专题二·期中综合复习·培优提高讲义（第一～四章）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题二·期中综合复习·培优提高讲义 （第一~四章）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 综合运用一元二次方程的解法、根与系数关系与判别式 · 灵活运用矩形、菱形、正方形的性质解决折叠与综合问题 · 掌握相似三角形多种判定方法的综合运用 · 理解黄金分割与成比例线段在实际问题中的应用 · 掌握位似作图、位似坐标变化与三视图还原 📚 知识梳理 ☆ 1.一元二次方程综合 换元法与整体思想：用新元替换复杂部分，化繁为简 根与系数关系与完全平方公式变形结合：x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 判别式与根的情况、不等式组综合判断 营销、传播、图形类应用问题：列方程并检验解的合理性 概念辨析例题：已知x1、x2是方程x2-3x+1=0的两根，求x12+x22的值 答案：x12+x22=7 解析：由根与系数关系得x1+x2=3，x1x2=1，则x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=32-2=7。 ☆ 2.特殊平行四边形综合 折叠问题：折痕是对称轴，翻折前后图形全等，对应点连线被折痕垂直平分 矩形折叠常构造直角三角形，用勾股定理求线段长 菱形面积等于对角线乘积的一半：S=d1d2 中点四边形、中位线与矩形菱形判定的综合应用 概念辨析例题：将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，若AB=3，BC=4，求△ACE的面积 答案：△ACE的面积为6 解析：折叠后△ACE≌△ACB，面积相等，S=×3×4=6。 ☆ 3.图形的相似综合 相似判定多途径：两角对应相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例 黄金分割：点C把线段AB分成AC、BC，若AC2=AB·BC，则点C为黄金分割点，比值为 位似变换与坐标：以原点为位似中心，位似比为k时对应点坐标乘以k或-k 平行线截线段成比例：平行线分线段所得对应线段成比例 概念辨析例题：线段AB=10，点C是AB的黄金分割点（AC>BC），求AC的长 答案：AC=5 解析：黄金分割较长线段AC=×AB=×10=5。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 换元法 设新元替换复杂部分 解后必须回代检验 根与系数变形 x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 前提：Delta≥0 折叠问题 翻折前后图形全等 折痕垂直平分对应点连线 菱形面积 S=d1d2 d1、d2为对角线长 黄金分割 较长线段=×全长 较长:全长=较短:较长 位似坐标 对应点坐标按位似比缩放 注意位似中心在原点与否 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元二次方程的解法、根与系数及应用（第1-13题） · 换元法与整体代入优先，解后回代检验 · 根与系数关系与完全平方公式变形结合求值 · 营销、图形问题列方程并检验解的合理性 1．（2026·云南昆明·模拟预测）某科技公司在2024年投入研发资金为300万元，2026年投入研发资金363万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据平均增长率的增长规律，推导两年后研发资金的表达式，即可列出正确方程 【详解】解：∵设年平均增长率为，2024年投入研发资金为万元， ∴2025年投入研发资金为万元， ∴2026年投入研发资金为万元， 又∵2026年投入研发资金为万元， ∴列方程得 2．（24-25九年级上·广东广州·期中）方程根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】B 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，若，方程有两个不相等的实数根；若，方程有两个相等的实数根；若，方程没有实数根；． 通过计算一元二次方程根的判别式，判断根的情况． 【详解】解：方程 中，， ， 方程没有实数根． 故选：． 3．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期中）已知关于的方程和的解相同，则与之间的等量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由一元二次方程的解求参数、运用完全平方公式进行运算 【分析】将两个方程进行展开，再根据两个方程的解相同进行比较求解即可． 【详解】解：由题意得， ； ， ∵关于的方程和的解相同， ∴，， ∴． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某农场拟建两间矩形饲养室，其中一面靠现有墙（墙的长度为16米），另外三面及中间用围栏隔开，并在如图所示的三处各留1米宽的门，已知计划中的围栏材料（不包括门）总长为33米，则能建成的饲养室面积最大为（   ）平方米． A．54 B． C．108 D． 【答案】D 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．根据题意，设中间隔开的墙长为，能建成的饲养室总占地的面积为，先根据墙的长度为16米，求出，再求出，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设中间隔开的墙长为，能建成的饲养室总占地的面积为， ∵， ∴， 根据题意得，， ∵，且， ∴当时，取得最大值，最大值为， 则能建成的饲养室面积最大为平方米． 故选：D． 5．（2026·云南昭通·模拟预测）某文创店销售一种纪念徽章，原定价销售每枚徽章盈利12元，平均每天可售出80枚．市场调研发现：若每枚徽章降价1元，则平均每天可多售出10枚．为了尽快减少库存，店主决定降价促销．销售一段时间后发现，平均日盈利为910元．假设每天售出徽章的数量相同，设每件商品降价x元，依题意可列方程（） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的实际利润问题，解题核心是利用“总盈利等于每枚徽章盈利乘以销售量”的关系，根据降价情况分别表示出降价后的每枚盈利和销售量，即可列出方程． 【详解】解：∵设每件商品降价元， ∴降价后每枚徽章的盈利为元， ∵每降价元平均每天可多售出枚， ∴降价元后，每天的销售量为枚， 又∵平均日盈利为元， ∴可列方程为． 6．（25-26九年级上·甘肃张掖·开学考试）在估算一元二次方程的根时，小晗列表如表： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.29 0.76 由此可估算方程的一个根x的范围是______． 【答案】 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解，结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答． 【详解】解：由表可知， 当时，， 当时，， ∴方程的一个根x的范围是． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）把一元二次方程化成一般形式：________． 【答案】 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程一般形式的结构是解题关键． 通过去括号、移项和合并同类项将方程化为一般形式． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期中）一元二次方程的根是_____． 【答案】或 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的基本步骤，是解题的关键．根据因式分解法求解即可． 【详解】解：， 移项得 ， 因式分解得， 所以或， 解得：或． 故答案为：或． 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）一元二次方程的根是_______． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【详解】解：， ， ， ， ， ， 或， ∴，． 10．（2026·海南省直辖县级单位·一模）新定义运算：，当时，；当时，．例如：；．若，则的值为_____． 【答案】或 【知识点】实数的大小比较、新定义下的实数运算、因式分解法解一元二次方程 【分析】先根据新定义，比较与的大小，得到的值，再将等式整理为一元二次方程，求解得到的值． 【详解】解：， ， 根据新定义运算：当时，， 可得， 由题意得：， 整理得：， 因式分解：， 解得：，． 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知一个正方形的边长比另一个正方形边长的2倍少，且这两个正方形的面积之和为，求这两个正方形的边长． 【答案】 两个正方形的边长分别为和 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】根据两正方形的边长关系设未知数，结合面积和列方程求解，舍去不符合实际意义的解． 【详解】解：设其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为 由题意得 解得， ∵正方形边长为正数 ∴不符合题意，舍去 ∴ 答：这两个正方形的边长分别为和． 12．（24-25九年级上·广东深圳·阶段检测）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)当时，方程的根为，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】由一元二次方程的解求参数、根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记两根之和等于，两根之积等于是解题的关键； （1）由题意可得，再求解即可； （2）当时，一元二次方程为，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根． ， 解得：； （2）解：∵ ∴当时，一元二次方程为， ， ． 13．（2026·安徽阜阳·二模）【观察思考】如图，“五一”劳动节期间，政府广场上用盆景（用“☆”表示）和花卉（用“☐”表示）组成图案． 【规律发现】 (1)第7个图案中盆景的盆数为____________； (2)第个图案中花卉的盆数可表示为____________（用含的式子表示）； 【规律应用】 (3)若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共121盆，求该图案中盆景和花卉各有多少盆． 【答案】(1)8 (2) (3)盆景和花卉的盆数分别为11盆，110盆． 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、图形类规律探索 【分析】（1）根据盆景的盆数比序号数多1解答； （2）先写出前4个图案花卉的盆数，再得出数字变化规律，即可得出答案； （3）先表示出第n个图案有盆景的盆数，再根据题意得出方程，然后整理成完全平方公式的形式，开方可得方程的解． 【详解】（1）解：第1个图案有盆景的盆数为2； 第2个图案有盆景的盆数为3； 第3个图案有盆景的盆数为4； 第4个图案有盆景的盆数为5； 第7个图案有盆景的盆数为8； （2）解：第1个图案有花卉的盆数为； 第2个图案有花卉的盆数为； 第3个图案有花卉的盆数为； 第4个图案有花卉的盆数为； 第n个图案有花卉的盆数为； （3）解：由（1）可知第n个图案有盆景的盆数为，则根据题意，得， 即， 解得或（不合题意，舍去）， 则，， 答：该图案中盆景和花卉的盆数分别为11盆，110盆． 【考点2】特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）（第14-26题） · 折叠问题找对称轴，构造直角三角形用勾股定理 · 中点四边形与三角形中位线结合 · 判定矩形、菱形注意条件完整 14．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）如图，在正方形对角线上取点，使得，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、根据正方形的性质求角度 【分析】由正方形的性质得，，由等边对等角结合三角形内角和定理求得，求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 15．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在菱形中，，，点E在边上，连接，将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，等腰直角三角形，菱形的性质，根据菱形的性质，得到，折叠得到垂直平分，进而推出为等腰直角三角形，求出，再根据线段的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：∵菱形中，， ∴， ∵将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处， ∴垂直平分， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 16．（25-26八年级下·广东深圳·期末）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】根据正方形的性质求线段长、黄金分割、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查黄金分割的定义，矩形的性质．首先根据矩形的性质得到，根据黄金分割的定义得到的长度，继而得到的长度． 【详解】解：四边形为正方形，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ， “远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点处，且， ， ． 17．（2025·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，是边上的点，将矩形沿所在的直线折叠，得到点的对应点，点的对应点．若点在边的延长线上，则的长为（    ） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、勾股定理与折叠问题 【分析】根据矩形性质和折叠性质，得出 ，利用勾股定理求出的长度，设，并表示出，在中，再利用勾股定理表示出三边关系列出方程，解出方程即可． 【详解】解：四边形是矩形， ． 设，则． 由折叠的性质，得 ，点在边的延长线上， ． 在中， ， 解得 的长为4． 故选：C． 【点睛】本题考查了折叠变换的性质、矩形的性质和勾股定理，根据性质找到相等线段及一些关系，并利用直角三角形的三边关系列出方程是解题关键． 18．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，已知点和，点是的中点，则的长为________． 【答案】 【知识点】已知点所在的象限求参数、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形 【分析】根据点A和点B的坐标得到的长，再利用勾股定理求出的长，最后根据直角三角形的性质可得答案 ． 【详解】解：∵点，， ∴， 又∵， ∴， ∵点是的中点， ∴ ． 19．（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）如图，正方形的边长为4，为中点，则的长为_______． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据正方形的性质得到,,由为中点得到，再利用勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：正方形, ，, 为中点， , 在中，, , ， 故答案为：． 20．（24-25八年级下·河北沧州·期末）七巧板是我国古代劳动智慧的结晶，有“东方魔板”之称．小明用如图1所示的边长为的正方形七巧板（由5个等腰直角三角形、一个正方形和一个平行四边形组成），并以“蛇年”为主题进行创意拼图，所拼作品如图2所示，则图2中阴影部分的周长为_________． 【答案】 【知识点】用七巧板拼图形、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查勾股定理，七巧板，等腰直角三角形，首先根据七巧板的特点得到 ，由勾股定理得出，即可求解． 【详解】如图所示的边长为的正方形七巧板， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得： ， ∴阴影部分的周长为：， 故答案为：． 21．（25-26八年级下·北京·期末）如图，点E是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则_____． 【答案】 【知识点】利用矩形的性质求角度、等边对等角 【分析】根据矩形的性质得到，可知，则，根据得到，可知． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．（25-26八年级下·山东聊城·期末）如图，在菱形中，，，E是边的中点，P，M分别是，上的动点，连接，，则的最小值是________． 【答案】 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、利用菱形的性质求线段长 【分析】作点E关于的对称点，过点作于点M，交于点P，由知最小值为的长，利用菱形的面积列式求解可得答案． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点，过点作于点M，交于点P， 此时取得最小值，最小值为的长， 四边形是菱形， 点在上， ， ， ， 由， 得 解得， 即的最小值是． 23．（2026·广东茂名·一模）如图，将一个矩形纸片三次折叠：第一次沿折线折叠，使角落在边的点；第二次展开后沿折线折叠，使角落在折痕的点；第三次沿折线折叠，使角恰好落在折痕的点．已知折叠后，纸片无拉伸，则______． 【答案】 【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长、等腰三角形的性质和判定 【分析】根据折叠的性质，推出四边形为正方形，是等腰直角三角形，求出的长，证明，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵矩形纸片， ∴， ∵折叠， ∴，，，， ∴，四边形为正方形，， ∴，，，， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 24．（2025·云南临沧·模拟预测）如图，在矩形中，与交于点O，点E是上一点，连接交于点F，延长到矩形外的点G处，使得，连接． (1)求证：； (2)当点E是的中点，时，判断四边形的形状，并证明． 【答案】(1) 证明：矩形， ， 又， 是的中位线， ， 即； (2)四边形是矩形， 理由如下： ， ， 矩形， ， ， 又， ， ， 由（1）可知， ， ， ， 又点E是的中点， ， ， ， 四边形是矩形． 【知识点】与三角形中位线有关的证明、证明四边形是矩形、全等的性质和SAS综合（SAS）、矩形性质理解 【详解】本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质以及平行四边形和矩形的判定．解题的关键在于利用矩形对角线互相平分的性质证明 ，并通过全等三角形证明 为平行四边形． （1）要证明，需利用矩形对角线互相平分的性质得到，结合 识别出 是 的中位线，再依据三角形中位线定理推导平行关系； （2） 判断四边形 的形状，先通过全等三角形证明对边相等且平行得到平行四边形，再结合矩形对边相等及已知条件推导邻边相等，进而判定为矩形． （1）略 （2）略 25．（2022·山东枣庄·模拟预测）已知：如图，在等腰梯形中，，对角线与相交于点O， 点E、F分别在线段上，，．求证： (1)； (2)四边形是矩形． 【答案】(1)证明：∵四边形是等腰梯形，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形是矩形． 【知识点】证明四边形是矩形、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰梯形的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）证明，得到，则可证明； （2）可证明，得到，由平行线的性质得到，则可证明，推出，进而可证明，据此可证明四边形是矩形． 【详解】（1）略 （2）略 26．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形是菱形，过的中点E作的垂线，交于点M，交的延长线于点F． (1)证明：； (2)若，求菱形的周长． 【答案】(1) 证明：如图，设于点， 则， 为的中点， ， 四边形是菱形，是对角线， ，， ， 又， ， ， 为的中点， ； (2) 【知识点】利用菱形的性质证明、两直线平行内错角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，两直线平行内错角相等等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． （1）设于点，则，由线段中点的定义可得，由菱形的性质可得，，进而可得，再结合，利用可证得，于是可得，即为的中点，于是结论得证； （2）由菱形的性质可得，，由两直线平行内错角相等可得，由（1）得，，由对顶角相等可得，利用可证得，于是可得，则，进而可得菱形的周长，于是得解． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形， ，， ， 由（1）得：，， 又， ， ， ， 菱形的周长 ． 【考点3】相似三角形的判定与性质（第27-45题） · 综合运用两角、两边夹角、三边多种判定方法 · 相似比转换线段长与面积比 · 平行线截线段成比例辅助构造相似 27．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，在梯形中，，与交于点，找出图中相似的三角形（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由相似三角形的判定方法，即可判断，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有两组角对应相等的两个三角形相似． 【详解】解：、只有这一个条件，不能判定与相似，原选项不符合题意； 、由条件不能判定与相似，原选项不符合题意； 、由条件不能判定与相似，原选项不符合题意； 、∵， ∴，， ∴，原选项符合题意； 故选：． 28．（24-25九年级上·广东河源·期末）如图，，，两条直线与这三条平行线分别交于点，，和，，，若，，则的长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线截线段成比例，分式的性质，掌握其计算方法是解题的关键． 根据题意可得，，由此代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得，， 当时，原分式有意义， ∴的长为， 故选：C ． 29．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，分别为边上的点，且满足．根据上述信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论： 嘉嘉说：连接，则． 淇淇说：． 对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是（     ） A．两人都正确 B．两人都错误 C．嘉嘉正确，淇淇错误 D．嘉嘉错误，淇淇正确 【答案】D 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了三角形相似和平行线的判定方法，解题的关键是能够根据对应边成比例的条件判断出三角形相似，并确定对应角．由及可得，从而得到，无法得出． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， 无法推出． 从而嘉嘉错误，淇淇正确． 故选： ． 30．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，点D，E分别是边，的中点，点F在上，．连接并延长，与的延长线相交于点M．若，则线段的长为（   ） A．8 B．7 C．6 D．4 【答案】A 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，是的中位线，利用三角形中位线定理，可得出，且．则得到，结合，，得到，最后根据计算即可． 【详解】解：∵点D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴，且． ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A 31．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，平分．若，，则（   ） A．5 B． C．6 D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定 【分析】根据题意得到和，证明，求出，根据相似三角形的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （舍去负值）． 32．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，在点P处水平放置一平面镜（平面镜的厚度和大小忽略不计），光线从点A出发，经平面镜反射后刚好照射到点C处，已知点B、P、D在同一直线上，于点B，于点D，且，，，则的长为_____ ． 【答案】3 【知识点】相似三角形实际应用、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平面镜反射和相似三角形的应用，根据题意得出是解题关键．由已知得，则根据相似三角形的性质可得，解答即可． 【详解】解：由题意知：， ∵于点B，于点D， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 故答案为：3． 33．（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）如果两个等边三角形对应高的比为，那么它们的面积之比为_______． 【答案】/ 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查对相似三角形性质的理解．相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 根据相似三角形对应高的比等于相似比，面积比是相似比的平方求解即可． 【详解】解：两个相似三角形对应高之比为， 它们的相似比为， 面积比． 故答案为：． 34．（24-25九年级上·北京·期中）两个相似三角形面积比是，其中面积较小的三角形的周长为，则另一个三角形的周长是_____． 【答案】60 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，理解并掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”确定两个三角形的相似比，然后根据“相似三角形的周长比等于相似比”，即可获得答案． 【详解】解：∵两个相似三角形面积比是， ∴这两个三角形的相似比，也即周长比为， ∵面积较小的三角形的周长为， ∴另一个三角形的周长是． 故答案为：60． 35．（25-26九年级上·全国·周测）在如图所示的网格中，有，其中与相似的是_________（所有三角形的顶点均在小正方形的顶点上） 【答案】 【知识点】利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定。根据勾股定理分别求出三个三角形的三边长，再按照大边比大边、小边比小边、中边比中边求出三边之比，所求三边之比相等的两个三角形就是相似三角形． 【详解】解：设每个小正方形的边长为1，则，，，，，，，． ， 与不相似； ， 与不相似； ， 与相似. 故答案为. 36．（24-25九年级上·上海虹口·阶段检测）如图所示，在中，，平分，交于点P，如果，，，那么的长是 _______． 【答案】9 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质．根据得出，由相似三角形的性质得出，再由得出，从而可求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 37．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）在中，，，，D为中点，点M在射线上运动，直线交直线于点N，若，则的长为______． 【答案】或 【知识点】利用二次根式的性质化简、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】分点在点的下方和点在点的上方两种情况，求解即可． 【详解】解：当点在点的下方， 如图所示，过作于， ， ，而为中点， ∴， ∴， ，， 又， ， ， ∴ ， ， ， 在中，； 当点在点的上方， 如图所示，过作于， 同理可得，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，； 综上所述，的长为或． 38．（26-27九年级上·全国·课后作业）一种雨伞的截面图如图所示，伞骨，支撑杆，当点O沿滑动时，雨伞开闭．若，则B，D两点间的距离等于_______． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据已知条件推出两组对应边成比例，结合公共角证明两个三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例计算的长度即可. 【详解】解：，， ， ， ， ， ， . 39．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段检测）如图，平行四边形中，E是边上的点，交于点F，如果，那么__________． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】由平行四边形的性质可得，，于是可证得，然后由相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ∴． 40．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，在四边形中，，．求证：平分． 【答案】 证明：， ． ， ． 平分． 【知识点】角平分线的有关计算、利用三边对应成比例判定相似、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定得到，进而利用相似三角形的对应角相等可得答案． 【详解】略 41．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在中，点是的边上的一点． (1)请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：． 【答案】(1)小星和小红对，小亮错 (2) 证明：小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴． 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）见解析（1）． 【详解】（1）解：小星和小红对，小亮错，证明如下： 小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴； 小亮的证明：由不能证明， ∴小星和小红对，小亮错； （2）略 42．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）如图所示，将矩形纸片沿折叠得到，且点恰好落在上．求证：．    【答案】 证明：四边形是矩形， ， ． 矩形纸片沿折叠得到，且点在上， ， ， ， ． 【知识点】矩形与折叠问题、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质，折叠的性质，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题的关键．根据矩形性质得出，根据余角的性质得出，根据两个对应相等的两个三角形相似，证明结论即可． 【详解】略 43．（24-25九年级上·北京房山·期中）如图，在中，，．求的长． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出，代入数据求出，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 44．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，点F在上，且，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似、三角形的外角的定义及性质 【分析】首先证明，结合可得，即可证明结论． 【详解】略 45．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）如图，在中，分别是的中点，连接． (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在第（1）问的条件下，连接．求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1) 为所作，如图： (2) 证明：∵垂直平分， ， F是的中点， ∵是的中点， ∴是的中位线， ， 同理可证，， ∴四边形为平行四边形． 【知识点】作垂线(尺规作图)、利用三边对应成比例判定相似、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查尺规作图、三角形中位线以及平行四边形的判定，解题的关键是平行四边形的判定定理． （1）分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于两点，过这两点作直线即为的垂直平分线，交于点； （2）先由垂直平分线的性质F分别是的中点系，再根据三角形中位线得出，，进而证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）略 （2）略 【考点4】成比例线段、黄金分割与相似多边形（第46-54题） · 黄金分割比的应用 · 相似多边形对应边成比例列方程求解 · 比例的性质：合比、等比公式灵活运用 46．（22-23九年级上·广西百色·期末）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握三条平行线截两条直线、所得的对应线段成比例成为解题的关键． 根据平行线分线段成比例，由得到，然后根据比例性质求即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得：． 故选：C． 47．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，，若，则的长度是（） A．6 B． C． D． 【答案】C 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 48．（25-26九年级上·广东深圳·期中）勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图，点C是线段的黄金分割点，且，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则______． 【答案】1 【知识点】黄金分割 【分析】本题主要考查了黄金分割，理解和熟练掌握黄金分割定理是解决本题的关键． 根据黄金分割可得，即，由此求出即可解决本题． 【详解】解：∵点C为线段的黄金分割点（）， ∴，即， ∴，， ∴． 故答案为：1． 49．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如果，那么_________． 【答案】 【知识点】分式化简求值、成比例线段 【分析】根据已知比例关系，可设，（其中），再代入所求表达式计算． 【详解】解：， ∴可设，（其中）， ∴ 故答案为 ． 50．（23-24九年级上·宁夏银川·阶段检测）如图，数学兴趣小组想利用竹竿来测量旗杆的高度，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长2米，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上，他测得落在地面上的影长为10米，落在斜坡上的影长为米，已知斜坡的坡度为，则旗杆的高度为__________． 【答案】11 【知识点】相似三角形实际应用、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、平行投影 【分析】本题考查了相似三角形的应用、解直角三角形的应用．延长交于点，过点作于点，解直角三角形求出的长，再由同一时刻物高与影长成正比得出的长，然后根据可知，根据相似三角形的对应边成比例即可得出的长． 【详解】解：如图，延长交于点，过点作于点， ∵斜坡的坡度为， ∴， ∵米，， ∴米， ∵同一时刻物高与影长成正比， ∴，解得（米）， ∵米， ∴（米）， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得（米）， 答：旗杆的高度为11米． 故答案为：11． 51．（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知线段是成比例线段，其中，求线段的长． 【答案】 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例线段的定义：若四条线段a，b，c，d有，那么就说这四条线段成比例．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义，将a，b及c的值代入即可求得d． 【详解】解：已知a，b，c，d是成比例线段， 根据比例线段的定义得：， 代入， 解得：． 52．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，四边形四边形．    (1)______． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】相似多边形的性质、多边形内角和问题 【分析】本题主要考查相似多边形的性质，关键是熟知相似多边形的对应角相等，对应边成比例． （1）先利用相似多边形的对应角相等得到，，再利用四边形的内角和为求解即可； （2）根据相似多边形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵四边形四边形， ∴，即， 解得． 53．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在上、下两行的图形中，把你认为是相似图形的用线连起来． 【答案】如图， 【知识点】相似多边形、相似图形 【分析】根据相似图形的定义求解即可. 【详解】第一行第1个（正三角形）连接第二行第3个（正三角形）， 第一行第2个（正方形）连接第二行第1个（正方形）， 第一行第3个（圆）连接第二行第4个（小圆）， 连线略 54．（23-24七年级上·福建龙岩·开学考试）黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例．人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．乐乐的妈妈上半身长68厘米，下半身长104厘米，她想通过穿高跟鞋，使身长的比例更美观，于是她购买了一双6厘米高的高跟鞋．依据黄金比，这双高跟鞋的高度合适吗？请说明理由． 【答案】 解：这双高跟鞋合适，理由如下： （）， ， 答：这双高跟鞋合适，穿起来后上半身长与下半身长正好成黄金比． 【知识点】成比例线段、黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割，以及比例的性质，根据黄金分割的定义，进行计算即可解答． 【详解】略 【考点5】位似图形（第55-57题） · 以位似中心为基准作位似图形 · 坐标系中位似：对应点坐标按位似比缩放 · 位似比等于相似比 55．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，其中对应点A和坐标分别是，，则位似中心C的坐标是________． 【答案】 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、求位似图形的对应坐标 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，求一次函数解析式，用待定系数法求出直线的解析式为：，再求出直线与x轴的交点坐标，即可得出答案． 【详解】解：∵A与是对应点，与为对应点， ∴与的交点C为位似中心， ∵与都在x轴上， ∴点C在x轴上， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， 解得： ∴位似中心坐标是， 故答案为：． 56．（24-25九年级上·福建泉州·期中）若绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，则我们称与互为“旋转位似图形”． (1)知识理解：如图①，与互为“旋转位似图形”． ①若，则__________； ②若，则__________； (2)知识运用：如图②，在四边形中，于点，求证：与互为“旋转位似图形”． 【答案】(1) ； (2) 证明：， ， ，即， 又， ， ， 又， ， ， ， 绕点逆时针旋转的度数后与构成位似图形， 和互为“旋转位似图形”． 【知识点】求两个位似图形的相似比、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了位似图形的判定和性质， 对于（1），根据位似图形的对应角相等得出①的答案；再根据位似图形的对应边成比例得出答案； 对于（2），先说明，可得，再说明，进而得出，最后根据“旋转位似图形”定义得出答案. 【详解】（1）解：①和互为“旋转位似图形”， 又 ②， ， ， ， 故答案为：；； （2）略 57．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，请以原点O为位似中心，在第四象限内作，使得与的相似比为（点A、B、C的对应点分别是点、、）． 【答案】 即为所求： 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、求位似图形的对应坐标 【分析】本题主要考查了位似图形等知识点，根据位似图形的性质先确定变化后关键点的坐标是解题的关键． 根据和关于原点O位似，且相似比为找出的坐标依次连接即可． 【详解】解：∵和关于原点O位似，且相似比为， ∴，连接如图所示， 【考点6】投影与视图（第58-60题） · 区分平行投影与中心投影 · 由三视图还原几何体，计算表面积与体积 · 三视图：长对正、高平齐、宽相等 58．（2026·河北·模拟预测）一个几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知一种或两种视图，判断其他视图 【分析】因为已知几何体的主视图和左视图，所以解题突破口是根据主视图和左视图的形状特征，分析每个选项作为俯视图时，能否组合出符合已知主、左视图的几何体；如果某一选项作为俯视图，结合主、左视图无法构造出合理的几何体，那么该选项就是不可能的俯视图；需利用三视图的投影规律，即主俯长对正、主左高平齐、俯左宽相等，来逐一验证每个选项的合理性． 【详解】该几何体是两个柱体上下叠放，俯视图的外框是下柱体的底面，内部图形是上柱体的底面： 根据三视图的规则： 主视图中，上层矩形的水平宽度上柱体底面的 左右方向长度 左视图中，上层矩形的水平宽度上柱体底面的 前后方向长度 题目给出的主视图和左视图中，上层矩形的宽度相等，说明 上柱体底面的左右长度前后长度： 选项A、同心圆，内圆直径在左右、前后方向相等，符合要求，可能； 选项B、大正方形内横放小长方形，小长方形的左右长度前后长度，因此主视图上层宽度会大于左视图上层宽度，与题目给出的主视图左视图矛盾，不可能； 选项C、大圆内正方形，正方形边长在左右、前后方向相等，符合要求，可能； 选项D、正方形内等腰直角三角形，三角形的左右最大长度前后最大长度（等于直角边长），符合要求，可能． 59．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）皖南皮影戏又称太平戏，被列入安徽省第二批省级非物质文化遗产，皖南皮影戏属于__________投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】中心 【知识点】中心投影、平行投影 【分析】本题主要考查了中心投影和平行投影的定义，投影分为平行投影和中心投影． 平行投影的光线相互平行，而中心投影的光线从一个点发出．皮影戏的光源为点光源，光线从一点发散，形成中心投影． 【详解】解：皖南皮影戏使用点光源（如灯或蜡烛），光线从光源中心发散，投射到屏幕上，因此属于中心投影． 故答案为：中心． 60．（2023·浙江衢州·一模）图1是一个圆柱体，图2是它的主视图．若，，则该圆柱体的侧面积为______． 【答案】 【知识点】 圆柱的侧面积、判断简单几何体的三视图 【分析】本题主要考查了三视图和圆柱侧面积计算，先根据主视图得出圆柱底面圆的直径为，高为，再根据圆柱体的侧面积公式求解可得，解题的关键是掌握圆柱侧面积的计算． 【详解】解：由题意知，该圆柱底面圆的直径为，高为， 则该圆柱的侧面积为， 故答案为：． 💯 课后巩固 复习建议 · 换元法解题记得回代与检验 · 折叠问题优先找全等关系与直角三角形 · 相似判定多途径，注意对应边与对应角 · 黄金分割比值要牢记 · 位似作图先定中心再定比例 【作业1】．（24-25九年级下·四川眉山·期中）已知是方程的两根，则的值为（   ） A． B．10 C．2 D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查根与系数之间的关系，根据根与系数的关系得到，再利用完全平方公式变形进行求解即可，熟练掌握根与系数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选B． 【作业2】．（25-26八年级下·广西钦州·期末）已知菱形的周长为，那么的长为（     ） A．2 B．4 C．8 D． 【答案】B 【知识点】利用菱形的性质求线段长 【分析】利用菱形四条边相等的性质，结合已知周长即可计算出边长的长度． 【详解】解：四边形是菱形， ． 菱形的周长为， ，解得． 【作业3】．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，下列条件中能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题主要考查添加条件式三角形相似，根据已知相似三角形的逐一判断选项是否符合条件即可． 【详解】解：．若，则， ∵， ∴，该选项正确，符合题意； ．若，无法得出和对应边成比例，该选项错误，不符合题意； ．若，无和对应边成比例，选项错误，不符合题意； ．若，无和对应边成比例，该选项错误，不符合题意； 故选：A． 【作业4】．（24-25九年级上·河北唐山·期末）两个相似多边形的面积比是，其中较大多边形的周长为，则较小多边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．据此列式计算即可． 【详解】解：两个相似多边形的面积比是， 两个相似多边形的相似比是， 两个相似多边形的周长比是， 设较小多边形的周长为为， 由题意得，， 解得，， 故选：A． 【作业5】．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求两个位似图形的相似比、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质．掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键． 根据题意求出，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ， ， ， 故选：D． 【作业6】．（23-24九年级下·全国·单元测试）用发光的手电筒由远及近去照射吊在空中的小球，如图，那么小球落在竖直墙面上的影子会（   ） A．先变大后变小 B．逐渐变小 C．逐渐变大 D．先变小后变大 【答案】C 【知识点】中心投影 【分析】本题考查中心投影，在灯光下，离点光源越近，影子越长，离点光源越远，影子越短；接下来根据发光的手电筒由远及近，并结合上述知识，即可解答． 【详解】解：当发光的手电筒由远及近时，落在竖直墙面上的球影子会逐渐变大． 故选：C． 【作业7】．（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）方程 的解是______． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】利用直接开平方法求解一元二次方程即可． 【详解】解： ， ∴或， 解得． 【作业8】．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段检测）甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测： 甲：量得窗框两组对边分别相等； 乙：量得窗框对角线相等； 丙：量得窗框的一组邻边相等： 丁：量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线相等． 检测后，他们都判断说窗框是矩形，则检测方法正确的同学是________． 【答案】丁 【知识点】矩形的判定定理理解 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，熟知矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：两组对边分别相等的四边形不一定是矩形，故甲说法错误； 对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线也相等，故乙说法错误； 一组邻边相等的四边形不一定是矩形，故丙说法错误； 两组对边相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，故丁说法正确； 故答案为：丁． 【作业9】．（24-25九年级上·甘肃白银·期末）如图，在四边形中，对角线平分，，，则要使，只要________． 【答案】4 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 当时，， 即：， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：4． 【作业10】．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知，则____________，____________． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】根据已知比例式，利用比例的基本性质交叉相乘变形，即可推导出所求结果. 【详解】解：∵， ∴， ∴，. 【作业11】．（25-26九年级下·江苏常州·期中）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】位似图形相关概念辨析、求两个位似图形的相似比 【分析】根据位似图形的概念，得到四边形 四边形，，，进一步得出，，进一步得，，再根据，即可得出答案． 【详解】解：四边形与四边形是位似图形， 四边形 四边形，，， ，， ，． ， ， ． 【作业12】．（2024·江苏盐城·三模）某几何体的三视图都相同，则该几何体是______．（填一个就行） 【答案】正方体（答案不唯一） 【知识点】由三视图还原几何体 【分析】本题考查由三视图判断几何体，球的三视图是三个相等的圆，正方体的三视图是三个相等的正方形． 【详解】解：三视图都相同的几何体是正方体或球体， 故答案为：正方体（答案不唯一）． 【作业13】．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）在实数范围内定义一种运算“®”，其规则为，例如，．根据这个规则，方程的解为________． 【答案】或 【知识点】新定义下的实数运算、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查定义新运算，解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．根据新运算规则，将方程转化为关于的一元二次方程，然后利用直接开方法求解． 【详解】解：由运算规则 ，得： ， 即 或 解得或． 故答案为：或． 【作业14】．（25-26八年级下·全国·课后作业）四边形ABCD的对角线相交于点O，且，则当OD的长为________时，四边形ABCD是矩形． 【答案】2.5 【知识点】证明四边形是矩形、添一条件使四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的判定，能正确运用知识点进行推理是解此题的关键． 根据矩形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：当时，四边形是矩形． 理由如下：，且， ， 即， 四边形是平行四边形， 又，， ， 四边形是矩形． 故当时，四边形是矩形． 故答案为：． 【作业15】．（24-25九年级上·广东江门·阶段检测）阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变形为， 解得，． 当时，，． 当时，， 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． (1)解方程时，若设，则原方程可转化为______，并求出； (2)利用换元法解方程：． 【答案】(1)；， (2)，，， 【知识点】换元法解一元二次方程、解分式方程（化为一元一次）、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解分式方程，换元法解方程， 对于（1），根据换元法思想，令，把原方程转化为一元二次方程，解方程后的解，代入到原方程中，从而得到原方程的解； 对于（2），利用换元法，把原方程转化为，解该分式方程后，再得到原方程的解． 【详解】（1）解：， 设， ∴原方程变为：， 解得， 当时，， 解得； 当时，， 可知，无解. 所以原方程的解是； （2）， 设，则 ∴原方程可变形为：， 即， 解得， 当时，， 解得； 当时，， 解得， 经检验，所有解均是方程的根， ∴，. 【作业16】．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知方程的两个根为，，求下列式子的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系、通过对完全平方公式变形求值 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出与的值，再将所求代数式变形为含，的形式，代入数值计算即可． 【详解】（1）解：∵方程的两个根为，， ∴， 由根与系数的关系得：， ∴； （2）解：结合（1），可得． 【作业17】．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)点是线段上一点，满足交于点． ①求证：； ②若，求的长． 【答案】(1) 证明：四边形是平行四边形， ， ， 是的中点， ， ， ， ； (2) ①证明： 四边形是平行四边形， ， ， ， ； ② 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得，证明，推出，即可解答； （2）①通过平行四边形的性质证明，再通过（1）中的结论得到，最后证明，利用对应线段比相等，②把数值代入①中比例线段列方程即可解答． 【详解】（1）略 （2）① 略 ②解：由①得， ，即， ． 【作业18】．（24-25九年级上·广东清远·期中）如图，一个矩形广场的长为60，宽为40，广场内两条纵向小路宽均为2，如果设两条横向小路宽都为x，那么当x为多少时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似． 【答案】当米时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似． 【知识点】相似多边形的性质、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了相似多边形性质，一元一次方程的实际应用，根据相似多边形性质建立方程求解，即可解题． 【详解】解：小路内外边缘所围成的两个矩形相似， 解得， 答：当时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似． 【作业19】．（25-26八年级下·山东·课后作业）如图，点和在平面直角坐标系中，点的坐标是，根据下列要求，解答相应的问题： (1)作关于轴对称的，直接写出点的对应点的坐标； (2)作关于点成位似中心的位似，与的相似比为，且这两个三角形在点同侧，直接写出点的对应点的坐标． 【答案】(1) 如图，即为所求，结合图形，点的对应点的坐标为； (2) 如图，即为所求，结合图形，点的对应点的坐标为． 【知识点】画轴对称图形、求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形 【分析】本题主要考查了画位似图形、轴对称图形等知识，理解位似图形的性质是解答本题的关键． （1）根据关于轴对称的两点，横坐标互为相反数、纵坐标相同的特征进行解答即可； （2）根据位似图形的性质，结合位似比，画出位似图形即可． 【详解】（1）略 （2）略 【作业20】．（25-26九年级上·全国·周测）小明借助没有刻度的直尺，按照如下图所示的顺序作出了四边形． (1)求证：平分． (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：直尺对边平行， ， 四边形是平行四边形， 又直尺的宽度相同， 点B到的距离等于点C到的距离， ， ， 四边形是菱形， 平分． (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、含30度角的直角三角形、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查平行四边形，菱形的判定和性质，含含角的直角三角形的性质，勾股定理的计算，掌握菱形的判定和性质是关键． （1）根据题意得到四边形是平行四边形，因为点B到的距离等于点C到的距离，得到，四边形是菱形，由此即可求解； （2）如图，连接，交于点O，根据菱形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理得到，结合菱形面积的计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，交于点O， 四边形是菱形，， ，， ， ， ， ， ， ． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二·期中综合复习·培优提高讲义 （第一~四章）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 综合运用一元二次方程的解法、根与系数关系与判别式 · 灵活运用矩形、菱形、正方形的性质解决折叠与综合问题 · 掌握相似三角形多种判定方法的综合运用 · 理解黄金分割与成比例线段在实际问题中的应用 · 掌握位似作图、位似坐标变化与三视图还原 📚 知识梳理 ☆ 1.一元二次方程综合 换元法与整体思想：用新元替换复杂部分，化繁为简 根与系数关系与完全平方公式变形结合：x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 判别式与根的情况、不等式组综合判断 营销、传播、图形类应用问题：列方程并检验解的合理性 概念辨析例题：已知x1、x2是方程x2-3x+1=0的两根，求x12+x22的值 答案：x12+x22=7 解析：由根与系数关系得x1+x2=3，x1x2=1，则x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=32-2=7。 ☆ 2.特殊平行四边形综合 折叠问题：折痕是对称轴，翻折前后图形全等，对应点连线被折痕垂直平分 矩形折叠常构造直角三角形，用勾股定理求线段长 菱形面积等于对角线乘积的一半：S=d1d2 中点四边形、中位线与矩形菱形判定的综合应用 概念辨析例题：将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，若AB=3，BC=4，求△ACE的面积 答案：△ACE的面积为6 解析：折叠后△ACE≌△ACB，面积相等，S=×3×4=6。 ☆ 3.图形的相似综合 相似判定多途径：两角对应相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例 黄金分割：点C把线段AB分成AC、BC，若AC2=AB·BC，则点C为黄金分割点，比值为 位似变换与坐标：以原点为位似中心，位似比为k时对应点坐标乘以k或-k 平行线截线段成比例：平行线分线段所得对应线段成比例 概念辨析例题：线段AB=10，点C是AB的黄金分割点（AC>BC），求AC的长 答案：AC=5 解析：黄金分割较长线段AC=×AB=×10=5。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 换元法 设新元替换复杂部分 解后必须回代检验 根与系数变形 x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 前提：Delta≥0 折叠问题 翻折前后图形全等 折痕垂直平分对应点连线 菱形面积 S=d1d2 d1、d2为对角线长 黄金分割 较长线段=×全长 较长:全长=较短:较长 位似坐标 对应点坐标按位似比缩放 注意位似中心在原点与否 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元二次方程的解法、根与系数及应用（第1-13题） · 换元法与整体代入优先，解后回代检验 · 根与系数关系与完全平方公式变形结合求值 · 营销、图形问题列方程并检验解的合理性 1．（2026·云南昆明·模拟预测）某科技公司在2024年投入研发资金为300万元，2026年投入研发资金363万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东广州·期中）方程根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 3．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期中）已知关于的方程和的解相同，则与之间的等量关系为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某农场拟建两间矩形饲养室，其中一面靠现有墙（墙的长度为16米），另外三面及中间用围栏隔开，并在如图所示的三处各留1米宽的门，已知计划中的围栏材料（不包括门）总长为33米，则能建成的饲养室面积最大为（   ）平方米． A．54 B． C．108 D． 5．（2026·云南昭通·模拟预测）某文创店销售一种纪念徽章，原定价销售每枚徽章盈利12元，平均每天可售出80枚．市场调研发现：若每枚徽章降价1元，则平均每天可多售出10枚．为了尽快减少库存，店主决定降价促销．销售一段时间后发现，平均日盈利为910元．假设每天售出徽章的数量相同，设每件商品降价x元，依题意可列方程（） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·甘肃张掖·开学考试）在估算一元二次方程的根时，小晗列表如表： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.29 0.76 由此可估算方程的一个根x的范围是______． 7．（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）把一元二次方程化成一般形式：________． 8．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期中）一元二次方程的根是_____． 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）一元二次方程的根是_______． 10．（2026·海南省直辖县级单位·一模）新定义运算：，当时，；当时，．例如：；．若，则的值为_____． 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知一个正方形的边长比另一个正方形边长的2倍少，且这两个正方形的面积之和为，求这两个正方形的边长． 12．（24-25九年级上·广东深圳·阶段检测）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)当时，方程的根为，，求代数式的值． 13．（2026·安徽阜阳·二模）【观察思考】如图，“五一”劳动节期间，政府广场上用盆景（用“☆”表示）和花卉（用“☐”表示）组成图案． 【规律发现】 (1)第7个图案中盆景的盆数为____________； (2)第个图案中花卉的盆数可表示为____________（用含的式子表示）； 【规律应用】 (3)若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共121盆，求该图案中盆景和花卉各有多少盆． 【考点2】特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）（第14-26题） · 折叠问题找对称轴，构造直角三角形用勾股定理 · 中点四边形与三角形中位线结合 · 判定矩形、菱形注意条件完整 14．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）如图，在正方形对角线上取点，使得，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 15．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在菱形中，，，点E在边上，连接，将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处，则的长为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26八年级下·广东深圳·期末）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C． D． 17．（2025·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，是边上的点，将矩形沿所在的直线折叠，得到点的对应点，点的对应点．若点在边的延长线上，则的长为（    ） A． B．3 C．4 D． 18．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，已知点和，点是的中点，则的长为________． 19．（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）如图，正方形的边长为4，为中点，则的长为_______． 20．（24-25八年级下·河北沧州·期末）七巧板是我国古代劳动智慧的结晶，有“东方魔板”之称．小明用如图1所示的边长为的正方形七巧板（由5个等腰直角三角形、一个正方形和一个平行四边形组成），并以“蛇年”为主题进行创意拼图，所拼作品如图2所示，则图2中阴影部分的周长为_________． 21．（25-26八年级下·北京·期末）如图，点E是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则_____． 22．（25-26八年级下·山东聊城·期末）如图，在菱形中，，，E是边的中点，P，M分别是，上的动点，连接，，则的最小值是________． 23．（2026·广东茂名·一模）如图，将一个矩形纸片三次折叠：第一次沿折线折叠，使角落在边的点；第二次展开后沿折线折叠，使角落在折痕的点；第三次沿折线折叠，使角恰好落在折痕的点．已知折叠后，纸片无拉伸，则______． 24．（2025·云南临沧·模拟预测）如图，在矩形中，与交于点O，点E是上一点，连接交于点F，延长到矩形外的点G处，使得，连接． (1)求证：； (2)当点E是的中点，时，判断四边形的形状，并证明． 25．（2022·山东枣庄·模拟预测）已知：如图，在等腰梯形中，，对角线与相交于点O， 点E、F分别在线段上，，．求证： (1)； (2)四边形是矩形． 26．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形是菱形，过的中点E作的垂线，交于点M，交的延长线于点F． (1)证明：； (2)若，求菱形的周长． 【考点3】相似三角形的判定与性质（第27-45题） · 综合运用两角、两边夹角、三边多种判定方法 · 相似比转换线段长与面积比 · 平行线截线段成比例辅助构造相似 27．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，在梯形中，，与交于点，找出图中相似的三角形（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 28．（24-25九年级上·广东河源·期末）如图，，，两条直线与这三条平行线分别交于点，，和，，，若，，则的长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 29．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，分别为边上的点，且满足．根据上述信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论： 嘉嘉说：连接，则． 淇淇说：． 对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是（     ） A．两人都正确 B．两人都错误 C．嘉嘉正确，淇淇错误 D．嘉嘉错误，淇淇正确 30．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，点D，E分别是边，的中点，点F在上，．连接并延长，与的延长线相交于点M．若，则线段的长为（   ） A．8 B．7 C．6 D．4 31．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，平分．若，，则（   ） A．5 B． C．6 D． 32．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，在点P处水平放置一平面镜（平面镜的厚度和大小忽略不计），光线从点A出发，经平面镜反射后刚好照射到点C处，已知点B、P、D在同一直线上，于点B，于点D，且，，，则的长为_____ ． 33．（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）如果两个等边三角形对应高的比为，那么它们的面积之比为_______． 34．（24-25九年级上·北京·期中）两个相似三角形面积比是，其中面积较小的三角形的周长为，则另一个三角形的周长是_____． 35．（25-26九年级上·全国·周测）在如图所示的网格中，有，其中与相似的是_________（所有三角形的顶点均在小正方形的顶点上） 36．（24-25九年级上·上海虹口·阶段检测）如图所示，在中，，平分，交于点P，如果，，，那么的长是 _______． 37．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）在中，，，，D为中点，点M在射线上运动，直线交直线于点N，若，则的长为______． 38．（26-27九年级上·全国·课后作业）一种雨伞的截面图如图所示，伞骨，支撑杆，当点O沿滑动时，雨伞开闭．若，则B，D两点间的距离等于_______． 39．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段检测）如图，平行四边形中，E是边上的点，交于点F，如果，那么__________． 40．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，在四边形中，，．求证：平分． 41．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在中，点是的边上的一点． (1)请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：． 42．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）如图所示，将矩形纸片沿折叠得到，且点恰好落在上．求证：．    43．（24-25九年级上·北京房山·期中）如图，在中，，．求的长． 44．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，点F在上，且，求证：． 45．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）如图，在中，分别是的中点，连接． (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在第（1）问的条件下，连接．求证：四边形为平行四边形． 【考点4】成比例线段、黄金分割与相似多边形（第46-54题） · 黄金分割比的应用 · 相似多边形对应边成比例列方程求解 · 比例的性质：合比、等比公式灵活运用 46．（22-23九年级上·广西百色·期末）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 47．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，，若，则的长度是（） A．6 B． C． D． 48．（25-26九年级上·广东深圳·期中）勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图，点C是线段的黄金分割点，且，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则______． 49．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如果，那么_________． 50．（23-24九年级上·宁夏银川·阶段检测）如图，数学兴趣小组想利用竹竿来测量旗杆的高度，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长2米，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上，他测得落在地面上的影长为10米，落在斜坡上的影长为米，已知斜坡的坡度为，则旗杆的高度为__________． 51．（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知线段是成比例线段，其中，求线段的长． 52．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，四边形四边形．    (1)______． (2)求的值． 53．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在上、下两行的图形中，把你认为是相似图形的用线连起来． 54．（23-24七年级上·福建龙岩·开学考试）黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例．人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．乐乐的妈妈上半身长68厘米，下半身长104厘米，她想通过穿高跟鞋，使身长的比例更美观，于是她购买了一双6厘米高的高跟鞋．依据黄金比，这双高跟鞋的高度合适吗？请说明理由． 【考点5】位似图形（第55-57题） · 以位似中心为基准作位似图形 · 坐标系中位似：对应点坐标按位似比缩放 · 位似比等于相似比 55．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，其中对应点A和坐标分别是，，则位似中心C的坐标是________． 56．（24-25九年级上·福建泉州·期中）若绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，则我们称与互为“旋转位似图形”． (1)知识理解：如图①，与互为“旋转位似图形”． ①若，则__________； ②若，则__________； (2)知识运用：如图②，在四边形中，于点，求证：与互为“旋转位似图形”． 57．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，请以原点O为位似中心，在第四象限内作，使得与的相似比为（点A、B、C的对应点分别是点、、）． 【考点6】投影与视图（第58-60题） · 区分平行投影与中心投影 · 由三视图还原几何体，计算表面积与体积 · 三视图：长对正、高平齐、宽相等 58．（2026·河北·模拟预测）一个几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（    ） A． B． C． D． 59．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）皖南皮影戏又称太平戏，被列入安徽省第二批省级非物质文化遗产，皖南皮影戏属于__________投影．（填“平行”或“中心”） 60．（2023·浙江衢州·一模）图1是一个圆柱体，图2是它的主视图．若，，则该圆柱体的侧面积为______． 💯 课后巩固 复习建议 · 换元法解题记得回代与检验 · 折叠问题优先找全等关系与直角三角形 · 相似判定多途径，注意对应边与对应角 · 黄金分割比值要牢记 · 位似作图先定中心再定比例 【作业1】．（24-25九年级下·四川眉山·期中）已知是方程的两根，则的值为（   ） A． B．10 C．2 D． 【作业2】．（25-26八年级下·广西钦州·期末）已知菱形的周长为，那么的长为（     ） A．2 B．4 C．8 D． 【作业3】．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，下列条件中能判定的是（    ） A． B． C． D． 【作业4】．（24-25九年级上·河北唐山·期末）两个相似多边形的面积比是，其中较大多边形的周长为，则较小多边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【作业5】．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（　　） A． B． C． D． 【作业6】．（23-24九年级下·全国·单元测试）用发光的手电筒由远及近去照射吊在空中的小球，如图，那么小球落在竖直墙面上的影子会（   ） A．先变大后变小 B．逐渐变小 C．逐渐变大 D．先变小后变大 【作业7】．（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）方程 的解是______． 【作业8】．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段检测）甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测： 甲：量得窗框两组对边分别相等； 乙：量得窗框对角线相等； 丙：量得窗框的一组邻边相等： 丁：量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线相等． 检测后，他们都判断说窗框是矩形，则检测方法正确的同学是________． 【作业9】．（24-25九年级上·甘肃白银·期末）如图，在四边形中，对角线平分，，，则要使，只要________． 【作业10】．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知，则____________，____________． 【作业11】．（25-26九年级下·江苏常州·期中）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【作业12】．（2024·江苏盐城·三模）某几何体的三视图都相同，则该几何体是______．（填一个就行） 【作业13】．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）在实数范围内定义一种运算“®”，其规则为，例如，．根据这个规则，方程的解为________． 【作业14】．（25-26八年级下·全国·课后作业）四边形ABCD的对角线相交于点O，且，则当OD的长为________时，四边形ABCD是矩形． 【作业15】．（24-25九年级上·广东江门·阶段检测）阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变形为， 解得，． 当时，，． 当时，， 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． (1)解方程时，若设，则原方程可转化为______，并求出； (2)利用换元法解方程：． 【作业16】．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知方程的两个根为，，求下列式子的值： (1)； (2) 【作业17】．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)点是线段上一点，满足交于点． ①求证：； ②若，求的长． 【作业18】．（24-25九年级上·广东清远·期中）如图，一个矩形广场的长为60，宽为40，广场内两条纵向小路宽均为2，如果设两条横向小路宽都为x，那么当x为多少时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似． 【作业19】．（25-26八年级下·山东·课后作业）如图，点和在平面直角坐标系中，点的坐标是，根据下列要求，解答相应的问题： (1)作关于轴对称的，直接写出点的对应点的坐标； (2)作关于点成位似中心的位似，与的相似比为，且这两个三角形在点同侧，直接写出点的对应点的坐标． 【作业20】．（25-26九年级上·全国·周测）小明借助没有刻度的直尺，按照如下图所示的顺序作出了四边形． (1)求证：平分． (2)若，求四边形的面积． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $