分割点．若，则两条黄金分割线之间的距离的长为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·山东淄博·期末）下列四条线段（单位：）中，不是成比例线段的是（    ） A． B．3，6，2，4 C．4，6，5，10 D． 5．（2026·广东深圳·三模）黄金矩形的宽与长之比为黄金分割比，即矩形的短边为长边的倍．如图，用黄金矩形框住整个蜗牛壳，之后作正方形，得到黄金矩形，再作正方形，得到黄金矩形…，这样作下去，我们以每个小正方形边长为半径画弧线，然后连接起来，就是黄金螺旋．已知，则阴影部分的面积为____． 6．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车后视镜C设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若该车车身总长约为4米，则车头A与后视镜C的水平距离约为____．（结果保留根号） 7．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）在“国旗在心中”活动中，同学们近距离观赏五星红旗，聆听红旗的故事．如图，在国旗上的任意一个五角星中，是边的黄金分割点，若，则的长为__________．（结果保留根号） 8．（26-27九年级·全国·暑假作业）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为________（结果保留根号）． 9．（2024·山东潍坊·模拟预测）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是__________（结果精确到．参考数据：，，）． 10．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，在设计人体雕像时，为了增加视觉美感，将雕像分为上下两部分，其中C为的黄金分割点，即．已知为2米，则的长为__________米．（结果保留根号） 11．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知的面积为4，点D是边上的黄金分割点，那么的面积是_______． 12．（24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）已知线段满足，且． (1)求 a 、b 、c 的值； (2)若线段 x 是线段 a 、b 的比例中项，求 x 的值； (3)将线段b按黄金分割比例分为两条线段，求黄金分割比例后的较长线段的长度； 【考点2】平行线截线段成比例（第13-20题） · 识别平行线，直接写对应线段成比例 · 三角形中被平行线截得的线段用平行分线段成比例定理 · 结合中位线、重心性质转化线段关系 13．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，已知三条直线，，互相平行，直线与，，分别交于，，三点，直线与，，分别交于，，三点，若，，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，直线分别交直线于点A，B，C，D，E，F，已知，则的长是（   ） A．3 B．4 C． D．6 15．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，正方形的边长为，点为边上一点，连接，延长到点，使，连接交于点． （1）当时，______； （2）连接，当时，______． 16．（2025·四川眉山·一模）如图，在中，作分别交、于点D、E，作交于点F，，，则边的长为________． 17．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，为的重心，过点作交于点，交于点，已知，则___________． 18．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，是的中线，点M在上，连接并延长交于点N．      【填空】 （1）若，则 ； （2）若，则 ； （3）若，则 ； … 【论证】请选择上述情况中的一种，画出符合条件的图形，并证明你的结论； 【猜想】若，则 （用含n的代数式表示，不用说明理由）． 19．（23-24九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知，且．求：线段的长． 20．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，点D，E分别在的边上，，，过 E作交于点F．若，求的长． 【考点3】相似三角形的判定（第21-26题） · 先找已知相等的角，再选择判定方法 · 出现公共角、对顶角时优先考虑两角对应相等 · 两边成比例时须确认夹角相等 21．（23-24九年级上·浙江台州·阶段检测）如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接．下列结论中正确的个数有（    ） ①；②；③平分；④．    A．个 B．个 C．个 D．个 22．（22-23九年级下·广西钦州·周测）在和中，，下列条件不能判定这两个三角形相似的是（   ） A．， B．，，， C．，，， D．，，， 23．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段检测）在中，，用直尺和圆规在AB上确定点D，使，根据作图痕迹判断，正确的是（   ） A． B． C． D． 24．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，点O是的边上一点，连接，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证： 25．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 26．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，在中，，D为边上一点，且，过点D作．交于点E．求证：． 【考点4】相似三角形的性质与综合（第27-38题） · 周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 · 相似与平行四边形、正方形、勾股定理综合时先构造相似 · 动点问题设未知数，利用相似建立比例方程 27．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，正方形的边长为，点为的中点，点在上，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 28．（23-24九年级下·湖南湘潭·自主招生）如图，在平行四边形中， E为上一点，，连接交对角线 于点F，则 等于（     ） A． B． C． D． 29．（2026·陕西西安·中考真题）如图，在菱形中，对角线，，且相交于点O．点E在上，且，过点E作，交于点F，则的长度为（     ） A．6 B．8 C． D． 30．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，光线从点处射出射向轴上的点，经轴镜面反射，光线经过点，则的长度是（   ） A． B．1 C． D． 31．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，，，将绕点顺时针旋转，则点C对应点的坐标为__________． 32．（25-26九年级上·山东枣庄·期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个矩形的最大面积是______． 33．（2026·北京昌平·二模）如图，在正方形中，点为中点，连接，过点作交于点，连接，若，则的面积为________． 34．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，四边形为菱形，，，．____________． 35．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，在平行四边形中，E为延长线上一点，F为上一点，，若，，则的长是______．    36．（2026·四川雅安·一模）如图，在平行四边形中，，交于点F，那么的值是______． 37．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在方格纸中，点A、B、C都在格点上，用无刻度直尺作图． (1)在图1中的边上确定一点D，连结，使． (2)在图2中的线段上找一个点E，使． 38．（第4章 4 探索三角形相似的条件）如图，在中，点D在边上，过点D作交于点E，连接，F为边上一点，已知，判断与的位置关系并说明理由． 【考点5】位似图形（第39-46题） · 位似中心是各对应点连线的交点 · 坐标系中位似按位似比缩放对应点坐标 · 位似比等于相似比，面积比等于位似比的平方 39．（22-23八年级下·重庆铜梁·期中）如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似，且，若的周长为2，则的周长为（     ） A．2 B．4 C． D． 40．（24-25九年级上·山东东营·阶段检测）如图，中，A、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是（     ） A． B． C． D． 41．（23-24九年级上·四川成都·期末）数学课本上有这样一段表述：“在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数，所对应的图形与原图形…．”请利用这一规律解答下面问题：已知，，且，若，，则的长为（　　） A．4 B．6 C．9 D．12 42．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，与是以点为位似中心的位似图形，位似比为1：3，正方形的边长为1，点在边上，点在边上，直线交于点，则的长度为_____． 43．（25-26九年级上·福建宁德·期末）如图，是三个全等的等腰三角形，底边在同一直线上．分别交于点，．小明发现与位似，其位似中心是___________． 44．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段检测）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心的位置； (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为：，并写出点的对应点的坐标； (3)的内部一点的坐标为，写出在中的对应点的坐标． 45．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)求出的面积； (2)请以点为位似中心作一个与位似的，使得的面积为12．（作出一个符合题意的图形即可） 46．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，在正方形网格内，已知格点，点和线段，且，，都在格点上． (1)以点为位似中心，在正方形网格内作的位似图形，使与的相似比为； (2)以为一边，画出一个，使． 【考点6】相似多边形的性质与应用（第47-52题） · 相似多边形对应边成比例、对应角相等 · 实际问题（测量高度、小孔成像）构造相似三角形 · 网格中的相似按对应边比例验证 47．（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）如图1是古希腊时期的巴台农神庙，将图1中的虚线画成如图2所示的矩形，当以矩形的宽为边作正方形时，发现矩形矩形，则的值为___________． 48．（23-24九年级上·广西来宾·期中）向阳中学有一块正方形的空地，边长为，学校计划将空地分为五部分，并给两位同学每人一张边长为的正方形硬纸板模型用来设计，下面是小明和小芳的设计方案． 小明：如图，它是由四个矩形和中间一个小正方形组成的，在该图案中矩形①与矩形②为相似矩形，相似比为，中间小正方形的边长为． 小芳：如图，它是由四个全等的直角三角形以及一个小正方形组成的，其中小正方形与大正方形的相似比为．    (1)求小明的方案中矩形①的面积． (2)求小芳设计的方案中，每个小直角三角形部分在学校空地的实际周长是多少米？ 49．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，将一张矩形纸片对折（为折痕），得到两个形状、大小完全相同的小矩形．原矩形的长边与短边的比为多少时，小矩形与原矩形是相似的？ 50．（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图，四边形四边形．若，，，，，，求线段的长和的大小． 51．（2026·广东深圳·二模）某店铺在窗户上方安装一个遮阳棚，如图所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角为．在某一时刻，一位身高的顾客在太阳光下的影长，则此时遮阳棚在地面上的影长为______m． 52．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，这是“小孔成像”的实验示意图．已知蜡烛与光屏之间的距离为l．具有“小孔”的纸板放在什么位置时，蜡烛火焰的高度是它的像高度的一半？ 💯 课后巩固 复习建议 · 成比例线段先统一单位再交叉相乘 · 黄金分割牢记较长段占全长的 · 平行线分线段成比例要找准对应线段 · 判定相似优先找相等的角 · 位似与相似综合题注意位似中心与相似比 【作业1】．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在中，于点，于点，与交于点，则图中与相似（不含）的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【作业2】．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，P为线段的黄金分割点．如果的长度为，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 【作业3】．（24-25九年级上·上海浦东新·期末）如图，已知，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【作业4】．（23-24九年级下·山东烟台·期末）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为6、8、10的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形也相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（    ）    A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对 【作业5】．（2025·湖南·模拟预测）中，．点从出发以向移动秒，当为等腰三角形时，的值为（    ）． A．0 B．1 C．0或1 D．1或 【作业6】．（24-25九年级上·北京海淀·期中）小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，若两地的实际直线距离为，则两地的实际直线距离为________． 【作业7】．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，点G为的重心，，若，则______． 【作业8】．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点都是小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，与相似的三角形是________． 【作业9】．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）如图，以点为位似中心，把按相似比放大得到，连接．若的面积为6，则的面积为 __． 【作业10】．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，矩形被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形与原矩形相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是______． 【作业11】．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛位于头顶到下巴的黄金分割点，如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离约为4分米，那么该兵马俑的头顶到眼睛的距离约为_______分米（结果保留根号）． 【作业12】．（22-23九年级下·四川成都·自主招生）如图，在中，，，，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交于D，交于E．则线段______． 【作业13】．（2026·上海长宁·一模）若点是线段上的一点，满足，已知，那么的长为___________． 【作业14】．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知三条线段a，b，c满足，且． (1)求a，b，c的值； (2)若线段d是线段a和b的比例中项，求d的值． 【作业15】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知，，，．求证：． 【作业16】．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，于点，于点，，，，点从点出发，沿方向以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动，连接，，过点作交的延长线于点，设点的运动时间为秒． (1)当时，求证：； (2)当时，若与相似，求线段的长． 【作业17】．（2025·安徽·模拟预测）如图，顶点均在方格的格点上，按要求作图求解题． (1)作关于y轴对称的图形； (2)在第一象限内，作出关于原点的位似图形，位似比为； (3)作出边上的高交于H． 【作业18】．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，反比例函数的图象经过斜边的中点P，与交于点Q，连接，点A的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)证明：． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章·图形的相似·期中复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解成比例线段与黄金分割，掌握比例的基本性质 · 掌握平行线分线段成比例定理及其推论 · 掌握相似三角形的判定方法与性质，能综合运用 · 理解相似多边形的性质，掌握位似图形及坐标变换 · 会用相似知识解决测量、小孔成像等实际应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.成比例线段与黄金分割 成比例线段：四条线段a、b、c、d满足a:b=c:d（即=）时称成比例线段 比例的性质：若=，则ad=bc（外项积等于内项积） 黄金分割：点C把线段AB分成AC、BC两段，若AC2=AB·BC（较长段与全长之比为），则点C为黄金分割点 概念辨析例题：线段AB=10cm，点C是AB的黄金分割点（AC>BC），求AC的长 答案：AC=5( 解析：黄金分割较长段与全长之比为，故AC=10×=5(。 ☆ 2.平行线分线段成比例 平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 概念辨析例题：在△ABC中，DE∥BC，D、E分别在AB、AC上，AD=3，DB=2，求AE:EC 答案：AE:EC=AD:DB=3:2 解析：由DE∥BC，平行线分线段成比例得AE:EC=AD:DB=3:2。 ☆ 3.相似三角形的判定与性质 判定一：两角分别相等的两个三角形相似（两角对应相等） 判定二：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 判定三：三边成比例的两个三角形相似 性质：对应角相等、对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 概念辨析例题：△ABC∽△DEF，相似比为2:3，△ABC的面积为16，求△DEF的面积 答案：△DEF的面积为36 解析：面积比等于相似比的平方，设△DEF面积为S，则16:S=(2:3)2=4:9，解得S=36。 ☆ 4.相似多边形与位似图形 相似多边形：对应角相等、对应边成比例的两个多边形 位似图形：对应顶点的连线都经过同一点（位似中心）的相似图形，位似比等于相似比 坐标系中的位似：以原点为位似中心，位似比为k时，对应点坐标为(x,y)或(-x,-y)的k倍 概念辨析例题：在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于原点位似，位似比为2，点A(1,2)，求点A'的坐标 答案：A'(2,4)或A'(-2,-4) 解析：以原点为位似中心、位似比为k时，对应点坐标为原来坐标的k倍；当k=2时A'(2,4)，反向延长时A'(-2,-4)。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 成比例线段 =（即a:b=c:d） 单位要统一 黄金分割 AC2=AB·BC，较长段=×全长 较长段与全长之比 平行线分线段 对应线段成比例 被平行线所截的线段 相似三角形判定 两角相等/两边成比例夹角相等/三边成比例 对应关系不能错位 相似三角形性质 周长比=相似比，面积比=相似比2 面积比是相似比的平方 位似图形 对应点连线交于位似中心 位似比即相似比 相似多边形 对应角相等、对应边成比例 边数相同的多边形 ⚠️ 核心考点 【考点1】黄金分割与成比例线段（第1-12题） · 成比例线段先统一单位，再按比例性质交叉相乘验证 · 黄金分割题抓住较长段与全长之比为 · 比例求值常用设k法：设每一份为k再代入计算 1．（25-26八年级下·重庆·期末）若点P是线段的黄金分割点，且，，则的长度为（     ） A． B． C． D．3 【答案】C 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查黄金分割的定义，解题思路是根据黄金分割的定义得到与的关系，再代入的长度计算即可． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且 ∴ 又∵ ∴． 2．（2026·山东济南·二模）大自然是美的设计师，即使是一片树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点为的黄金分割点，如果的长度为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】黄金分割 【分析】线段上一点把线段分成两段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么这个点就是这条线段的黄金分割点．即，据此求解即可． 【详解】解：∵P为的黄金分割点， ∴，即， ∴， ∴．（负值不合题意已经舍去） 3．（24-25九年级上·山西运城·期中）我们在学习书法的初期需要经历临摹阶段，黄金格是一种临摹时的习字格．如图，正方形是黄金习字格的边框，正方形内四条线段为黄金分割线，其端点都在边框上，且均为各边框的黄金分割点．若，则两条黄金分割线之间的距离的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键． 由题意知，，，可求，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴， 解得，， ∴， ∴， 故选：A． 4．（24-25八年级下·山东淄博·期末）下列四条线段（单位：）中，不是成比例线段的是（    ） A． B．3，6，2，4 C．4，6，5，10 D． 【答案】C 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查成比例线段，判断四条线段是否成比例，逐项验证是否存在两组的比值相等或满足交叉乘积相等即可． 【详解】解：A、∵，∴四条线段是成比例线段，故此选项不符合题意； B、∵，∴四条线段3，6，2，4是成比例线段，故此选项不符合题意； C、∵，，不相等，∴四条线段4，6，5，10不是成比例线段，故此选项符合题意； D、∵，∴四条线段是成比例线段，故此选项不符合题意； 故选：C． 5．（2026·广东深圳·三模）黄金矩形的宽与长之比为黄金分割比，即矩形的短边为长边的倍．如图，用黄金矩形框住整个蜗牛壳，之后作正方形，得到黄金矩形，再作正方形，得到黄金矩形…，这样作下去，我们以每个小正方形边长为半径画弧线，然后连接起来，就是黄金螺旋．已知，则阴影部分的面积为____． 【答案】/ 【知识点】求其他不规则图形的面积、黄金分割 【分析】本题主要考查了求扇形面积，理解黄金矩形的定义是解题的关键．根据黄金矩形的定义可得的长，从而得到的长，再由阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：∵四边形是黄金矩形，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 6．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车后视镜C设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若该车车身总长约为4米，则车头A与后视镜C的水平距离约为____．（结果保留根号） 【答案】（米） 【知识点】黄金分割、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了黄金分割，二次根式的运算等知识点，利用黄金分割点的定义得到汽车倒车镜C到车尾的水平距离为，再由即可求解，熟练掌握黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项(即)，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点是解决此题的关键． 【详解】汽车后视镜设计为整个车身黄金分割点的位置，该车车身总长约为4米， （米）， （米）， 车头A与后视镜C的水平距离约为（米）， 故答案为：（米）． 7．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）在“国旗在心中”活动中，同学们近距离观赏五星红旗，聆听红旗的故事．如图，在国旗上的任意一个五角星中，是边的黄金分割点，若，则的长为__________．（结果保留根号） 【答案】/ 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割点的运用．解题关键是利用黄金分割点找到线段之间的比例关系．利用黄金分割点可得，进而得解． 【详解】解：由题意知：是的黄金分割点， ， ， 故答案为：． 8．（26-27九年级·全国·暑假作业）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为________（结果保留根号）． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、根据矩形的性质与判定求线段长、黄金分割 【分析】先证明四边形是矩形，求出的长，再根据黄金分割的定义，可得，代入即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ， 又 ， ， ， 四边形是矩形， ． 又 ， ， 则的长为． 9．（2024·山东潍坊·模拟预测）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是__________（结果精确到．参考数据：，，）． 【答案】 【知识点】黄金分割、分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查黄金分割及分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题． 设下部高为，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案． 【详解】解：设下部的高度为，则上部高度是， 雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比， ， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，在设计人体雕像时，为了增加视觉美感，将雕像分为上下两部分，其中C为的黄金分割点，即．已知为2米，则的长为__________米．（结果保留根号） 【答案】 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义，即可求出的长． 【详解】解：由得， ， 解得或（舍去）， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知的面积为4，点D是边上的黄金分割点，那么的面积是_______． 【答案】 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查黄金分割，黄金分割的定义是：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是 根据黄金分割的定义作答即可． 【详解】解：∵的面积为4，点D是边上的黄金分割点， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）已知线段满足，且． (1)求 a 、b 、c 的值； (2)若线段 x 是线段 a 、b 的比例中项，求 x 的值； (3)将线段b按黄金分割比例分为两条线段，求黄金分割比例后的较长线段的长度； 【答案】(1)9，6，12 (2) (3) 【知识点】比例的性质、成比例线段、黄金分割 【分析】（1）设比值为，然后用表示出再代入等式进行计算即可得； （2）根据比例中项的定义列式求解即可得 （3）根据黄金分割比的结论列式求解即可得 【详解】（1）解：设， 则， 解得：， 则：； （2）∵线段 x 是线段 a 、b 的比例中项， ∴， ∴， ∴； （3）∵线段b按黄金分割比例分为两条线段， ∴长边长度为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，比例线段，黄金分割比，熟记比例中项的概念、黄金分割比的比值结论是解决问题的关键，同时利用“设法”用表示出可以使计算更加简便． 【考点2】平行线截线段成比例（第13-20题） · 识别平行线，直接写对应线段成比例 · 三角形中被平行线截得的线段用平行分线段成比例定理 · 结合中位线、重心性质转化线段关系 13．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，已知三条直线，，互相平行，直线与，，分别交于，，三点，直线与，，分别交于，，三点，若，，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，掌握以上知识点是解题的关键； 本题根据平行线分线段成比例得出，然后代入数值计算即可． 【详解】解：∵三条直线，，互相平行， ∴，即， 解得． 故选：A． 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，直线分别交直线于点A，B，C，D，E，F，已知，则的长是（   ） A．3 B．4 C． D．6 【答案】D 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 15．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，正方形的边长为，点为边上一点，连接，延长到点，使，连接交于点． （1）当时，______； （2）连接，当时，______． 【答案】 【知识点】求角的正切值、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，角的正切，平行线分线段成比例，三线合一等知识； （1）根据勾股定理求得，进而根据题意求得的长，再根据正切的定义，即可求解； （2）根据三线合一可得，进而根据平行线分线段成比例得出，即可求得的长，再根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：（1）∵正方形的边长为， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴， 故答案为：． （2）∵， ∴ 又∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 16．（2025·四川眉山·一模）如图，在中，作分别交、于点D、E，作交于点F，，，则边的长为________． 【答案】4 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查相似三角形的性质，平行线段成比例，平行四边形的判定及性质，解题的关键是证明出四边形为平行四边形，得出，再利用相似及条件建立等式，通过等量代换进行求解即可． 【详解】解：在中，，， 四边形为平行四边形， ， ，， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：4． 17．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，为的重心，过点作交于点，交于点，已知，则___________． 【答案】 【知识点】重心的有关性质、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合、平行四边形性质和判定的应用 【分析】本题考查三角形重心的性质，平行四边形的判定，相似三角形的判定与性质，掌握重心的性质是解题关键． 连接并延长交于点，利用重心的性质，结合、判定四边形为平行四边形，再通过证明、，分别得出、，最后结合​，计算得． 【详解】解：如图，连接并延长交于点． 为重心， 为中点，， ，， ，， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 18．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，是的中线，点M在上，连接并延长交于点N．      【填空】 （1）若，则 ； （2）若，则 ； （3）若，则 ； … 【论证】请选择上述情况中的一种，画出符合条件的图形，并证明你的结论； 【猜想】若，则 （用含n的代数式表示，不用说明理由）． 【答案】[填空] （1）取中点G，连接，则， ∵为边上的中线， ∴点为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：； （2）取中点G，连接，则， ∵为边上的中线， ∴， ∴， 设，则， ∴， 故答案为：1； （3）取中点G，连接，则， ∵为边上的中线， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； 故答案为：; [猜想] 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，三角形中位线定理，解题的关键是通过构造三角形的中位线为使用平行线分线段成比例作铺垫． [填空]（1）取中点G，连接，根据三角形中位线定理得出，根据平行线分线段成比例得出，然后根据比例的性质求解即可； （2）仿照（1）求解即可； （3）仿照（1）求解即可； [论证]见上述解析； [猜想] 仿照（1）求解即可． 【详解】[填空]：解：（1） 略 （2） 略 （3）略 3 [论证]：上述已证明； [猜想]解：取中点G，连接，则，    ∵为边上的中线， ∴， ∴， 设，则， ∴， 故答案为：． 19．（23-24九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知，且．求：线段的长． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质与判定，可证明四边形是平行四边形求出的长，根据平行线分线段成比例定理可得，据此代入数值求解即可． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵， ∴，即， ∴． 20．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，点D，E分别在的边上，，，过 E作交于点F．若，求的长． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了平行线等分线线段定理，根据平行线等分线段定理得到等比例线段成为解题的关键． 由平行线等分线段定理可得、，再结合已知条件可得；设，则，再根据可得，进而完成解答． 【详解】解：∵， ． ∵， ∴， ， ， ， ∴设，则， ∵， ∴，即：， ∴． 【考点3】相似三角形的判定（第21-26题） · 先找已知相等的角，再选择判定方法 · 出现公共角、对顶角时优先考虑两角对应相等 · 两边成比例时须确认夹角相等 21．（23-24九年级上·浙江台州·阶段检测）如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接．下列结论中正确的个数有（    ） ①；②；③平分；④．    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定综合、用勾股定理解三角形、旋转的性质及辨析、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】①根据旋转的性质知，因为，，所以，可得的度数； ②因为与不一定相等，根据三角形相似的判定即可作出判断； ③证明，得，即可； ④，，，根据勾股定理判断． 【详解】解：①∵将绕点顺时针旋转后，得到， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，故结论①正确； ②∵，， ∴， 但与不一定相等， ∴与不一定相似，故结论②错误； ③∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴平分，故结论③正确； ④∵，， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转后，得到， ∴， ∴， 又∵， ∴，故结论④正确， ∴结论正确的个数有个． 故选：C． 【点睛】本题属于图形的旋转变换，考查了旋转的性质，相似的判定，等边对等角，全等三角形的判定和性质，勾股定理．掌握旋转的性质、勾股定理及相似的判定是解题的关键． 22．（22-23九年级下·广西钦州·周测）在和中，，下列条件不能判定这两个三角形相似的是（   ） A．， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似、利用两角对应相等判定相似 【分析】根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断即可． 【详解】解：选项： ，，， ， ， ； 选项： ，， ； 选项：有一组角相等且两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似； 选项： ，，， ， ，，， ， ， ， ． 23．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段检测）在中，，用直尺和圆规在AB上确定点D，使，根据作图痕迹判断，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定综合、作垂线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了尺规作垂线，相似三角形的判定，过点C作，结合已知条件可知，再证明，然后可得． 【详解】时， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 24．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，点O是的边上一点，连接，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证： 【答案】 证明：∵点D，E，F分别是，，的中点， ∴，，， 即， ∴． 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，三边对应成比例的两个三角形相似． 【详解】略 25．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； (2)的度数是． 【知识点】三角形内角和定理的应用、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】此题重点考查角平分线的定义、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识． （1）由，得，由平分，得，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，则，所以． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 26．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，在中，，D为边上一点，且，过点D作．交于点E．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【知识点】相似三角形的判定综合、直角三角形的两个锐角互余 【分析】此题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．根据直角三角形的性质及垂直定义求出，根据等腰三角形的性质求出，进而求出，再根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得证． 【详解】略 【考点4】相似三角形的性质与综合（第27-38题） · 周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 · 相似与平行四边形、正方形、勾股定理综合时先构造相似 · 动点问题设未知数，利用相似建立比例方程 27．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，正方形的边长为，点为的中点，点在上，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据四边形为正方形，得出，，勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求出的面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴的面积． 28．（23-24九年级下·湖南湘潭·自主招生）如图，在平行四边形中， E为上一点，，连接交对角线 于点F，则 等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】根据平行四边形的性质得到，，由可得，利用相似三角形的判定与性质求出与的相似比，进而得出面积比及线段比，最后利用等高三角形面积比等于底边比求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 29．（2026·陕西西安·中考真题）如图，在菱形中，对角线，，且相交于点O．点E在上，且，过点E作，交于点F，则的长度为（     ） A．6 B．8 C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】先根据菱形的性质求出，再根据相似三角形的判定与性质，得到，据此列方程求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 30．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，光线从点处射出射向轴上的点，经轴镜面反射，光线经过点，则的长度是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】轴对称中的光线反射问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点B作轴于点C，推导出，得到，继而求出，代入求出即可． 【详解】解：过点B作轴于点C，如图 ∴， ∵利用光的反射定律（入射角等于反射角）， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得． 31．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，，，将绕点顺时针旋转，则点C对应点的坐标为__________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意画出图形，过点作轴于点，过点作轴于点，证明，根据相似三角形的性质求出的大小即可得到答案． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， ， 将绕点顺时针旋转， 此时与重合， 轴，轴， ， 点A，B的坐标分别为，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 32．（25-26九年级上·山东枣庄·期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个矩形的最大面积是______． 【答案】2400 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的应用，二次函数的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键．由矩形的性质可得，，进而由得到，，设，则，证明得到，得到，即可得，最后根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴当时，矩形的面积最大，最大面积是． 故答案为：2400． 33．（2026·北京昌平·二模）如图，在正方形中，点为中点，连接，过点作交于点，连接，若，则的面积为________． 【答案】6 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明 【分析】由正方形的性质得到，，由点E是的中点得到，由得到，根据同角的余角相等得到，进而证得，利用相似三角形的性质求出的长，从而求得的长，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 34．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，四边形为菱形，，，．____________． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由已知可得，从而得到，根据已知求得菱形的边长，再利用相似三角形的性质求得即可． 【详解】解：四边形为菱形， ，， ， ， ，，， ， 解得， ． 35．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，在平行四边形中，E为延长线上一点，F为上一点，，若，，则的长是______．    【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，由平行四边形的性质得出，结合已知得出，利用相似三角形的性质结合题意求出的长度即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴的长是， 故答案为：． 36．（2026·四川雅安·一模）如图，在平行四边形中，，交于点F，那么的值是______． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】根据平行四边形的性质得到，从而证得，利用相似三角形对应边成比例及已知线段比即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 37．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在方格纸中，点A、B、C都在格点上，用无刻度直尺作图． (1)在图1中的边上确定一点D，连结，使． (2)在图2中的线段上找一个点E，使． 【答案】(1) 则点D即为所求． (2) 则点E即为所求 【知识点】由平行判断成比例的线段、勾股定理与网格问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形相似的判定和性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键． （1）根据题意，得，得到，只需作出斜边上高线即可． （2）利用平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 故， 作于点D， 理由如下： ，且， 故． （2）解：取， 过点N作交于点E， 则点E即为所求．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故． 38．（第4章 4 探索三角形相似的条件）如图，在中，点D在边上，过点D作交于点E，连接，F为边上一点，已知，判断与的位置关系并说明理由． 【答案】 ； 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【知识点】由平行判断成比例的线段、相似三角形的判定与性质综合、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，平行线的判定； 由可得，结合已知求出，证明，可得，进而可得结论． 【详解】略 【考点5】位似图形（第39-46题） · 位似中心是各对应点连线的交点 · 坐标系中位似按位似比缩放对应点坐标 · 位似比等于相似比，面积比等于位似比的平方 39．（22-23八年级下·重庆铜梁·期中）如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似，且，若的周长为2，则的周长为（     ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求两个位似图形的相似比 【分析】根据位似图形的性质可知与相似，由得出相似比，再利用相似三角形周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵与关于原点位似， ∴， ∵， ∴和的相似比是2， ∴， ∵的周长为2， ∴的周长为4． 40．（24-25九年级上·山东东营·阶段检测）如图，中，A、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标、求位似图形的对应坐标 【分析】先将和平移，使得位似中心C与原点重合，利用位似变换公式求出此时点B的位似对应点坐标，再将和向右平移使得点C回到，此时点的横坐标可求． 【详解】解： 先将和向左平移2个单位，使得位似中心C与原点重合， 所以可知点B的横坐标变为， 在位似比不变的条件下，此时点B的位似后的对应点的横坐标为，将和向右平移2个单位，使得位似中心C回到,此时点B的位似后的对应点的横坐标为：． 41．（23-24九年级上·四川成都·期末）数学课本上有这样一段表述：“在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数，所对应的图形与原图形…．”请利用这一规律解答下面问题：已知，，且，若，，则的长为（　　） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】本题考查的是位似变换，解题的关键是理解将一个图形各顶点的横坐标和纵坐标都乘（或，，所得图形的形状不变，各边扩大到原来的 倍（或缩小为原来，且连接各对应顶点的直线相交于一点．根据题意求出线段与线段的相似比，计算即可． 【详解】解：，，， 线段与线段的相似比为， ， ， 故选：A． 42．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，与是以点为位似中心的位似图形，位似比为1：3，正方形的边长为1，点在边上，点在边上，直线交于点，则的长度为_____． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求两个位似图形的相似比 【分析】先根据位似图形的性质得 ，且，即可求出 ，进而得出，再说明 ，然后根据相似三角形的对应边成比例得出答案． 【详解】解：∵和是以点A为位似中心的位似图形，且位似比是， ∴ ， ∴，． ∵，正方形的边长为1， ∴， ∴． ∵， ∴ ， ∴， 即， 解得． 43．（25-26九年级上·福建宁德·期末）如图，是三个全等的等腰三角形，底边在同一直线上．分别交于点，．小明发现与位似，其位似中心是___________． 【答案】点F 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、相似三角形的判定与性质综合、判断位似中心 【分析】本题主要考查了求两个位似图形的位似中心，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键．证明，得出点A与点D为对应点，点B与点Q为对应点，证明， ，根据底边在同一直线上，且过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，得出与在同一直线上，即可证明结论． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵是三个全等的等腰三角形， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴点A与点D为对应点，点B与点Q为对应点， ∵，， ∴为平行四边形， ∴， 同理：四边形为平行四边形， ∴， ∵底边在同一直线上，且过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴与在同一直线上， ∴与交于点F， ∴与的位似中心为点F． 故答案为：点F． 44．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段检测）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心的位置； (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为：，并写出点的对应点的坐标； (3)的内部一点的坐标为，写出在中的对应点的坐标． 【答案】(1) 如图，点为所作； (2) 如图，为所作， ； (3)点在中的对应点的坐标为． 【知识点】在坐标系中画位似中心、求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形 【分析】本题考查作图—位似变换及位似变换的性质．解题的关键是掌握位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使、，连接即可，根据图形写出坐标即可； （3）根据位似比，求出点的坐标即可． 【详解】（1）略 （2）点的坐标为； （3）点在中的对应点的坐标为． 45．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)求出的面积； (2)请以点为位似中心作一个与位似的，使得的面积为12．（作出一个符合题意的图形即可） 【答案】(1)3 (2)如图：即为所求（画出其中一个即可）． 【知识点】利用网格求三角形面积、在坐标系中画位似图形、求两个位似图形的相似比 【分析】（1）直接利用三角形的面积公式计算即可； （2）先利用与的面积比得到相似比，然后利用以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B、C的横纵坐标都乘以2或得到点，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：由图可得：． （2）解：， ∴与的相似比为：， ∵点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为 ∴点的坐标为或，点的坐标为或，点的坐标为或， 如图，为所求． 46．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，在正方形网格内，已知格点，点和线段，且，，都在格点上． (1)以点为位似中心，在正方形网格内作的位似图形，使与的相似比为； (2)以为一边，画出一个，使． 【答案】(1) 如图所示： (2) 如图所示； 【知识点】在网格中画与已知三角形相似的三角形、在坐标系中画位似图形 【分析】本题考查了作位似图形和相似图形； （1）根据位似图形的性质找出点A、B、C的对应点的位置，顺次连接即可； （2）根据的位置可知若在正方形网格内作出，则的对应边为，由，可知，，然后在网格内找出一点F，满足的各边是各边的倍即可． 【详解】（1）解：略． （2）略． 【考点6】相似多边形的性质与应用（第47-52题） · 相似多边形对应边成比例、对应角相等 · 实际问题（测量高度、小孔成像）构造相似三角形 · 网格中的相似按对应边比例验证 47．（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）如图1是古希腊时期的巴台农神庙，将图1中的虚线画成如图2所示的矩形，当以矩形的宽为边作正方形时，发现矩形矩形，则的值为___________． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、根据矩形的性质求线段长、相似多边形的性质、解分式方程（化为一元二次） 【分析】先得出，再根据相似三角形的性质可得，进而可得，设，解方程即可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵矩形矩形， ∴， ∴， 设， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列方程的解， ∴． 48．（23-24九年级上·广西来宾·期中）向阳中学有一块正方形的空地，边长为，学校计划将空地分为五部分，并给两位同学每人一张边长为的正方形硬纸板模型用来设计，下面是小明和小芳的设计方案． 小明：如图，它是由四个矩形和中间一个小正方形组成的，在该图案中矩形①与矩形②为相似矩形，相似比为，中间小正方形的边长为． 小芳：如图，它是由四个全等的直角三角形以及一个小正方形组成的，其中小正方形与大正方形的相似比为．    (1)求小明的方案中矩形①的面积． (2)求小芳设计的方案中，每个小直角三角形部分在学校空地的实际周长是多少米？ 【答案】(1) (2) 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、用勾股定理解三角形、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、相似多边形的性质 【分析】（1）设矩形①的长为，宽为．根据矩形①与矩形②为相似矩形，相似比为，得到矩形②的长为，宽为，解方程即可得到结论； （2）根据小正方形与大正方形的相似比为，且大正方形边长为，得到正方形的边长为，设，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：设矩形①的长为，宽为． 矩形①与矩形②为相似矩形，相似比为， 矩形②的长为，宽为， 由图可知，，， 解得，， 矩形①的面积为 ； （2）小正方形与大正方形的相似比为，且大正方形边长为， 正方形的边长为， 设，， ，， ， 整理可得， 解得， 负数舍去， ， 小直角三角形的周长是． 每个小三角形的实际周长为．    【点睛】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，二元一次方程组的应用，勾股定理，解一元二次方程，综合运用以上知识是解题的关键． 49．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，将一张矩形纸片对折（为折痕），得到两个形状、大小完全相同的小矩形．原矩形的长边与短边的比为多少时，小矩形与原矩形是相似的？ 【答案】原矩形的长边与短边的比为时，小矩形与原矩形是相似的 【知识点】相似图形、相似多边形的性质 【分析】根据相似多边形的性质求解即可． 【详解】解：∵小矩形与原矩形是相似的， 即矩形矩形， ∴， 设矩形纸片的长为，宽为，则，， ∴，即， ∴， 即． 50．（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图，四边形四边形．若，，，，，，求线段的长和的大小． 【答案】， 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似多边形的性质. 根据四边形内角和得出，根据对应边成比例得出的长． 【详解】解：∵四边形四边形 ， ∴，，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 51．（2026·广东深圳·二模）某店铺在窗户上方安装一个遮阳棚，如图所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角为．在某一时刻，一位身高的顾客在太阳光下的影长，则此时遮阳棚在地面上的影长为______m． 【答案】() 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、根据矩形的性质求线段长、相似三角形实际应用、平行投影 【分析】作，作，可得四边形是矩形，进而得，再解直角三角形求出，然后求出，接下来说明，可求出，最后根据得出答案． 【详解】解：如图所示，过点B作于点N，作于点M， ∴四边形是矩形， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 52．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，这是“小孔成像”的实验示意图．已知蜡烛与光屏之间的距离为l．具有“小孔”的纸板放在什么位置时，蜡烛火焰的高度是它的像高度的一半？ 【答案】具有“小孔”的纸板放在与蜡烛距离为的地方时，蜡烛火焰的高度是它的像高度的一半 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】设交于点O，具有“小孔”的纸板与蜡烛的距离为x，根据得到，据此求出x即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设交于点O，具有“小孔”的纸板与蜡烛的距离为x， 由题意得，，且， ∴， ∴， ∴， ∴具有“小孔”的纸板与蜡烛的距离为， 答：具有“小孔”的纸板放在与蜡烛距离为的地方时，蜡烛火焰的高度是它的像高度的一半． 💯 课后巩固 复习建议 · 成比例线段先统一单位再交叉相乘 · 黄金分割牢记较长段占全长的 · 平行线分线段成比例要找准对应线段 · 判定相似优先找相等的角 · 位似与相似综合题注意位似中心与相似比 【作业1】．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在中，于点，于点，与交于点，则图中与相似（不含）的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键． 根据“同角（等角）的余角相等”，结合“两角分别相等的两个三角形相似”，可得图中与相似的三角形的个数． 【详解】解：∵于点，于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴图中与相似（不含）的三角形有个， 故选：C． 【作业2】．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，P为线段的黄金分割点．如果的长度为，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：根据黄金分割的定义进行计算得： ∴， 故选：A． 【作业3】．（24-25九年级上·上海浦东新·期末）如图，已知，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，由，根据平行线分线段成比例定理逐项进行分析判断即可得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴，而与不一定相等，与不一定相等， 故A正确，C不正确，D不正确； 由得， 假设成立，则， ∴， ∴，与已知条件不符， ∴不成立， 故B不正确， 故选：A． 【作业4】．（23-24九年级下·山东烟台·期末）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为6、8、10的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形也相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（    ）    A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对 【答案】A 【知识点】相似多边形、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查相似三角形的判定、相似多边形的判定，根据题意得，，，，可得，，即可证得；再根据题意得，，可得，可知新矩形与原矩形不相似，即可求解． 【详解】解：甲：根据题意得，，，， ∴，， ∴， ∴甲说法正确； 乙：根据题意得，，，则，， ∴，， ∴， ∴新矩形与原矩形不相似， ∴乙说法不正确； 故选：A．    【作业5】．（2025·湖南·模拟预测）中，．点从出发以向移动秒，当为等腰三角形时，的值为（    ）． A．0 B．1 C．0或1 D．1或 【答案】D 【知识点】等边对等角、相似三角形——动点问题 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． 根据题意分类讨论：当时；当时；当时，设，则，可证，解得，；由此即可求解． 【详解】解：当时，， ∴； 当时，点重合，，此时与矛盾，不符合题意，舍去； 当时，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴， ∴； 综上所述，当为等腰三角形时，的值为或， 故选：D ． 【作业6】．（24-25九年级上·北京海淀·期中）小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，若两地的实际直线距离为，则两地的实际直线距离为________． 【答案】 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查的知识点为等高线地形图的判读与比例计算，解题思路是先从等高线图中确定等高距，得出和的高差关系，再结合已知的实际直线距离，利用“同一直线上距离与高差成正比”的规律，计算出的实际直线距离． 【详解】解：根据图可知所在海拔差为，所在海拔差为， ∵若两地的实际直线距离为且在同一直线上， ∴高差倍数：， 实际直线距离：． 故答案为：． 【作业7】．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，点G为的重心，，若，则______． 【答案】12 【知识点】重心的有关性质、与三角形中位线有关的求解问题、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】此题考查的是重心的性质和平行线分线段成比例定理，掌握重心的性质和平行线分线段成比例定理是解决此题的关键． 根据重心的性质可得，然后根据平行线分线段成比例定理可得，从而求出，即可求出结论． 【详解】解：∵点G为的重心， ∴，点D为中点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 【作业8】．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点都是小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，与相似的三角形是________． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查相似三角形的判定，利用两边成比例夹角相等， 证明三角形相似，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 【详解】解：观察图象可知， ． 故答案为：． 【作业9】．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）如图，以点为位似中心，把按相似比放大得到，连接．若的面积为6，则的面积为 __． 【答案】36 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了位似变换，掌握位似变换的性质及三角形的面积公式的解题的关键．根据位似变换的性质及三角形的面积公式求解，即可解题． 【详解】解：按相似比放大得到， 与的面积比为， 的面积为6， 的面积为54， ， 的面积为12， 的面积为：， 故答案为：36． 【作业10】．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，矩形被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形与原矩形相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是______． 【答案】 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质：①对应角相等；②对应边的比相等是解题的关键．设，，则，求出，根据矩形与原矩形相似，得出，即，求出，即可得出答案． 【详解】解：设，，则， 即， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即原矩形的较长边与较短边的比值是． 故答案为：． 【作业11】．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛位于头顶到下巴的黄金分割点，如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离约为4分米，那么该兵马俑的头顶到眼睛的距离约为_______分米（结果保留根号）． 【答案】 【知识点】黄金分割 【分析】设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为分米，根据黄金分割的定义列出方程求解． 【详解】解：设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为分米， 由题意得， 解得， 那么该兵马俑的头顶到眼睛的距离约为分米． 【作业12】．（22-23九年级下·四川成都·自主招生）如图，在中，，，，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交于D，交于E．则线段______． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、由平行截线求相关线段的长或比值、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，平行线分线段成比例，熟练掌握线段垂直平分线的性质、平行线分线段成比例是解答本题的关键． 由作图得为的垂直平分线，则，，进而得，则，再利用含30度角的直角三角形即可求解． 【详解】解：由作图可得，为的垂直平分线，则， 在中，，，， ∴，， ∴，则， ∴， 故答案为：． 【作业13】．（2026·上海长宁·一模）若点是线段上的一点，满足，已知，那么的长为___________． 【答案】/ 【知识点】成比例线段、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查比例线段，一元二次方程的求解，熟练掌握相关知识是关键． 根据题意，设，则，代入解方程即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 化简，得， 解得，，（负值舍去）， ∴， ∴． 故答案为：． 【作业14】．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知三条线段a，b，c满足，且． (1)求a，b，c的值； (2)若线段d是线段a和b的比例中项，求d的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】比例的性质、成比例线段 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段等知识点，熟记比例中项的概念是解决问题的关键． （1）设，然后用k表示出a、b、c，再代入，求解得到k，即可得到a、b、c的值； （2）根据比例中项的定义列式得到，然后根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：设， 则， ， ， 解得， ； （2）解：线段d是线段a和b的比例中项， ， 或（舍去）， d的值为． 【作业15】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知，，，．求证：． 【答案】证明：∵，， ∴． 又∵， ∴． 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】利用图形中的对顶角相等这一隐含条件，并结合已知边长数据，即可根据“两边成比例且夹角相等”判定三角形相似． 【详解】略 【作业16】．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，于点，于点，，，，点从点出发，沿方向以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动，连接，，过点作交的延长线于点，设点的运动时间为秒． (1)当时，求证：； (2)当时，若与相似，求线段的长． 【答案】(1) 证明：由题意，得，              ，                    当时，，             ，， ，．                       ， ， ， ， ，                    (2)线段长为或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定； （1）当时，，，进而得出，结合，即可得证； （2）分情况讨论，①当时，②当时，分别根据相似三角形的性质列出比例式，解方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2） ，                  ． 即． ． ①当时， ． ， ， ．                        ②当时， ． ． ，． ， 舍． 综上所述：线段长为或 【作业17】．（2025·安徽·模拟预测）如图，顶点均在方格的格点上，按要求作图求解题． (1)作关于y轴对称的图形； (2)在第一象限内，作出关于原点的位似图形，位似比为； (3)作出边上的高交于H． 【答案】(1) 解：如图，即为所求． (2) 解：如图，即为所求． (3) 解：如图，即为所求． 【知识点】画轴对称图形、画三角形的高、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】该题考查了格点作图，涉及轴对称作图，作位似图形，作三角形的高，解题的关键是正确作图． （1）先确定点关于y轴对称的点，再依次连接即可． （2）先确定点，再依次连接即可． （3）取格点，连接交于点H，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是边上的高． 【作业18】．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，反比例函数的图象经过斜边的中点P，与交于点Q，连接，点A的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)证明：． 【答案】(1) (2) 证明：当时，， 解得：， ， ∵， ，，， ，， ， 又， ． 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定． （1）先由点A的坐标为，根据中点的性质得出点P的坐标，根据反比例函数的性质得出k值，即可得反比例函数的表达式； （2）先根据题意得出Q的坐标，再得各线段长，进而得，再由即可证． 【详解】（1）解：点A的坐标为，P是的中点， ， 反比例函数经过点， ， 反比例函数的表达式为； （2）略 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $