第1章 特殊平行四边形 高频考点突破(章节拔尖攻略)-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

本册知识结构 组邻 成比例线段 菱形 边相等 判定 正方形 平行四边形 相似多边形 性质 矩形 一个角 是直角 图形的相似 判定 相似三角形 性质 应用 认识菱形、矩形及正方形 判定 菱形的性质 图形的位似 菱形 放大或缩小图形 菱形的判定 特殊平行 性质 位似变换 四边形 矩形的性质 矩形 中心投影灯光) 矩形的判定 投影 投影 平行投影太阳光) 正方形的性质 正方形 与视图 正方形的判定 物体的三视图 视图 三视图的画法 -b±b-4ac 由视图判断几何体 x= 2a 九年级 概念 ax2+bx+c=0(a≠0) 上册 a>0开口向上，a<0开口向下 概念 直接开平方法 y=ax2+bx+c(a≠0) 配方法 开口方向 解法 公式法（求根公式） 图象 顶点坐标 与性质 因式分解法 元二次 二次函数 对称轴 b 4ac-b2 2a,4a 方程 x+x2--a 增减性与最值 二次函数与一元二次方程 b2-4ac≥0 根与系数的关系 二次函数的应用 直线=- 2a 几何图形与古代 一元二次 数学问题 画树状图法 方程的 求概率的方法 销售利润问题 应用 概率的进一步 列表法 认识 平均变化率问题 用频率估计概率 a(1±x%)2=b 模拟试验 第一章 特殊平行四边形 ]高频考点突破 聚焦高频考点，各个击破 考点一 菱形的判定与性质 .OB十BC=9,∴.设OB=x,则BC=9一 典例1[2025榆林子洲期末]如 x.在Rt△BOC中，由勾股定理得OB2+ 图，四边形ABCD的对角线 OC2=BC2,∴.x2+32=(9-x)2,解得x= AC,BD交于点O,延长CD至 4..OB=4..BD=2OB=8..四边形 点E,使得CE=2BC,连接BE ABCD是菱形，∴.四边形ABCD的面积= 交AD边于点F,D,F分别是 (典例1图) 2AC·BD=号×6X8=24. CE,BE的中点，DF=2AD. 解法二由解法一得OB=4,OC=3,∴.四 (1)求证：四边形ABCD是菱形 边形ABCD的面积=4S=4XOB· (2)一题多解若AC=6,OB十BC=9,求四 OC=24. 边形ABCD的面积. 分析 小结 本题考查菱形的判定与性质的综合应用，判 (1)先证明△AFB≌△DFE(SAS),得到 定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方 ABDE,AB=DE=CD,得出四边形ABCD 法.若可以证明一个四边形的四条边相等，则可直 是平行四边形，再证明邻边BC=CD即可. 接证出这个四边形是菱形；若只能证出这个四边 (2)由菱形的性质和勾股定理求出OB,再通过 形的一组邻边相等或对角线互相垂直，则可以尝 1 StAm=2AC·BD(或4S△c)即可求出 试先证出这个四边形是平行四边形，然后证明这 四边形ABCD的面积， 个四边形是菱形.由菱形的对角线互相垂直平分， 可知菱形的面积为对角线乘积的一半 解答：(1)D,F分别是CE,BE的中点， 对应练习 DF-TAD.BF-EF.AF-FD.CD- 1.[2025烟台期末]如图，在□ABCD中，E DE.在△AFB和 △DFE 中， 是对角线AC上一点，且BE=DE AF=DF, (1)求证：四边形ABCD是菱形. ∠AFB=∠DFE,.△AFB≌△DFE (2)若AB=10,AC=12,求四边形 BF=EF, ABCD的面积. ∴.∠ABF=∠DEF,AB=DE=CD, ∴.ABDE,即ABCD.∴.四边形ABCD 是平行四边形..'CE=2BC,CE=2CD, .BC=CD.∴.四边形ABCD是菱形 (第1题) (2)解法一，四边形ABCD是菱形， AC-6.AO-OC-7AC-3,ACLBD. 第一章特殊平行四边形 考点二矩形的判定与性质 .∠BAC=60°，.∠ACD=90°-60°= 典例2[2025揭阳惠来期 30°..AC=2AD=4..CD= 末]如图，在△ABC中，D √AC2-AD2=√42-22=2√3..∠BDC= 是边AB上一点，M是边 180°-∠ADC=90°，∴.BD⊥CD.∴.BC= AC的中点，连接DM并 (典例2图) √JBD2+CD2 =√42+(23)2 = 27. 延长至点N,使得MN=DM,连接AN,CN, CD,且∠AMD=2∠MCD DE⊥BC,.S△BCD= 号BC·DE= (1)求证：四边形ADCN是矩形 2BD·CD.∴.DE→ BD·CD4X2√3 (2)若∠BAC=60°，BD=2AD=4,求点D BC 27 到边BC的距离， 4√21 分析 即点D到边BC的距离为4四 71 (1) ∠AMD=∠MCD+∠MDC ∠AMD=2∠MCD 小结 本题考查矩形的判定与性质的综合应用，解 M为AC的中点 决问题的关键是要结合图形和已知条件选择合 ∠MCD=∠MDC AM=CM MN=DM 适的方法判定矩形，若题中涉及对角线，则通过 DM=CM 证对角线相等，利用“对角线相等的平行四边形 四边形ADCW为平行四边形 AC=DN 是矩形”来判定；若易求得内角的度数，则根据 “有一个角是直角的平行四边形是矩形”或“有三 四边形ADCN为矩形 个角是直角的四边形是矩形”来判定. (2) 在Rt△ADC中，∠BAC=60 对应练习 2.[2025成都武侯期未]如图，在菱形 AC=2AD BD=2AD=4 ABCD中，对角线AC,BD相交于点O, BD=AC=4,AD=2 延长CB到点E,使得BE=BC,连接 AE,过点B作BF∥AC,交AE于点F, 勾股定理求CD,BC的长 连接OF. 由面积相等求距离 (1)求证：四边形AFBO是矩形 解答：(1)，M是边AC的中点，.AM= (2)若∠E=30°，OF=2,求菱形ABCD CM..MN=DM,.四边形ADCN是平 的面积. 行四边形..'∠AMD=∠MCD十∠MDC, ∠AMD=2∠MCD,∴.∠MCD=∠MDC. ∴.DM=CM.∴.AM=CM=MN=DM. ∴.AC=DN..四边形ADCN是矩形 (第2题) (2)过点D作DE⊥BC于点E.·BD= 2AD=4,.AD=2.由(1)可知，四边形 ADCN是矩形，∴.∠ADC=90°. 3 数学（北师版）九年级上 考点三直角三角形斜边中线的性质 对应练习， 典例3如图，在△ABC中，AD是边BC上 3.如图，在△ABC中，三边BC,AC,AB上 的高，E是边AC的中点，连接BE,DG⊥ 的高AE,BF,CD相交于点M,P为BM BE于点G,BD=AE, 的中点，Q为AC的中点，连接PQ,DE (1)求证：BG=EG 求证：PQ⊥DE. (2)若AD=6,CD=8,求BE的长 (第3题)》 (典例3图) 分析 (I)连接DE.先根据直角三角形斜边中线 的性质证明△BDE是等腰三角形，再由等腰三 角形三线合一的性质即可得出结论.(2)过，点E 作EF⊥BC于点F,求出EF,BF的长，即可解 考点四正方形的判定与性质 决问题. 典例4如图，四边形ABCD和四边形 解答：(1)连接DE.,AD是边BC上的 CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD 高，∴.∠ADC=90°.又，E是边AC的中 到点H,使DH=BK=CE,连接AK,KF, 点，.DE=AE=CE.,BD=AE,.BD= HF,AH. DE,即△BDE是等腰三角形.，DG⊥BE, (1)求证：AH=AK. .BG=EG (2)求证：四边形AKFH是正方形. (2)过点E作EF⊥BC于点F.,AD=6, (3)若四边形AKFH的面积为10，CE=1, CD=8,∴.AC=√AD2+CD2=10.∴.CE= 求点A,E之间的距离 AC-5.CE-DE.EFLBC.CF- DF-CD=4.EF=/CE-CFF-3. 又，'BD=AE=CE=5,.BF=BD十 (典例4图) DF=9..BE=√EF2+BF2=3√/10」 分析 (1)利用正方形的性质结合全等三角形的 小结 本题考查直角三角形斜边中线的性质，与中 判定方法证明△ADH≌△ABK,即可证明结 点有关的知识有直角三角形斜边中线的性质、三 论.(2)由全等的性质可得∠HAK=90°，同理 角形中位线定理、等腰三角形三线合一的性质 可证得△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH, 等，有时综合几种知识于同一题中，要注意灵活 再利用正方形的判定方法进行判定.(3)结合 应用，快捷解决问题.必要时可添加辅助线，构造 正方形的性质利用勾股定理可求出AB 相关性质的基本图形 KE=3,BE=4,再利用勾股定理可求解. 第一章特殊平行四边形 解答：(1)，四边形ABCD是正方形，∴.AB= OF⊥CD于点F AD,∠B=∠ADC=90°.∴.∠ADH=90°.在 (1)四边形OECF是正方形吗？请说明 AD=AB, 理由， △ADH和△ABK中， ∠ADH=∠B=90°， (2)若AD=4,求四边形OECF的面积 DH=BK, .△ADH≌△ABK..AH=AK (2)在正方形ABCD和正方形CEFG中， E AB=BC=CD=AD,CG=CE=EF= (第4题) GF=DH=BK,∠B=∠BCD=∠BAD= ∠ADC=90°，∠GCE=∠CEF=∠EFG= ∠CGF=90°..'△ADH≌△ABK, .∠HAD=∠BAK..∠HAK 考点五 动点问题探究 ∠HAD+∠DAK=∠BAK+∠DAK= 典例5[2025沈阳法库期中] ∠BAD=90°.同理(1)，可得△HGF≌ 如图①，在矩形ABCD中， △KEF≌△ABK≌△ADH.∴.AH=AK= B Q AB=8,BC=16,点P从点D (典例5图①) HF=FK.∴.易得四边形AKFH是正方形 出发向点A运动，运动到点A停止，同时， (3)连接AE..四边形AKFH的面积为 点Q从点B出发向点C运动，运动到点C 10,∴.KF=√10.，EF=CE=1,∴.KE= 停止，点P,Q的速度都是每秒1个单位长 √KF2-EF2=√/（√10）2-12=3.∴.AB= 度，连接PQ,AQ,CP.设点P,Q运动的时 KE=3..BK=CE=1,..BE=BK+ 间为t秒. KE=4.∴.AE=√AB2+BE2=√32+4= (1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形？ (2)当t=6时，判断四边形AQCP的形状， 5,即点A,E之间的距离为5. 小结 并说明理由， 本题考查正方形的判定与性质的综合应用， (3)当以PQ为对角线的正方形的面积为 解决问题的关键是要明确矩形、菱形、正方形的 96时，求t的值， 从属关系，判定正方形的一般顺序如下：先证明 分析 它是平行四边形→再证明它是菱形（或矩形）→ (1)由已知可得，BQ=DP=1,AP=CQ= 最后证明它是正方形.利用正方形性质时，常用 16一t,当BQ=AP时，四边形ABQP为矩形， 到等腰三角形或直角三角形的性质与判定，必要 得出方程，解方程即可.(2)当t=6时，可得出 时可添加辅助线解决问题， AP=CQ.由APCQ,可得四边形AQCP为平 行四边形.由勾股定理求出AQ=10,得出 对应练习 AQ=CQ,从而得出结论.(3)分两种情况：求 4.[2025咸阳期末]如图，BD是正方形 ABCD的对角线，过点A作AO⊥BD于 出正方形的边长为4√6，则对角线PQ为8√3， 作辅助线，由题意得出方程，解方程即可. 点O,过点O分别作OE⊥BC于点E, 5 数学（北师版）九年级上 解答：(1).在矩形ABCD中，AB=8, 对应练习 BC=16,..BC=AD=16,AB=CD=8. 5.在矩形ABCD中，AB=6,BC=14,E是 题意可得，BQ=DP=t,AP=CQ=16-t. AD上一点，连接CE,CE=6√2，F是 .'在矩形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC, AB上一点，AF=2,P是线段AE上一 ∴.当BQ=AP时，四边形ABQP为矩形 动点，以PF为边作菱形PFGQ,且点G ∴.t=16-t,解得t=8..当t=8时，四边 在BC边上，点Q在四边形ABCE内部 形ABQP为矩形， 或线段CE上 (2)四边形AQCP为菱形.理由：t=6, (1)如图①，求AE的长 ∴.BQ=DP=6,CQ=AP=16-6=10. (2)如图①，是否存在这样的点P,使得 .'APCQ,∴.四边形AQCP为平行四边 四边形PFGQ为正方形？若存在，请求 形.在Rt△ABQ中，AQ=√AB2+BQ= 出AP的长；若不存在，请说明理由， √82十62=10，∴.AQ=CQ..平行四边形 (3)如图②，若菱形PFGQ的顶点Q恰 AQCP为菱形.∴.当t=6时，四边形AQCP 好落在线段CE上，请求出此时AP与 为菱形 QC的长， (3)'正方形的面积为96，∴.正方形的边 长为4√6.∴.PQ=√2×4√6=8√5.作 PM⊥BC于点M,分两种情况：①如图②，则 PM=AB=8,DP=BQ=t,AP=BM=16- (第5题) t,由勾股定理得QM=√JPQ-PM=8√2. .BM=BQ+QM,∴.t+82=16-t,解 得t=8一4√2.②如图③，DP=BQ=t, AP=BM=16-t,.BQ=BM+QM, .16-t十8√2=t,解得t=8+4√2.综上所 述，当以PQ为对角线的正方形的面积为96 时，t的值为8一4√2或8十4√2 9 (典例5图) 小结 本题考查特殊平行四边形动，点问题，解决问 题的关键是熟练掌握矩形、菱形及正方形的有关 知识，特别注意分类讨论思想的应用， 6附：答案与解析 第一章 特殊平行四边形 [高频考点突破] ①(1)连接BD交AC于点O.:四边形ABCD是平行四 边形，∴.BO=DO.BE=DE,.AC⊥BD.∴.四边形 ABCD是菱形.(2)四边形ABCD是菱形，∴，AO= AC-6.ACLBD,BD-20B.OB-BAO- √102-6=8.∴.BD=2OB=16.∴.四边形ABCD的面 积=2AC·BD=2×12X16=96 ②(1)：四边形ABCD是菱形，∴.AD∥BC,AC⊥BD, AD=BC.BE=BC,∴.AD=BE.∴.四边形AEBD是 平行四边形.∴.AEBD.BF∥AC,.四边形AFBO是 平行四边形.：AC⊥BD,.∠AOB=90°..四边形 AFBO是矩形.(2)由(1)知四边形AFBO是矩形， ∴.∠OAF=90°，AB=OF=2.∠E=30°，∴.∠ACB= 60°.：四边形ABCD是菱形，∴.AB=BC=2.∴.△AB 为等边三角形..AO=OC=1,易得B0=DO=√5】 iSwen-AC.BD-X2X255-2/5. ③连接EQ,QD,EP,DP.AE⊥BC,CD⊥AB, .∠AEC=∠AEB=90°，∠CDB=∠ADC=90°.Q为AC 的中点，P为BM的中点，.DQ=2AC,EQ=2AC,EP= BM,DP-2 BM.DQ=EQ,EP-DP.PQ LDE. ④思路导引 (1) 四边形ABCD为正方形 AD=AB AO⊥BD ∠BCD=90°， ∠BDC=∠DBC=45° BO=DO OE⊥BC, OF⊥CD OE=OF 四边形OECF为矩形 四边形OECF为正方形 (2) △DOF为等腰直角三角形 OF=DF OF=CF 正方形的面积 DF=FC- 公式计算 (1)四边形OECF是正方形.理由：在正方形ABCD中， AD=AB,∠BDC=∠DBC=-45°，∠BCD=90°，OF⊥ DC,OE⊥BC,.∠OFD=∠OFC=∠OEB=∠OEC= 90°.四边形OECF是矩形.AO⊥BD,∴.DO=BO. .△ODF≌△OBE(AAS).∴.OF=OE.∴.四边形 OECF是正方形.(2)∠ODF=45°，AD=CD=4, ∠OFD=90°，.DF=OF.四边形OECF是正方形， &OF=FC.C=DF=合CD=2.S验m= FC2=4. ⑤(1)在矩形ABCD中，CD=AB=6,AD=BC=14, ∠D=90°..∴.DE=WCE2-CD=6.∴.AE=AD- DE=8.(2)存在这样的点P,使得四边形PFGQ为正 方形.如图①，过点Q作QH⊥BC于点H.当四边形 PFGQ为正方形时，PF=FG,∠PFG=90°，∴.∠AFP+ ∠BFG=90°.在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°， ∴.∠AFP+∠APF=90°..∠BFG=∠APF.在△BFG ∠BFG=∠APF, 和△APF中，∠B=∠A, .'.△BFG≌△APF. FG=PF, .AP BF,AF =BG =2..BF =AB-AF =4, .AP=4.根据证明△BFG≌△APF的过程，同理可得 △BFG≌△HGQ,∴.HQ=BG=2,GH=BF=4. ∴.BH=BG十GH=6.∴.点Q在四边形ABCE内部，符 合题意.∴.AP=4.(3)如图②，过点Q作QM⊥BC于 点M,连接PG.在菱形PFGQ中，PF=FG=GQ,PF∥ GQ,∴.∠FPG=∠QGP.在矩形ABCD中，AD∥BC, ∴.∠APG=∠CGP.∴.∠APG-∠FPG=∠CGP- ∠QGP,即∠APF=∠MGQ.在△APF和△MGQ中， ∠APF=∠MGQ, ∠A=∠GMQ,∴.△APF≌△MGQ.∴.MQ=AF= PF=GQ, 2,GM=AP.由(1)可得△CDE是等腰直角三角形， ∴.∠ECD=∠CED=45°.∴.∠ECB=45.∴.△CQM是 等腰直角三角形.∴.MC=2,QC=2√2.∴.BG=BC- CM-GM=14-2-AP=12-AP.在Rt△APF中， PF2=AF2+AP2=4+AP2,在Rt△BFG中，FG= BF2+BG=16+(12-AP)2,∴.4+AP2=16+(12- 45 数学（北师版）九年级上 APy,解得AP-只综上所述，AD- 9,QC=22. ⊙ ② (第5题) [综合素养提升] ①B四边形ABCD是正方形，.AD=AB, ∠DAB=∠ABC=90°.又，AE=BF,∴.△ADE≌ △BAF.∴.∠ADE=∠BAF.∴.∠DOF=∠ADO+ ∠DAO=∠BAF+∠DAO=∠DAB=90°..·M是DF 的中点.0OM=2DF.如图，在AB延长线上截取BH BG,连接FH,DH.,∠FBG=∠FBH=90°，FB=FB, BG=BH,∴.△FBG≌△FBH.∴.FH=FG.∴.OM+ 号FG=DF+HF=号DF+Hp).当H,D,F 三点共线时，DF+HF有最小值，即此时OM+?FG有 最小值，最小值为DH长的一半.：AG=2GB,AB=6, ∴.BH=BG=2.∴.AH=8.在Rt△ADH中，由勾股定 理，得DH=VD+AF-10..OM+2FG的最小 值为5. H (第1题) ②C在□ABCD中，AB=BC=13,∴平行四边形 ABCD是菱形，AB∥CD.∴.CA平分∠BCD,∠ABE= 1 ∠BCD.∠ECA=?∠BCD.:BF平分∠ABE, ·∠EBF=2∠ABE.∠EBF=∠PCA.AC∥BF 连接BD交AC于点G,则AC⊥BD,且BD垂直平分AC AB=BC=13,AC=24,.AG=CG=12.在Rt△ABG 中，由勾股定理得BG=√AB-AG=5.,AC∥BF, ·△MCP的边AC上的高为5.·SAp=2X5AC= 号×5x21=0 ③6∠AED=90°，F是边AD的中点，EF=4cm, 46 .AD=2EF=8cm.∠EAD=30°，∴.在Rt△AED 中，DE=2AD=4cm.AE=√AD-DE=43cm :四边形ABCD是矩形，∴.AD∥BC,∠B=90 ∴∠BEA=∠EAD=30°.∴.在Rt△ABE中，AB= A/5 em-/-6om. ④①②④DP⊥DE,∴.∠PDE=90°.在正方形 ABCD中，∠ADC=90°，AD=CD,∴.∠ADC-∠PDC= ∠PDE-∠PDC,即∠ADP=∠CDE.在△APD和 AD=CD, △CED中，∠ADP=∠CDE,∴.△APD≌△CED.故① DP=DE 正确.△APD≌△CED,.∠APD=∠CED.又 :∠APD=∠PDE+∠DEP,∠CED=∠CEA+ ∠DEP,.∠CEA=∠PDE=90.∴.AE⊥CE.故②正 确.如图，过点C作CF⊥DE,交DE的延长线于点F DE=DP,∠PDE=90°，∴.∠DPE=∠DEP=45°.又 ∠CEA=90°，∴.∠CEF=45.∠F=90°，∴.易知 EF=CF.DE=DP=1,∴.PE=√DP2+DE=√2. PC=√6，∴CE=√PC-PE=2.:在Rt△CEF 中，EF2+CF2=CE2,EF=CF,∴.易得CF=EF=√2，即 点C到直线DE的距离为√2.故③错误.：C℉=EF=√2， DE=1,∴.在Rt△CDF中，CD2=CF2+DF2=(W2)2+ (1十√)2=5十2，√2，即S正才无An=5+2√2.故④正确.综 上所述，正确的为①②④. (第4题) ⑤(1)：四边形ABCD为矩形，∴.AD∥BC. ∴.∠DAC=∠BCA.由翻折知，∠DAF=∠HAF= 合∠DAC,∠E=AMCE-∠C,∠HAF- ∠MCE.∴.AF∥CE.(2)当∠BAC=30°时，四边形 AECF是菱形.理由：四边形ABCD是矩形，∴.∠D ∠BAD=90°，AB∥CD.由(1)，得AF∥CE,∴.四边形 AECF是平行四边形.：∠BAC=30°，∴.∠DAC=90°-