黑龙江省哈尔滨市第十三中学校2026-2027学年高三上学期数学十月复习卷（四）

十月复习卷4 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知函数，，，则（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中最小正周期等于的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．在中，，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 5．已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，，那么（    ） A． B． C． D． 7．已知数列的前n项和为（≠0），且满足，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知正三角形的边长为2，以B为圆心的圆与直线相切，若点P是圆B上的动点，则的最大值是（    ）． A． B． C．4 D． 二、多选题 9．已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．若，则 C．在区间上单调递增 D．的图象关于点中心对称 10．已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（　 　） A．数列为递减数列 B． C． D．的最大值为 11．已知点是内的一点，则以下说法正确的有（    ） A．若，，分别表示，的面积，则 B．若，则动点的轨迹一定通过的重心 C．若，则点是的垂心 D．若，，分别为，，的中点，且，，则的最大值为 三、填空题 12．已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为______． 13．设为等比数列的前n项和，已知，，则的值为______. 14．已知，若，，则_____． 四、解答题 15．在中，内角的对边分别为，若. (1)求角的大小； (2)若，的平分线交于点，求线段长度的取值范围. 16．已知向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为． (1)求的单调递减区间； (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于x的方程在上只有一个解，求实数m的取值范围． 17．已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 18．已知数列的首项，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足对任意，，且，，设其前项和为． ①设数列的前项和为，求证：； ②若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 19．已知单调递增数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《十月复习卷4》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B A A A B D AC BC 题号 11 答案 ABD 1．B 【详解】由，得，所以，解得， 所以. 由，得. 由，得，得，所以. 所以. 2．B 【分析】根据正弦型函数、正弦函数、正切函数的性质，结合同角的三角函数关系判断即可. 【详解】对于A，最小正周期. 对于B，正切函数的周期是，将在轴下方的图象翻折到轴上方， 周期不变.故最小正周期. 对于C，，是常函数，无最小正周期. 对于D，因为，所以为偶函数，图象关于轴对称，不是周期函数. 3．B 【详解】方法一（万能公式思想——齐次化）：，故选B. 方法二（先求）： 由，可设， ， ， ， 或者， ， ， .故选B. 4．A 【分析】首先由条件，经过化简可得出为等腰三角形，由条件，经过三角形边角关系的推导，可得出边长关系，最后可求出为等边三角形. 【详解】取的中点为，则， 即为的边的中垂线，即为等腰三角形； 可化简为，即，则， 则为等边三角形. 5．A 【详解】因为，不妨设，，其中， 所以 6．A 【分析】利用平方关系化简，再结合终边所在象限判断符号即可. 【详解】， 利用平方关系可知， 即， 由于，故， 又，， 所以等式可化为 即，故. 7．B 【分析】 根据与的关系，结合题意可得数列是首项为，公差为的等差数列，由此求得 ，再根据求得. 【详解】由，得， 所以， 即， 又，所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 所以， 所以. 所以. 8．D 【分析】以A为原点，建立平面直角坐标系，设，求出坐标，由数量积的坐标运算结合余弦函数的性质即可得出答案. 【详解】 如图，以A为原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 已知正三角形的边长为2，以B为圆心的圆与直线相切， 则，圆B的半径为， 因为点P是圆B上的动点，设， 则， 则， 因为， 所以，当时，取得最大值为. 9．AC 【分析】利用辅助角公式化简可得，结合正弦型函数周期性可以判断A；利用求出的取值，再计算的值可以判断B；利用“整体法”判断单调区间可以判断C；结合正弦型函数对称中心的性质，代入验证即可判断D. 【详解】利用辅助角公式化简：. 选项A，最小正周期， A正确； 选项B，若，则，即， 得：，即， 因此，B错误； 选项C，当时，令， 则在上单调递增， 因此在上单调递增，C正确； 选项D，若函数关于点中心对称，则满足， 则，D错误. 10．BC 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质，结合前项和公式及数列单调性逐项判断. 【详解】在等差数列中，，则，B正确； 等差数列的公差，数列为递增数列，A错误； ，C正确. 当时，，当时，，因此的最小值为，D错误. 11．ABD 【分析】A选项，作出辅助线，得到，从而得到所以，即可判断；B选项，作出辅助线，得到，故点在中线上，故向量一定经过的重心； C选项，作出辅助线，得到，故⊥，并得到在的平分线上，同理可得，在的平分线上. D根据得到点的轨迹，将转化为，然后求数量积，根据点的轨迹求最值. 【详解】对于A：如图，分别为的中点， ， 则，故， 所以， 故，A正确； 对于B：过点作⊥于点，取的中点，连接， 则，， 则， 故点在中线上，故向量一定经过的重心，B正确； 对于C： 分别表示方向上的单位向量， 故， ，故⊥， 由三线合一可得，在的平分线上，同理可得，在的平分线上， 则点是的内心，C错误. D选项，设中点为， 因为，所以点的轨迹为以为直径的圆， 结合上图， ， 当为直径时最大，最大为，故D正确. 故选：ABD 【点睛】结论点睛：为所在平面内的点，且，则点为的重心， 点为所在平面内的点，且，则点为的垂心， 点为所在平面内的点，且，则点为的外心， 点为所在平面内的点，且，则点为的内心， 12． 【详解】因为向量，， 则在方向上的投影向量为. 13．63 【分析】应用等比数列前n项和的性质，，，仍成等比数列求解即可. 【详解】根据片段和性质，有，则，解得. 14． 【分析】根据已知有、，再由平方关系及差角余弦公式求，即可得角的大小. 【详解】，， ，， ，， ，又， . 15．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理及余弦定理进行求解； （2）由三角形的面积公式及余弦定理得，再由基本不等式求解． 【详解】（1）因为， 所以：， 即， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 又，所以. （2）因为， 所以，解得， 由余弦定理得，即， 设 ，则 ， 由基本不等式：，故， 解得，故， 又 ，所以， 因此. 16．(1) (2) 【分析】（1）首先利用数量积公式和三角恒等变换化简函数，再结合三角函数的性质，即可求解； （2）首先利用三角函数的图象变换求函数的解析式，再通过换元后，结合的图象，即可求解. 【详解】（1）， ， ， 因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，得，所以， 令, 则， 所以的单调递减区间为; （2）由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数， 再向左平移个单位得， 令，则， 所以， 因为在上只有一个解，    由的图象可得，或， 所以的取值范围是 17．(1) (2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增． (3) 【分析】（1）直接由导数的几何意义求切线方程可得； （2）先对函数求导，再结合导数分和两类讨论，函数的单调性； （3）不等式对任意恒成立等价于对任意恒成立．再构造函数，利用导数求得函数的最大值，即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，定义域为， 所以. ，所以曲线在点处的切线斜率为， 则曲线在点处的切线方程为． （2）因为函数，定义域为， 所以， 因为恒成立，所以 当时，恒成立，，在上单调递减； 若时，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （3）由不等式化简得：， 因为，所以对任意恒成立． 令，则， ，，，所以， 所以在上单调递减， 因此的最大值为， 故，即的取值范围为． 18．(1) (2)①因为，所以为等差数列， 设公差为，又，，所以， 所以，则； 所以， 所以 ； ② 【分析】（1）利用退一作差法求得. （2）①先判断出为等差数列，并求得，进而求得，利用裂项求和法证得.②将转化为，结合作差比较法求得实数的取值范围. 【详解】（1）， ∴当时，， 两式相减得， ∴当时，， 当时，，上式也成立， 综上，数列的通项公式为． （2）①略 ②因为对任意，恒成立， 即对任意，恒成立， 所以对任意，恒成立， 令，则， 所以当时，当时， 所以， 所以，所以． 19．(1) (2) 【分析】（1）由，可求数列的通项公式； （2），利用错位相减法可求. 【详解】（1），即， 当时，，解得， 当时，， 即， 又数列单调递增，所以，即， 则，，时也符合， 所以. （2）， ， ， , 解得. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $