第五章 二次函数（期中复习讲义）九年级数学上学期新教材北师大版

第五章 二次函数 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 二次函数的概念 考点二 二次函数的图象及性质 考点三 二次函数的平移 考点四 二次函数与一元二次方程的关系 考点五 用二次函数的性质解决实际问题 05 重难题型突破 题型一 二次函数的定义 题型二 二次函数的图象和性质 题型三 二次函数的平移 题型四 二次函数图象与其他函数图象共存问题 题型五 二次函数图象与各项系数符号问题 题型六 待定系数法求二次函数的表达式 题型七 画y=ax²+bx+c的图象 题型八 二次函数与一元二次方程的交点问题 题型九 利用二次函数解决实际问题 题型十 二次函数与几何图形的综合问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 九上第五章“二次函数”因新教材调整从九下前移，期中考查权重显著上升，难度中等偏上，易、中、难比例约5∶3∶2。考点集中在图象性质（开口、对称轴、顶点）、三种表达式求法、平移规律及实际最值应用。题型上，选择填空多考图象辨析与平移；解答题以利润/面积最值为常考模型，压轴题常与几何动点、面积存在性综合，对建模与代数推理要求较高。 识记 掌握二次函数一般式y=ax2+bx+c（a≠0），记住顶点坐标公式与对称轴公式，理解a决定开口方向与大小。 理解 厘清二次函数与一元二次方程的联系，理解图象平移规律“上加下减、左加右减”，能根据图象判断a、b、c的符号关系。 应用 能熟练求顶点式解析式并解决最值问题，并运用二次函数模型解决面积最大、利润最大、抛物线型拱桥等实际问题，期中常与几何图形结合考查。 考点一 二次函数的概念 1.二次函数的概念 一般地，形如 （a，b，c是常数， ）的函数，叫做二次函数 2.二次函数解析式的三种形式 （1）一般式： （a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式： （a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式： ，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． ⚠️避坑指南 ❌ 定义：形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，最高次为2，a决定开口方向。 ❌ 避坑：a=0时退化为一次函数，不是二次函数；别忘了检验a≠0。 考点二 二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 顶点 （ ， ） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x= 时，y最小值= 当x= 时，y最大值= 最点 抛物线有 点 抛物线有 点 增减性 当x< 时，y随x的增大而减小； 当x> 时，y随x的增大而增大 当x< 时，y随x的增大而增大； 当x> 时，y随x的增大而减小 ⚠️避坑指南 ❌ 图象是抛物线，对称轴x=-b/2a，顶点坐标代入求；a>0开口向上，a<0向下。 ❌ 避坑：配方时符号别错；增减性以对称轴为界，别跨轴说；顶点不是与y轴交点。 考点三 二次函数的平移 二次函数平移遵循“上 下 ，左 右 ”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． ⚠️避坑指南 ❌ 平移看顶点式y=a(x-h)²+k，左加右减在h，上加下减在k。 ❌ 避坑：别直接对一般式加减；平移只改位置不改形状，a不变，方向别搞反。 考点四 二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当 时，就变成了一元二次方程 （a≠0）． 2.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与 的横坐标． 3.（1） ⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与 ； （2） ⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与 ； （3） ⇔方程没有实数根，抛物线与 ． ⚠️避坑指南 ❌ 关系：抛物线y=ax²+bx+c与x轴交点横坐标，就是对应一元二次方程的根。 ❌ 避坑：Δ决定交点个数，别只看方程；交点个数与根个数对应，注意开口方向。 考点五 用二次函数的性质解决实际问题 1．利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： （1）列出 ，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定 （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的 或 2．二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的。 ⚠️避坑指南 ❌ 先建系设函数，求顶点得最值；注意自变量取值范围受实际意义限制。 ❌ 避坑：最值不一定在顶点，可能在端点；别忽略单位、负值和整数要求。 题型一 二次函数的定义 典例1 （25-26九年级上·四川成都·期中）下列函数中，是二次函数的是（ ） A． B． C． D． 💡破题要诀 1. 抓定义三条件：整式、只含一个未知数、最高次为2，且二次项系数不为0。 2. 化一般式：整理为 y=ax²+bx+c（a≠0），准确识别 a、b、c。 迁移应用 1．（25-26九年级上·河南周口·期中）下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽淮北·期中）下列函数中是二次函数的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）若是关于的二次函数，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．0 题型二 二次函数的图象和性质 典例2 （25-26九年级上·江苏徐州·期中）关于抛物线，下列结论正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是直线 C．当时，随的增大而减小 D．函数的最大值为 💡破题要诀 1. 抓开口与对称轴：由 a 定开口方向，由 x=-b/2a 定对称轴，配方法化顶点式。 2. 看顶点与增减：顶点定最值，结合开口判断对称轴两侧的增减性及与坐标轴交点。 迁移应用 1．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）对于二次函数，下列说法正确的是（  ） A．图象开口向下 B．当时，y有最大值为2 C．对称轴是直线 D．与y轴的交点坐标为 2．（25-26九年级上·上海·期中）已知关于的函数解析式，则下列说法正确的是（    ） A．若，则函数图像平行于轴 B．若，则函数图像过原点，且经过一、三象限 C．若，则函数图像开口向上，对称轴在轴右侧 D．若，则函数图像开口向上，对称轴在轴右侧 3．（25-26九年级上·山东淄博·期中）已知二次函数，自变量与函数值的部分对应值如下表． … 0 1 2 … … c 2 2 … 下列说法正确的是（    ） A．若，则函数图象的开口向上 B．关于的方程的两个根是和3 C．点在一次函数的图象上 D．代数式的最大值为 题型三 二次函数的平移 典例3 （25-26九年级上·山西运城·期末）将抛物线向下平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为____________． 💡破题要诀 1. 化顶点式：整理为 y=a(x-h)²+k，明确顶点(h,k)与开口方向。 2. 按口诀平移：左加右减括号内，上加下减括号外，顶点随之平移。 迁移应用 1．（25-26八年级下·重庆·期末）将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式是________． 2．（25-26九年级上·四川广安·期末）将抛物线的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为___________． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）若将二次函数的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，则平移后图像的函数表达式为________________． 题型四 二次函数图象与其他函数图象共存问题 典例4 （25-26九年级上·陕西商洛·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b均不为0）与二次函数 的图象可能是（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 1. 分函数定特征：由二次函数开口、对称轴、交点定 a、b、c 符号与大致位置。 2. 看共存找矛盾：将另一函数图象与二次函数特征比对，排除矛盾选项得答案。 迁移应用 1．（25-26九年级上·江西宜春·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·黑龙江·期中）一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型五 二次函数图象与各项系数符号问题 典例5 （25-26九年级上·贵州遵义·期中）二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③；④；其中结论正确有_____（直接写编号）． 💡破题要诀 1. 看开口与交点：a 定开口，c 定与 y 轴交点，对称轴位置结合 a 定 b 符号。 2. 用特殊点判断：取 x=1、-1 等代入，由图象高低判断 a+b+c、a-b+c 等符号。 迁移应用 1．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，已知抛物线图象的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示．下列命题中：①②；③对于任意实数m，都有；④点，点是抛物线上的两个点，若且，则真命题的序号有_______ 2．（25-26九年级上·福建泉州·期中）二次函数的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，以下结论：①；②，；③；④．其中正确的结论有________． 3．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④的实数其中正确的结论有______． 题型六 待定系数法求二次函数的表达式 典例6 （25-26九年级上·河南驻马店·期末）已知抛物线经过点，和，求该抛物线的解析式． 💡破题要诀 1. 选合适形式：已知顶点用顶点式，已知三交点用交点式，一般情况用一般式。 2. 代入解系数：将已知点坐标代入所设表达式，解方程组求出待定系数。 迁移应用 1．（25-26九年级上·广东广州·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c图象与y轴交于点，顶点为． (1)求该二次函数解析式． (2)当时，求y的取值范围． 2．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）二次函数图象与轴交于点，． (1)求该二次函数解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 3．（25-26九年级上·四川眉山·期中）抛物线过点和． (1)求的值； (2)求出抛物线的顶点坐标； (3)当时，请直接写出的取值范围． 题型七 画y=ax²+bx+c的图象 典例7 （25-26九年级上·河南洛阳·期中）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示． … 0 1 … … 0 0 … (1)求的值． (2)在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（无需再单独列表）． (3)根据图象，直接写出当时，的取值范围： ． 💡破题要诀 1. 化顶点式：配方求顶点、对称轴，确定开口方向。 2. 描点连线：取顶点及两侧对称点，列表描点，用平滑曲线连接。 迁移应用 1．（25-26九年级上·北京·期中）已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围． … 0 1 2 3 … … 0 0 … 2．（25-26九年级上·广东广州·期中）已知抛物线． ．．． ．．． ．．． ．．． (1)该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ； (2)选取适当的数据填入表中，并在如图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； (3)若该抛物线上两点，的横坐标满足，试比较，的大小． 3．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）已知二次函数的图象与轴的交点为，． (1)______；______； (2)求该图象的顶点坐标； (3)画出这个函数的图象，并回答： ①当时，的取值范围是_____； ②当时，的取值范围是_____． 题型八 二次函数与一元二次方程的交点问题 典例8 （26-27九年级上·天津·期中）二次函数的部分图象如图所示，当时，x的取值范围是____________． 💡破题要诀 1. 令函数值相等：将二次函数与方程（或另一函数）联立，转化为 ax²+bx+c=0 的形式。 2. 看判别式定交点：用 Δ 判断交点个数，解方程求横坐标，再代回求纵坐标。 迁移应用 1．（25-26九年级上·天津·期中）若关于x的函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值是________． 2．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，二次函数：与一次函数：的图象交于、两点，则当时，的取值范围是______． 3．（25-26八年级下·北京·期末）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有个公共点时，的取值范围为______． 题型九 利用二次函数解决实际问题 典例9 （25-26九年级上·浙江温州·期中）草莓被誉为“水果皇后”，不仅美味可口，还富含营养.新鲜上市的草莓很受大家欢迎，某商店每千克草莓的成本价为17元，经调查研究，在开始销售的30天，其每日销售量（千克）与时间（天）存在一次函数关系，数据如表： 时间t（天） 1 2 5 10 20 日销售量 128 136 160 200 280 在这30天内，前25天每天的价格（元/千克）与时间t（天）的函数关系式为（且t为整数），从第26天开始，每天的价格则稳定在27元/千克． (1)直接写出m关于t的函数关系式______． (2)求第30天当天的销售利润． (3)这30天哪一天的销售利润最大，求出t的值及当天的销售利润． 💡破题要诀 1. 建系设变量：根据题意设自变量与函数，找准等量关系列二次函数表达式。 2. 定范围求最值：结合实际问题确定自变量取值范围，用顶点或增减性求最值。 迁移应用 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽为4m．若以通过拱顶点的水平直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求出该抛物线的解析式． (2)若水面下降1m，则此时水面宽度为多少m．（结果允许保留根号的形式） 2．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图，某农场计划建造一个长方形养殖场，为充分利用现有资源，该长方形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成长方形和长方形，且长方形与长方形面积比为，若栅栏的总长度为，请解决以下问题： (1)若设的长度为，则的长度可表示为_____，的长度可表示为_____，（用含的代数式表示） (2)当的长度为多少时，长方形养殖场总面积最大？最大为多少？ 3．（25-26九年级上·江西上饶·期末）综合与实践： 【问题提出】如图（1）在中，，为的中点，点沿折线运动（运动到点停止），以为边在上方作正方形．设点运动的路程为，正方形的面积为． 【初步感悟】（1）当点在上运动时，①若，则　　　　　　； ②关于的函数关系式为　　　　　　； （2）当点从点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图（2）所示的函数图象，直线是其图象所在抛物线的对称轴，求关于的函数关系式（写出自变量的取值范围）． 【延伸探究】（3）当时，的长为　　　　　　，此时关于的函数图象上点的坐标为　　　　　　； （4）连接正方形的对角线，两对角线的交点为，求点在内部时和的取值范围． 题型十 二次函数与几何图形的综合问题 典例10 （26-27九年级上·全国·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线经过B，C两点，点A的坐标为，P是第一象限内抛物线上的一个动点，于点Q，设点P的横坐标为n． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求线段的最大值，并求此时n的值； (3)在（2）的条件下，当线段取最大值时，若M是x轴正半轴上一动点，N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 💡破题要诀 1. 坐标化转化：设动点坐标，用二次函数表示线段或面积，将几何条件化为方程。 2. 分类讨论求解：按图形位置或形状分类，结合自变量范围取舍，求最值或存在性。 迁移应用 1．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)求点坐标和面积； (3)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接，交于点．设，是否存在最大值？如果存在求出此时点的坐标并求出此时的最大值，否则请说明理由． 2．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线经过坐标轴上三点，直线过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线下方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标： (3)R是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点S，使得以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标：若不存在，请说明理由． 3．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图1，若二次函数图象与轴交于点A和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 基础固本练（限时：15分钟） 一、单选题 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下列函数中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过点，两点，若，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）二次函数（、、为常数，）的与的部分对应值如下表： … 0 2 3 4 … … 2 2 5 10 … 有如下结论：①这个函数的图像开口向下；②；③这个函数的最大值为10；④图象的对称轴为直线，其中不正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期中）二次函数的图象如图所示，给出下列说法中：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 5．（25-26九年级上·广东中山·期中）已知点是抛物线上的一点，则a的值为_______． 6．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知在时最大值为，最小值为2，则的取值范围是______． 7．（2026·山东青岛·中考真题）若二次函数的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是__________． 8．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知点在抛物线上，点在抛物线上，若，则h的最大值为________． 三、解答题 9．（25-26九年级上·安徽六安·期中）已知抛物线经过点和． (1)求b，c的值； (2)判断点是否在这个抛物线上，并说明理由． 10．（25-26九年级下·四川自贡·期中）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．某电商平台数据显示，该毛绒小马1月份销量为20万件，3月份销量已增至24.2万件． (1)求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率． (2)义乌某店铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，当售价为30元/件时，日销量为70件．市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加10件，为使销售利润最大，则每件应降价多少元？ 11．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）已知二次函数，在平面直角坐标系中画出该函数的图象，并将轴下方的图象沿轴翻折，得到的图象与轴上方的部分组合得到新的函数图象，设这个新的函数为． (1)请在下面的平面直角坐标系中画出的图象． (2)结合的函数图象回答下面问题： ①直接写出随增大而增大的自变量的取值范围． ②当直线与有四个交点时，求出的取值范围． x …… 0 1 2 4 ….. …… 5 0 0 5 ….. …… 5 0 0 5 …… 12．（2026·上海·中考真题）对于函数，对称轴与轴交于点，将点向右平移一个单位得到点，使点与点的横坐标相等，且点的纵坐标为，则称点为抛物线的“派生点”，并且将直线称为抛物线的“派生直线”． (1)已知函数，求该函数的“派生直线”解析式； (2)已知点为某抛物线的“派生点”，点和在其“派生直线”上，且点是该抛物线与其“派生直线”的交点，求的值，并判断点是否在抛物线上． 综合进阶练（限时：15分钟） 一、单选题 1．（25-26九年级上·河南南阳·期末）下列关于抛物线的说法，正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随的增大而减小 2．（25-26九年级上·全国·期中）如图，已知抛物线c（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在，之间（不含端点），则下列结论正确的有（   ）个 ①；②；③；④若方程两根为，则 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 3．（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）已知抛物线，若抛物线的函数值为，则x的取值范围是_____________． 4．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）已知关于x的抛物线（k为常数）． （1）此抛物线顶点的坐标是_________． （2）若，点为该抛物线上一动点，过点A作直线轴，直线与直线相交于点B．当线段的长随a的增大而减小时，a的取值范围是_________． 三、解答题 5．（25-26九年级下·河南平顶山·期中）如图，已知抛物线经过点，，点P在抛物线上，横坐标为m，点P不与点A重合. (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)若点，都在函数图象上，且，则 ；（填“”“”或“”） (3)将抛物线上P，A两点之间的部分（包括端点）记作图象G，当图象G的最高点与最低点在直线的异侧时，请直接写出m的取值范围. 6．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）已知抛物线经过点，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点，在该抛物线上，且，求m的取值范围； (3)将此抛物线向左平移n（）个单位，设平移后抛物线与y轴的交点为，若e的最大值和最小值分别为，，且，求n的值． 7．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）喷泉是城市中一道美丽的风景．如图1，水花从垂直地面的水管的顶端处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以水管与地面的交点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，水管的高度是米，喷出最远的水花的运动轨迹为抛物线（如图2所示），水花在与水管的水平距离为1米时，达到最大高度2米，水花之后沿抛物线下落，最终落到地面上的点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若图1中喷出的水花的运动轨迹所在的抛物线群如图3所示，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，其中一条抛物线与水平直线相交于点，请求出的顶点坐标和的表达式； (3)若喷泉水花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点，经测算，当时，喷泉的观赏效果最佳，请求出此时抛物线中的取值范围． 8．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 二次函数 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 二次函数的概念 考点二 二次函数的图象及性质 考点三 二次函数的平移 考点四 二次函数与一元二次方程的关系 考点五 用二次函数的性质解决实际问题 05 重难题型突破 题型一 二次函数的定义 题型二 二次函数的图象和性质 题型三 二次函数的平移 题型四 二次函数图象与其他函数图象共存问题 题型五 二次函数图象与各项系数符号问题 题型六 待定系数法求二次函数的表达式 题型七 画y=ax²+bx+c的图象 题型八 二次函数与一元二次方程的交点问题 题型九 利用二次函数解决实际问题 题型十 二次函数与几何图形的综合问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 九上第五章“二次函数”因新教材调整从九下前移，期中考查权重显著上升，难度中等偏上，易、中、难比例约5∶3∶2。考点集中在图象性质（开口、对称轴、顶点）、三种表达式求法、平移规律及实际最值应用。题型上，选择填空多考图象辨析与平移；解答题以利润/面积最值为常考模型，压轴题常与几何动点、面积存在性综合，对建模与代数推理要求较高。 识记 掌握二次函数一般式y=ax2+bx+c（a≠0），记住顶点坐标公式与对称轴公式，理解a决定开口方向与大小。 理解 厘清二次函数与一元二次方程的联系，理解图象平移规律“上加下减、左加右减”，能根据图象判断a、b、c的符号关系。 应用 能熟练求顶点式解析式并解决最值问题，并运用二次函数模型解决面积最大、利润最大、抛物线型拱桥等实际问题，期中常与几何图形结合考查。 考点一 二次函数的概念 1.二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数 2.二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． ⚠️避坑指南 ❌ 定义：形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，最高次为2，a决定开口方向。 ❌ 避坑：a=0时退化为一次函数，不是二次函数；别忘了检验a≠0。 考点二 二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小； 当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大； 当x>–时，y随x的增大而减小 ⚠️避坑指南 ❌ 图象是抛物线，对称轴x=-b/2a，顶点坐标代入求；a>0开口向上，a<0向下。 ❌ 避坑：配方时符号别错；增减性以对称轴为界，别跨轴说；顶点不是与y轴交点。 考点三 二次函数的平移 二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． ⚠️避坑指南 ❌ 平移看顶点式y=a(x-h)²+k，左加右减在h，上加下减在k。 ❌ 避坑：别直接对一般式加减；平移只改位置不改形状，a不变，方向别搞反。 考点四 二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3.（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． ⚠️避坑指南 ❌ 关系：抛物线y=ax²+bx+c与x轴交点横坐标，就是对应一元二次方程的根。 ❌ 避坑：Δ决定交点个数，别只看方程；交点个数与根个数对应，注意开口方向。 考点五 用二次函数的性质解决实际问题 1．利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： （1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 2．二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的。 ⚠️避坑指南 ❌ 先建系设函数，求顶点得最值；注意自变量取值范围受实际意义限制。 ❌ 避坑：最值不一定在顶点，可能在端点；别忽略单位、负值和整数要求。 题型一 二次函数的定义 典例1 （25-26九年级上·四川成都·期中）下列函数中，是二次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的定义，二次函数定义为形如的整式函数，据此解答即可． 【详解】解：A、，符合定义，故此选项符合题意； B、此函数为一次函数，不符合二次函数的定义，故此选项不符合题意； C、表达式为分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故此选项不符合题意； D、表达式为分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故此选项不符合题意； 故选：A． 💡破题要诀 1. 抓定义三条件：整式、只含一个未知数、最高次为2，且二次项系数不为0。 2. 化一般式：整理为 y=ax²+bx+c（a≠0），准确识别 a、b、c。 迁移应用 1．（25-26九年级上·河南周口·期中）下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数，且必须是整式，逐项判断即可． 【详解】解：二次函数需满足整式且最高次项为2次，且， 选项A：，最高次为1次，故不符合题意； 选项B：，含有分式，不是整式，故不符合题意； 选项C：，是整式且最高次项为2次，故符合题意； 选项D：，含有分式，不是整式，故不符合题意， 故选：C． 2．（25-26九年级上·安徽淮北·期中）下列函数中是二次函数的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，形如 的函数是二次函数．逐一判断每个函数是否符合定义即可． 【详解】解：①，是二次函数； ②，不是二次函数； ③，是二次函数； ④，不是二次函数； ∴ 是二次函数的有①和③，共2个． 故选：B 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）若是关于的二次函数，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义：一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数，叫做二次函数其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，（a，b，c为常数，）也叫做二次函数的一般形式． 根据二次函数的定义，最高次项必须为二次且系数不为零求解即可． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴且． 解方程得或． 又∵， ∴． ∴． 故选 ：A． 题型二 二次函数的图象和性质 典例2 （25-26九年级上·江苏徐州·期中）关于抛物线，下列结论正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是直线 C．当时，随的增大而减小 D．函数的最大值为 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，包括开口方向、对称轴、增减性和最值．通过二次函数的一般形式，确定、、的值，进而判断各选项． 【详解】解： 二次函数 中，, , ， ，抛物线开口向下， 故选项A错误； 抛物线的对称轴为直线 ， 故选项B错误； 抛物线开口向下，对称轴为 ， 当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小。 选项C中 ，属于 的范围， 随 增大而增大， 故选项C错误； 函数的最大值在顶点处，当 时， 可得：， 故最大值为， 故选项D正确． 故选：D． 💡破题要诀 1. 抓开口与对称轴：由 a 定开口方向，由 x=-b/2a 定对称轴，配方法化顶点式。 2. 看顶点与增减：顶点定最值，结合开口判断对称轴两侧的增减性及与坐标轴交点。 迁移应用 1．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）对于二次函数，下列说法正确的是（  ） A．图象开口向下 B．当时，y有最大值为2 C．对称轴是直线 D．与y轴的交点坐标为 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数（a，b，c为常数，）的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 对于二次函数，可化为顶点式再根据其性质分析即可． 【详解】解：∵二次项系数， ∴抛物线开口向上， ∴选项A不符合题意， ∵ ， ∴当时，y有最小值为2， ∴选项B不符合题意， ∵， ∴二次函数的对称轴是直线， ∴选项C符合题意， 当时， ， ∴与y轴的交点坐标为， ∴选项D不符合题意， 故选：C． 2．（25-26九年级上·上海·期中）已知关于的函数解析式，则下列说法正确的是（    ） A．若，则函数图像平行于轴 B．若，则函数图像过原点，且经过一、三象限 C．若，则函数图像开口向上，对称轴在轴右侧 D．若，则函数图像开口向上，对称轴在轴右侧 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义和性质，准确分析判断是解题的关键． 根据二次函数的定义和性质，分别计算各选项下函数的表达式，判断开口方向、对称轴位置等． 【详解】函数为 ， 对于：当时，，为常数函数，图像平行于x轴，不平行于y轴，错误； 对于：当时，，过原点，但斜率，图像经过第二、四象限，不经过第一、三象限，错误； 对于：当时，，开口向上；，对称轴 ，在y轴左侧，错误； 对于：当时，，开口向上；，对称轴 ，在y轴右侧，正确． 故选． 3．（25-26九年级上·山东淄博·期中）已知二次函数，自变量与函数值的部分对应值如下表． … 0 1 2 … … c 2 2 … 下列说法正确的是（    ） A．若，则函数图象的开口向上 B．关于的方程的两个根是和3 C．点在一次函数的图象上 D．代数式的最大值为 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，根据表格中点(1,2)和(2,2)的y值相同，可得抛物线对称轴为，进而求得，，逐一验证各选项即可． 【详解】解：∵ 点和在抛物线上，且y值相同， ∴ 对称轴为， ∴， 将代入函数：， ∴，即， 若，则， 解得：， ∴抛物线开口向下， ∴A错误； 由表格可得：当时，， 又∵对称轴， ∴的另一个解为， ∴B错误； ∵， ∴点即， 将代入中，则， ∴C正确； ∵， ∴当时， 的最大值为， ∴D错误， ∴故选：C． 题型三 二次函数的平移 典例3 （25-26九年级上·山西运城·期末）将抛物线向下平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为____________． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律． 根据二次函数图象的平移规律“上加下减”作答即可． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度，得． 故答案为：． 💡破题要诀 1. 化顶点式：整理为 y=a(x-h)²+k，明确顶点(h,k)与开口方向。 2. 按口诀平移：左加右减括号内，上加下减括号外，顶点随之平移。 迁移应用 1．（25-26八年级下·重庆·期末）将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式是________． 【答案】 【分析】根据“自变量加减左右移，函数值加减上下移”的平移规律求解即可． 【详解】据题意可得： 2．（25-26九年级上·四川广安·期末）将抛物线的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的平移，直接利用二次函数的平移规律进而得出答案． 【详解】解：将抛物线的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位， 所得抛物线的解析式为． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）若将二次函数的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，则平移后图像的函数表达式为________________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图像的平移，根据“左加右减，上加下减”的规律进行解题即可． 【详解】解：原函数为，向左平移1个单位，得， 再向上平移2个单位，得， 故答案为：． 题型四 二次函数图象与其他函数图象共存问题 典例4 （25-26九年级上·陕西商洛·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b均不为0）与二次函数 的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象等知识点．根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数中a、b的正负情况与二次函数中a、b的正负情况，然后逐项判断即可解答． 【详解】解：A、由二次函数图象可知：，，则，由一次函数图象可知：，故该选项不符合题意； B、由二次函数图象可知：，，由一次函数图象可知：，故该选项不符合题意； C、由二次函数图象可知：，，则，由一次函数图象可知：，故该选项不符合题意； D、由二次函数图象可知：，，由一次函数图象可知：，故该选项符合题意； 故选：D． 💡破题要诀 1. 分函数定特征：由二次函数开口、对称轴、交点定 a、b、c 符号与大致位置。 2. 看共存找矛盾：将另一函数图象与二次函数特征比对，排除矛盾选项得答案。 迁移应用 1．（25-26九年级上·江西宜春·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，掌握二次函数和一次函数的图象是解决本题的关键． 由一次函数图象与二次函数的图象分别求出对应的，的范围，再相比较看是否一致即可． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，矛盾，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，矛盾，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，矛盾，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．（25-26九年级下·黑龙江·期中）一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先观察每一个选项中二次函数图象得到字母系数，的正负，接下来判断一次函数的图象中的参数，的正负； 结合每一个选项按照此方法进行判断，当两个函数的，取值一致时，即为正确答案． 【详解】解：：一次函数，二次函数，可得，不符合题意； ：一次函数，；二次函数，，可得，符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意． 3．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是由二次函数的图象判断各项系数的符号，一次函数与反比例函数的图象，熟记一次函数与反比例函数的图象的性质是解本题的关键． 由二次函数的图象可得：，，，可得一次函数的图象经过一、二、三象限，的图象在二，四象限，从而可得答案． 【详解】解：由二次函数的图象可得：，， ∵， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、三象限， 的图象在二，四象限， ∴A，C，D不符合题意，B符合题意； 故选：B． 题型五 二次函数图象与各项系数符号问题 典例5 （25-26九年级上·贵州遵义·期中）二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③；④；其中结论正确有_____（直接写编号）． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据开口方向可判断①，根据对称轴公式可判断②，根据函数图象与x轴有两个不同的交点可判断③，根据当时，可判断④． 【详解】解：∵函数图象开口向下， ∴，故①错误； ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故②错误； 由函数图象可知，二次函数的图象与x轴有两个不同的交点， ∴，故③正确； 由函数图象可知，当时，， ∴，故④错误； ∴正确的只有③， 故答案为：③． 💡破题要诀 1. 看开口与交点：a 定开口，c 定与 y 轴交点，对称轴位置结合 a 定 b 符号。 2. 用特殊点判断：取 x=1、-1 等代入，由图象高低判断 a+b+c、a-b+c 等符号。 迁移应用 1．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，已知抛物线图象的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示．下列命题中：①②；③对于任意实数m，都有；④点，点是抛物线上的两个点，若且，则真命题的序号有_______ 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等，根据二次函数的性质可得，可判断结论①和结论②；由时，函数值最大可判断结论③；根据得到点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离可判断结论④． 【详解】解：∵二次函数开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，，故①正确，②错误； ∵二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴当时，二次函数有最大值，最大值为， ∴不论取何值，都有， ∴，故③正确； ∵对称轴是直线，且， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离 ∵二次函数开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， ∴，故④正确． 综上所述，正确的选项是①③④． 故答案为：①③④． 2．（25-26九年级上·福建泉州·期中）二次函数的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，以下结论：①；②，；③；④．其中正确的结论有________． 【答案】①④ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握其性质是解题的关键．根据二次函数的图象，开口向下可知；由对称轴为直线，可得；代入点得；再计算，即可判断各结论的正确性． 【详解】解：二次函数图象开口向下， 对称轴为直线， ，即， 故②③错误； 图象过点， 代入得，即， ， 故①正确； ， ④正确； 综上，正确的结论有：①④． 故答案为：①④． 3．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④的实数其中正确的结论有______． 【答案】②④ 【分析】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图象可知：， ， ， ，故此选项错误； ②由对称知，当时，函数值大于0，即，故此选项正确； ③当时，；当时，， ，即， ，故此选项错误； ④当时，y的值最大．此时，， 而当时，， ∴， 故，即，故此选项正确．故②④正确． 故答案为：②④． 题型六 待定系数法求二次函数的表达式 典例6 （25-26九年级上·河南驻马店·期末）已知抛物线经过点，和，求该抛物线的解析式． 【答案】 【分析】利用待定系数法求抛物线的解析式即可． 【详解】解：∵抛物线经过点，和， ∴，解得 ∴抛物线的解析式为． 💡破题要诀 1. 选合适形式：已知顶点用顶点式，已知三交点用交点式，一般情况用一般式。 2. 代入解系数：将已知点坐标代入所设表达式，解方程组求出待定系数。 迁移应用 1．（25-26九年级上·广东广州·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c图象与y轴交于点，顶点为． (1)求该二次函数解析式． (2)当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质． （1）利用待定系数法即可求得； （2）先由知，函数有最小值为，据此分别求出，时的值即可得答案． 【详解】（1）解：∵顶点为， ∴二次函数解析式为， 代入点得，， 解得， 该二次函数解析式为； （2）解：抛物线的开口向上，对称轴为直线，函数有最小值为， 当时，， 当时，， 当时，y的取值范围是． 2．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）二次函数图象与轴交于点，． (1)求该二次函数解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握解析式的求法、函数的最值及函数图象的交点是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）依据题意，由，进而结合求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数图象与轴交于点，， ∴把，代入解析式得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值，为9； 又当时，； 当时，； 所以，当时，． 3．（25-26九年级上·四川眉山·期中）抛物线过点和． (1)求的值； (2)求出抛物线的顶点坐标； (3)当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)顶点坐标 (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）把点和代入得关于、的方程组，解方程组得到、的值； （2）把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标即可； （3）利用函数的基本性质找出在中的最小值和最大值即可得出答案． 【详解】（1）解：把，分别代入， 得， 解得； （2）解：由（1）得抛物线解析式为， 将一般式化为顶点式得：， 抛物线的顶点坐标为； （3）解：∵，且抛物线的顶点坐标为， ∴当时，函数有最大值7， ∵当时，， 当时，， ∴当时，． 题型七 画y=ax²+bx+c的图象 典例7 （25-26九年级上·河南洛阳·期中）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示． … 0 1 … … 0 0 … (1)求的值． (2)在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（无需再单独列表）． (3)根据图象，直接写出当时，的取值范围： ． 【答案】(1) (2) 根据表格中数据，描点、连线得：如图所示： (3) 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）依据题意，根据表格数据可设，将代入得，求出a的值即可得出解析式，再把代入解析式即可求出m的值； （2）描点、连线即可得出答案； （3）根据二次函数的性质求出最小、最大值即可得出y的范围． 【详解】（1）解：由题意，根据表格数据，设， ∴将代入得， ∴， ∴抛物线解析式为，即， 把代入得：； （2）略 （3）解：根据图象，当时，y的取值范围为． 故答案为：． 💡破题要诀 1. 化顶点式：配方求顶点、对称轴，确定开口方向。 2. 描点连线：取顶点及两侧对称点，列表描点，用平滑曲线连接。 迁移应用 1．（25-26九年级上·北京·期中）已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围． 【答案】(1) (2) 函数图象如下所示： (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，准确画出二次函数的图象成为解答本题的关键． （1）运用配方法将原解析式化为顶点式即可； （2）根据（1）所得的顶点式解析式，利用五点作图法直接画出图象即可； （3）根据函数图象确定当时对应的y的取值范围即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：列表如下： … 0 1 2 3 … … 0 0 … （3）解：由函数图象可知，当时，函数值的取值范围为． 2．（25-26九年级上·广东广州·期中）已知抛物线． ．．． ．．． ．．． ．．． (1)该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ； (2)选取适当的数据填入表中，并在如图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； (3)若该抛物线上两点，的横坐标满足，试比较，的大小． 【答案】(1)； (2) 依次描点、连线如图所示， (3) 【分析】本题主要考查二次函数的综合知识，二次函数中对称轴的计算方法，顶点的计算方法和绘图的方法，熟知二次函数图像的性质是解题的关键． （1）将抛物线变为顶点式即可求解顶点坐标； （2）根据抛物线自变量的取值范围，适当选取自变量的值，计算函数值，并在平面直角坐标系中描点，连线即可； （3）根据函数图像的性质即可求解． 【详解】（1）解： ， ∴抛物线的对称轴是，顶点坐标是， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时， 或 解得， 当时， ， 综上所述，可选取 （3）解：∵， ∴由图可得． 3．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）已知二次函数的图象与轴的交点为，． (1)______；______； (2)求该图象的顶点坐标； (3)画出这个函数的图象，并回答： ①当时，的取值范围是_____； ②当时，的取值范围是_____． 【答案】(1)2， (2) (3)画图如下： ①或；② 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，画二次函数图象，二次函数的性质，解题的关键是求出二次函数解析式． （1）将，代入求解即可； （2）将表达式配方成顶点式求解即可； （3）①利用五点作图法画出图象，然后根据图象求解即可； ②根据图象求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得； 故答案为：2，． （2）∵，， ∴ ∴该图象的顶点坐标为； （3）①列表如下： x 0 1 0 0 ∴由图象得，当时，的取值范围是或； 故答案为：或； ②当时，， ∴由图象得，当时，的取值范围是． 故答案为：． 题型八 二次函数与一元二次方程的交点问题 典例8 （26-27九年级上·天津·期中）二次函数的部分图象如图所示，当时，x的取值范围是____________． 【答案】或 【分析】首先根据对称轴和与x轴的一个交点确定另一个交点的坐标，然后根据其图象确定自变量的取值范围即可． 【详解】解：由图象可得抛物线对称轴为直线，抛物线与轴一个交点为， ∴抛物线与轴另一个交点为， ∴当时，x的取值范围是或． 💡破题要诀 1. 令函数值相等：将二次函数与方程（或另一函数）联立，转化为 ax²+bx+c=0 的形式。 2. 看判别式定交点：用 Δ 判断交点个数，解方程求横坐标，再代回求纵坐标。 迁移应用 1．（25-26九年级上·天津·期中）若关于x的函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值是________． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数和二次函数的性质：当函数为一次函数时满足题意，当函数为二次函数时，，据此即可求解． 【详解】解：当，即时，函数为，是一次函数，与x轴只有一个交点，满足题意，故； 当，即时，函数为二次函数，要使其与x轴只有一个交点， 则，即，解得； 综上所述，a的值为或． 故答案为：或． 2．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，二次函数：与一次函数：的图象交于、两点，则当时，的取值范围是______． 【答案】或 【分析】本题考查函数交点的意义，函数图像与不等式的关系，把不等式关系转化为图像的位置关系是解题关键． 把不等式转化为函数图像的上下位置关系，找到交点横坐标作为分界点，再观察图像走势确定满足条件的取值范围． 【详解】解：由图可知，二次函数与一次函数的交点的横坐标为，交点的横坐标为， 则时，的取值范围为或． 故答案为：或． 3．（25-26八年级下·北京·期末）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有个公共点时，的取值范围为______． 【答案】 【分析】当直线经过点时，直线与新函数的图象有个公共点，把点的坐标代入解析式求出，当时，抛物线关于轴翻折后的图象的解析式是，当直线与的图象有一个交点时，直线与新函数图象有个交点，根据一元二次方程根的判别式求出的值，即可得到的取值范围． 【详解】解：解方程， 分解因式可得， 可得，， 点的坐标为，点的坐标为， 当直线经过点时， 可得， 解得， 此时，直线与新函数的图象有个公共点， 直线再往下平移，则直线与新函数的图象有个公共点， ， 把抛物线整理成顶点坐标式， 可得， 抛物线的顶点坐标是， 点关于轴对称的点的坐标是， 当时，抛物线关于轴翻折后的图象的解析式是， 当直线与的图象有一个交点时，直线与新函数图象有个交点， 方程有两个相等的实数根， 整理可得， ， 解得， 当时，直线与新函数的图象恰有个公共点． 题型九 利用二次函数解决实际问题 典例9 （25-26九年级上·浙江温州·期中）草莓被誉为“水果皇后”，不仅美味可口，还富含营养.新鲜上市的草莓很受大家欢迎，某商店每千克草莓的成本价为17元，经调查研究，在开始销售的30天，其每日销售量（千克）与时间（天）存在一次函数关系，数据如表： 时间t（天） 1 2 5 10 20 日销售量 128 136 160 200 280 在这30天内，前25天每天的价格（元/千克）与时间t（天）的函数关系式为（且t为整数），从第26天开始，每天的价格则稳定在27元/千克． (1)直接写出m关于t的函数关系式______． (2)求第30天当天的销售利润． (3)这30天哪一天的销售利润最大，求出t的值及当天的销售利润． 【答案】(1)（且t为整数） (2)3600元 (3)第15天和第16天销售利润最大，或16，当天销售利润为3720元 【分析】本题考查一次函数和二次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设一次函数关系式，选取表格中两组数据代入建立方程组，解方程组求出k和b，即可解答； （2）确定第30天属于价格稳定期，价格，用一次函数关系式计算第30天销售量m，计算每千克利润（价格－成本），再乘以销售量得总利润； （3）分两段讨论利润：前25天价格变化和后5天价格稳定，在前25天中，建立利润二次函数，求顶点横坐标（整数天），计算最大利润，再后5天中，建立利润一次函数，根据增减性求最大利润，比较两段最大利润，得出结论． 【详解】（1）解：设m关于t的函数关系式为， 将，和，代入得： ， 解得， ∴m关于t的函数关系式为（，且t为整数）． 故答案为：（，且t为整数）； （2）第30天价格（元/千克），销售量（千克）， 故利润（元）． 答：第30天当天销售利润为3600元； （3）①当时， 利润， 即， 二次函数开口向下，顶点横坐标， 故或16时，最大，为（元）； ②当时，利润，随t增大而增大， 故时，（元）； 比较得，第15、16天销售利润最大，最大利润为3720元． 答：第15天和第16天销售利润最大，或16，当天销售利润为3720元． 💡破题要诀 1. 建系设变量：根据题意设自变量与函数，找准等量关系列二次函数表达式。 2. 定范围求最值：结合实际问题确定自变量取值范围，用顶点或增减性求最值。 迁移应用 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽为4m．若以通过拱顶点的水平直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求出该抛物线的解析式． (2)若水面下降1m，则此时水面宽度为多少m．（结果允许保留根号的形式） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，将，代入解析式，求出的值，得到抛物线解析式即可； （2）当水面下降，即时，列方程为，求出的值，从而求出此时水面宽度即可． 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 将，代入，， 得， 解得， 因此，该抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知：， 当水面下降，即时， ， 解得或， 此时水面宽度为， 答：此时水面宽度为． 2．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图，某农场计划建造一个长方形养殖场，为充分利用现有资源，该长方形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成长方形和长方形，且长方形与长方形面积比为，若栅栏的总长度为，请解决以下问题： (1)若设的长度为，则的长度可表示为_____，的长度可表示为_____，（用含的代数式表示） (2)当的长度为多少时，长方形养殖场总面积最大？最大为多少？ 【答案】(1)；； (2)当的长度为时，长方形养殖场总面积最大，最大为 【分析】本题考查了列代数式，二次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）先求出，再根据长方形的面积公式以及二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：∵长方形的面积，长方形的面积，且长方形与长方形面积比为，设的长度为， ∴， 由图形可得，， ∴； （2）解：， ， ∵长方形养殖场总面积为， 当时，长方形养殖场总面积取得最大值，为， 故当的长度为时，长方形养殖场总面积最大，最大为． 3．（25-26九年级上·江西上饶·期末）综合与实践： 【问题提出】如图（1）在中，，为的中点，点沿折线运动（运动到点停止），以为边在上方作正方形．设点运动的路程为，正方形的面积为． 【初步感悟】（1）当点在上运动时，①若，则　　　　　　； ②关于的函数关系式为　　　　　　； （2）当点从点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图（2）所示的函数图象，直线是其图象所在抛物线的对称轴，求关于的函数关系式（写出自变量的取值范围）． 【延伸探究】（3）当时，的长为　　　　　　，此时关于的函数图象上点的坐标为　　　　　　； （4）连接正方形的对角线，两对角线的交点为，求点在内部时和的取值范围． 【答案】（1）①5；②；（2）；（3）0或1；或；（4）点A在内部时x的取值范围为，y的取值范围为． 【分析】（1）根据正方形面积公式求解即可； （2）当时，点与点重合，求得，由题图（2）可知点与点重合时，，即，在中，利用勾股定理即可求解； （3）分当和当时，即可求解； （4）取的中点，连接，分析点的运动规律可求得，点A在内部时x的取值范围为，y的取值范围为． 【详解】解：（1）①若，则； ②y关于x的函数关系式为； 故答案为：5；； （2）由题意可知，当时，点与点重合， ∴，此时， 连接， 由题图（2）可知点与点重合时，，即， 在中，，即， ∴（负值已舍）， 当点在上运动时，， ∴， ∴在中，， ∴， 即当点在上运动时，y关于x的函数关系式为； （3）当时，， 则时，， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，， 则时，， 解得或； 当时，，此时， 当时，，此时， ∴当时，的长为0或1，此时y关于x的函数图象上点的坐标为或； 故答案为：0或1；或； （4）由（2）知，，， 又∵D为的中点， ∴， 取的中点，连接， ∴，是的中位线， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， 分析点的运动规律可知，当点运动到，即点运动到点处时，点与点重合， 点在线段(不含点)上运动时，点在内部， 当点运动到点处时，，此时； 当，； ∴点A在内部时x的取值范围为，y的取值范围为． 题型十 二次函数与几何图形的综合问题 典例10 （26-27九年级上·全国·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线经过B，C两点，点A的坐标为，P是第一象限内抛物线上的一个动点，于点Q，设点P的横坐标为n． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求线段的最大值，并求此时n的值； (3)在（2）的条件下，当线段取最大值时，若M是x轴正半轴上一动点，N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，线段有最大值，最大值为； (3)存在．点M的坐标为、、． 【分析】（1）将代入求出，进而求出直线的函数解析式，得到点B的坐标为，将，代入中求解即可； （2）由题意可知，得到，过点P作轴于点E，交于点F，根据勾股定理求出，根据点P的横坐标为可知，，则，求出解析式，进而根据二次函数的性质作答即可； （3）由（2）得取最大值时，P点坐标为，分两种情况根据平行四边形的性质作答即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴点C的坐标为． 将代入中，得， ∴直线的函数解析式为． 当时，，∴点B的坐标为． 将，代入中， 得解得 ∴抛物线的函数解析式为． （2）解：，， ， ． 如图，过点P作轴于点E，交于点F， ， ． ， ． ∵点P的横坐标为， ，， ， ． ，， ∴当时，线段有最大值，最大值为． （3）解：由（2）得取最大值时，P点坐标为，已知， 设（，M在x轴正半轴），以B、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况：为平行四边形的边或为平行四边形的对角线. ①当为平行四边形的边时，如图， 可知， 此时N的纵坐标为4， 代入抛物线， 解得或（对应点P，舍去）， 即． ∴， 由平行四边形对边平行且相等，得 或 即或； ②当为平行四边形的对角线时，如图， 根据平行四边形的性质可知，， 即，， 解得：，， 即 将代入得， 解得​， 当时，， 当时，（舍去）， ∴M点为； 综上所述，∴点M的坐标为、、． 💡破题要诀 1. 坐标化转化：设动点坐标，用二次函数表示线段或面积，将几何条件化为方程。 2. 分类讨论求解：按图形位置或形状分类，结合自变量范围取舍，求最值或存在性。 迁移应用 1．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)求点坐标和面积； (3)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接，交于点．设，是否存在最大值？如果存在求出此时点的坐标并求出此时的最大值，否则请说明理由． 【答案】(1) (2)，6 (3)存在最大值，最大值为2，此时 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，面积问题，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）令求出坐标，利用即可； （3）设，，根据题意结合图形可得，进而根据二次函数的性质，即可求解； 【详解】（1）解：把代入中，得： ， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：令，得， ∴， ∴， ∵ ， ； （3）解：存在最大值，理由如下， 设，， 如图所示， ， 当时，取得最大值为2，此时， 则． 2．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线经过坐标轴上三点，直线过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线下方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标： (3)R是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点S，使得以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）作轴交于点，求出直线的解析式，将的面积转化为二次函数求最值即可； （3）分分别为平行四边形的对角线，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过坐标轴上三点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴设直线的解析式为，把代入，得， 解得， ∴， 作轴交于点，设，则， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，为，此时． （3）解：存在， ∵， ∴对称轴为直线， 设，， ∵，当以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形时， ①当为对角线时，，解得， ∴， ∴； ②当为对角线时，，解得， ∴， ∴； ③当为对角线时，，解得， ∴， ∴； 综上：或或． 3．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图1，若二次函数图象与轴交于点A和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积最大值为，此时 (3)点P的坐标为，，或． 【分析】（1）代入点坐标求出参数值即可； （2）利用分割法或作差法，先求出的解析式，再设出参数，表示出对应三角形的底和高，构造的面积的函数，利用二次函数求最值的方法即可； （3）设出点P的坐标，分别用参数表示，，计算出，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入，得解得 ∴． （2）解：如图，过点P作轴，交于点Q， 设直线的解析式为， 代入点，得，解得， ∴， 设点，则点， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时， ∴． （3）解：抛物线的对称轴为直线， ∴设点， ∴， ， ， 分三种情况， 第一种，当为斜边时，， ∴， 解得， 第二种，当为斜边时，， ∴， 解得， 第三种，当为斜边时，， ∴， 解得， ∴点P的坐标为，，或． 基础固本练（限时：15分钟） 一、单选题 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下列函数中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的识别，解题的关键是掌握：形如（、、是常数，）的函数叫做是的二次函数．据此判断即可． 【详解】解：A．该函数不是二次函数，故此选项不符合题意； B．，该函数是关于的二次函数，故此选项符合题意； C．该函数不是二次函数，故此选项不符合题意； D．该函数不是关于的二次函数，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过点，两点，若，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的增减性得到的取值范围，根据取值范围确定的值． 【详解】解：二次函数中， 抛物线开口向下， 抛物线的对称轴为， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 当时， ， ， 当时， 点的对称点是， ， ， 的值可能是． 故选：C． 3．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）二次函数（、、为常数，）的与的部分对应值如下表： … 0 2 3 4 … … 2 2 5 10 … 有如下结论：①这个函数的图像开口向下；②；③这个函数的最大值为10；④图象的对称轴为直线，其中不正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等知识点，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 先利用待定系数法求出函数解析式，再根据二次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：将，，代入， 得： ，解得：， ∴，故②错误； ∵， ∴这个函数的图象开口向上，没有最大值，故①③错误； ∵ ∴对称轴为，故④正确； 综上所述，其中结论不正确的个数是3个． 故选：B． 4．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期中）二次函数的图象如图所示，给出下列说法中：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，根据图象的开口可确定，再结合对称轴，可确定，根据图象与轴的交点位置，可确定，根据图象与轴的交点个数可确定，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质、以及二次函数的图象的特点． 【详解】解：∵图象开口向下， ∴ ， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，， ∵抛物线交轴于正半轴， ∴， ∴，故正确； ∵当时，， ∴，故正确； ∵图象和轴交于两点， ∴，故正确； 由图象可知，当时，，故正确； 所以正确的序号是，共5个． 故选：D． 二、填空题 5．（25-26九年级上·广东中山·期中）已知点是抛物线上的一点，则a的值为_______． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的性质．由于点P在抛物线上，将其横坐标代入抛物线方程，即可求得纵坐标a的值． 【详解】解：∵点是抛物线上的一点， ∴， 故答案为：3． 6．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知在时最大值为，最小值为2，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，通过配方确定二次函数的对称轴为直线，最小值为；可知当时，；进而得由对称性可知：当时，；即可求解； 【详解】解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线，最小值为； ∵当时，； ∴由对称性可知：当时，； ∵在时最大值为，最小值为2， ∴； 故答案为： 7．（2026·山东青岛·中考真题）若二次函数的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是__________． 【答案】 【分析】二次函数图象与轴有两个交点，对应一元二次方程有两个不相等的实数根，因此判别式大于0，代入二次函数系数，解不等式即可得到的取值范围。 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有两个交点， 故一元二次方程有两个不相等的实数根， 即判别式， 将，，代入得：， 化简得， 解得． 8．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知点在抛物线上，点在抛物线上，若，则h的最大值为________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握配方法是解题的关键． 根据点A和点B在抛物线上的条件，结合，推导出h关于的二次函数表达式，利用二次函数最大值求解． 【详解】由点A在抛物线上，得， 由点B在抛物线上， 得， 即， 则， 又， ， 所以当时，h的最大值为； 故答案为：． 三、解答题 9．（25-26九年级上·安徽六安·期中）已知抛物线经过点和． (1)求b，c的值； (2)判断点是否在这个抛物线上，并说明理由． 【答案】(1)， (2)点不在这个抛物线上，理由： 由（1）得抛物线为， 当时，．点不在此函数图象上． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式；熟练掌握待定系数法是解题的关键； （1）将点和代入函数中得出二元一次方程组，即可解答； （2）当时，代入解析式得，即可判断． 【详解】（1） 解：点和在函数图象上，． 解得：． （2）略 10．（25-26九年级下·四川自贡·期中）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．某电商平台数据显示，该毛绒小马1月份销量为20万件，3月份销量已增至24.2万件． (1)求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率． (2)义乌某店铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，当售价为30元/件时，日销量为70件．市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加10件，为使销售利润最大，则每件应降价多少元？ 【答案】(1) (2)4元 【分析】（1）设月平均增长率为x，根据该毛绒小马1月份销量为20万件，3月份销量已增至24.2万件列方程求解即可； （2）设降价y元，利润为w元．求出w的函数解析式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率为x， ， 解得：（舍）， 答：月平均增长率为； （2）解：设降价y元，利润为w元． ∴当时，w有最大值． 答：为使销售利润最大，每件应降价4元． 11．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）已知二次函数，在平面直角坐标系中画出该函数的图象，并将轴下方的图象沿轴翻折，得到的图象与轴上方的部分组合得到新的函数图象，设这个新的函数为． (1)请在下面的平面直角坐标系中画出的图象． (2)结合的函数图象回答下面问题： ①直接写出随增大而增大的自变量的取值范围． ②当直线与有四个交点时，求出的取值范围． 【答案】(1)函数的图象如下： (2)①或；② 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据列表、描点、连线及折叠的性质可进行作图； （2）①根据（1）中函数图象可直接进行求解； ②由题意先得出将在轴下方的图象沿轴翻折，得到的函数解析式为，然后找到直线与相交的临界点，进而问题可求解． 【详解】（1）解：根据函数可列表如下： x …… 0 1 2 4 ….. …… 5 0 0 5 ….. …… 5 0 0 5 …… 描点，连线，画出函数图象，略； （2）解：①由（1）中函数图象可知： 随增大而增大的自变量的取值范围为或； ②由（1）中图象可知：的顶点坐标为，开口向上， ∴将在轴下方的图象沿轴翻折，得到的函数图象的顶点坐标为，开口向下，则该函数图象的解析式为， 当直线恰好过点时，即，解得：，此时直线与有3个交点， 当直线与所在图象相切时，则有： ，整理得：， ∴，解得：， 此时直线与有3个交点， ∴要使直线与有四个交点，则需满足． 12．（2026·上海·中考真题）对于函数，对称轴与轴交于点，将点向右平移一个单位得到点，使点与点的横坐标相等，且点的纵坐标为，则称点为抛物线的“派生点”，并且将直线称为抛物线的“派生直线”． (1)已知函数，求该函数的“派生直线”解析式； (2)已知点为某抛物线的“派生点”，点和在其“派生直线”上，且点是该抛物线与其“派生直线”的交点，求的值，并判断点是否在抛物线上． 【答案】(1) (2)，点在抛物线上 【分析】（1）用待定系数法求一次函数解析式； （2）先根据点在直线上的性质求出各点坐标，计算线段比，再求出抛物线解析式，代入点坐标验证点是否在抛物线上． 【详解】（1）解：已知函数，可得，，二次函数对称轴为，对称轴与轴交点坐标为， 将向右平移1个单位得到， 的横坐标为， 根据定义，横坐标为1，纵坐标为.即， 设派生直线解析式为， 代入得． 因此该函数的派生直线解析式为． （2）解：由题意，是派生直线与轴的交点，纵坐标为， 将代入得， 解得，因此， 根据定义，横坐标为，因此横坐标为， 将代入得. 因此， 将代入得 ，即， 将代入得，即， ∴，， ， 由定义，抛物线对称轴为， 纵坐标为，得 ， 设抛物线解析式为， ∵在抛物线上，代入得， 解得， ∵抛物线解析式为， ∴将代入抛物线解析式得，与的纵坐标相等， 因此点在抛物线上． 综合进阶练（限时：15分钟） 一、单选题 1．（25-26九年级上·河南南阳·期末）下列关于抛物线的说法，正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，需根据的性质分析开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性求解即可 【详解】解：∵抛物线解析式为，其中，， ∴抛物线开口向上，故A错误． 对称轴为直线，故B错误． 顶点坐标为，故C错误． ∵，抛物线开口向上，对称轴为 ∴当时，随的增大而减小． 又∵包含在的范围内 ∴时，随的增大而减小，故D正确． 故选：D． 2．（25-26九年级上·全国·期中）如图，已知抛物线c（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在，之间（不含端点），则下列结论正确的有（   ）个 ①；②；③；④若方程两根为，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得，，，即可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为，即可判断②正确；将c和b用a表示，即可得到，即可判断③正确；结合抛物线和直线与轴的交点，即可判断④正确． 【详解】解：由图可知， ∵抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， ∴，， 则， ∵抛物线与轴的交点在，之间， ∴， 则，故①错误； 设抛物线与轴另一个交点， ∵对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， ∴，解得， 则，故②错误； ∵，，， ∴，解得，故③正确； 根据抛物线与轴交于点和，直线过点和，如图， 方程两根为满足，故④正确； 故选：B． 二、填空题 3．（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）已知抛物线，若抛物线的函数值为，则x的取值范围是_____________． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；求出抛物线的对称轴为直线，函数的最小值为；再求出当函数值分别为2与3时的自变量取值，结合二次函数的图象与性质即可求得自变量的取值范围． 【详解】解：，则抛物线的对称轴为直线，函数的最小值为； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当，且时，；当，且时，； 综上，当，则x的取值范围是或； 故答案为：或． 4．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）已知关于x的抛物线（k为常数）． （1）此抛物线顶点的坐标是_________． （2）若，点为该抛物线上一动点，过点A作直线轴，直线与直线相交于点B．当线段的长随a的增大而减小时，a的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练利用二次函数的性质是解题的关键． （1）利用抛物线顶点坐标公式直接求解． （2）当时，先确定抛物线方程，再表示点A的坐标，由轴得出点B的坐标，计算的长度并化简，分析二次函数的增减性确定a的取值范围． 【详解】解：（1）抛物线中， ，，， 顶点横坐标， 代入得， 故顶点坐标为， 故答案为：； （2）当时，抛物线为， 点在抛物线上，故， 轴，与直线相交于点B， B点坐标为， 的长度为， ， 恒成立， ， 令，为开口向上的二次函数， 顶点横坐标， 当时，随a增大而减小，即随a增大而减小， 故a的取值范围为， 故答案为：． 三、解答题 5．（25-26九年级下·河南平顶山·期中）如图，已知抛物线经过点，，点P在抛物线上，横坐标为m，点P不与点A重合. (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)若点，都在函数图象上，且，则 ；（填“”“”或“”） (3)将抛物线上P，A两点之间的部分（包括端点）记作图象G，当图象G的最高点与最低点在直线的异侧时，请直接写出m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）运用待定系数法把，代入，解方程组即可； （2）先求出抛物线的对称轴，然后结合图象，根据二次函数的增减性求解即可； （3）分四种情况：当时，当时，当时，当时，利用图象法求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴此抛物线对应的函数表达式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线，抛物线开口向上， ∴在对称轴左侧y随x的增大而减小， ∴， 故答案为：； （3）解：m的取值范围是或. 当时，图象G的最高点为，最低点为，如图1， 依题意得：， 解得； 当时，图象G的最高点为，最低点为，如图2， 依题意得：， 解得； 当时，图象G的最高点为，最低点为抛物线的顶点，如图3， 依题意得：， 解得； 当时，图象G的最高点为，最低点为抛物线的顶点，如图4， 此时，图象G的最高点与最低点在直线的同侧，不符合题意舍去； 综上所述，m的取值范围为或． 6．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）已知抛物线经过点，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点，在该抛物线上，且，求m的取值范围； (3)将此抛物线向左平移n（）个单位，设平移后抛物线与y轴的交点为，若e的最大值和最小值分别为，，且，求n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先对称性求得点到对称轴的距离为，根据，列式计算即可求解； （3）先求得平移后的解析式，得到与y轴交点的纵坐标：，利用二次函数的性质求得e取最小值，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：先将抛物线解析式化为顶点式：， 抛物线开口向上，对称轴为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 因为， 所以，即：， 解得； （3）解：抛物线向左平移n个单位后，解析式为：， 当时，与y轴交点E的纵坐标：， 这是一个关于n的二次函数，开口向上，对称轴为， 当时，e取最小值， 题目中，则， 令，即， 解得：， 因为，所以． 7．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）喷泉是城市中一道美丽的风景．如图1，水花从垂直地面的水管的顶端处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以水管与地面的交点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，水管的高度是米，喷出最远的水花的运动轨迹为抛物线（如图2所示），水花在与水管的水平距离为1米时，达到最大高度2米，水花之后沿抛物线下落，最终落到地面上的点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若图1中喷出的水花的运动轨迹所在的抛物线群如图3所示，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，其中一条抛物线与水平直线相交于点，请求出的顶点坐标和的表达式； (3)若喷泉水花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点，经测算，当时，喷泉的观赏效果最佳，请求出此时抛物线中的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由题意可知，，顶点坐标为，再利用待定系数法求解； （2）利用配方法求出的顶点坐标，再设直线的表达式，利用待定系数法求解； （3）先求出点、的坐标，再将抛物线顶点坐标代入直线，得出，则，再列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）解：, 的顶点坐标为， 设直线的表达式为， ，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，且，的顶点坐标分别为，， ，解得：， 的表达式为； （3）解：令，则， 解得：（舍），， ， 令，则， 解得：（舍），， ， ， 抛物线顶点坐标为 由（2）可知，顶点所在的直线的表达式为， ， ， 解得：或， 当时，抛物线开口向下，顶点在，不符合题意， ， ， ， ， 解得：， 即当喷泉的观赏效果最佳时，抛物线中的取值范围为． 8．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)或 【分析】（1）将点坐标代入即可得解； （2）过点作轴，交于点，交轴于点， 易得为等腰直角三角形，，进而设参表示出即可； （3）先求出面积最大值时点的坐标，由平移可知，分类讨论，当向左平移时，直线，据此求出直线解析式，即可得点坐标；当向右平移时，则与第一种情况的直线关于直线对称，据此求解即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入得， ，解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴，交于点，交轴于点， 设点，则， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； （3）解：由（2）可知， ∴． ∵， ∴当时，的面积的最大值为， 此时； 当抛物线向左平移，即点在直线上方时， ， ， 如图，过点作， 由（2）知直线解析式为，则可设直线的解析式为， 将点代入，得，解得， ∴直线的解析式为． ∵， ∴其顶点为， ∵抛物线沿水平方向平移得到抛物线， ， 令，解得， ， 当抛物线向右平移，即点在直线下方时， 此时过与的平行线与轴交点记为点，则与第一种情况的直线关于直线对称，此时点与第一种情况的直线与轴交点关于点对称， ， 则直线解析式为． ， ，解得， ． 综上，或． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $