第3章 4 课时1 相似三角形中对应线段的性质-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测教师用书Word（北师大版·新教材）

4 相似三角形的性质 课时1　相似三角形中对应线段的性质 相似三角形中对应线段的比　　 两个三角形的相似比是2∶3，则其对应角的角平分线之比为(B) A．∶ B．2∶3 C．4∶9 D．8∶27 (山西太原期末)已知两个三角形相似，其中一组对应边上的高分别是2和6，那么这两个三角形的相似比为(B) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶6 (辽宁沈阳期末)已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应高线．若AD＝8，A′D′＝6，则△ABC与△A′B′C′的相似比是4∶3． 如图，△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线．若AD＝4，A′D′＝3，BE＝6，则B′E′的长为． 4题图 已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是BC和B′C′边上的高，且AD＝4 cm，A′D′＝6 cm，BE是△ABC的中线，BE＝5 cm，求△A′B′C′中对应中线B′E′的长． 解：∵△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是BC和B′C′边上的高，且BE和B′E′是对应的中线， ∴＝，即＝， 解得B′E′＝7.5 cm. 如图，在△ABC中，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，CF，EG分别是△ABC与△ADE的角平分线．已知AD∶DB＝5∶3，EG＝10 cm，求CF的长． 6题图 解：CF＝16 cm. 相似三角形中对应线段的比的应用　　 如图为步枪在瞄准时的示意图，AB∥CD，从眼睛O到准星的距离OE为80 cm，眼睛到目标F的距离OF为200 m，步枪上准星宽度AB为2 mm，若射击时，由于抖动导致视线偏离了准星上点E 1 mm，则目标偏离的距离为(A) A．25 cm B．50 cm C．75 cm D．100 cm 如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2 m，CD＝6 m，点P到CD的距离是2.7 m，则AB与CD的距离为1.8m. 8题图 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，AF平分∠BAC交DE于点G.若AE＝3，CE＝1，AD＝2，BD＝4，则AG∶AF等于(B) 1题图 A．2∶5 B．1∶2 C．1∶3 D．3∶5 有一个侧面为梯形的容器，高为8 cm，内部倒入高为6 cm的水．将一根长为18 cm的吸管如图放置，若有2 cm露出容器外，则吸管在水中部分的长度为(D) 2题图 A．9 cm B．10 cm C．11 cm D．12 cm 如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6 m有一棵树，在河的对岸每隔60 m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河的宽度为45m. 3题图 (山东菏泽期末)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，将△ABC沿其底边中线AD向下平移，使A的对应点A′满足AA′＝AD，则平移前后两个三角形重叠部分的面积是． 4题图 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AB⊥BC，AC⊥CD，BM⊥AC于点M，CN⊥AD于点N.若BC＝12，CD＝15，求BM的长． 5题图 解：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD. ∵BC⊥AB，CN⊥AD，∴CN＝BC＝12. ∵∠ABC＝∠ACD＝90°，∴△ABC∽△ACD. 又∵BM⊥AC，CN⊥AD，∴＝. ∵BC＝12，CD＝15， ∴＝，解得BM＝. 如图，在△ABC中，BC＝20，高AD＝12，作矩形PQRS，使得点P，S分别落在边AB，AC上，点Q，R落在边BC上． (1)求证：△APS∽△ABC； (2)若矩形PQRS是正方形，求它的边长； (3)若AP∶PB＝1∶2，求矩形PQRS的面积． (1)证明：∵四边形PQRS是矩形，∴PS∥QR，即PS∥BC， ∴∠APS＝∠B，∠ASP＝∠C， ∴△APS∽△ABC. (2)解：∵四边形PQRS是正方形， ∴PS＝PQ，PS∥BC. ∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC，∴AM⊥PS. 由(1)知△APS∽△ABC，∴＝. 设PS＝PQ＝x，则AM＝12－x，∴＝， 解得x＝，∴正方形PQRS的边长为. (3)解：∵AP∶PB＝1∶2，∴AP∶AB＝1∶3，BP∶AB＝2∶3. 由(1)知△APS∽△ABC， ∴＝，即＝，∴PS＝. ∵四边形PQRS是矩形， ∴PQ∥AD，∴∠BPQ＝∠BAD，∠BQP＝∠BDA， ∴△BPQ∽△BAD，∴＝， 即＝，∴PQ＝8， ∴矩形PQRS的面积为PS·PQ＝×8＝. 学科网（北京）股份有限公司 $