第3章 3 课时2 相似三角形判定定理的证明-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测教师用书Word（北师大版·新教材）

课时2　相似三角形判定定理的证明 相似三角形判定定理的证明和应用　　 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列各组的条件不能判定这两个三角形相似的是(B) A．∠B＝65°，∠D＝65° B．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8 C．＝ D．＝ 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.若＝，则图中一定相似的三角形是(B) A．△BOA∽△BAD B．△BOA∽△COD C．△BOC∽△BCD D．△COB∽△CBA 2题图 　　 3题图①　　　　3题图②　 夹文件的一种燕尾夹如图①所示，图②是在闭合状态下的平面示意图，经测量知AE＝AF＝25 mm，EB＝FD＝35 mm，EF＝20 mm，则在闭合状态下，点B，D之间的距离是48mm. 如图，P为△ABC中线AD上的一点，且BD2＝PD·AD.求证：△ADC∽△CDP. 4题图 证明：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD. ∵BD2＝PD·AD， ∴CD2＝PD·AD， ∴＝. ∵∠CDA＝∠PDC，∴△ADC∽△CDP. 如图，已知：点D在△ABC的边AB上，连接CD，点E在线段CD上，且∠BAE＝∠ACD＝∠B. (1)求证：＝； (2)当E为CD的中点时，求证：＝. 5题图 证明：(1)∵∠ACD＝∠B＝∠BAE，∠BAC＝∠BAE＋∠CAE，∠AED＝∠ACD＋∠CAE， ∴∠AED＝∠BAC. 又∵∠DAE＝∠B，∴△AED∽△BAC，∴＝. (2)∵∠ADE＝∠CDA，∠DAE＝∠ACD，∴△DAE∽△DCA，∴＝.∵E为CD的中点，∴DE＝EC，∴＝，∴＝.∵∠DAC＝∠BAC，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC，∴＝，∴AC2＝AD·AB，∴＝. 如图，点D，F分别在等边三角形ABC的边CB的延长线与反向延长线上，且满足BD·CF＝BC2. (1)求证：△ADB∽△FAC； (2)求证：AD·AF＝BC·DF. 6题图 证明：(1)∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠ABD＝∠FCA＝120°.∵BD·CF＝BC2，∴BD·CF＝AB·AC，∴＝，∴△ADB∽△FAC. (2)由(1)知△ADB∽△FAC，∴∠DAB＝∠F.又∵∠D＝∠D，∴△ADB∽△FDA，∴＝，∴AD·AF＝AB·DF，∴AD·AF＝BC·DF. 如图，已知CE是Rt△ABC斜边AB上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，过点B作BG⊥AP，垂足为G，交CE于点D，求证：CE2＝PE·DE. 7题图 证明：∵∠ACB＝90°，CE⊥AB， ∴∠AEC＝∠CEB＝90°，∠ACE＋∠BCE＝90°， ∴∠ACE＋∠CAE＝90°， ∴∠CAE＝∠BCE，∴△ACE∽△CBE， ∴＝，即CE2＝AE·BE. 又∵BG⊥AP，CE⊥AB， ∴∠DEB＝∠DGP＝∠PEA＝90°. 又∵∠PDG＝∠BDE，∴∠P＝∠DBE， ∴△AEP∽△DEB， ∴＝，即PE·DE＝AE·BE， ∴CE2＝PE·DE. 如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE，交对角线AC于点F.若AB＝4，AD＝3，则CF的长是(B) A．3 B． C．4 D． 1题图 　　 2题图 如图，E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，AE和CD交于点G，AC是▱ABCD的对角线，则图中相似三角形共有4对． 如图，已知Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B＝∠CDE＝90°，连接AD交CE于点F.若＝，则的值为． 3题图 　 4题图 (四川成都期末)如图，△ABC的顶点A在y轴上，B，C两点都在x轴上，将边AB向右平移，平移后点A的对应点为D，点B的对应点为坐标原点O，线段DO交AC于点E，若AB＝5，则点D的坐标为(3，4)． 如图，在△ABC中，点D在边AC上，连接BD，BE平分∠DBC，交AC于点E，且AE＝AB. (1)求证：△ABD∽△ACB； (2)若AD＝5，CD＝4，求AE的长． 5题图 (1)证明：∵BE平分∠DBC，∴∠DBE＝∠CBE. ∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB. ∵∠ABE＝∠ABD＋∠DBE，∠AEB＝∠C＋∠CBE， ∴∠C＝∠ABD. 又∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB. (2)解：由(1)可知△ABD∽△ACB， ∴＝. 又∵AB＝AE，∴AE2＝AD·AC＝5×(5＋4)＝45， ∴AE＝＝3. 如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC，BE，它们相交于点F，且∠ACB＝∠ABE. (1)求证：AE2＝EF·BE； (2)若AE＝2，EF＝1，CF＝4，求AB的长． 6题图 (1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB. 又∵∠ACB＝∠ABE，∴∠DAC＝∠ABE. 又∵∠AEF＝∠BEA，∴△EAF∽△EBA， ∴EA∶EB＝EF∶EA，∴AE2＝EF·BE. (2)解：∵AE2＝EF·BE，∴BE＝＝4，∴BF＝BE－EF＝4－1＝3.∵AE∥BC，∴＝，即＝，解得AF＝.∵△EAF∽△EBA，∴＝，即＝，∴AB＝. 如图，已知直线l的函数表达式为y＝－x＋8，且l与x轴、y轴分别交于A，B两点，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，设点P，Q移动的时间为t秒． (1)求A，B两点的坐标； (2)当t为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似？ (3)当△APQ的面积是△ABO面积的时，t的值为2或3． 7题图 解：(1)对于y＝－x＋8，令y＝0， 则－x＋8＝0，解得x＝6；令x＝0，则y＝8，∴A，B两点的坐标分别为(6，0)，(0，8). (2)在Rt△AOB中，BO＝8，AO＝6，根据勾股定理， 得AB＝＝10.由题意可知AP＝t，BQ＝2t，AQ＝10－2t.当△APQ∽△AOB时，＝，∴＝，解得t＝；当△APQ∽△ABO时，＝，∴＝，解得t＝.综上所述，当t＝或时，以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似． 学科网（北京）股份有限公司 $